Equilibrium and stability of a toroidal magnetohydrodynamic system in the neighbourhood of a

Transcription

1 Home Search Collections Journals About Contact us My IOPscience Equilibrium and stability of a toroidal magnetohydrodynamic system in the neighbourhood of a magnetic axis This content has been downloaded from IOPscience. Please scroll down to see the full text Nucl. Fusion ( View the table of contents for this issue, or go to the journal homepage for more Download details: IP Address: This content was downloaded on 18/09/2015 at 00:37 Please note that terms and conditions apply.

2 FUSION NUCLEAIRE 4 (1964) EQUILIBRE ET STABILITY D'UN SYSTME TOROIDAL MAGNETOHYDRODYNAMIQUE AU VOISINAGE D'UN AXE MAGNflTIQUE CLAUDE MERCIER GROUPE DE RECHERCHES DE L'ASSOCIATION EURATOM-CEA SUR LA FUSION CENTRE D'ETUDES NUCLEAIRES DE FONTENAY-AUX-ROSES, SEINE, FRANCE Dans ce travail on dtudie d'abord les dquilibres toroidaux les plus ge'ne'raux au voisinage d'un axe magnetique, ligne caractevistique dans la topologie toroi'dale. Dans ce but, on utilise un systeme de coordonne'es triorthogonales lie" a l'axe magnetique d^fini a l'aide de ses coordonne'es intrinseques: R{s) et T(s). Les re"sultats des calculs d'^quilibre montrent que toutes choses 6gales par ailleurs, il n'existe plus d'dquilibre possible en ge"ne"ral lorsque Tangle de transformation rotationnelle sur l'axe magne'tique «c o s'approche d'un multiple entier de 2 n. On donne les developpements des quantitds physiques a l'^quilibre jusqu'au troisieme ordre. On d^duit de ces proprie'te's un classement des e'quilibres toroidaux, et des exemples sont traites. Dans la deuxieme partie, on e"tudie la stability de ces e'quilibres vis-a-vis des de"placements localises. Les resultats indiquent des plages de stabilites pour des configurations caracte'rise'es par t c o/27tft(fc. Un exemple simple de stellarator droit est traite" et fournit des conditions d'e"quilibre et de stability caracte'risdes par des /3 C d'^quilibre et de stability. D'autres exemples montrant explicitement l'effet de la courbure de l'axe magne'tique sont traite's dans la re"f Introduction L'e"tude des solutions d'e"quilibre magne"tohydrodynamiques et de leur stability a fait l'objet d'un grand nombre d'articles principalement en ge"ometrie cylindrique. La topologie toroiidale est en g^n^ral simplement traduite en exigeant que toutes les quantit^s physiques soient pe"riodiques sur une longueur L. C'est la simplification maximum; elle laisse e^chapper de nombreux effets spe"cifiquement toroidaux. Le cas de la sym6trie de revolution est l'exemple le plus simple d'une veritable g6om6trie toroidale. Malgr6 la grande simplification qu'il pr^sente par rapport au cas g^n^ral, son etude est loin d'etre complete. Dans tous les autres cas toroidaux, la complexity mathe'matique est considerable et peu de proprie"te"s g6n6rales ont 4>t6 6tablies jusqu'a ce jour. Dans ce travail, on essaye de degager quelques proprie'te's int^ressantes, particulierement U6ea a l'aspect toroidal, en restreignant l'e"tude du plasma a celle du voisinage d'une ligne magne'tique particuliere, caract^ristique de la topologie, appele"e axe magn6tique. Pr^cisons d'abord la classe des e^quilibres e'tudie's. Parmi les solutions de V -B = 0 (1) il existe une classe particuliere d'equilibre telle que leurs lignes magn6tiques sont tracees sur des tores S emboite's les uns dans les autres: le tore central e"tant re"duit a une ligne que Ton appelle axe magnetique. Ces tores S sont appeles surfaces magne'tiques. Si Ton veut aussi satisfaire a la deuxieme Equation des 6quilibres MHD JxB=VP (2) ou J = VxB c'est dans cette classe de solutions que Ton doit travailler car les lignes magn6tiques doivent etre alors * An English translation is available. To obtain a copy, please write to the author. trace"es sur les surfaces a pressions constantes (on suppose VP=#0). Rappelons un certain nombre de re"sultats g6ne"raux: a. Une solution de V-B = 0 peut toujours s'^crire localement et l'616ment de flux: dg?= d^dy>. B=VxxVip (3) b. Ayant d6fini comme dans r6f. 1 et ref. 2 les fonctions r\ et 6 (ici, 6') et les courbes de classe (1,0) et (0,1), on peut de'finir les fonctions suivantes, constantes sur chaque tore S = IB Vrj dr F=Jdr v Elles repr^sentent les plans de B et de J a travers les surfaces limite'es par les courbes des classes (1,0) et (0,1) (parfois a une constante pres) et le volume V du tore 8. c. On peut alors de'finir les angles de transformation rotationnelle i et i c, constants sur chaque tore S et on montre que 'dr \ d X = = «/2 n = 2 TC/«C = 1 (4) (5) (6) 213

