Table des matières. xix. Motivation du cours. xxii. Index des notations

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1 Motivation du cours Index des notations xix xxii 1 Rappels élémentaires sur la notion de convergence Suites dans un e.v.n a Définitions b Suites de Cauchy c Convergence double Fonctions à valeurs dans un e.v.n a Convergence en un point d une fonction b Convergence uniforme c Fonction de deux variables Convergence d une série a Définitions b Séries semi-convergentes, séries absolument convergentes c Séries de fonctions d Série doublement infinie e Convergence d une série double Séries entières, fonctions analytiques a Définitions b Analyticité sur un intervalle c Formules de Taylor et convergence Séries asymptotiques et séries divergentes a Séries asymptotiques b Intérêt des séries divergentes Permuter des limites en physique a Deux paradoxes sur le théorème de l énergie cinétique b Roméo, Juliette et les fluides visqueux c Barrière de potentiel en mécanique quantique Exercices Solutions Théorie de la mesure et intégrale de Lebesgue But du chapitre Tribus ; boréliens Mesure de Lebesgue a Mesure sur b Mesure sur n Construction de l intégrale de Lebesgue Propriétés supplémentaires a Théorème d Égorov b Ensembles de mesure nulle c Comparaison entre intégrales de Lebesgue et de Riemann d Et aujourd hui?

2 x Table des matières Exercices Solutions Calcul intégral Résumé sur la mesure et l intégrale de Lebesgue La convergence en pratique Intégrale dépendant d un paramètre Interversion de l ordre d intégration Changement de variables Exercices Solutions Analyse complexe I Fonctions holomorphes a Définitions b Exemples c Les opérateurs z et z d Premier résultat sur les fonctions analytiques Le théorème de Cauchy a Intégration sur des chemins b Intégrales sur un cercle c Indice d un chemin d Divers théorèmes de Cauchy e Application Propriétés des fonctions holomorphes a Formule de Cauchy et applications b Théorème du maximum c Autres théorèmes d Classification des zéros d une fonction holomorphe Singularités d une fonction a Classification des singularités b Fonctions méromorphes Séries de Laurent a Introduction et définition b Exemples de séries de Laurent c Théorème des résidus d Calculs pratiques des résidus Application aux calculs d intégrales a Lemmes de Jordan b Intégrales sur d une fraction rationnelle c Intégrales de type Fourier d Intégrales sur le cercle unité d une fraction rationnelle e Calcul de sommes infinies Exercices Solutions Analyse complexe II Logarithme complexe ; fonctions multivaluées a Les logarithmes complexes b La fonction racine carrée c Fonctions multivaluées ; surfaces de Riemann Fonctions harmoniques a Définitions

3 xi 5.2.b Propriétés c Une astuce pour trouver f en connaissant u Prolongements analytiques Singularités à l infini Méthode du col a Méthode générale du col b La méthode du col réel Exercices Solutions Transformations conformes Transformations conformes a Généralités b Théorème de Riemann c Exemples de transformations conformes d La transformation de Schwarz-Christoffel Application à la théorie du potentiel a Application à l électrostatique b Application à l hydrodynamique c Théorie du potentiel, paratonnerres, percolation Problème de Dirichlet et noyau de Poisson Exercices Solutions Distributions I Approche physique a Problème des distributions de charges b Problème de l impulsion et des forces lors d un choc élastique Définitions et exemples de distributions a Distributions régulières b Distributions singulières c Support d une distribution d Autres exemples Propriétés élémentaires. Opérations a Opérations sur les distributions b Dérivée d une distribution Dirac et ses dérivés a Distribution de Heaviside b Distributions de Dirac à plusieurs dimensions c La distribution d d Composition de d avec une fonction e Densités de charge et de courant Dérivation d une fonction discontinue a Dérivation d une fonction discontinue en un point b Dérivation d une fonction discontinue sur une surface c Laplacien d une fonction discontinue sur une surface d Application : laplacien de 1 r en trois dimensions La convolution a Produit tensoriel de deux fonctions b Produit tensoriel de deux distributions c Convolution de deux fonctions d Notion de mesure floue e Convolution de deux distributions

