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1 Les supports de cours suivants font référence au cours de Mr SOL et à son livre : "Accès à l'université" chez DUNOD Les supports de cours ne sont pas complets, ils ne contiennent ni les démonstrations, ni certains schémas et exemples vus en cours. Pour une bonne compréhension du cours, la présence et l'écoute en cours restent vivement conseillés. 1

2 Chapitre VII : Fonction logarithme, exponentielle, puissance 2

3 I. Fonction logarithme népérien 1) Définitions Quand Z { 1} la fonction admet pour primitives sur R, les fonctions + ou c est une constante réelle. Or sur R, la fonction est continue, elle admet donc des primitives sur R : 3

4 Definition : On appelle fonction logarithme népérien, noté ln, la primitive sur R, qui s annule en 1 de la fonction Remarque : d autres notations sont possibles, on a : ln(x)=ln x = Log x=l x 4

5 2) Propriétés essentielles A. Conséquences immédiates de la définition ln1=0 et pour tout ]0,+ [ lnx = On note indifféremment : lnx =ln = ln Si la fonction est dérivable sur : Si >0, ln= Si 0, ln = 5

6 Exemples : sur ] 1,+1[ ln 1 ² = ² sur ], 1[ ]1,+ [ ln 1 = ² sur R { 1,1} ln 1 = ln 1 = ² 6

7 B. Propriétés algébriques Soit a et b deux nombres réels strictement positifs, on a : =+ = = avec Q = = > > 7

8 3) Limites =, la courbe représentative de ln admet pour asymptote l axe des ordonnées. =+ =, la courbe représentative de ln admet une branche parabolique de direction les abscisses = = est la valeur de la dérivée en 1 8

9 4) Le nombre e Le nombre solution unique dans R de l équation ln x = 1 est noté e, on a donc ln e = 1 Remarque : 2, est un nombre irrationnel et on peut noter que =1+! +! +! + 9

10 5) Tableau de variations et représentation graphique Dans un repère orthonormé, on a : 10

11 Remarque : La fonction ln est une bijection de]0;+ [ ] ;+ [, elle est strictement croissante sur ]0;+ [ Elle admet une fonction réciproque Si a et b sont 2 nombres réels strictement positifs, on a : ln =ln = ln <ln < 11

12 II. Fonction exponentielle népérienne 1) Définitions La fonction exponentielle népérienne souvent appelée fonction exponentielle (notée exp) est la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien. On a : = = R R 12

13 Remarque : Pour tout R,ln = Pour tout R,e = 13

14 2) Propriétés La réciprocité des fonctions ln et exp, et les propriétés de la fonction ln permettent d obtenir les résultats suivants : A. Propriétés algébriques Soit deux nombres réels : = = >0 14

15 = = =. = = > > 15

16 B. Dérivées La fonction exponentielle est dérivable sur R telle que : = Si u est dérivable sur un intervalle I, = =. 16

17 C. Limites = La courbe représentative de admet pour asymptote l axe des abscisses. =+ et =+ La courbe représentative de admet une branche parabolique de direction l axe des ordonnées = est la valeur de la dérivée de en 0 17

18 3) Tableau de variations et représentation graphique 18

19 III. Les fonctions logarithme et exponentielle de base a Pour a>0 La fonction définie par =. est appelée exponentielle de base a On peut noter : = 19

20 Pour >0 1 La fonction définie par = est appelée logarithme de base a 20

21 Remarques : La fonction logarithme népérien est la fonction logarithme de base e = = La fonction logarithme de base 10 est la fonction logarithme décimal = 21

22 Formules de changement de base Si R {1} = = = =. =. =. = 22

23 Pour >0 1 = = =. = = 23

24 Les propriétés des exp et log en base a se déduisent immédiatement des exp et log de base e. En particulier : =1 = = = = 24

25 Dans le plan muni d un repère orthonormé : 25

26 IV. La fonction puissance (avec exposants réels) On sait que =. donc on retrouve des résultats déjà connus : =. =. = =. 26

27 On pourra donc étudier les fonctions du type : >0 En ramenant =. 27

28 V. Conséquences des limites des fonctions log, expo et puissance 28

29 4) Croissance comparée A partir des deux résultats fondamentaux suivants : = =+ On peut démontrer les 4 résultats suivants 29

30 Si é >1 >0 = =+ On a coutume de dire mais ce n est pas une démonstration que au voisinage de l infini, l exponentielle de base >1 «l emporte» sur la fonction puissance et la fonction puissance «l emporte» sur la fonction ln 30

31 Si é >1 >0. =. = 31

32 5) Formes indéterminées exponentielles Si on a une fonction du type =. Plusieurs cas d indétermination peuvent apparaitre On essaie alors de se ramener à une des 4 limites du paragraphe précédent 32

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