l analyse harmonique : les séries et la transformée de Fourier 1. mise en évidence expérimentale de la décomposition et de la synthèse d un signal

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1 BS EL l analyse harmonique : les séries e la ransformée de Fourier. mise en évidence epérimenale de la décomposiion e de la synhèse d un signal la décomposiion d un signal la synhèse de Fourier : le synhéiseur La décomposiion d un signal : si f() es puremen sinusoïdal, f () = f() pour une seule valeur de la fréquence cenrale f c du filre sélecif ; si f() es un signal périodique quelconque, f () eise pour une valeur de f c e des valeurs muliples : f c, 3f c, 4f c, Le synhéiseur es un sommaeur, il produi une ension somme de sinusoïdes de fréquences muliples : v s = A (v + v + v 3 ).. la série de Fourier.. le héorème de Fourier : Sous ceraines condiions de coninuié e de dérivaion, ou signal périodique de pulsaion (ou de fréquence f = ) peu s écrire sous la forme suivane : + + f() = A o + A n cos n + B n sin n Par eemple, la foncion périodique représenée ciconre es obenue en écrivan : f() = 5 + 3cos() + cos() + cos(3) +,5cos(4) + sin() + sin()+,5sin(3) +,sin(4) avec = rad/s donc = = 6,8 s Le coefficien A o es la valeur moyenne de f() : A o = <f()> = o o + f() d Les coefficiens A n se calculen avec la formule A n = o o + f() cos(n) d Les coefficiens B n se calculen avec B n = o o + f() sin(n) d Physique Appliquée - HASSENBOEHLER page / 5

2 BS EL l analyse harmonique : les séries de Fourier e la ransformée de Fourier.3. deuième epression de la série de Fourier + f() = A o + D n sin ( n + n ) Le deuième erme de cee epression correspond à la somme + + des ermes A n cos n + B n sin n. Cherchons donc une aure epression pour A n cos n + B n sin n. Comme cos = sin ( + ), A n cos n + B n sin n = A n sin (n + ) + B n sin n. On sai que la somme de sinusoïdes de même pulsaion es un sinusoïde de même pulsaion. Écrivons donc que A n cos n + B n sin n = D n sin (n + n ). Déerminons donc D n e n. La méhode vecorielle perme rapidemen de déerminer la somme de sinusoïdes de même pulsaion. Les veceurs A n e Bn son les côés d un riangle recangle. L hypoénuse D n es l image de Dn sin (n + n ). On en dédui l ampliude D n = A n + B n e n = arc an A n B n.4. définiions : le fondamenal le rang e les harmoniques D n sin (n + n ) es appelé l harmonique (on di un harmonique) de rang n de f(). Le fondamenal es l harmonique de rang. D n es donc l ampliude de l harmonique de rang n, la valeur efficace de l harmonique éan D n..5. la série de Fourier eponenielle D n n B n A n Rappelons les formules d Euler : cos = e+j + e -j e sin = e+j - e -j j. Si on pose = n, il vien A n cos n + B n sin n = A e+jn + e -jn n Remarquer la belle symérie des deu ermes! + B n e+jn - e -jn j = A n + B n j e +jn + En foncion de n, A n es paire : A n = o o + u() cos(n) d = A-n = o o + u() cos(-n) d A n - B n j e +jn. e B n es impaire B n = o o + u() sin(n) d = - B-n = - o o + u() sin(-n) d. + On peu donc écrire f() = A o + D n sin (n + + n ) = A o + C n e j n n = - où C n = A n + B n j = (A n - jb n ) = o + f()cos n d - j o o + f() sin n d = o o o + f() e -jn d. La série de Fourier s écri comme éan la somme d harmoniques de fréquences s éendan de - à +. Les fréquences négaives n on pas de significaion physique, il fau par conre en enir compe dans les calculs. page / 5 Physique Appliquée - HASSENBOEHLER