3 CLAUDE MERCIER ce qui permet d'ecrire (7) X 6tant une fonction doublement periodique de pe"riode 1 en r) et 6. Si t/2 7i est rationnel (egal a kjm) sur une surface #, les lignes magnetiques se referment apres k grands tours et m petits tours; sinon les lignes magnetiques sont ergodiques. d. Si on tient compte maintenant de l'eq. 2, on a evidemmentp = 2)(^) (sauf le cas exceptionnel ou I\2TZ est partout rationnel). On peut poser car V J = 0. L'e'quation 2 s'ecrit alors ou (VK X Vy>) V/ = - dp/dip : Vw (8) K=0' dt/dy) - r\ dt'/dy) +K (9) (10) K 6tant une fonction doublement periodique en rj et 6'. On peut aussi definir les angles de transformation rationnelle lies au courant Oj^TZ == ATC/CC CLJI /&-i v^-*-/ II existe entre ces differentes fonctions des relations, par exemple d^; &T f - dip' dt = - dp dv ou encore i/2n - o/2iz = {dpjdy>) dv/dt. (12) e. L'etude des deplacements localises a permis [2] de trouver un critere necessaire de stabilite (necessaire et suffisant vis-a-vis de ces deplacements localises) qui est d^ja fort severe et permet de conclure a l'instabilite d'un grand nombre d'equilibre MHD. II n'est pas sans interet de remarquer que les deplacements localises ne sont restreints que dans le sens perpendilaire aux surfaces magnetiques et par consequent conservent les caracteres essentiels de la topologie toroidale. Nous 6crirons le critere sous la forme suivante, mieux adapte au calcul et plus interpretable que l'expression du critere dans r6f. 2 (formule 53). avec. d "12 (13) Ainsi l'expression est un critere necessaire dans tout le plasma et suffit au voisinage de l'axe magnetique. Si Ton s'eloigne de l'axe, le terme carre lie au "shear" devient important; ce resultat explique en partie pourquoi dans de nombreuses configurations simples, des calculs de stabilite pour ces perturbations localises ont montre que c'etait le voisinage de l'axe magnetique qui etait le plus difficile a stabiliser. Enfin nous avons remarque que si Vp=0, VG X n=0. Dans le cas de pression tres faible, on peut negliger ces termes et le critere 14 devient simplement dp d 2 F dy> tandis que l'eq. 13 s'ecrit 1 (J >0 (14') 2TT 4 \d Si Ton remarque que sur une ligne magnetique fermee faisant k grands tours: XVjdcp' = l/k(pdl/b, on voit la proche analogie entre ce critere de stabilite 14' et le critere (Ref. 10) Vp V {dl/b) > 0 Ces proprietes generales etant rappelees, le present travail consistera a etudier les equilibres et les stabib'tes de ces equilibres (au moins vis-a-vis des perturbations localisees) au voisinage d'un axe magnetique. Tout l'interet des developpements qui suivent d6coule des faits suivants: a. L'axe magnetique est une ligne caracteristique des configurations toroidales. Les resultats obtenus dans ces developpements tant pour l'equilibre que pour la stabilite sont tres interessants pour l'interpretation des proprietes d'ensemble des plasmas [3]. b. Le voisinage de l'axe magnetique est sou vent le plus difficile a stabiliser. SYSTEME DE COORDONNEES INTRINSEQTTES L'axe magnetique F sera defini par ses coordonnees intrinseques R(s) et T(s), rayons de courbure et de torsion en fonction de l'abscisse curviligne s. On sait que la donnee de ces deux fonctions suffit a determiner une courbe gauche a un deplacement pres. R(s) et T(s) sont des fonctions periodiques de periode L, longueur de l'axe magnetique. Voir annexe pour le passage d'une forme a l'autre. Cette expression presente les caracteres suivants: Nous verrons qu'au voisinage d'un axe magnetique la premiere partie du critere qui est un carre devient negligeable devant la deuxieme partie. Fig. 1 Systeme de coordonnees intrinseques. 214

4 EQUILIBRE ET STABILITE Un point P (voir fig. 1) dans l'espace est represente par ses coordonnees Q, 6 O, S (s=abscisse curviligne du point M sur F dans le plan normal passant par P; Q } 0 O =coordonnees polaires dans le plan normal passant par P, 6 0 etant precise par d o =d+jdslt( S ) ou 6 est Tangle de n avec MP). Le systeme ainsi defini est triorthogonal avec d 2 = dg 2 + Q 2 dd {1-Q cos d/rf ds 2 (15) Toute grandeur physique doit etre doublement periodique en 6 (periode de 2n) et s (periode L). 2 Etude des equilibres MHD ANALYTICITE ET DEVELOPPEMENT Le systeme de coordonnees precedent est particulierement bien adapte" pour developper les diverses grandeurs scalaires ou vectorielles que Ton doit envisager en MHD au voisinage de l'axe magnetique F. Nous ferons d'abord une restriction aux equilibres que nous cherchons: nous nous limiterons aux Equilibres que nous appelerons analytiques, e'est-a-dire que toute fonction physique scalaire pourra etre developpe"e dans le plan normal en M a F et au voisinage de l'axe magnetique a la fois en x et y, abscisse et ordonne"e du point P dans un systeme orthogonal Mxy. Ainsi ^ 2 \ dx* Si on prend les Mx, My dans les directions de"finies par n et b x = Q cos 6 Cette hypothese d'analyticite des solutions revient a eliminer les solutions d'equilibre MHD qui auraient des singularites sur l'axe magnetique. II semble en effet probable que l'equilibre physique qui s'6tablit ait cette propriete d'analyticite, si toutefois il existe un tel equilibre analytique compatible avec les conditions imposees par ailleurs. DEVELOPPEMENT DES EQUATIONS Introduisons les developpements des quantites B, J, rp, 1 et K introduites precedemment (eqs. 1,2, 3,4, 8) BQ = «i Q + «2 ^2 + B S = C Q + C IQ + C 2 Q*+... (18) a v a 2, b v c 0 sont des fonctions de 5 et 6 0 (ou 0) dont les formes en 6 sont connues. En particulier c 0 ne depend pas de 0 : c 0 (s)=b s o. On le supposera positif: c o >O. On en deduit: L'analyticite nous oblige a poser (20) Nous ecrirons les autres developpements comme suit y = Q sin 6 le developpement de la fonction scalaire V pour Q petit s'ecrira V {Q, d, s) = V o {s) + Q [a x (s) cos 6 + b x (a) sin 6] + Q 2 [ a 2 + ^2 cos ^ 6 + c 2 sin 2 6] + 3 [a 3 cos sin d + c 3 cos 3 d + d 3 sin 3 0] +... (16) On en deduit la forme de developpement des composantes d'un vecteur V: dans le systeme t n b. V=Fft + F n n + Fbb et V t, V n, Vb sont des fonctions scalaires developpables comme F. Dans le systeme intrinseque d6fini ci-dessus V p = V n cos 0 O + F fc sin d 0 Le terme en xp x q est nul puisque l'axe magnetique est un extremum. L'analyticite nous conduit a poser q> 2 = a + b cos 2u == V cos u i n u ~\~ r cos 3 u + s sin 3 u (22) ou a>0 et u=6-\-d(s)l2 et a, b, p, q, r, s, sont des fonctions de l'abscisse curviligne 5. Si nous definissons les fonctions Z 3, g v g 2 et k x par Voo = - V n sin V b cos d 0 (17) V s =Vt ce qui fournit immediatement les formes des developpements au voisinage de l'axe magnetique de V e Voo et V t. 9i = X1IW2 112 ; 92 = X2IW2 (23) on peut aise"ment ecrire les relations traduisant l'6q

