Calcul différentiel et intégral 2: séries de Fourier et traitement d image

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1 1 CDI 2 Devoir Calcul différentiel et intégral 2: séries de Fourier et traitement d image 1 Phénomène de Gibbs Ce phénomène est observé à la sortie de tout système physique ou numérique mesurant ou calculant une fonction f. Si la fonction f(t (t désignant le temps saute brusquement d une valeur à une autre, alors l expérimentateur observe une série d oscillations avant et après le saut. Cela vient du fait que les appareils de mesure (et les programmes numériques par ordinateur tronquent nécessairement les hautes fréquences. On va mettre en évidence le phénomène de Gibbs suivant : si une fonction f, par ailleurs régulière, présente un saut en un point, alors les sommes partielles S f de sa série de Fourier accentuent ce saut en le multipliant par un facteur qui ne dépend pas de. On considère la fonction f(x = π x 2 définie sur [, 2π[ et étendue à R par 2π-périodicité. Question 1.1 En quels sens (convergence ponctuelle, uniforme, normale, L 2 etc. la suite des sommes partielles S f converge-t-elle vers f? Question 1.2 k=1 sin(kx k. On pose S (x = x S (f(x sont proches. Calculer les coefficients de Fourier de f et en déduire que la série de Fourier de f s écrit sin(t t dt x 2. L objectif des questions suivantes est de montrer que S (x et Question 1.3 En vous inspirant de la preuve du cours de la formule du noyau de Dirichlet, montrer que cos(kx 1 2 k=1 En déduire que sur un certain intervalle à déterminer S f(x = x (S f (tdt = x cos(x = sin(x 2 tan( x 2. ( sin(t 2 tan( t cos(t dt x 2. Question 1.4 Montrer que t 1 2 tan( t 2 1 t peut être étendue de manière C1 sur ] π, π[. En déduire en intégrant par parties que S (f(x S (x = 1 h (x, pour une certaine fonction h à expliciter. Question 1.5 On pose G(a := a sin t t dt. Montrer que la suite G(2nπ est strictement croissante, que la suite G((2n + 1π est strictement décroissante, et que la suite G((2n + 1π G(2nπ tend vers zéro. En déduire que la suite G(nπ a une limite finie, notée G(+. Question 1.6 En utilisant la question 1.4 et la question 1.1 (pour x = 1, montrer que G(+ = π 2. En déduire que G(π > π 2.

2 2 Figure 1: approximation de la fonction de Heavyside par séries de Fourier, abscisses : [, π] Question 1.7 En utilisant la question 1.4 et la définition de G, montrer que S (f( π = G(π + O( 1. En conclure en utilisant la question 1.6 que S (f( π > f(+ + O( 1. umériquement, on trouve que G(π π 2.281, ce qui implique que S (f dépasse f( + d environ 18%. Ceci est général et apparaît dès que la fonction f qu on étudie a une discontinuité, comme l illustre la figure 1, qui montre les sommes partielles de la série de Fourier associée à la fonction de Heavyside qui vaut 1 sur [ π, ] et +1 sur ], π[. 2 Transformation de Fourier discrète d un signal 2.1 La dimension 1 Soit u une fonction réelle de période a et un entier. On cherche un polynôme trigonométrique P (x = ( 2iπkx û k exp a, qui soit égal à u aux points ka pour k =,..., 1. Question On pose u k = u( ka et ω = exp( 2iπ. Montrer que les coefficients définis par û k = 1 n= u n ω nk caractérisent (de manière unique le polynôme recherché P. Question On appelle Transformation de Fourier Discrète (TFD, ou DFT en anglais la transformation T : R R définie par T : (u k,..., (û k = 1 n= u n ω nk,...,.

