ANNEXE LA TRANSFORMATON DE FOURIER

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1 ANNEXE LA TRANSFORMATON DE FOURIER La transformation de Fourier est une des transformations la plus importante dans la branche de traitement du signal et particulièrement dans la spécialité de traitement d image numérique. Comme nous avons introduit dans Chapitre 3, la transformation de Radon a une relation très intime avec la transformation de Fourier. Donc, dans cette partie, nous voulons présenter en bref la théorie mathématique de transformation de Fourier unidimensionnelle et bidimensionnelle. Les propriétés importantes de cette transformation sont ainsi abordées dans Section. Finalement, on va étudier un exemple de la transformation de Fourier appliquant en calcul de la fonction Rectangle.

2 96 Annexe A. LA TRANSFORMATION DE FOURIER 1. Définition 1.1. Transformation de Fourier unidimensionnelle (Fourier 1D) Soit f(x) une fonction continue où variable x représente la distance. La transformation de Fourier de f(x), dénotation F(u), est définie par + π jxu Fu ( ) f( xe ) dx = (1.1) où u représente la fréquence spatiale dans direction x. Généralement, la valeur de F(u) est un nombre complexe bien que la valeur de fonction f(x) soit un nombre réel. Cette formule présente une relation importante entre la magnitude de la fréquence présentée et sa magnitude de phase dans l espace d une dimension. Figure 1-1 Exemple de la transformation de Fourier 1D de fonction Rectangle. La fonction transformée est appelée la fonction sinus. Pour reconstituer fonction f(x) depuis sa transformation F(u), on peut utiliser la transformation de Fourier inverse comme suit + jux F u e π f ( x) = ( ) du (1.) En vue de pouvoir réaliser cette formule, la fonction F(u) doit satisfaire la condition suivante < Fu ( ) <+ Maintenant, on développe la transformation de Fourier bidimensionnelle (Fourier D) en se basant sur des résultats de la transformation de Fourier unidimensionnelle (Fourier 1D).

3 LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION Transformation de Fourier bidimensionnelle (Fourier D) La transformation de Fourier d une image f(x, y) est définie par j( xu yv) Fuv (, ) = + + π + f( xye, ) dxdy (1.3) où u et v désignent les fréquences spatiales dans directions x et y. À partir de la transformation de Fourier, il est possible de reconstituer exactement l image originale en prenant la transformation de Fourier inverse + + π jux ( + vy) f ( x, y) F( u, v) e dudv = (1.4) Cependant, pour appliquer la transformation de Fourier inverse, l image transformée doit satisfaire la condition suivante : + + f ( x, y ) dxdy < + (1.5) La transformation de Fourier nous fournit une interprétation intéressante car elle décompose l image en composantes fréquentielles définies sur[, + ] [, + ]. L image f(x, y) et sa transformation F(u, v) forment une paire de transformation de Fourier représentée par f ( xy, ) Fuv (, ) (1.6) En général, F(u, v) est une fonction de u et v à valeurs complexes. On peut donc l exprimer sous la forme j Fuv (, ) = Fuv (, ) e θ ( u, v) (1.7) où F(u, v) est appelé module de F(u, v) ou spectre fréquentiel d image f(x, y) et θ ( uv, ) est la phase de F(u, v) ou spectre de phase de F(u, v). Dans le cas particulier où f(x, y) est une fonction à nombres réels, on a Alors, F u v F u v * (, ) = (, ) F( u, v) = F( u, v) (1.8) θ ( u, v) = θ ( u, v) On peut déduire deux propriétés importantes d une image à nombres réels : 1. le spectre fréquentiel de l image est symétrique par rapport à l origine du système de l axe des uv (Fig. 1-). C'est-à-dire la connaissance d un demi-plan est