5 CLAUDE MERCIER (a) a x = (d Xo ldd o ) dipjds - (dy, 2 ldd 0 (d) b 2 - (e) c o = (f) c x = (g) c 2 = 1/2 #V2 %i\ (cos 0)1 R = d Xo l8d (24) On tire de ce systeme sans d'ailleurs utiliser a ce stade d'autres Equations que V B = 0 (25) En d6rivant l'eq. 24a par rapport a 6 0 et en utilisant la relation de compatibility des Equations 25 On obtient 8 S , (bi\ \yj + 8s s = 0 (26) Reportons dans l'6q. 20 et tenons compte de l'eq. 22, il vient b 1 soit 4a \ c,j, 2 \ d' ~ ta T(s)j La relation 26 fournit alors aa'-bb' = 0 a = fi cosh?7 6 = //, sinh?y ou fi est une constante et r\ fonction de s. Le calcul de Xo par les e"qs. 25 en decoule ou 2/T 6/sin2w (27) (28) x arc * an ( e ~ v tan w ) + ~9 <^ ds -f- const o (29) +d 2cosh J? \2 + T l\2 = Jsolc o = Jso/B s o (30) II est n^cessaire maintenant de choisir les lignes C 10 et C ol. Nous pouvons prendre les courbes d6finies par s=const comme courbes C ol. II est plus difficile de trouver une courbe C lo. Cependant si nous choisissons une courbe fermee faisant un grand tour et un nombre k de petits tours, nous de"terminerons i t \2"K, a un nombre entier pres ce qui ne change pas les re"sultats sur l'equilibre et la stabilite. Aussi appelerons-nous encore "angle de transformation rotationnelle" la quantity obtenue en prenant comme courbe G 10 une courbe d6finie par 0=const. Remarquons que dans le cas d'un axe magne"tique plan, ces courbes 6=const ne font effectivement aucun petit tour. Ainsi des e*qs. 29, 5 et 6 nous tirons Tangle de transformation rotationnelle ico sur Taxe F et la valeur de fi ico =(pck,ds -f [i = «eo /2 (31) Remarquons que tous ces re"sultats ne font intervenir que V B=0. L'adjonction de l'eq. 2 n'apportera a cet ordre de developpement que les consequences suivantes: J s o = ± J 0 car J est tangent a l'axe magn6tique F, d'ou il suit d'apres l'^q. 19 Cl = c 0 cos 6\R (s) (32) et nous allons demontrer aussi que A (s) const. Nous 6crivons l'e"q. 2 en utilisant l'^q. 8 (ViS" x Vip) V# = d2?/dy> (33) Cette equation donne au premier ordre Y2 \ 8s , dont la solution s'e"crit _ l-^ -\ Po ' ~ dy}o~ K Q = j ( Xo ) + solution particuliere En utilisant l'e"q. 25, on trouve aisement une solution particuliere s Po'j ds l c o ( s ) 0 et tenant compte des formes des e"qs. 7 et 10 de K et X, on obtient #o = Po j ds l c o ( s ) + const X Xo o Or de l'eq. 8 on tire J s0 = 2tp 2 dk Q ldd 0 = const x c 0 (s) = (A/2) c 0 (s) Ainsi 3 s0 = A/2 = const (34) Les premiers coefficients de developpement de B s'ecrivent alors a x = c o '/2 + c 0 Si sinh rj sin 2u (c 0 r)'/2) cos 2u 6 1 = c 0 A/4 - -c 0 <~K sinh?y cos 2% + (c 0 r}'l2) sin2w Cl = C o cos 61R (s) (35) 216

6 EQUILIBRE ET STABILITE Calculons maintenant l'6q. 33 au second ordre en supposant que On obtient 3K 0 8g x ds 80 Q s ' 8s 86 Q s J i^^zp i o.jzo_] " 3Z [ 2 y a cosfl1 Q ou Ton a pose Les eqs. 24f et 32 donnent liquation 86 0 CO c n cos0 Eliminons Z z entre les eqs. 36 et 38, on obtient ou Ton a pose 8u_8U 2^0^08 0 7\ ft r\o <D m 3/2 U I/A C/O C/X V*> U = Xg 1-2k 1 Si Ton suppose T (ip) d^veloppable en ip, alors s \ }Q L [drpjo 2TT l dt '\ J- (36) (37) (39) (39') (40) les 0 it 0 ^x et K x etant doublement periodiques. Par consequent U doit etre une solution doublement piriodique en s et 0 de l'eq. 39. Remarque: En comparant les eqs. 34 et 40 il vient Uv'io" 2 ~\d v )o Po S c 0 (a) o ce qui permet d'obtenir le developpement de G (eq. 13) L Reportons l'6q. 42 dans l'e'q. 39 on trouve les Equations suivantes pour determiner x et y x' + Siy- (4p o '/<^) e-il 2 cos d/2 = 0 y' -Six- (4p o 'A#) e " /2 sin d / 2 = 0 (43) Si on pose z=x-\-iy on peut ecrire ces deux equations sous la forme ou z> - Une equation de la forme 43' ou Si et G sont des fonctions periodiques de s a une seule solution p6riodique s + L x Z = (O (x) exp ( i \Si (w) &u) dx Cette solution n'existe pas si (b Si ds = tco = 2 k 7t {k entier) (44) a moins que l'integrale du numerateur ne s'annule [1, 4]. Pour mieux voir la nature de cette solution, nous la presenterons sous une autre forme. Posons X jsi(u)du = H 0 (x) So H o (x) peut s'ecrire H o (x) etant periodique. Z s'ecrit alors ^_ exp + i H Q (s) exp + i s i c pjl 1 exp i Jco s + L X \G(x) exp i H o (x) exp i tco x/l s Comme G (x) exp ih 0 (x) est periodique dx Soit ds c 0 (*) G(x)exp i H 0 (x) = y aieexp -\-2kinxlL Finalement nous obtenons k 7-7- " J- J-T 1 fft (41) La condition d'analyticite nous impose la forme de U vis-a-vis de 6. Nous ecrirons TT x e 7?/ 2 cosw + V Q~ r 'l 2 sin u a; (s) et y (s) doivent etre des fonctions periodiques de s (peri ode L). II n'y aura done pas de solution d'equilibre analytique pour tco = 2A; TZ a moins que ajt = 0. Comme nous le verrons dans l'etude de la stabilite il est necessaire de connaitre le developpement de ip jusqu'au terme en ip 3 Q 3 pour obtenir le critere de stabilite au voisinage de l'axe magnetique. Pour cela nous avons besoin d'une autre equation que Ton obtient comme suit. 217

