Transformée de Fourier

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1 Trnsormé d Fourir. L produit d convolution Déinition : Soint x(t) t y(t) dux onctions déinis sur t à vlurs dns, on ppll produit d convolution d x(t) pr y(t), l onction, si ll xist déini pr (x * y)(t) x(t )y( )d. Exmpl : clculr l produit d convolution d y( ) = si < t y( ) = pour pr x( ) = si ou > t x( ) = pour. L signl x(t ) st l signl précédnt trnslté d t t symétriqu pr rpport à l droit d éqution t. r cs : t t x(t )y( ) = t (x*y)(t) = cs : t t t- t (x * y)(t) x(t )y( )d t d t t 3 cs : t t t t (x * y)(t) x(t )y( )d d t t t t Rprésnttion d (x*y)(t) :

2 L produit d convolution ds dux onctions On montr isémnt, à prtir d l déinition qu si l produit d convolution xist x*y = y*x ; x*(y*z) = (x*y)*z ; x*(y + z) = x*y + x*z.. Ds signux prticulirs L signl xponntil : il st déini pr x(t) = pour t < t t x(t) = c t pour t, c. L'échlon unité : il st déini pr (t) = pour t < t (t) = pour t. L'impulsion d Dirc : l'impulsion d Dirc n'st ps un onction à proprmnt prlr mis un «distribution», nsmbl plus vst qu clui ds onctions. On put déinir physiqumnt un Dirc comm l limit lorsqu tnd vrs d'un signl port déini pour > pr (t) = pour t, t (t) = pour t,. On donc pour tout vlur réll d >, S (t)dt. Si mintnnt on it tndr vrs, on obtint un onction «étrng» : l'impulsion d Dirc noté, égl à l'inini n, null prtout illurs t vériint (t)dt. L impulsion d Dirc st n it l dnsité d probbilité d un prticul dont l présnc st crtin à l origin. Rmrqus : L'intégrl n signii rin u sns d l intégrl d Rimnn, puisqu il n y ps d «surc» délimité pr l signl. On déinit (t t ) comm l trnslté d n t. Propriété : Pour tout signl x(t) continu : x(t) (t)dt x() t (t )x( )d x(t). Rmrqu : Cs églités s écrivnt sous l orm synthétiqu : x* = *x = x. «Un idé» d l démonstrtion :

3 x(t) (t)dt lim x(t) (t)dt lim x(t)dt lim x(t ) lim x(t ) x() vc t (théorèm d l moynn) (x * )(t) (t )x( )d lim x * (t) lim x(t ) ( )d lim x(t )d lim x(u)du lim x(t ) lim x(t ) x(t) t t vc t- t t (théorèm d l moynn) 3. Clcul d l trnsormé d Fourir 3. Déinition On not L l nsmbl ds onctions x(t) déinis d vrs, continus pr morcux t vériint : x(t)dt. D mnièr générl on not p * L p l nsmbl ds onctions x(t) déinis d vrs, continus pr morcux t vériint : p x(t) dt. Déinition : (i) Soit x(t) un onction d L,on ppll trnsormé d Fourir d x(t), l onction déini, pour pprtnnt à t à vlurs dns pr : i t F(x)( ) x(t) dt. (ii) On ppll trnsormé d Fourir invrs d x() l onction déini pr : i t F x (t) x( ) d. Exmpl : Soit x(t) déini pr : x(t) = si t T ou t T t x(t) = pour T t T lors x(t) st élémnt d L t : T T i T i T i t i t T i T i T i T i i F x ( ) dt sin T Tsin c( T). L onction sinc(t) (sinus crdinl) st déini pr continuité n pr sinc() =. sin c(x) Soit x(t) un signl rél dmttnt un trnsormé d Fourir, lors : sin x x i t i (x)( ) F(x)( ) x(t) dt x(t)cos i t dt i x(t)sin i t dt F(x)( ). F(x)( ) st l spctr d mplitud t (x)() st l spctr d phs du signl. ( x ) prolongé pr Théorèm d invrsion : Soit st lui-mêm élémnt d x(t) pprtnnt à L t F(x) s trnsormé d Fourir. Si F(x) L lors on prsqu prtout : x(t) F F x. 3