3 3 On appelle transformation de Fourier discrète inverse la transformation de R dans R définie par T 1 : (u k,..., (v k = n= u n ω nk,...,. Montrer que T T 1 = T 1 T = Id, ce qui justifie bien l appellation. Dans toute la suite, on suppose que est pair. Question Soit (u k R. On définit u : [, 1] R comme étant la fonction constante par morceaux valant u k sur l intervalle ] k, k+1 [. Rappeler la formule pour le coefficient de Fourier c n(u de u. On rappelle que (û k = T (u k et on note (ũ k k= /2,...,/2 1 le vecteur de R défini par ũ k = { ûk si k =,..., 2 1, û k+ si k = 2,..., 1. Condisérer = 6 et écrire ũ 3, ũ 2,..., ũ 2 en fonction de û,..., û 5 (ceci pour illustrer comment l ordre est modifié. Montrer enfin que les ũ k sont des approximations des coefficients c k (u par la formule des rectangles pour k = 2,..., 2 1. oter en particulier que cette décomposition n est pas symétrique (on a la fréquence /2 mais pas la fréquence +/2. Question Montrer que (u k est un signal réel si et seulement si û et û /2 sont réels et pour k = 1,..., 2 1, û k = û k. 2.2 La dimension 2 Cette fois on considère une fonction u de R 2 dans R telle que u(x + 1, y + 1 = u(x, y pour tous x, y R. On fixe et on pose u k,l = u( k, l pour k, l =,..., 1. On définit la suite des coefficients (û k,l k,l=,..., par û k,l = 1 2 m= n= u m,n ω mk ω nl. Question Montrer que la transformation de Fourier discrète en dimension 2 peut s écrire comme le produit de deux transformations de Fourier discrète en dimension 1. Montrer que les coefficients û k,l sont les seuls coefficients tels que le polynôme trigonométrique P (x, y = k,l ( ( û k,l exp 2iπkx exp 2iπky vérifie pour tout k, l =,..., 1, ( k P, l ( k = u, l. Question Montrer que û,, û,/2, û /2, et û /2,/2 sont réels et que k = 1,..., /2, û,k = û, k l = 1,..., /2, û l, = û l, k, l = 1,..., 1, û k,l = û k, l.

4 4 Question De nouveau, on peut associer ũ à û de la manière suivante : où α est donné par α(k = ũ k,l = û α(k,α(l, { k si k =,..., /2 1, k + si k = /2,..., 1. Prendre = 6 et écrire la matrice (ũ kl en fonction des û kl (pour illustrer le changement d indices. Comme dans le cas unidimensionnel, montrer que les ũ kl sont des approximations par la formule des rectangles des coefficients de Fourier c kl (u = 1 1 d une fonction u constante par morceaux. u(x, y exp( 2iπkx exp( 2iπlydxdy 2.3 Transformée de Fourier rapide (TFR ou FFT en anglais Comme on l a vu plus haut, le calcul des coefficients de Fourier û n (en dimension 1 revient à évaluer un polynôme aux racines -ièmes (ω k,..., de l unité. Dans le cas général, l évaluation classique d un polynôme de degré 1 en un point requiert O( opérations, ce qui fait au total O( 2 opérations pour l évaluation de tous les coefficients de Fourier. Dans ce paragraphe, on va voir qu on peut en fait se ramener à O( log opérations si on prend de la forme 2 M. Question Montrer que Soit P (x = a kx k. On pose Q(x = /2 1 a 2k X k et R(X = /2 1 a 2k+1 X k. ( P (ω k = Q (ω k 2 ( + ωr k (ω k 2. oter que (ω k 2 pour k =,..., 1 décrivent exactement les racines /2-ièmes de l unité (et sont donc au nombre de /2 et pas au nombre de. En déduire que si T ( est le nombre d opérations pour calculer les coefficients de Fourier d un signal de taille on a T ( = 2T ( Question Montrer par récurrence sur M que M 1 2 k T (2 M k = M 2 k T (2 M k + M2 M+1. k=1 En déduire que et donc que T ( 2 log 2 (. T (2 M = T (1 + M2 M+1, 3 Transformée de Fourier et traitement d image La fin du devoir est consacrée à l utilisation de la TFD pour faire des transformations d image. Le problème de départ est le suivant : une image est représentée par une matrice dont les entrées sont par exemple le niveau de gris. Une image a donc une résolution maximale qui est la taille du pixel. Ceci définit au passage la fréquence maximale dans l image (des oscillations à une plus haute fréquence ne se voient pas. Faire des translations (non multiples d un pixel ou des rotations (non multiples de π/2 d une image est donc difficile (on aurait envie de translater et tourner les pixels, ce qu on ne peut pas faire sur un écran d ordinateur.