3 BS EL l analyse harmonique : les séries e la ransformée de Fourier.6. propriéés des signau pariculiers Si f() es une foncion paire : f(-) = f(), e f() = A o + A n cos n + B n sin n = f(- ) = A o + A n cos n - B n sin n ce qui n es possible que si les coefficiens B n son nuls. + D où f() = A o + A n cos n. Si f() es une foncion impaire : f(-) = - f(), e f() = A o + A n cos n + B n sin n = - f(- ) = -A o - A n cos n + B n sin n ce qui n es possible que si les coefficiens A n son nuls. + D où f() = B n sin n. S il y a une symérie de glissemen, c es à dire si les alernances posiives son ideniques au alernances négaives : f( + ) = - f(), on démonre que A o =, f() es forcémen alernaif e que la décomposiion du signal ne conien que des harmoniques de rang impair. + + Alors; f() = A o + A k+ cos (k+) + B k+ sin (k+). k = k = foncion paire f(-) = f() cos(-) = cos comme (-) = - foncion impaire f(-) = -f() sin(-) = -sin comme (-) 3 = - 3 symérie de glissemen f( + ) = - f() 3. les specres d ampliudes e de phases 3.. représenaion specrale monolaérale ampliude D fondamenal D f f 3f 4f 5f 6f nf composane coninue A o harmonique de rang n f fréquence Le specre d un signal es la représenaion des ampliudes D n des harmoniques en foncion de fréquence (rad/s) ou f(hz). + f() = A o + D n sin (n + n ) Pour un signal périodique, on a un specre de raies, on di que l on a un specre discre. Physique Appliquée - HASSENBOEHLER page 3 / 5

4 BS EL l analyse harmonique : les séries de Fourier e la ransformée de Fourier 3.. représenaion specrale bilaérale Rappelons que la décomposiion de f() s écri aussi + f() = C n e j n où C o + f() e -jn d n = - o les fréquences s éenden de - à +, d où le specre bilaéral ci-conre. Les fréquences négaives n on pas de d eisence réelle mais elles doiven pariciper au calcul lors de la reconsiuion du signal Remarque : nous avions rouvé que C n -4f -f -f f f 4f f fréquence C (A n - j B n ); donc C n = l harmonique de rang n. A n + B D n où D n défini comme ampliude Pour la phase de chaque harmonique n = arcana n B n, ici arg C n = -arcan B n A n = -9 + n 3.3.le specre des phases C es la représenaion de la phase de chaque harmonique en foncion de la fréquence n = f(f) n -3f -f -f f f 4f f 4. la valeur efficace d un signal périodique 4.. calcul en foncion des ampliudes des harmoniques + Soi une ension périodique u() = A o + D n sin ( n + n ); sa valeur efficace se calcule en inégran suivan la formule connue : U eff = o o + u () d or u + () = (A o + D n sin(n+ n ) ) = A + o + A o D n sin (n+ + n )+ + (kn)c n C k sin (n+ + n ) sin (k+ k ) + D n sin (n+ n ) k = puis en éliminan les ermes alernaifs, car on calcule la valeur moyenne du carré, il rese U eff = o + A o d + o + o + D n sin (n+ n ) d = A o + D n o U eff = A + o + D n Le erme s eplique facilemen : D n es l ampliude e on calcule la valeur efficace! A o es la composane coninue e l aure erme correspond à la composane alernaive du signal u() page 4 / 5 Physique Appliquée - HASSENBOEHLER

5 BS EL l analyse harmonique : les séries e la ransformée de Fourier 4.. le au de disorsion harmonique DH DH = valeur efficace des harmoniques aures que le fondamenal valeur efficace du fondamenal = + D n n = D Il s'eprime souven en % e indique la pureé specrale d'un signal : le signal sinusoïdal qui n a qu une seule raie comme specre a un DH de %. Pour un signal carré, DH = 48,3 % 4.3. la disorsion Les appareils audio, amplificaeurs, les enceines acousiques déformen le signal d origine. C es habiuellemen un défau. Mais en musique, ce peu êre un effe recherché, car en écrêan le signal on lui rajoue une muliude de vibraions. On enrichi le son qui es plus agréable, moins lassan e d un effe plus dense pour l audieur. L écrêage ajoue au signal des harmoniques de rang impair. La disorsion d inermodulaion Prenons un signal e(). On l applique à un sysème d amplificaion A. Si le sysème es linéaire on aura comme signal en sorie : s() = A e(). Dans le cas d une disorsion quadraique d inermodulaion, la grandeur de sorie es s() = A e() + B e (). Prenons un signal ayan un specre à deu raies, e() = e () + e (), e () a comme fréquence f e e () a comme fréquence f. Le signal de sorie devien : s() = A e() + B e () = A e () + A e () + B (e () + e ()) = A e () + A e () + B e () + B e (). e () + B e () Si e () = E sin (f ), alors e () = E sin (f ) = E ( - cos (f ) ), e e e élevés au carré inroduisen don dans le specre une composane coninue e raies de fréquences f e f. De même, e ().e () = E sin(f ).E sin(f ) = E E [cos((f -f ))-cos((f +f ))], donc deu nouvelles raies apparaissen au fréquences f -f e f +f. D f +f La disorsion quadraique d inermodulaion ransforme donc f(hz) un specre à raies à f e f en specre à 7 raies à, f -f, f, f, f e f. f -f f f f f Physique Appliquée - HASSENBOEHLER page 5 / 5