7 CLAUDE MERCIER D6 veloppons au deuxieme ordre l'equation V B = 0 qui s'ecrit On obtient JQ- [b 2 -b x (cos 6)1 R] + 3[a 2 -{a x cos6)1 R]4-dc x ds =0 (46) De meme que l'eq. 24f provenait de l'eq. 3, on obtient a partir de l'eq. 8 JA = ipzj ' {zok x lcu 0 -f- 6ZJ 3 dk o jdd o ) soit en utilisant les eqs. 19 et 39' -T07 = -T^2/ Tisr+^^j+w 3/2. 86, ce qi[ii s' ecrit 8 COS0\ 86, ' ia 2 3&! cos 0 S [a # ao x 0 3/2 8U 86 O t i b 2 COS0 R 1 \ cos 50\ ii A C O COS0 2 y2 3/2 8U ^0 O (47) On peut alors eliminer a 2 a 1 (cos 6)jR entre les eqs. 46 et 47 d0«2 S 2 / c o cos0 \ 3A c o cos0 8d n 8s 4 R 3c n 'sin0 L'integration de l'eq. 48 s'ecrit b 2 b x {cos 6)1 R =A (s) cos 3u +-B(,s)sin3% + C (s) cos u -\-D{s) sin u = Q o y> 2 3/2 par definition de Q o. D'ou en utilisant l'eq. 24d A (s) et B (s) sont des fonctions arbitraires et C()3/2 eij/2 _ nns F-H5 2 [RT 3c 0 A R 3iCc 0 sinh rj\ 2R (48) Si Ton pose tp 2 3l2 Qi c 0 (cos 6)/R on est conduit au systeme suivant pour la determination de g x et Z z %IS6 0 = Q x (49) Le calcul de Z 3, qui est pour nous le plus important, se fera avec l'equation obtenue des 6qs. 49 en eliminant g x 8 86, 8s 8s 86, L'hypothese d'analyticite nous a conduit a poser (voir eq. 22): (p 3 = p cos u 4- q sin u -\-r cos 3 u 4- s sin 3 u Si Ton porte (pz=(p 3l2 Z 3 dans l'eq. 50 on obtient quatre relations differentielles entre p, q, r, s, A (s) et B (s). L'elimination de A et B conduit done a deux equations differentielles entre les quatre fonctions p, q, r, s. Mais l'^tude faite dans un travail precedent [3] conduit a utiliser a la place des fonctions p, q, r, s les fonctions V x, F 2, 7 et 7 dont le sens physique est beaucoup plus apparent. Ces nouvelles fonctions sont reliees aux anciennes par les relations suivantes Ainsi P = -K- & 112 (2 cosh rj 4- sinh rj) V x q = Y & ~ r ' 12 (2 cosh 7] sinh rj) V 2 r ^r e 3 / 2 V x sinhr\ s -y cp 3 = 2 (cosh rj -\- sinh rj cos 2u) 2yi I'col X -\- or V 2 sinh rj + /x's y V x e*l 2 cos M + y F 2 e-"/ 2 sinw) ' cos 3 u 4- pi 7 sin 3 u t( c o 1/2 Q) 2 ( cosn rj + sh + (Co 1 ' 2 ^) 3 (^cos 3% +?sin Su) X [1 4- (Co 1 / 2 Q) (V x (s) e^2 cos u (51) + F 2 {s) e-"/ 2 sin u) 4-...] (52) Remarquons qu'a cette approximation 2nipji c o= : yj'- Comme on l'a montre dans cet article [3] la donn^e de R(s), T(s), rj(s),d(s), c o (s)ltp o, c^l 2 7 et c 0 W 7 determine une surface toroidale S Q a un certain ordre e 2 de precision. La donnee du flux tp 0 (ou y) 0 ') determine alors completement le probleme d'e'quilibre a cet ordre. Les fonctions V x et F 2 completement determinees par les donnees precedentes permettent alors en particulier le calcul de la position de l'axe magnetique selon les formules 23 de la re"f. 3, la surface S Q etant donnee. Le systeme d'equations differentielles verifie par V x et F 2 se deduit des eqs. 50 et 51 par un calcul fort long mais sans difficulty. On obtient l'eq. 53 (page 219)* * Dans la ref. 3, il manque dans les formules 20 le terme (c 0 '/3l) cos d/2 dans la premiere et (c o '/Sl) sin d/2 dans la seconde. 218

8 EQUILIBRE ET STABILITE V x ' + SiV t + 2(2cosh 6^sinh??) [- 4 e-*i (sinh rfr' + cosh v r/?) + i- ieo e~^* - (3 cosh r) - sinh ^) (53) ce systeme 53 peut aussi se mettre sous la forme Pour ces valeurs particulieres nous trouvons ici une ' <v in f\ deuxieme condition, distincte de celle deja trouve"e a z ic/tz + Cr = U enposant propos de 1 eq. 43. V 1 -\-iv 2 = z Pour finir l'etude des equilibres au voisinage d'un axe magnetique, donnons dans les eqs. 54 Par consequent nous avons encore une equation ^ 55 ( 2ig) leg expressions des diverses fonc. qui a une seule solution periodique sauf pour tions que Vfm peut calculer k cet ordre de t c o = 2 k7c loppement 'co 2 3/2 1 (\ c n. d 3._ rr 1 f c 0 d 3 (cosh» sin -=- e 7 * ^- e^2 F» cos u - - cos -^ e" 1 / +sinh»?cos2w)i/2 \L & 2 * 2 * -=- e~*» V, I sin i n J L<^ 2 u] u ) +, 7. a.,. (e 2^ >S [3sinh»7 cos w (cosh r\ 2sinh??) cos 3u] 2(cosh??+sinh?jcos2w) 3 / 2 L J ^ ' ' " e" 2 ''?' [3sinh rjainu (cosh rj + 2sinh?y)sin3'M]> (54) a 2 = a x (cos 0)/.R + A sin 3w B cos 3w + (C/3) sin u (D/3) cos u c 0 ' (cos 0)/3i2 + c 0 (sin 6 2 = 6 1 (cos0)/j? +^4cos3w + 58^3^4- Ccosw + Dsinw (55) a x et 6 X sont donnees par l'eq. 35. _ 3, 2. 1 c 0,. d. 3 ^~ e*? 2 cosh»; sinhrj ~, 3??'e 1 -omn»/ «0 " ~ 4 < ^ ' cosh rj + sinh t? 4 2 cosh?? + sinh rj 3 sinht? f U c0,. er^l 2 d / c 0. d ^.^ ' I e^' ti A 1 sin e " I 8 2 cosh rj + sinh rj [ 2 ^ 3 ds \ c92 2 / + -%" sin "9- ("T- +»?')- ^ "%- cos V ( 3 cosh V - sinh ^) + -^ 2 ' 2 "" ' 2 2cosh»? -sinh»? ' 4 ' 2 cosh17 - sinh r, sinh?; [ tc c o 0 _ /2 e^/ 2 d / c 0 C0Se rf _ /2\ 8 2 cosh T?- sinh r, [ 2 6 ^ ~ 3 ~d7v^~ d7v^c0s T e / ~ ^ [ ^ C0S T ^ + ^(^CO 4) + ^cos <2 219