4 98 Annexe A. LA TRANSFORMATION DE FOURIER suffisante. Ce résultat est satisfaisant car, dans le plan spatial, si on dispose M N variables indépendantes, la transformation de Fourier fournit seulement ( M N)/ variables indépendantes mais ces variables sont complexes.. le spectre de phase de l image est anti-symétrique par rapport à l origine du système de coordonnées uv. Figure 1- Module de l image d une fille après centrage de l origine. Les propriétés de Fourier D.1. Séparabilité En permutant l ordre d intégration dans (1.3), on obtient + + π jxu π jyv Fuv (, ) = f( xye, ) dxe dy (.1) La transformation de Fourier d une image f(x, y) peut être réalisée en deux étapes suivantes : Calcul de la transformation de Fourier unidimensionnelle (Fourier 1D) de f(x, y) pour tout y fixé ; transformation de variable x en variable u Transformation de Fourier unidimensionnelle de la fonction obtenue pour tout u fixé ; transformation de variable y en variable v... Linéarité Soient f1( xy, ) Fuv 1(, ) et f( xy, ) F( uv, ). Alors, pour toutes constantes c 1 et c cf( xy, ) + c f( xy, ) cf( uv, ) + cf( uv, ) (.)

5 LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION Homothétie On suppose que l image f(ax, by) correspond à l image f(x, y) qui est compressée dans l espace par un facteur a dans direction x et par un facteur b dans direction y. Si f ( xy, ) Fuv (, ), alors 1 u v f( ax, by) F, ab a b (.3) On peut conclure qu une compression dans le domaine spatial est égale à une extension dans le domaine fréquentiel et vice-versa..4. Dualité Si f ( xy, ) Fuv (, ), alors F( u, v) f( u, v) (.4).5. Translation spatiale Si f ( xy, ) Fuv (, ), alors f xye Fu u v v π jux ( + vy (, ) ) (, ) = (.5).6. Translation fréquentielle Si f ( xy, ) Fuv (, ), alors f( x x, y y ) = F( u, v) e π j( x u + y v) (.6) 3. La transformation de Fourier discrète 1 Les images numériques sont actuellement sauvegardées dans l ordinateur aux valeurs discrètes en vue d accélérer la vitesse de traitement des données. Donc, on a besoin de reformuler la transformation de Fourier générale pour obtenir la transformation de Fourier discrète. Ce processus peut compléter entièrement en remplaçant l opération d intégrale par l opération de sommation. Dans Fourier 1D, on suppose que la valeur de x incrémente de à N-1. 1 Fu ( ) ( ) N N 1 π jxu / N = f xe (3.1) x= 1 Discrete Fourier Transform (DFT)

6 1 Annexe A. LA TRANSFORMATION DE FOURIER Et l inversion de cette dernière est donnée par N 1 = fx () Fue () π u= jux / N (3.) Similairement, pour l espace de deux dimensions, on applique la formule suivante avec deux constantes N et M. 1 Fuv (, ) (, ) NM N 1M 1 π j( xu/ N+ yv/ M) = f xye (3.3) x= y= et N 1M 1 f( x, y) F( u, v) e π = u= v= j( xu/ N+ yv/ M) (3.4) 4. Illustrations de fonction Rectangle où Considérons image f(x, y) qui est définie par rect [ ab, ] f ( xy, ) = Arect ( xy, ) (4.1) [ ab, ] a b 1 x <, y < ( x, y) = (4.) ailleurs Cette fonction est appelée fonction Rectangle. Image f(x, y) a une valeur A à l intérieur du rectangle de longueur a et de largueur b dont les côtés sont parallèles aux axes Ox et Oy, et zéro en dehors du rectangle (Fig. 4-1). La transformation de Fourier d image f(x, y) est donnée par + a/ + b/ Fuv (, ) = dx dyae a/ b/ π j( xu+ yv) sin( πau) sin( πbv) = Aab πau πbv (4.3) Il s agit du produit de deux sinus cardinaux. Ce résultat aurait pu être obtenu en remarquant que l image f(x, y) est séparable spatialement en utilisant la propriété de séparabilité. Nous avons donc la paire de la transformation de Fourier rect [ ab, ] sin( πau) sin( πbv) ab πau πbv (4.4)

7 LA TRANSFORMATION DE RADON ET SON APPLICATION 11 y b a a x b Figure 4-1 Fonction du Rectangle Figure 4- présente image f(x, y) dans l espace 3D. Le module de sa transformation de Fourier est ainsi représenté à Figure 4-3. Figure 4- Illustration de fonction Rectangle en 3D. La troisième dimension est présentée par la valeur de f(x, y).

8 1 Annexe A. LA TRANSFORMATION DE FOURIER Figure 4-3 Module de la transformation de Fourier correspondant à fonction Rectangle