Variables j.. p. Xij

Transcription

1 L alyse e Composates Prcpales (CP) O possède u tableau rectaulare de mesure dot les coloes sot des varables quattatves (mesuratos, taux, statos clmatques) et dot les les représetet des dvdus statstques (utés élémetares telles que des êtres humas, des pays, des aées). Varables... j.. p Idvdus. j :Tableau de doées j : Valeur de la ème observato pour la jème varable. : ème observato du tableau.j : jème varable du tableau :effectf des dvdus p:ombre de varables Objectfs : extrare l essetel de l formato coteue das le tableau de doées et d e fourr ue représetato se prêtat plus asémet à l terprétato. Pas d hypothèses a pror.

2 L alyse e Composates Prcpales (CP) O peut terpréter éométrquemet les les et les coloes du tableau par des pots das deux espaces dfférets : l espace des varables et l espace des dvdus. L espace des dvdus Les les peuvet être cosdérées comme pots de l espace des dvdus à p dmesos. Deux pots sot très proches s les p coordoées de ces deux pots sot très proches (mêmes valeurs pour les dfféretes varables). L espace des varables Les p coloes peuvet être cosdérées comme p pots das u espace à dmesos. Cet espace est appelé l espace des varables. S les valeurs prses par deux varables sot très voses pour l esemble des dvdus, ces varables serot très proches (ce qu peut sfer que les varables mesuret la même chose ou ecore qu elles sot lées par ue relato partculère).

3 L alyse e Composates Prcpales (CP) L espace des dvdus L aalyse du uae de pot utlse la oto fodametale de dstace. O mut l espace des dvdus de la dstace eucldee classque. d²(.,. ) p ( j j ) j 2

4 L espace des dvdus L aalyse du uae de pot utlse la oto fodametale de dstace. O mut l espace des dvdus de la dstace eucldee classque. L alyse e Composates Prcpales (CP) ( ) p j j j d 2.. ), ²( O dése par le cetre de ravté du uae :

5 L espace des dvdus L aalyse du uae de pot utlse la oto fodametale de dstace. O mut l espace des dvdus de la dstace eucldee classque. L alyse e Composates Prcpales (CP) ( ) p j j j d 2.. ), ²( O dése par le cetre de ravté du uae : ( ) d I, ² L erte totale du uae s écrt :

6 L alyse e Composates Prcpales (CP) L espace des dvdus O recherche des sous-espaces représetat au meux ce uae de pot e respectat 2 crtères : le crtère de proxmté et la fdélté des dstaces. C est le sous-espace passat par qu optmse ces deux crtères Sot H le sous-espace passat par, o dstue deux types d erte : H

7 L alyse e Composates Prcpales (CP) L espace des dvdus O recherche des sous-espaces représetat au meux ce uae de pot e respectat 2 crtères : le crtère de proxmté et la fdélté des dstaces. C est le sous-espace passat par qu optmse ces deux crtères Sot H le sous-espace passat par, o dstue deux types d erte : Ierte explquée par H I exp ( H ) d (, ˆ ) Ierte résduelle autour de H I rés ( H ) d ², ² ( ˆ ) H

8 L alyse e Composates Prcpales (CP) L espace des dvdus O recherche des sous-espaces représetat au meux ce uae de pot e respectat 2 crtères : le crtère de proxmté et la fdélté des dstaces. C est le sous-espace passat par qu optmse ces deux crtères Sot H le sous-espace passat par, o dstue deux types d erte : Ierte explquée par H I exp ( H ) d (, ˆ ) Ierte résduelle autour de H I rés ( H ) d ², ² ( ˆ ) Ierte totale erte explquée + erte résduelle H

9 L alyse e Composates Prcpales (CP) L espace des varables Chaemet d ore : 0 (cetrae des varables) La recherche des sous-espaces Hk se fat de proche e proche pour k à p : La détermato de H revet à chercher ue drote passat par l ore qu s ajuste le meux au uae de pots-dvdus (maxmsat l erte explquée). H Pour trouver cette drote, l faut détermer u vecteur utare u porté par cette drote avec d(0,u). u 0

10 L alyse e Composates Prcpales (CP) L espace des varables Chaemet d ore : 0 (cetrae des varables) La recherche des sous-espaces Hk se fat de proche e proche pour k à p : Ue fos u détermé, o peut démotrer que le sous-espace H2 s ajustat au meux au uae de pots cotet écessaremet u. Pour détermer le sous-espace H2, o recherche u2 tel que u2 perpedculare à u et tel que la drote portée par u2, passat par 0, at ue erte maxmale. u u2 0 H O peut démotrer que le sous-espace H3 cotet écessaremet u et u2. etc H2

11 L alyse e Composates Prcpales (CP) L espace des varables O peut démotrer que les vecteurs u,u2,,up peuvet s obter à partr de la matrce d erte C (covarace ou corrélato) etre les varables du tableau. Cette matrce est telle qu l exste p vecteurs et p costates λ qu vérfet l équato matrcelle suvate : C.v λ H Les p vecteurs v sot les vecteurs propres et les costates assocées sot les valeurs propres. Ces vecteurs sot orthooaux deux à deux et utares (de loueur éale à ). Ils peuvet être raées par ordre décrossat des valeurs propres assocées : le premer vecteur propre v est assocé à la valeur propre la plus élevé λ. Ces vecteur sot les u u2 0 H2

12 L alyse e Composates Prcpales (CP) L espace des varables Les drotes eedrées par ces vecteurs propres sot appelées respectvemet le er, 2ème, et pème axe prcpal d erte du uae. L erte explquée par H, le premer axe prcpal eedré par v est éale à : I(H) λ L erte explqué par H2, le pla eedré par v et v2 est éale à : I(H2) λ+ λ2 u u2 0 H Les valeurs propres de C représetet doc les parts d erte explquée par chacu des axes prcpaux du uae des dvdus. H2

13 L alyse e Composates Prcpales (CP) La CP est la sére temporelle sythétque de l évoluto de ce mode de varablté La composate prcpale Combaso léare des varables tales C est la projecto des pots-dvdus sur l axe prcpal. Il y a p CP et l formato qu elle résume (λ) décrot de la ère à la pème. La projecto des varables Das le cas d ue CP ormée, la coordoée d ue varable sur u axe factorel est la corrélato etre cette varable et la CP. Le cas d ue CP spatale S les varables sot des statos de mesures et les dvdus le temps : La projecto des varables est ue carte de corrélato (covarace) décrvat u mode de varablté qu structuret les champ taux.