5 5 L idée principale consiste à représenter l image par une fonction continue (et non pas discrétisée, à appliquer les transformations sur cette fonction continue, puis à discrétiser de nouveau. Construire la version continue de l image par interpolation bilinéaire (l équivalent en dimension 2 d une fonction affine par morceaux en dimension 1 n est pas assez précis : en effet, si on part de cette fonction continue pour faire une rotation de l image par π/4 et qu on réitère le processus plusieurs fois, alors l image devient floue (en d autres termes, si on appelle T l application tourner l image de π/4, on n a pas T 8 = Id comme on le souhaiterait. Ceci est illustré Figure 3. Il est en fait beaucoup plus stable d utiliser le polynôme trigonométrique P introduit ci-dessus. 3.1 Zoom Soit (u k,l=,..., une image. On veut faire un zoom sur l image, disons multiplier par 2 l image. Une premire possibilit consiste à remplacer chaque pixel par quatre pixels identiques (réplication des pixels. Cette méthode entraîne un effet marche d escalier. Si on interprète l image comme un signal en fréquence, une autre méthode pour zoomer consiste à doubler la taille du signal, recopier les fréquences de l image d origine et mettre à zéro les nouvelles (plus hautes fréquences. Le rendu d image est plus lisse. Voir Figure 2. Question On se restreint à la dimension 1. Soit u : R R une fonction continue 1-périodique. On définit Z u : R R comme le zoom de u donné par la fonction 2-périodique définie par Z u (x = u(x/2. Soit c n (Z u et c n (u les coefficients de Fourier de Z u (en temps que fonction 2-périodique et u (en temps que fonction 1-périodique. Montrer que c n (Z u = c n (u. Ainsi, Z u est donné par la série de Fourier n c n(u exp(iπnx. En déduire que par la formule de Parseval que (Z u 2 (xdx = u 2 (xdx. 2 Question Soit (u k un signal réel discret de taille. On veut définir un signal discret (Z de taille 2 qui est le zoom de (u k. On s inspire de la question qui montre que les coefficients de Fourier de (u k et (Z sont les mêmes. On va donc définir (Z par ses coefficients de Fourier =,..., à partir des coefficients de Fourier (ũ k k= /2,...,/2 1. Cependant, comme les images sont discrètes, (Z a des fréquences plus élevées que (u k (autrement dit, il y a plus de coefficients de Fourier pour l image Z u. Pour ne pas créer de nouvelle information (qui serait forcément erronée car on ne connaît pas les détails de l image, on assigne la valeur zéro aux coefficients de Fourier associés à ces hautes fréquences (méthode dite de prolongement par des zéros. On peut alors poser : k = /2,..., /2 1, := ũ k, k =,..., /2 1, :=, k = /2,..., 1, :=. Montrer la formule de Parseval discrète pour tout signal (non nécessairement réel (u k de taille : En déduire que /2 1 k= /2 ũ k 2 = (Z 2 = 2 ce qui correspond à la conservation de la norme L 2 par zoom. En utilisant la question 2.1.4, montrer que (Z n est pas un signal réel. 1 u k 2. u k 2,

6 6 Figure 2: Exemple de zoom : prolongement par des zéros versus réplication Question Pour obtenir un signal réel après zoom, on ne peut pas procéder comme à la question A la place, on pose k = /2 + 1,..., /2 1, for k { /2, /2}, k =,..., /2 1, k = /2,..., 1, Montrer qu alors (Z u est réel et qu on a toujours Question (Z 2 = 2 1 := ũ k, 2 := :=, :=. Montrer que si (u k est tel que ũ /2 =, alors ( k (Z = P, 2 où P est le polynôme trigonométrique de la question u k 2. 2 ũ /2, C est cette méthode qui est utilisée en pratique pour faire des zooms. Le rendu est illustré Figure Translation On procède de la même façon pour définir la translatée d une image discrète. Tout d abord on s inspire de l action d une translation sur les coefficients de Fourier d une fonction continue, puis on adapte au cas discret. Question Soit u : R R une fonction continue 1-périodique. On définit Tu a : R R comme la translatée de u par a R, définie par Tu a (x = u(x + a. Soit c n (T a u et c n (u les coefficients de Fourier de T a u et u (en temps que fonctions 1-périodiques. Montrer que c n (Z u = exp(i2πnac n (u. Ainsi, T a u est donné par la série de Fourier n exp(i2πnac n(u exp(2iπnx.

7 7 Figure 3: Exemple de rotation : 16 rotations de π/4 par interpolation bilinéaire (devient flou en itérant et par la méthode de Yaroslavsky (comportement beaucoup meilleur même en itérant. Question Proposer une définition de Tu a via ses coefficients de Fourier discrets. Indication : pour obtenir un signal réel, remplacer la formule naturelle pour (T u a /2 par sa partie réelle, id cos(πaũ /2. Question T a (T a u = u. Vérifier que si ũ /2 =, alors pour tout < a < 1, on a (avec des notations évidentes 3.3 Rotation Pour implémenter une rotation discrète d une image 2d, on se ramène à faire des translations 1D dans plusieurs directions (méthode de Yaroslavsky. Question Montrer que pour θ π (auquel cas il suffit de retourner l image, on a ( ( cos θ sin θ 1 tan( θ = 2 ( ( 1 1 tan( θ 2. sin θ cos θ 1 sin θ 1 1 Ainsi, pour faire une rotation de l image par un angle θ, on part de u k,l, on translate la première ligne de tan( θ 2, la deuxième de 2 tan( θ 2, etc.. Puis on fait une opération similaire sur les colonnes, puis à nouveau sur les lignes. Ces translations se font par l intermédiaire de la TFD à une dimension. Le rendu visuel de cette méthode est illustré Figure 3.