4 xii Table des matières 7.6.f Applications g Équation de Poisson Interprétation physique des opérateurs de convolution Convolution discrète Distributions II Valeur principale de Cauchy a Définition b Application au calcul de certaines intégrales c Notations de Feynman d Relations de Kramers-Kronig Notions de topologie dans a Convergence faible dans b Suites de fonctions convergeant vers d c Convergence dans et convergence au sens des fonctions d Régularisation d une distribution e Continuité de la convolution Algèbres de convolution Résolution d une équation différentielle avec conditions initiales a Cas d une équation du premier ordre b Cas de l oscillateur harmonique c Autres équations provenant de la physique Exercices Solutions Espaces de Hilbert ; séries de Fourier Insuffisance des espaces vectoriels Espaces de Hilbert a Espaces préhilbertiens b Espaces de Hilbert c Systèmes orthonormés, bases hilbertiennes d L espace e L espace L 2 0 a f L espace L 2 ( ) Développement en série de Fourier a Coefficients de Fourier d une fonction b Convergence quadratique c Série de Fourier d une fonction f L 1 0 a d Convergence ponctuelle de la série de Fourier e Convergence uniforme de la série de Fourier f Phénomène de Gibbs Exercices Solutions Transformée de Fourier des fonctions Transformée de Fourier d une fonction de L a Définition b Exemples c Espace L d Propriétés élémentaires e Inversion f Extension de la formule d inversion Propriétés de la transformation de Fourier

5 xiii 10.2.a Transposition et translation b Changement d échelle c Dérivation d Fonctions à décroissance rapide Transformée de Fourier d une fonction de L a Espace b Transformée de Fourier dans L Transformées de Fourier et convolution a Formule de convolution b Limitations de la formule de convolution Conventions différentes Exercices Solutions Transformée de Fourier des distributions Définition et propriétés a Distributions tempérées b Transformées de Fourier des distributions tempérées c Exemples d Transformation de Fourier à plusieurs dimensions Peigne de Dirac a Définition et propriétés b Transformée de Fourier d une fonction périodique c Formule sommatoire de Poisson d Application aux calculs de séries Phénomène de Gibbs Application à l optique physique a Lien entre diaphragme et figure de diffraction b Diaphragme composé d une infinité de fentes infiniment fines c Nombre fini de fentes infiniment fines d Nombre fini de fentes de dimension finie e Pupille circulaire Limitations de l analyse de Fourier et ondelettes Exercices Solutions Transformation de Laplace Définition et sommabilité a Définition b Sommabilité c Propriétés de la transformée Inversion Propriétés élémentaires et exemples de transformées de Laplace a Propriétés b Dérivation et intégration c Exemples Transformation de Laplace des distributions a Définition b Propriétés c Exemples d Transformée en z e Lien entre transformées de Laplace et de Fourier

6 xiv Table des matières 12.5 Applications physiques, problème de Cauchy a Importance du problème de Cauchy b Un exemple simple c Évolution libre du champ électromagnétique Exercices Solutions Applications physiques de la transformée de Fourier Justification de l analyse en régime sinusoïdal Champs longitudinaux et transverses Relations d incertitude de Heisenberg Signaux analytiques Autocorrélation d une fonction d énergie finie a Définition b Propriétés c Intercorrélation Fonctions de puissance finie a Définitions b Autocorrélation Application à l optique : théorème de Wiener-Khintchine Exercices Solutions Fonctions de Green Généralités sur les fonctions de Green Électromagnétisme et opérateur de d Alembert a Calcul des fonctions de Green avancée et retardée b Potentiels retardés c Écriture covariante des fonctions de Green avancée et retardée d Rayonnement Équation de la chaleur a Cas unidimensionnel b Cas tridimensionnel Mécanique quantique Équation de Klein-Gordon Exercice Tenseurs Tenseurs dans un espace affine a Vecteurs b Convention d Einstein c Formes linéaires d Applications linéaires e Transformations de Lorentz Produit tensoriel d espaces. Tenseurs a Existence du produit tensoriel de deux espaces b Produit tensoriel de deux formes linéaires : 0 tenseurs d ordre c Produit tensoriel de deux vecteurs : tenseurs d ordre d Applications linéaires ou tenseurs p 15.2.e Tenseurs d ordre q