9 CLAUDE MERCIER Pour obtenir la fonction c 2 (s) on peut utiliser le developpement de JV%= p'. dx 0 dd 0 et comme on obtient Co Ci\ COS tdaa 6 X 2 \ a 5 /eo ~ 4 (56) (da 1 /ds)e 0 signifie qu'il faut prendre la derive* e a 6 0 (et non 0) constant. Remarquons que c 2, contrairement a a 2 et 6 2 est toujours defini meme pour tco = 2&7t. Dans le cas particulier rj=o (d (s) peut alors etre pris nul sans perte de gene*ralite), 7 = 7 = 0, c o = const, les expressions precedentes (55') se simplifient beaucoup A=B = 0 8c Q -W C = (3l2)\i c0 \y - 8c o ~ 3 / 2 D=~ (3/2)/\ia>\ c 0 A/4 = J, 0 /2 c 0 (cos 2c n A _/cos0\2 A 2 ~1~R~/ ~ 16 ~ COMMENTAIRES SUB LES RESXJLTATS OBTENUS DANS L'ETIJDE DES EQUILIBRES 1 Le resultat le plus interessant est l'apparition de singularites (manque de confinement) pour des valeurs particulieres de Tangle de transformation rotationnelle. R, T, A, c 0, Y\, d, 7 et H. Rappelons que les fonctions c o (s), rj(s) et d(s) sont lie*es a la forme des surfaces magne"tiques au voisinage de l'axe magnetique. On avuen effet que y>=const s'interprete comme liquation d'une surface magnetique dont les sections par les plans normaux a F sont au premier ordre significatif des ellipses. Le rapport du grand axe au petit axe de ces ellipses est e*gal a exp rj(s) et leur surface varie comme l/c o (s). (Le cas particulier ^ = 0 qui represente des cercles est particulierement interessant.) La rotation de ces ellipses en fonction de 5 est caracte*- risee par la fonction d(s) 7 et precisent les sections a l'ordre sup6rieur. Quant a la constante A, elle est liee a la densite de courant sur l'axe (eq. 34). 2 Examinons la condition de non e*quilibre. Elle ne depend que de 1/T, X, d' et rj. Les fonctions c o {s) et cr(s) n'interviennent pas explicitement. La forme de ico permet de caracte"riser trois types simples d'equilibre, les autres n'etant que des combinaisons de ces trois types fondamentaux. (a) l/7 T =0; d'=0. (L'axe magne'tique est plan et il n'y a pas de rotation des ellipses.) C'est un cas simple du type "pinch". Quand le courant varie (toutes choses 6gales par ailleurs) et que Ton approche la valeur L Jso ds (57) on doit s'attendre a de graves perturbations dans la suite des e"tats de quasi equilibre pris par le plasma. En particulier on constate un manque d'equilibre pour Jso=O, ce qui correspond a la proprie"te bien connue de l'absence de confinement sans courant en syme*trie de revolution. Remarquons aussi que si l'^quilibre est voisin de ic (ip)/2v:= const, le cas k= 1 correspond formellement a la limite de Kruskal. Ce premier cas ne,permet done pas d'avoir une configuration sans courant. Les deux autres types d'6quilibre le permettent. (b) A=0; d'(s)=o; rj=o. On agit sur la forme du plasma comme dans le cas des stellarators en forme de huit. Alors (k 6tant un nombre entier) a moins que certaines relations ne soient v^rifiees. L'interpretation de ces singularites a ete donnee dans la r6f. 3 ainsi que les formules permettant de calculer les equilibres jusqu'a un certain ordre quand on se donne une surface magn6tique S o. On doit remarquer que ces singularity's apparaissent a la fois dans les deux systemes d'^quations 43 et 53. Aussi lorsque p' Q =0 (champ sans force au voisinage de l'axe magnetique) bien que le systeme 43 n'ait dans ce cas nulle singularity pour ico=2kiz (la solution pe"riodique 6tant toujours x=y=0) le systeme 53 peut entrainer encore des domaines de non 6quilibre dans l'espace des fonctions (ou constantes) On aura des equilibres possibles si (c) A=0; l/2 T =0. Comme at'(5) est une fonction pe"riodique de s) 1 /* + d') dsj cosh rj (58) d(s) II est necessaire dans ce cas que rj 4= 0 (sinon tco=2a;7r) pour avoir un equilibre possible, ce qui etait a pr^voir. gi, Pour realiser un 7^4=0 et un ^'(s)=t=o, on peut agir avec des enroulements heh'colidaux comme dans les stellarators droits. 220

10 EQUILIBRE ET STABILITE APPLICATION A TTNE CLASSE PARTICTJLIERE D'EQTJTLIBRE Dans la re"f. 3 on a de"ja examine" tant du point de vue e"quilibre que du point de vue stabilite une classe d'e*quilibreou 1/T=O, c o (s) = const, rj O mais ou R(s) est variable. Nous ferons maintenant une courte e"tude des 6quilibres caracte'rise's par 1 / T =0, SI =const, rj=const, c o =const, d(s) = 21cs]R, h e"tant un nombre entier. C'est un cas simple d'un dquilibre du type stellarator droit avec <co 2TT 1 cosh t] La solution des 6qs. 43 s'e"crit c 0 3 / 2 x = 4p 0 ' a sin d\2 c 0 3 / 2 y = 4p 0 ' b cos d\2 a = 6 = Si 2 R 2 - c9i 2 R 2 - k 2 Nous choisirons pour lr et 7 les formes suivantes c 0 3 / 2 "r = r 0 cosd/2 car on pourra voir que seules ces harmoniques de lr et H jouent dans la stability telle que nous l'6tudierons par la suite. Dans ces conditions, la solution des eqs. 53 s'e*crit d C0S ~2 Posons 2C n 3 / 2 12 ' 2 O 3 0 / 2 \ et F 2 s'6crivent alors 1 SiR-k Alors les formules 23 de la r6f. 3 permettent le calcul des coordonne'es polaires r et a de l'axe magn6- tique dans le systeme n, b 116 a l'axe central. Ici l'axe central est un cercle de rayon R et l'axe magne"- tique est alors determine par re ia = «co ) [(Vu cosh rj/2 + F 12 sinh r\\2 - (F 12 cosh r\\2 + V 1X sinh r\\2) e- id ] Ainsi l'axe magn6tique tourne r^gulierement 2 k fois sur un tore de petit rayon 6gal a (^o/ c o 1/2 ko ) (F 12 cosh r)la + F n sinh rj/2) et le grand rayon e*gal a l l Examinons deux cas particuliers: (a) Plagons-nous pres de la singularity correspondante a tco/27c = + k et supposons rj petit X etant choisi de l'ordre de if ou plus petit. Dans ces conditions, si p ' 4= 0 17 l*co Po R 2c 3 0 / 2 ou c/l= 3/2 v _ C V% ~ 2 (2cosh?; sinhr?) X (5 cosh r\ + sinh?;) H 2(2cosh, +S inh,) 4 h r 0 e~ ^ sinhw (1 tanh rf) Ac X (5 cosh rj sinh 7^) + - (1 +tanh?y) II est visible sur ces expressions que les seules singularit6s qui subsistent sont a I CO I2TZ = ±h ce qui s'e"crit (59) Remarquons qu'en syme'trie de revolution (k=0) il ne reste plus qu'une singularity pour Jso=O et que si Ton veut un e"quilibre avec A=0, il faut 97=4=0. Si rj est petit les deux singularity se placent a et re ia = 2 2c0 {SIR- k) z Si p o '<O (maximum de pression sur l'axe magne"- tique): a=7c; l'axe magn^tique reste a cet ordre un cercle dont le rayon augmente quand on s'approche de tco/2 n = k. L'6cart a l'axe central s'ecrit T a &?? 2 /2) 2 (60) ou a est le rayon moyen du plasma et (5 pa (2p/2? 2 ) 0 Pour A=0 (courant nul) et r/a=1/2 par exemple on obtient un /? critique au dela duquel il n'y a pas d'6quilibre possible Cette expression est analogue (a un facteur 2 pres) a la formule 4-2-2b de la r6f. 5. Si Ton prend /5</>' c il faut conserver d'autres termes dans F u et F 12 qui peuvent devenir du meme ordre. (b) Placons-nous maintenant pres de la singularity correspondant a icol2n = k. Supposons encore r\ petit et les termes en r 0 et s 0 d'ordre rj. Alors si p 0 ' est ne"gatif, on trouve 221