6 BS EL l analyse harmonique : les séries de Fourier e la ransformée de Fourier 5. eemples Démonrons la décomposiion de signau remarquables en calculan les epressions des coefficiens A n e B n, ainsi que le au de disorsion harmonique DH e en donnan l enveloppe du specre de raies. u 5.. le signal carré le signal carré représené es défini sur une période comme sui : U ma de à, u() = U ma e de à, u() = - U ma donc A o = car le signal es alernaif - U ma A n = f() cos(n) d = / U ma cos(n) d + (-U ma ) cos(n) d / = U ma ( / cos(n) d - cos(n) d ) / = U ma ( n [sin (n)] / car n = n e sin n es oujours nul; n. - n [sin(n)] / ) = e B n = f() sin(n) d = / U ma sin(n) d + (-U ma ) sin(n) d / = U ma d où B = 4U ma ( / sin(n) d - sin(n) d ) / = U ma n or comme n= n, n = n, cos n = (-)n e cos,, B =, B 3 = 4U ma 3 Le specre ne compore, comme on peu s y aendre, en raison des syméries, que des harmoniques de rang impair e son enveloppe es une hyperbole en n. On démonre que ous les signau disconinus on un specre décroissan en n., B 4 =, B 5 = 4U ma 5 ( [- cos(n)] / B n = U ma n - [-cos(n)] / ) ( - (-) n ), B6 =, B 7 = 4U ma 7 Par conséquen, pour laisser passer un signal disconinu avec ous ses harmoniques d ampliude relaive supérieure à %, la bande passane doi êre au mois de fois la fréquence du fondamenal. Pour un signal d horloge à MHz, la bande passane nécessaire es de GHz, ce qui es imporan. La disorsion provenan de la roncaure des harmoniques de rang élevé es appelé disorsion harmonique. Le au de disorsion harmonique du signal carré vau,7 V 4, V,5 V,8 V D pour U ma = V 3 5, 7 f(hz) DH = U ma - B eff B eff = 8 - = 48,3 % page 6 / 5 Physique Appliquée - HASSENBOEHLER

7 BS EL l analyse harmonique : les séries e la ransformée de Fourier Somme des premières harmoniques du signal carré : H +H H +H +H 3 H +H +H 3 +H 4 H +H +H 3 +H 4 +H 5 H +H +H 3 + +H H +H +H 3 + +H 5.. le signal riangulaire le signal riangulaire représené es défini sur une période comme sui : de à 4, u() = a e de 4 à 3 4, u() = -a+u ma avec a = 4U ma. En premier lieu, pour des raisons de syméries e parce que le signal es alernaif A o = A n =. U ma - U ma u Le calcul aboui à B n = 8 U ma n n sin le specre ne compore, comme on peu s y aendre, en raison des syméries, que des harmoniques de rang impair e son enveloppe es une hyperbole en n Le au de disorsion harmonique vau DH =, %. Le signal riangulaire es proche du signal sinusoïdal pour lequel DH = % 5.3. le signal simple alernance v s e le signal double alernance v d, leur développemen en série es inéressan pour cerain calcul en élecronique de puissance (par eemple, calcul d une inducance de lissage, ). v d = V ma sin e on monre que v s = [ v d + V ma sin ]. Le specre du signal simple alernance auquel on enlève le fondamenal es donc le même que celui du signal double alernance à un faceur près. v d() = V ma - 4 V ma + cos(n) 4n - n= e v s() = V ma + V ma sin - V ma + cos(n) 4n - n= Physique Appliquée - HASSENBOEHLER page 7 / 5

8 BS EL l analyse harmonique : les séries de Fourier e la ransformée de Fourier 5.4. le signal modulé en ampliude appelé signal AM Un signal modulé en ampliude v() peu êre obenu à l aide d un muliplieur e d un sommaeur signal modulan m() poreuse p() mulipieur K signal AM il a donc comme équaion v() = K.m().p() + p(), donc en mean p() en faceur : v() = [ + K.m()]. p() Si ces signau son puremen sinusoïdau, la poreuse à la fréquence F s écri p() = A cos(f) ; elle es modulée en ampliude par un signal appelé le signal modulan de fréquence f e s écrivan m() = A cos(f) ; on a oujours avec f << F ; en radio le signal modulan m() es la parole ou la musique. Le signal modulé en ampliude par un signal puremen sinusoïdal a alors, si A = A e m = KA, pour équaion générale v() = A [ + m cos(f) ]. cos(f) ) ampliude ou m es le au de modulaion ( < m ). Cee ension peu se décomposer en rois ermes : v() = A ( + m cos(f) ).cos(f) = A.cos(F) + Am cos(f).cos(f) e comme cosa.cosb = (cos(a - B)+cos(A + B)) = A cos(f) + ma cos((f - f)) + ma cos((f + f)) Le specre de ce signal AM es donc consiué de rois raies au fréquences F-f, F e F+f. D n f (Hz) L encombremen specral es la place qu occupe le signal dans la bande de fréquence ; ici il es de f. F-f F F+f Afin d inercaler plus d émeeurs radio dans la même bande, on peu supprimer une bande laérale. C es la BLU (pour bande laérale unique). Pour les mêmes raisons, en élévision, on aénue une bande laérale. page 8 / 5 Physique Appliquée - HASSENBOEHLER