4 Rmrqu : Dns l cs prticulir p = l spc «modélis» ls signux à énrgi ini. L st un spc d Hilbrt t Théorèm d Plnchrl : Soit xist x(t) pprtnnt à L lim x(t) i t dt slon l norm d l spc qudrtiqu) t convrg vrs un onction F x Fourir-Plnchrl, on lors pr clcul réciproqu : lors l limit d l intégrl suivnt L (convrgnc n moynn ll-mêm d crré intégrbl, dit d x(t) lim F x i t d. Propriétés d l trnsormé d Fourir. (i) L trnsormé d Fourir st linéir : Pour tous réls t b t signux x t y : F(x + by) = F(x) + b F(y). (ii) Trnsormé d Fourir t convolution : Pour tous signux x t y : F(x*y) = F(x) F(y). (iii) Trnsormé d Fourir t dérivtion : Pour tout signl x n ois dérivbl : F(x (n) ) = (i ) n F(x). En prticulir : F(x ' ) = (i )F(x). (iv) Théorèm du rtrd : Pour tout signl x t tout rél : ip F x t F x t. (v) Produit pr un xponntill : ipt Pour tout signl x t tout rél : F x t F x t. (vi) Produit pr l tmps : Pour tout signl x : F tx t d(f(x))( ). i d (vii) Chngmnt d'échll : Pour tout signl x t tout rél non nul : F x t F x(t). 3.. Corréltion, rltion d Prsvl t dulité Corréltion, dnsité spctrl d énrgi : Déinition : (i) On ppll onction d'intrcorréltion d dux signux réls x(t) t y(t) l onction : xy ( ) x(t)y(t )dt t onction d'utocorréltion l onction : xx ( ) x(t)x(t )dt. L'utocorréltion prmt d détctr ds régulrités, ds proils répétés dns un signl comm un signl périodiqu prturbé pr bucoup d bruit, ou bin un réqunc ondmntl d'un signl qui n contint ps ctivmnt ctt ondmntl, mis l'impliqu vc plusiurs d ss hrmoniqus.

5 (ii) On ppll dnsité spctrl d énrgi l trnsormé d Fourir d l onction d utocorréltion : i t X ( ) xx (t) dt. Qulqus propriétés immédits : l onction d utocorréltion st pir, n t : xx ( ) x(t)x(t )dt x(u )x(u)du ( ) ; l vlur à l origin ( = ) d l onction d utocorréltion st égl l énrgi du signl : xx () x(t)x(t)dt x(t) dt W ; d'près l déinition du produit d convolution : ( ) x( )* y( ) t ( ) x( )* x( ) ; xy xx ls onctions d intr t d utocorréltion d signux périodiqus d périod T sont églmnt périodiqus d mêm périod. Propriété ondmntl : Pour tout signl x : x() = F(x( ))()). C qui put s xprimr insi : l dnsité spctrl d énrgi d un signl st égl u crré du modul d s trnsormé d Fourir, n t Φ ( ) F( ( ))( ) F(x( )* x( ))( ) F(x( ))( )F(x( ))( ) F(x( ))F(x( )) x F(x( ))( ) xx xx 3.3. Rltion d Prsvl Pour tout signl x à énrgi ini : W x(t) dt F x ( ) d ( )d x Rmrqus : L énrgi totl du signl s clcul soit n intégrnt s distribution tmporll x(t) ² ou s dnsité spctrl : ( ) x F( x(t ))( ) (princip d consrvtion d l énrgi dns l domin tmporl ou spctrl). D l rltion ( ) x F( x(t ))( ) on n déduit qu l dnsité spctrl d énrgi st indépndnt du spctr d phs, donc insnsibl, n vrtu du théorèm du rtrd à tout trnsltion tmporll du signl. L dnsité spctrl st un onction positiv. L onction d utocorréltion st pir pr conséqunt l dnsité spctrl d énrgi st ussi un onction réll pir. Princip d dulité : d près l déinition d l trnsormé d Fourir t d s réciproqu, on obtint l «Princip d dulité» : si F(x) y( ) lors F(y)() x(-). L ppliction du princip d dulité prmt, pr xmpl d démontrr qu : F(x.y) = F(x) * F(y). 5