11 CLAUDE MERCIER a 2 8ny{x+2k) 2 PYT1 ou Ton a pose y=a/l et x=iu/4. 4ki:rS Si on compare avec les resultats obtenus dans ref. 3 pour un axe magnetique defini par B{8). ~ 2k nous constatons la similitude des resultats, r\\2 jouant le role de /uk. Si /> est tres petit, il est necessaire de calculer des termes supplementaires; en gardant les deux premiers termes la formule donnant le deplacement de l'axe magnetique s'e"crit 3 Stabilite des equilibres MHD (61) Comme nous l'avons indique dans l'introduction, nous ne calculerons que la stabilite vis-a-vis des deplacements localises. Nous allons done calculer le critere 13 sur les surfaces magnetiques S 0 (y) 0 '= e 0 ) voisines de l'axe magnetique: il faut done trouver le terme de plus bas degr6 en e 0. Les surfaces S sont definies par ou avec e = (62) Q = f ei/a + g e + h e 3 ' De l'eq. 24g on tire en utilisant l'eq. 49 o 2n Comme on obtient o 2n Z 3 cos0 c n dd n (65) _ ( ^_ L fonction periodique i) In n 2n d 2 v\ /2TT \2 r r,,. f -. 7T = dsd0 -,dv 2 /o \ i h J J L V 2 ' c 2 etant donne par l'eq ] (66) A l'aide des formules 41 et de n=vipl\vip\, on trouve ou Comme (VGxn) e = p 0 (VCrX n) 0 o =- V>2 =r- (V(IXl, = f l 1 ' - ^ (67) = dv/dip = 0 Ainsi On en tire immediatement Comme V>2 ^ V>2 (63) J (64) j3 0 /2 f r_d0ds_ J_ f f ~ 2 J J c 0 2 y J J d 0 )* \ cd 0 ) II est facile de voir que le terme carre dans le critere 13 est d'ordre zero en e 0 en constatant que le terme en 1/eo 1 / 2 de fb {VG X n) d /(Vv>) 2 est nul par symetrie. s Comme B 2 /(V^) 3 d# est positif et d'ordre l/e 0, le cris tere de stabilite s'ecrit au voisinage de l'axe 2Z,cos0 Co d 2 Wo. i V2 2 Toutes les fonctions qui interviennent dans cette expression ont 6te calculees dans la premiere partie de ce travail. Apres integration sur 6, on obtient 222

12 EQUILIBRE ET STABITLIE sinh 2?? 1 ( Ac 2 cosh?? + sinh r\ \ Si e-nl 2 sin d/2 2 < d s -^- (cosh rj sinh rj cos d) cosh»?/2 sinh?? x 2 r 2 *"r" i i _ cos d/2 + F 2 e"/ 2 sin d/2) -J- 4 e 3^/ 2 (sinh M«' + -T- (cosh w)?i' 7)) 12 < ^-('re-i cosd/2 + 7e^ sin d12) sinh. ri\ >0 J cr J ou Ton a pose X = 7 = (68) Remarquons qu'alors d'apres l'eq. 43, Z=X-\-iY verifie l'equation Z' - i Si Z = cos d/2 + i e"/ 2 sin d/2)/c^ (69) On peut e"crire ce critere sous une autre forme en utilisant l'identite suivante 4f- i A x ( s ) e ~" /2 cos d/2 + A 2 (s) e^/ 2 sin d/2] ou = ( ds(x 1 +Y 2 ) On obtient 1 r da + 3 [^cosh^ -? -si -\- (h -^-(cosh.7] sinh rj cos d)ds C d.8 ~ ~< 3 (p = (r e"^ cos d\2 + 5*6^ sin d/2) sinh r\ - Re j> Z ds\ > 0 (70) ou 1 2 cosh?? sinh?? (c 0 ' -c o rj) COS(Z/2 sinh?? / c 0 e^ COS "2" j 4 Remarques a. Seule la premiere integrate de l'eq. 68 ne contient pas 1/cft; la seconde et la troisieme sont regulieres pour ico=2kv:; au contraire la derniere int6grale est en general infinie pour ces valeurs. Dans le cas interessant ou r) 0, ce critere passe de -oo a -f oo lorsque tco traverse la valeur 2Jcn (sauf cas particulier), ce qui indique un changement de stabilite et une plage stable (vis-a-vis des deplacements envisages) debutant a ces valeurs de Tangle de transformation rotationnelle sur l'axe magnetique. b. Comme il a ete montre dans la re"f. 3, lorsque <co s'approche de 2kn, l'axe magnetique derive vers le bord du plasma, ce qui limite, pour une surface exterieure donnee, les equilibres analytiques cherch^s: en effet il existe une region de ico autour de t c o = 2A;7r a laquelle ne correspond aucun equilibre analjrtique possible. On peut en avoir un ordre de grandeur en ecrivant a l'aide des formules du rapport [3] que l'axe magnetique s'est peu eloigne de l'axe central. Aussi nous n'aurons en fait une plage de stabilite au voisinage de ico=2k n que si cette plage est plus grande que la region de non equilibre. Des exemples ont 6t6 donnas dans la ref. 3. C. p 0 ' est en facteur du critere. Aussi dans le cas 2? 0 '=0 serait-il necessaire de pousser a l'ordre suivant. Notons a ce propos que nous avons vu qu'a l'6quihbre, meme avec >o' 0, il restait encore des singularites dans la suite des e"quilibres pour ico=2kn. Si Ton change le signe de p 0 ', le critere change de signe a un terme pres negatif en 2? 0 ' 2 qui est en general petit (nul si 77=0), c'est-a-dire que pratiquement les regions stables et instables s'inversent quand la pression sur l'axe magnetique est maximum ou minimum, toutes choses egales par ailleurs. d. Dans ce critere il intervient les termes 7 et 7 qui donnent les corrections a la forme euiptique des surfaces magnetiques. Ainsi l'influence des termes du troisieme ordre dans l'equilibre joue-t-il au premier ordre significatif dans la stability. Cependant il faut remarquer que cette dependance est lie"e a l'existence d'une forme elliptique des surfaces magn^tiques: si 77 =0, il n'y a plus d'effet des termes 7 et 7. CAS PARTICTTLIERS (Re"f. 9) 4 e~ 3 "/ 2 Tsinh^ r'+ y (cosh rj) rj' r 1 (71) =0. Ce serait le cas d'un axe magn6tique droit avec identification des extremity du plasma de longueur L. Le critere de vient 223