7 xv 15.3 Métrique a Métrique et pseudo-métrique b Dualité naturelle par la métrique c Gymnastique : élever et abaisser des indices Opérations sur les tenseurs Changements de coordonnées a Coordonnées curvilignes b Vecteurs de base c Transformation des vecteurs physiques d Transformation des formes linéaires e Transformation d un champ de tenseurs quelconque f Brève conclusion Formes différentielles Algèbre extérieure a 1-formes b 2-formes extérieures c k-formes extérieures d Produit extérieur Formes différentielles sur un espace vectoriel a Définition b Dérivée extérieure Intégration des formes différentielles Théorème de Poincaré Lien avec le calcul vectoriel : gradient, divergence, rotationnel a Formes différentielles en dimension b Existence du potentiel scalaire électrostatique c Existence du potentiel vecteur d Monopôles magnétiques L électromagnétisme dans le langage des formes différentielles a Tenseur de Faraday b Remarque sur l électromagnétisme en 2D Groupes et représentations de groupes Groupes Représentations linéaires des groupes Le groupe SO(3) et les vecteurs Le groupe SU(2) et les spineurs Sphère de Riemann et spin Exercice Introduction aux probabilités Introduction Définitions élémentaires Formule de Poincaré Probabilités conditionnelles Événements indépendants Variables aléatoires Variables aléatoires et lois Fonction de répartition et densité de probabilité a Variable aléatoire discrète b Variable aléatoire (absolument) continue

8 xvi Table des matières 19.3 Espérance et variance a Cas des v.a. discrètes b Cas des v.a. continues Un exemple : la loi de Poisson a Particules d un gaz confiné b Désintégration radioactive Moments d une variable aléatoire Vecteurs aléatoires a Couple de variables aléatoires b Variables aléatoires indépendantes c Vecteurs aléatoires Mesures images a Cas d une seule variable aléatoire b Cas d un vecteur aléatoire Espérance et fonction caractéristique a Espérance d une fonction b Moments, variance c Fonction caractéristique d Fonction génératrice Somme et produit de variables aléatoires a Somme de v.a b Produit de v.a c Exemple : loi de Poisson Inégalité de Bienaymé-Tchebychev a Énoncé b Application : l aiguille de Buffon Indépendance, corrélation, causalité Théorème central limite Divers types de convergence Loi des grands nombres Théorème central limite Application Exercices Solutions

9 xvii Annexes A Rappels sur la topologie et les e.v.n Topologie, espace topologique Espaces vectoriels normés A.2.a Normes, semi-normes A.2.b Boules et topologie A.2.c Comparaison de suites A.2.d Théorèmes de Bolzano-Weierstrass A.2.e Comparaison des normes A.2.f Norme linéaire Exercice Solution B Rappels élémentaires sur le calcul différentiel Différentielle d une application à valeurs réelles B.1.a Fonction réelle de la variable réelle B.1.b Différentielle d une fonction f : n B.1.c Notations tensorielles Différentielle d une application à valeurs dans p Méthode des multiplicateurs de Lagrange C Quelques démonstrations 483 Tables Table des transformées de Fourier, de Laplace 493 Table des lois usuelles 498 Bibliographie 499 Références bibliographiques 503 Table des portraits 509 Table des encadrés 511 Index 512