6 . Trnsormé d Fourir Discrèt - Trnsormé d Fourir Rpid. Trnsormé d Fourir Discrèt (TFD) Si on souhit clculr numériqumnt l trnsormé d Fourir d un signl x(t) on st mné à : discrétisr l signl dns l domin tmporl ; étudir l signl sur un intrvll d longuur ini ; discrétisr l spctr du signl. En pprochnt l intégrl x(t) i t dt pr l méthod ds rctngls d duré T t n limitnt l duré d intégrtion à l intrvll [, (N )T], on obtint : n N i nt F(x)( ) T x nt. n Formultion qui dvint pour ls vlurs d réquncs k : N n N kn i k nt n N i N N k n n F(x)( ) T x nt T x nt. k Ctt pproximtion connu sous l nom d TFD st ssz grossièr t l lgorithm d clcul prticulièrmnt lourd. Il xist cpndnt un lgorithm prormnt pplé FFT (Fst Fourir Trnsorm) ou TFR (Trnsormé d Fourir Rpid) prmttnt un clcul rpid t icc d l TFD. Déinition : on ppll trnsormé d Fourir discrèt d un suit d N trms x, x,..., x N, l suit d N trms X,X,...,X N, déini pr : n N kn i n N N nk k n n N n n X x x W vc WN Rmrqu : En prtiqu, ls N trms x n sont un N-échntillon d un signl nlogiqu, c stà-dir x n = x(nt) où T st l périod d échntillonng, t ls N trms X k un pproximtion,à un ctur multiplicti près, d l trnsormé d Fourir d c si- gnl clculé ux N points d réqunc ntr t. k i N k, vc k ntr t N, c st-à-dir N.. Trnsormé d Fourir Rpid ou Fst Fourir Trnsorm (FFT) L clcul d l trnsormé d Fourir discrèt, prticulièrmnt gourmnd n rssourcs mchins, st rsté pu utilisé jusqu à l découvrt récnt d lgorithms iccs, l plus connu st dû à Cooly t Tucky t dt d 965. L clcul dirct d l TFD sur N = m points rquirt N dditions N multiplictions. L lgorithm d l FFT réduit à Nm l nombr d dditions t à m (m ) l nombr d multiplictions. Pr xmpl pour N = points l FFT impos l clcul d 5 x 9 = 68 multiplictions à l plc d x 6 multiplictions vc un clcul clssiqu d l TFD non optimisé. Sns ntrvr l générlité du clcul, xminons n détil l cs d N = 8 (m = 3). 6

7 N nk N 7 7 nk i N i nk nk k n n N n 8 n n n n n Il ut clculr : X x x W x W x notons un l suit n,,,3 déini pr un xn t vn l suit déini pr v n,,,3 n x n, on obtint pour k,,,3 : nk pk (q )k k n 8 p 8 q 8 n p q X x W u W v W 3 3 pk k qk k k p 8 i k k 8 k p q X u W W v W donc X U W V t (k )n p(k ) (q )(k ) k n 8 p 8 q 8 n p q X x W u W v W 3 3 pk p k qk q k p 8 8 q p q X u W W W W v W W 3 3 pk k qk k p 8 q p q X u W. W ( ) v W. X U W V k k k 8 k Voici sous l orm d tblu l résumé ds clculs précédnts : Princip d l FFT Rst à clculr Uk t Vk, cs suits sont ds FFT sur points qui s rprésntnt pr l mêm schém qu précédmmnt. On réitèr donc l procssus m = 3 ois t on obtint l schém lgorithmiqu complt : Clcul cti d l FFT Ct lgorithm présnt ds motis à croismnt pplé «ppillon» s clculnt insi : b +b -b 7