13 CLAUDE MERCIER y 1 2t]' sinh rj \2 (72) II est visible que la stabilite ne peut etre obtenue pour p o '<O qu'avec 77'="= 0 et sinh 17>3 1 / 2 c'est-adire excentricite tres importante et variable. De plus la rotation de ces ellipses n'est pas favorable. Cette condition ne"cessaire sinh r\ > VS s'e"crit aussi 2 r)=q. Ce cas est un des plus interessants. Le critere s'e"crit ou < 73 > Si de plus c o =const (les surfaces magnetiques sont des cercles de rayon constant au voisinage de l'axe magne'tique), on trouve 1 exp -imk 0 da^ s + L (74) d -T* Voir r6f. 3, formule 24 et rex 6. II est commode de representer qualitativement ces re"sultats dans un graphique avec en abscisse et en ordonne"e. X = Jso L/4:TZ Envisageons les families d'equilibres obtenus en variant ces deux parametres X et Y seulement, toutes choses e"gales par ailleurs. Dans ce graphique, les droites paralleles a la premiere bissectrice representent des e'quilibres a tco= constante. Les droites particulieres X Y=h ou k est un entier ne correspondent pas en general a des e'quilibres: elles sont des limites de stability. Les autres Bso Fig. 2 Schema des domaines de stabilite* (»7=0). limites de stabilite dependent d'autres parametres que J e t 7 mais ont approximativement les formes indique"es sur la fig. 2. On a hachure* les r6gions stables lorsque p Q ' <0. Remarquons que si l'axe n'est pas plan (r ~T~^ ^ ^cas d' un stellarator en forme dehuit sans courants helicoidaux), il y aura des instability pour des densites de courant faibles. D'une maniere gene"rale pour un (p ds/t donne", on trouve des domaines de stability successifs possibles. Dans le cas ou l'axe magne'tique est plan, une e"tude de"taillee a ete faite dans la re"f. 3. Voir aussi r6f. 7 et ref. 8. Dans ce cas Y=0. Si en plus nous nous placons en syme'trie de revolution, le critere devient tres simple 1 + (75) Si VQ"< (maximum de pression sur l'axe magne'- tique) la stability est obtenue pour car tco 2TC V' -RJso Dans ce cas sur la fig. 2 les points A et B sont confondus et BG=DE=... =0. II ne reste qu'une plage de stability au voisinage des densites faibles dont la limite correspond formellement avec la limite de Kruskal. Pour les cas a rayon variable R (s), on a montre" [3] que la plage de stability debutante a c 0 l2n=k e"tait de l'ordre du carre du &-eme coefficient de Fourier de 3 1/T=O, cr = const, r\ = const, c Q =const, d(s) = 2ks/R. C'est la classe des e'quilibres envisages pre'ce'- demment dans ce travail. Les e"qs. 71 deviennent 224

14 EQUILIBRE ET STABILITE 1 2 cosh t] sinh r\ R 2 <co + - Si -%- sinh 77 e»/ 2 - B 1 2 cosh»? + sinh r\ cosh»?/2 -~-r o e~ Si} I 2 sinh. rj 2\i c o\po'be r H' i sinh 2 r)l2 cosh»?/2 On obtient dans ce cas le critere suivant j^ P v o 4.RA/4+2A; \* 5 c 0 Po'l < 0 On supposera r 0 s 0 n^ghgeable. D'apres l'6tude de l'e"quilibre on peut voir que, si P est suffisamment petit pour qu'il y ait 6quilibre, le terme en \p 0 ' sera ne"gligeable. On peut alors 6crire ce critere: 4 ^ e ~" /2 sinh ^+ 4 4" sinh ^ Les constantes a, b, r 0, s 0, ont e'te' de"finies dans I'e'tude de l'^quilibre. Les formes particulieres choisies pour 7 et 7 sont justifies car comme on le voit sur les eqs. 70 et 71, 7 et 7 n'interviennent que sous la forme (p 7 (cos d/2) dsetd>7 (sin d/2) ds integrates qui ne sont diffe'rentes de ze"ro que pour les expressions de 7 et 7 choisies. Le critere s'e'crit 16 cosh TJ W cosh r) 3 sinh?? 2c f 2 c n R Examinons encore les deux cas particuliers d6ja etudies a propos des 6quilibres: a. tco/2 7i voisin de k. Dans ce cas (77 =4= 0) le terme dominant quand tco/2tc est tres voisin de k est le terme en p 0 ' 2 toujours n^gatif. Done le voisinage imme'- diat de la singularity est instable. Pour simplifier, supposons r\ petit et posons RSi k de l'ordre de rf done A de l'ordre de if ou plus petit. Le critere s'e'crit alors R* (2*)',2 (5/4) (2 fe) <0 x + 2k qui montre encore en comparant avec la formule 30 de la ref. 3 que pour la stabilit6?y/2 joue pratiquement le role de [ik- Ce r^sultat montre la relation etroite qui existe entre la courbure de l'axe magn6tique et I'excentricit6 des surfaces niagne'tiques tournant pres de cet axe: on peut faire appel a ces deux types de configuration pour cre"er des zones de stabilite au voisinage de Une partie de ce travail a 6te effectuee avec l'aide de M. Cotsaftis [6]. Cette collaboration n'ayant pu se prolonger je tiens a le remercier particulierement pour son efficace participation au demarrage de ce travail. Annexe NOUVELLE EXPRESSION DU CRITERE LOCAL GENERAL Dans la ref. 2 le critere final a et6 ecrit sous la forme suivante (formule 53): -14 grady l X ds -r Po 3k ^ Rkrj(r Q >0 Cherchons la condition de stabilite pour A==0 (densit6 de courant nulle sur l'axe magnetique). On prend A ^ J 2R(r 0 +s 0 ) 2 a 2 k* tj 2 T)C 0 Si on neglige les termes du troisieme ordre r 0 et s 0, on obtient un js c pour la stabilit6 Done le systeme sans courant pourra exister et sera stable au voisinage de l'axe magnetique si a la fois f IB b. icofin voisin de k. Supposons rj petit et p 0 ' <0. On voit facilement qu'il ne peut y avoir stabilite que si RSi + k est de l'ordre de rf. s gradv 3 d n 6tant normal a la surface S: n=vipl\vip\. En utilisant l'identite 2(Jxn)(BVn) = J 2 +(Jxn)Vx (nxb) (J X n) (B x V X n) + (J x n) B V on obtient apres quelques transformations 2(Jxn)(BVn) W 2 En integrant sur S on trouvera s f v n.ds = d*v CT W. n -Vy ds d I t \ I I. T7 * I I J V> Vy dy \2n ) dp dtp v dtp Vy 225

