Les images fractales en Scheme Une exploration des algorithmes récursifs

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1 Les images fractales en Scheme Une exploration des algorithmes récursifs Printemps des Sciences Mons, Mars

2 Professeur Tom Mens, Service de Génie Logiciel Institut Informatique, Université de Mons-Hainaut Académie Wallonie-Bruxelles

3 Partie 1: La récursivité Quelques exemples préliminaires Partie 2: Les images fractales Partie 3: Les systèmes de fonctions récursives Partie 4: Les ensembles de Mandelbrot et Julia

4 Exemple 1 : La fonction factorielle Définition mathématique n! = n x (n-1) x (n-2) x... x 2 x 1

5 Exemple 1 : La fonction factorielle Définition mathématique n! = n x (n-1) x (n-2) x... x 2 x 1 Définition récursive 0! = 1 n! = n x (n-1)!

6 Exemple 1 : La fonction factorielle Définition récursive en Scheme: (define (fac n) (if (= 0 n) 1 (* n (fac (- n 1)))))

7 Exemple 1 : La fonction factorielle > (fac 4) Calcul de (fac 4) = 4 x (fac 3) Calcul de (fac 3) = 3 x (fac 2) Calcul de (fac 2) = 2 x (fac 1) Calcul de (fac 1) = 1 x (fac 0) Calcul de (fac 0) = 1 (fac 1) 1 x 1 = 1 (fac 2) 2 x 1 = 2 (fac 3) 3 x 2 = 6 (fac 4) 4 x 6 = 24 24

8 Partie 1: La récursivité Partie 2: Les images fractales Partie 3: Les systèmes de fonctions récursives Partie 4: Les ensembles de Mandelbrot et Julia

9 Les images fractales Une figure fractale est une courbe ou une surface très irrégulière, avec une autosimilarité plus ou moins marquée. Certaines structures de la figure se retrouvent un peu partout et à toutes les échelles.

10 Les images fractales Une figure fractale est une courbe ou une surface très irrégulière, avec une autosimilarité plus ou moins marquée. Certaines structures de la figure se retrouvent un peu partout et à toutes les échelles. Du point de vue informatique, les images fractales visualisent l'idée d'un algorithme récursif. Dans la suite, nous expliquerons comment créer des fractales en utilisant des algorithmes récursifs.

11 Triangle de Sierpinski

12 Pentagone de Sierpinski

13 Partie 1: La récursivité Partie 2: Les images fractales Partie 3: Les systèmes de fonctions récursives Le triangle, le pentagone et le tapis de monsieur Sierpinski; Comment créer une fougère? Partie 4: Les ensembles de Mandelbrot et Julia

14 Triangle de Sierpinski Cette figure bien connue peut etre générée d'une manière récursive.

15 Triangle de Sierpinski L'idée est très simple: en remplace une figure de départ (par exemple, un carré) par 3 copies de la même figure, dont la taille est reduite avec un facteur 2.

16 Triangle de Sierpinski L'idée est très simple: en remplace une figure de départ (par exemple, un carré) par 3 copies de la même figure, dont la taille est reduite avec un facteur 2.

17 Triangle de Sierpinski Regardons 9 étapes de ce processus récursif...

18 Triangle de Sierpinski Regardons 9 étapes de ce processus récursif... Triangle de Sierpinski après 1 étape

19 Triangle de Sierpinski Regardons 9 étapes de ce processus récursif... Triangle de Sierpinski après 2 étapes

20 Triangle de Sierpinski Regardons 9 étapes de ce processus récursif... Triangle de Sierpinski après 3 étapes

21 Triangle de Sierpinski Regardons 9 étapes de ce processus récursif... Triangle de Sierpinski après 4 étapes

22 Triangle de Sierpinski Regardons 9 étapes de ce processus récursif... Triangle de Sierpinski après 5 étapes

23 Triangle de Sierpinski Regardons 9 étapes de ce processus récursif... Triangle de Sierpinski après 6 étapes

24 Triangle de Sierpinski Regardons 9 étapes de ce processus récursif... Triangle de Sierpinski après 7 étapes

25 Triangle de Sierpinski Regardons 9 étapes de ce processus récursif... Triangle de Sierpinski après 8 étapes

26 Triangle de Sierpinski Regardons 9 étapes de ce processus récursif... Triangle de Sierpinski après 9 étapes

27 Triangle de Sierpinski Le programme récursif en Scheme est très simple: (define (carre n x y cote) (define c2 (/ cote 2)) (if (= 0 n) (send dc draw-rectangle x y cote cote) (begin (carre (- n 1) (+ x (/ cote 4)) y c2) (carre (- n 1) x (+ y c2) c2) (carre (- n 1) (+ x c2) (+ y c2) c2))))

28 Triangle de Sierpinski Le programme récursif en Scheme est très simple: (define (carre n x y cote) (define c2 (/ cote 2)) (if (= 0 n) (send dc draw-rectangle x y cote cote) (begin (carre (- n 1) (+ x (/ cote 4)) y c2) (carre (- n 1) x (+ y c2) c2) (carre (- n 1) (+ x c2) (+ y c2) c2)))) A chaque appel de carre, on fait 3 appels récursifs...