8 Comm on put l consttr sur l schém précédnt, ls coupls consécutis initiux doivnt êtr choisis u déprt slon un ordr prticulir (,) ; (,6) ; (,5) ; (3,7) in qu ls vlurs clculés d X n n soint ps ntrlcés. Ct ordr prticulir st pplé «rvrs crry» (rtnu invrs) st obtnu n codnt n binir invrs ls vlurs d n, pr xmpl pour N = 8, on obtint : n Cod binir Invrsion d l ordr ds bits Ordr ds vlurs d x n Filtrg - Modultion d mplitud 5.. Un iltr pss bs nlogiqu Considérons l éqution diérntill : y"(t) m y'(t) y(t) x(t), ( m st l ctur d'mortissmnt t l pulstion propr). Ctt éqution diérntill modélis un iltr linéir : u signl x(t) connu (l scond mmbr d l éqution ) on ssoci l solution y(t) d l éqution diérntill. Résoudr c iltr, c st chrchr à xprimr simplmnt y(t) n onction d x(t), pour cl on put utilisr l trnsormé d Lplc, on obtint lors : s² m s s²l(y(t)) m sl(y(t)) L(y(t)) L(x(t)) L(y(t)) L(x(t)) Ou ncor si on not h(t) = T(s) s² m s L (T(s)) (h st l répons impulsionnll). (T st l trnsmittnc) t On obtint : L(y(t)) L(h(t))L(x(t)) t inlmnt : y(t) h(t)*x(t) À l id d ctt drnièr ormul on clcul l répons y(t) d c iltr lorsqu l signl ntré i t st x(t) : 8

9 i (t ) i t i i t y(t) h( ) d h( ) d T(i ) x(t)t(i ). L signl y(t) n sorti st donc un multipl complx du signl x(t) ntré dns l iltr, c st-à-dir qu l signl y(t) st un sinusoïd mpliié d r( ) t déphsé d ( ) pr rpport u signl d'ntré x(t), r( ) t ( ) sont rspctivmnt l modul t l'rgumnt d T(i ) = r( ) i ( ) t constitunt l répons réqu- ntill du iltr. On obtint inlmnt : T(i ) r( ) T(i ) r m² m² i ² m i. On utilis un digrmm smi-logrithmiqu d Bod pour rprésntr r() : B log r( ) log m² lors n utilisnt x comm vribl : B x log x m²x t l dérivé n x = t n Si x m.. Si on not x x x m t, l onction B s écrit ' B x s nnul dux ois x m²x m l onction B st décroissnt sur d à moins l inini. Si m l onction B st croissnt sur, m puis décroissnt sur m, d à moins l inini. Pr déinition l bnd pssnt d c iltr pss bs st l intrvll o, c solution d l éqution B(x) 3 (mortissmnt d moins d 3 db) ou ncor, puisqu log 3, r(x) qui s écrit : x x m 3. x m²x Ctt inéqution s résout simplmnt dns l cs où m n t x x 3 x x 3 t l intrvll solution, bnd pssnt du iltr, st lors l intrvll, ou ncor l intrvll :,, n d utrs trms dns l cs prticulir où m l réqunc d coupur st idntiqu à l réqunc propr. 5.. Un iltr pss bs numériqu Considérons d nouvu l éqution diérntill ssocié à un iltr pss bs : y"(t) m y'(t) y(t) x(t) d trnsmittnc d Lplc : 9