15 CLAUDE MERCIER Ce qui permet d'ecrire 2 r (J x n) (B V n) ds _ f J 1 Vy! ~J IVyl 2 \V^\ s S d dp d 2 F dy \ 2TT / dy dy dy 2 En utilisant l'eq. 12 on obtient p d 2 F dy dtp 2 dy I 2TC / dy \ 2TT j dy dy' 2 d / i \ df dy \ 2 JT / dy' Introduisons alors la quantity 0 telle que et reportons ces resultats dans C, on obtient la forme suivante pour le critere ds Comme 0r= df dy dy (ou G est doublement periodique) on notera que les lignes de force du champ solenoiidal Q sont de la classe C lo. De plus Q est identiquement nul si Vp=0. References 1. C. MERCIER, Conferences sur la Magnetohydrodynamique, Institut National des Sciences et Techniques Nucleaires publie'es par le Centre d'etudes Nucleaires de Saclay, B.P. No. 6 Gif sur Yvette, et Proceedings of the International School of Physics "Enrico Fermi" Course XXV (1962). 2. C. MERCIER, Fusion NucUaire, Supplement 1962, Partie 2, C. MERCIER, Fusion NucUaire 3 (1963) C. MERCIER, Fusion NucUaire 1 (I960) Project Matterhorn report NYO 7899 (1957). 6. C. MERCIER, M. COTSAJTTIS, G. E. Acad. Sci. (Paris) Tome 252, No. 15 (1961) D. VOSLAMER, Rapport interne, Euratom-CEA-FC- 196 (1963). 8. C. MERCIER, H. TASSO, Rapport CEA 2319 (1963). 9. C. MERCIER. Culham Laboratory Study Group on Plasma Instabilities. Harwell Septembre M. N. ROSENBLUTH, C. L. LONGMIRE, Ann. Phys. (New York) 1 (1957) 120. (Manuscrit recu le 20 avril 1964.) 226

16 H C L E A R FUSION Ms 133 (TT-55) v IAEA, Karntner Ring 11, Vienna I, Austria ENGLISH TRANSLATION of the article in NUCLEAR FUSION 4 (1964) 213 (The following English version is provided in text'only, with "blanks where symbols and equations appear in the original. Thus it is to be used "beside the original from which the reader can get the missing elements.) EQUILIBRIUM AND STABILITY OF A TOROIDAL MAGNETOHTDRODYNAMIC SYSTEM IN THE NEIGHBOURHOOD OF A MAGNETIC AXIS C. Mercier Groupe de Recherches de 1'association Euratom-CEA sur la Fusion, Centre d f Etudes Nucleaires de Fontenay-aux-Roses 5 Seine, France Abstract In the first part of this work the most general toroidal equilibria are studied for regions close to a magnetic axis, that characteristic line in toroidal topology. For this purpose a tri-orthogonal system of co-ordinates related to the magnetic axis is used, the axis itself being defined by the intrinsic co-ordinates R(s) and T(s). The results of the equilibrium calculations show that equilibrium is in general no longer possible, when ^Q, the rotational transform angle on the magnetic axis, approaches an integral number of times 2 7. Expansions containing terms up to the third order are given for physical quantities at the equilibria. A classification of toroidal equilibria is deduced from the properties and some samples are treated. On the second part, the stability of these equilibria is studied for localized displacements. The results indicate regions of stability for configurations characterized by ^CQ / j} ^/(. A simple example of the plane stellarator is treated and equilibrium and stability conditions obtained which are characterized by critical values of ft for each condition. Other examples showing explicitly the effect of curvature of the magnetic axis are treated in reference 3, A part of this work was carried out with the help of Monsieur COTSAFTIS (Ref.6) but it has not been possible to continue this collaboration. I am particularly indebted to him for his effectual participation in the initial stages of the wcrk,, N (cont! d)

17 Ms 133 (TT-55) Introduction The study of solutions for magnetohydrodynamic equilibria, and their stability 9 has been the object of a large number of papers, which mainly deal with cylindrical geometry. Toroidal topology is in general simply interpreted as requiring that all physical quantities are periodic in a length L. This is the maximum simplification and it allows many specifically toroidal effects to be missed. The case of symmetry of revolution is the simplest example of true toroidal geometry. In spite of its great simplicity compared with the general case, its study is far from complete. In all other toroidal cases the mathematical complexity is great and few general properties have been established up to the present. In this work an effort is made to bring out some interesting properties particularly connected with the toroidal form, by restricting the study of the plasma, to regions close to a particular magnetic line characteristic of the topology, known as the magnetic axis. Among the solu- We first define the class of equilibria to be studied. tions of (i) There exists a particular class of equilibria such that the magnetic lines of force lie on the surfaces of a nested set of tori S, the central torus reducing to a line knwon as the magnetic axis. These tori S are called magnetic surfaces. This is the class of solution that ought to be considered when the second'equation for MHD equilibrium (2) where is to be satisfied, since the magnetic lines must then lie on surface surface of constant pressure. (Grad p is assumed non-zero) Let us recall a number of general results? a) A solution of <~Y>*B = 0 can always be written locally and the element of flux (3) (cont'd)

18

19 - 4 - Ms 133 (TT-55) These different functions are related for example "by the equation (12) e) The study of localized displacements has made it possible to find a necessary criterion for stability (necessary and sufficient for these localized displacements) which is already very severe, and which leads to the conclusion that a large number of MHD equilibria are unstable. It is relevant to note that the localized displacements ar only limited in directions perpendicular to the magnetic surfaces and consequently preserve the essential characteristics of the toroidal topology. The criterion will be written in the following form which is more convenient for calculation, and more easily interpreted than the expression given in formula 53 (ref.2)«x \ with (13) See appendix for transformation from one form to the other. This expression shows the following characteristicss The first part of the criterion, which is a squared term, becomes negligible in comparison with the second, close to the magnetic axis. Thus the expression (H) is a necessary criterion throughout the plasma and also sufficient in the neighbourhood of the magnetic axis. As one departs from the axis the squared term related to the shear, becomes important. This result partly explains the fact that for many simple configurations, stability calculation for these localized perturbations have shown that the neighbourhood of the magnetic axis is the most difficult to stabilize. Finally we have observed that if grad p = 0, grad GX n = 0» For the low pressure case, these terms can be neglected and the criterion given (cont'd)

20 Ms 133 in equ. 14 becomes simply -* ~ (TT-55) (14') fihile &qu. 13 becomes (13') On a closed magnetic line performing k large p4c/p 9 we see the close analogy between this stability criterion (^qu ) and the criterion in ref. 10 Having recalled these general properties, the present work will be concerned with the study of the equilibria and their stability (at least for localized displacements) 5 in the neighbourhood of a magnetic axis. The interesting features of the expansions which follow,, arise entirely from the following factst a) The magnetic axis is a characteristic line in toroidal configurations. The results obtained in these expansions, as much for equilibrium as stability, are very interesting for the interpretation of the topological properties of plasmas. 3j b) The neighbourhood of the magnetic axis is often the most difficult to stabilize. System of intrinsic co-ordinates The magnetic axis /will be defined by its intrinsic co-ordinates R (s) and T (s), the radii of curvature and torsion expressed as functions of the curvilinear abscissa s o These two functions are sufficient to determine a twisted curve, apart from a displacement. They are periodic functions, with period equal to L, the length of the magnetic axis. A point in space P (see fig.l) is represented by the coordinates #, Q_, s (s is the curvilinear abscissa of the point of intersection of//and the normal plane through P5 o^and 0 n are the polar coordinates in this plane, 0 being defined by 0 = 0 + {chjtfi) where 0 is the angle between n and MP). Q The system thus defined is tri-orthogonal, with (15) All physical quantities must be doubly periodic, with period 2 77 in 0 and period L in s. (Cont'd)