29 Triangle de Sierpinski Même fractale, en utilisant un cercle comme figure de départ

30 Triangle de Sierpinski Même fractale, en utilisant un cercle comme figure de départ Triangle de Sierpinski après 1 étape

31 Triangle de Sierpinski Même fractale, en utilisant un cercle comme figure de départ Triangle de Sierpinski après 2 étapes

32 Triangle de Sierpinski Même fractale, en utilisant un cercle comme figure de départ Triangle de Sierpinski après 3 étapes

33 Triangle de Sierpinski Même fractale, en utilisant un cercle comme figure de départ Triangle de Sierpinski après 4 étapes

34 Triangle de Sierpinski Même fractale, en utilisant un cercle comme figure de départ Triangle de Sierpinski après 5 étapes

35 Triangle de Sierpinski Même fractale, en utilisant un cercle comme figure de départ Triangle de Sierpinski après 6 étapes

36 Triangle de Sierpinski Même fractale, en utilisant un cercle comme figure de départ Triangle de Sierpinski après 7 étapes

37 Triangle de Sierpinski Même fractale, en utilisant un cercle comme figure de départ Triangle de Sierpinski après 8 étapes

38 Triangle de Sierpinski Même fractale, en utilisant un cercle comme figure de départ Triangle de Sierpinski après 9 étapes

39 Triangle de Sierpinski Conclusion Le résultat est indépendant de la figure de départ. On dit que le triangle de Sierpinski est un point fixe, ou attracteur.

40 Les systèmes de fonctions récursives On peut généraliser le processus pour créer une fractale. Chaque fractale est représentée comme un ensemble de transformations affines qui doivent être appliquées d'une manière récursive. Une transformation affine T est une combinaison d'une rotation, d'une réduction et d'une translation x a*x + b*y + e y c*x + d*y + f a, b, c, d ] [

41 Les systèmes de fonctions récursives Pour le triangle de Sierpinski, on a besoin de 3 transformations affines T1: x 1/2 * x + 0 * y + 0 y 0 * x + 1/2 * y + 0

42 Les systèmes de fonctions récursives Pour le triangle de Sierpinski, on a besoin de 3 transformations affines T1: x 1/2 * x + 0 * y + 0 y 0 * x + 1/2 * y + 0 T2: x 1/2 * x + 0 * y + cote/2 y 0 * x + 1/2 * y + 0

43 Les systèmes de fonctions récursives Pour le triangle de Sierpinski, on a besoin de 3 transformations affines T1: x 1/2 * x + 0 * y + 0 y 0 * x + 1/2 * y + 0 T2: x 1/2 * x + 0 * y + cote/2 y 0 * x + 1/2 * y + 0 T3: x 1/2 * x + 0 * y + cote/4 y 0 * x + 1/2 * y + cote/4

44 Une fougère Une fougère peut également être générée en utilisant 4 transformations affines...

45 Une fougère en 3 dimensions...

46 Le tapis de Sierpinski Une autre image fractale, connue sous le nom de tapis de Sierpinski, générée avec 8 transformations affines en utilisant le meme processus récursif... Cliquez pour calculer 5 étapes pour points choisis au hazard...

47 Le tapis de Sierpinski Une autre image fractale, connue sous le nom de tapis de Sierpinski, générée avec 8 transformations affines en utilisant le même processus récursif... Cliquez pour calculer 5 étapes pour points choisis au hazard...

48 Partie 1: La récursivité Partie 2: Les images fractales Partie 3: Les systèmes de fonctions récursives Partie 4: Les ensembles de Mandelbrot et Julia L'ensemble de Mandelbrot; Les ensembles de Julia

49 L'ensemble de Mandelbrot L ensemble de Mandelbrot est une figure 2-dimensionnelle. Chaque point (x,y) de cette figure correspond à une valeur complexe c= x + y.i à laquelle on applique la fonction suivante d'une manière récursive en commençant toujours avec z=0+0.i f : z z*z + c

50 L'ensemble de Mandelbrot La couleur de chaque pixel (x,y) correspond à la rapidité de divergence de la fonction f. Si la fonction f converge vers 0+0.i, la couleur du pixel est noire.

51 L'ensemble de Mandelbrot Voici le programme récursif en Scheme pour dessiner l'ensemble de Mandelbrot: (define (mandelbrot z c) (define (recursion n z) (if (> n 0) (if (> (magnitude z) 2) (draw-point c n) (recursion (- n 1) (+ (* z z) c))))) (recursion 256 0))

52 L'ensemble de Mandelbrot Voici le programme récursif en Scheme pour dessiner l'ensemble de Mandelbrot: (define (mandelbrot z c) (define (recursion n z) (if (> n 0) (if (> (magnitude z) 2) (draw-point c n) (recursion (- n 1) (+ (* z z) c))))) (recursion 256 0)) Répétez le code ci-dessus pour chaque valeur de c = x + y.i avec x ] [ et y ] -1,2.. 1,2 [

53 Les ensembles de Julia A chaque point du plan complexe correspond un ensemble de Julia différent. Les points de l'ensemble de Mandelbrot correspondent précisément aux ensembles de Julia connexes. Les points en dehors correspondent aux ensembles de Julia non connexes.

54 Les ensembles de Julia A chaque point du plan complexe correspond un ensemble de Julia différent. Les points de l'ensemble de Mandelbrot correspondent précisément aux ensembles de Julia connexes. Les points en dehors correspondent aux ensembles de Julia non connexes. Pour les calculer, on applique la même fonction f d'une manière récursive: f : z z*z + c L'ensemble de Julia pour une valeur donnée de c, est formé de toutes les valeurs initiales z pour lesquelles le résultat est bornée mais non convergente.

55 Un ensemble de Julia connexe

56 Un ensemble de Julia non-connexe

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