10 T(s) s² m s. Supposons qu l signl soit échntillonné à l réqunc : t posons sous ctt T hypothès : z = st. Un dévloppmnt limité u duxièm ordr d z slon T st st s écrit z= st o T, c dévloppmnt st idntiqu, à l ordr, à clui st st d s T st o T. On obtint st st st z lors l églité suivnt à l ordr z s s t pr substitution d st T z z s T z n z : T(z) (trnsormtion bilinéir) dns l xprssion d T(s), on obtint l trnsmittnc T z z Y(z) T m T T z T m T z X(z) L éqution récurrnt ssocié à ctt trnsmittnc n z prnd lors l orm suivnt : yn yn byn c xn xn x n vc T m T T, m T T b= t m T T T c m T T. Cs ormuls prmttnt d «clculr numériqumnt» l signl y n obtnu n sorti du iltr n onction du signl numérisé x n ntré dns l iltr. Rmrqu : On put justiir géométriqumnt l utilistion d l trnsormtion bilinéir pr l pproximtion d un intégrl pr l méthod ds trpèzs L modultion d mplitud Soit m(t) sin( t) un signl sinusoïdl (l signl modulnt) à trnsmttr pr modultion d mplitud à l id d un portus d réqunc F t d modul. L signl modulé x(t) sin t cos Ft s écrit sous l orm dévloppé suivnt : x(t) cos( Ft) sin( t)cos( Ft) cos( Ft) sin (F )t sin (F )t L spctr du signl modulé comportr donc 3 ris : un ri sur l réqunc portus F t dux ris «scondirs» contnnt l inormtion à trnsmttr ux réquncs F t à F +. Plçons-nous mintnnt u nivu d l récption t d l démodultion, nous disposons à c nivu du signl modulé x(t) duqul on doit xtrir l signl m(t).

11 Considérons l signl : x(t) sin( t) cos Ft t l décomposition d Fourir d : cos( t) cos( nft) n² n n n substitunt ls prmirs trms d c dévloppmnt dns l xprssion d x(t), on obtint : x(t) sin( t) cos( Ft)... sin( t) cos( Ft) 3 3 sin( (F )t) sin( (F )t) L spctr du signl modulé x(t) comport donc un ri n (l composnt continu), un ri sur l réqunc, puis un séri d trois ris à F, F t F + puis... Il suit, pour récupérr l signl modulnt m(t) à un constnt dditiv t multiplictiv près, d iltrr l spctr du signl x(t) pr un iltr pss bs dont l réqunc d coupur st compris ntr t F... Rmrqu : Ctt méthod s générlis à un signl modulnt m(t) qulconqu.

12 On notr désormis ls onctions numériqus d l vribl réll : x(t), y(t),u(t), où t st rél n plc d (x), g(x),h(x) où x st rél. Ctt nottion st dpté u tritmnt du signl qui dépnd n générl du tmps. On bndonn ls xprssions "(x) l onction " pour "l signl x(t) " - Ls signux sont déinis sur un prti d R ou d R +, un signl st dit cusl s'il st déini sur R + t biltérl s'il st déini sur R - un signl st toujours déini sur R (ou un prti d R) mis st à vlur dns R ou C, ls nottions t ls théorèms n sont ps ls mêms dns ls dux cs, il ut toujours précisr l'nsmbl ds vlurs - Attntion : un signl st dit continu s'il st déini sur R (ou un prti d R) t discrt s'il st déini sur N (ou un prti d N). Un signl continu put très bin n ps êtr un onction continu u sns mthémtiqu clssiqu Signl périodiqu : Un signl st périodiqu s'il xist T rél positi vériint : l plus ptit vlur positiv vériint l propriété. t D x(t+t)=x(t), l périod st On ppll pulstion d'un signl périodiqu l rél positi déini pr T On ppll réqunc d'un signl périodiqu l rél positi : Signl impir : T Un signl st impir si son nsmbl d déinition st symétriqu pr rpport à t si:

13 t D x(-t)=-x(t) Notz qu'un signl impir dmt l'origin comm cntr d symétri Signl pir : Un signl st pir si son nsmbl d déinition st symétriqu pr rpport à t si: t D x(-t)=x(t) Notz qu'un signl pir dmt l'x ds ordonnés comm x d symétri Signl trnslté, vnc, rtrd : Soit x(t) un signl, lors y(t)=x(t-) st l signl trnslté d (>) 3

14 x(t) y(t)=x(t-) Rmrqu : y(t)=x(t-) st n vnc pr pport à x(t) y(t)=x(t+) st n rtrd pr rpport à x(t) Signl mpliié, tténué : y(t)=5x(t) 3 x(t)

15 Soit x(t) un signl déini sur un prti d R, l signl mpliié d coicint k st l signl y(t)=kx(t) ou k st un rél positi > Rmrqu : - si <k< l signl st tténué - si k= il rst idntiqu Dilttion, contrction, chngmnt d'échll Soit x(t) un signl déini sur R, l signl dilté d coicint positi st l signl y(t) déini pr y(t)=x(t) Rmrqu : - si << l signl st dilté - si > l signl st contrcté - si = il rst idntiqu 5

16 =,5 = 8 x(t) 8 x(t) y()=x() -8 y()=x() Rdrssmnt d'un signl : Soit x(t) un signl périodiqu (ou non) lors l signl rdrssé doubl ltrnnc st déini pr y(t) x(t) t l signl rdrssé simpl ltrnnc st déini pr z(t)=x(t) si x(t) st positi ou nul t x(t)= si x(t) st négti

17 Trnsormé d Fourir Exrcics Exrcic. ) On considèr l signl x(t) déini pr : x(t)= si t T t x(t)= si t T Détrminr à prtir d l déinition l produit d convolution x(t)*x(t) ) ) En déduir l trnsormé d Fourir du signl : b) Rprésntr grphiqumnt, à prtir ds rprésnttions obtnus sur ls clcultrics, l spctr d mplitud, l spctr d phs t l dnsité spctrl d énrgi d c signl Exrcic. ) On considèr ls signux x(t) t y(t) déinis d l mnièr suivnt : ) Montrr qu x(t) (ou y(t)) st l somm d trois signux élémntirs b) En déduir, n utilisnt ls résultts du I ) ) t l résultt précédnt, ls trnsormés d Fourir d x(t) t d y(t) 7

18 ) Mêm xrcic vc ls signux suivnts : Trnsormé d Fourir Exrcic 3. ) ) Détrminz n utilisnt l ormulir l trnsormé d Fourir du signl rél pir : x(t)= t² b) Rprésntr grphiqumnt, à prtir ds rprésnttions obtnus sur ls clcultrics, l spctr d mplitud, l spctr d phs t l dnsité spctrl d énrgi du signl x(t) ) En déduir, n vous idnt ds propriétés t du résultt du III- ) ls trnsormés d t t t Fourir ds signux suivnts: ; ; ; ; t² t² t t² ( t²) ( t²) 3) Clculz n utilisnt l ormulir t ls propriétés clssiqus, ls trnsormés d Fourir ds signux suivnts: sin t sin t ;sin5t ; cos (t-) ; ;t ; t Exrcic : Clculr ls produits d convolution suivnts : t t (>) t - t bt ² t² * b² t² ; sin * sin ; t bt t b sont ds réls positis * t - Princip du clcul d x(t)*y(t) : vous commncz pr utilisr l propriété : F(x(t)*y(t))=F(x(t)).F(y(t)) n vous idnt du ormulir t ds propriétés clssiqus vous détrminz F(x(t)) t F(y(t)) donc z()= F(x(t)). F(y(t)) vous détrminz pour inir u(t) dns l ormulir vériint F(u(t))=z() L résultt st inlmnt : x(t) * y(t) = u(t) 8

19 Exrcic 5 : On s donn x(t) = -t Γ(t) où (t) st l échlon unité (>) t ls signux y(t)=x(t)+x(-t) z(t)=x(t)-x(-t) (>) ) Rprésntz grphiqumnt ls signux x(t), y(t) t z(t) lorsqu =,5 ) Détrminz, pour >, ls trnsormés d Fourir d x(t), y(t) t z(t) 3) Clculr l onction d utocorréltion xx ) ) Clculr, à prtir d l déinition, l dnsité spctrl d énrgi b) Vériir l ormul : F x ( ) Φ ( ) x x du signl x(t) Exrcic 6 : Montrz qu ls signux x(t) t x(t-t ) ont l mêm onction d utocorréltion... 9