9 BS EL l analyse harmonique : les séries e la ransformée de Fourier 5.5. le signal recangulaire de rappor cyclique La valeur moyenne es connue : A o = E Prenons par eemple = 4. Calculons C o o + u() e -jn d = E e -jn d E u = E e -jn d = -E jn [ e -jn ] = -E jn [e -jn - ] = -E jn [ e -jn -] = -E jn [ e -jn - e +jn ] e -jn = E. sin(n e n -jn Comme le module de e -jn es égal à, le module de C n es C n = E. sin(n e D n n = E. sin(n n. Afin de rouver l allure du specre, éudions d abord l allure de son enveloppe qui es une foncion de ype sin Pour =, cee foncion es indéfinie à prime abord. Le développemen en série de la foncion sin perme pouran de rouver sa valeur. Comme sin = - 3! +5 5! + +(-)p. (p+) (p+)! +, on peu écrire, lorsque, que sin =. D où, lim sin =. La foncion sin s annule pour = k. En découle l allure de la courbe sin Représenons alors le specre pour le signal de rappor cyclique = 4 : :. sin - lobe cenral E sin - E lobes laérau specre d ampliude de u() f Physique Appliquée - HASSENBOEHLER page 9 / 5

10 BS EL l analyse harmonique : les séries de Fourier e la ransformée de Fourier 6. réponse d un sysème linéaire à un signal périodique Pour chaque harmonique la foncion de ransfer perme de déerminer la grandeur de sorie : V s (j) = V e (j). (j) e pour l harmonique de rang n, V s (jn) = V e (jn). (jn). D après le héorème de superposiion on peu en déduire : V o ().V o +D sin ( + ) + ().D sin ( + + arg (j)) +D sin ( + ) + ().D sin ( + + arg (j)) + + +D n sin (n + n ) + (n).d n sin (n + n + arg (jn)) la ransformée de Fourier d un signal non périodique 7.. la ransformée de Fourier La ransformée de Fourier perme de déerminer le specre d un signal non périodique (ou apériodique) u(). Si u() es un signal non périodique, il es la somme d une infinié de sinusoïdes don l enveloppe des ampliudes es donné par U(f) = + f() e -j f d - Pour le calcul on peu chercher les paries réelles e imaginaires qui valen Ré ( U(f)) = + u()cos ( f ) d e - Im ( U(f)) = + u()sin ( f ) d. - U(f) = U(f) es appelé la densié specrale d ampliude arg U(f) es le specre de phase. 7.. eemples a) specre d un échelon uniaire : u() = ( - o ) où es l échelon uniaire reardé de o u() = ( - o ) S(f) hyperbole f (Hz) (f) f (Hz) o f = f = U(f) = + e -jf d = -j f [e - jf ] + = o o -j f (-e-jf o ) U(f) = f e (f) = - f o. Ce premier résula va nous servir pour rouver le specre d une impulsion page / 5 Physique Appliquée - HASSENBOEHLER

11 BS EL l analyse harmonique : les séries e la ransformée de Fourier b) specre d une impulsion de durée o : foncion fenêre (ou pore ) u() es une impulsion de durée o e de haueur uniaire; cenrée à l origine. On monre que u() = ( + o ) - ( - o ). La ransformée de Fourier vau alors, U(f) = j f (e+jf o) - = e+jf o - e -jf o o jf o U(f) = sin (f o ) o. f o La foncion sin éudiée en 5.5. nous perme de racer le specre de cee impulsion. j f (e-jf o) = c) le specre d une impulsion de Dirac : cee impulsion es de durée o rès coure e d ampliude o o d) le signal de durée limiée - o o - o u() u() + o E sin imp() + o imp().e sin o j f (e+jf o - e -jf o) () a comme ransformée (f) = lim o o. o sin ( f o ) f o = fréquences! Le specre d une impulsion de Dirac conien oues les Prenons le signal impulsion imp() d ampliude éudié en b) e muliplions le par un signal sinusoïdal Esin de fréquence f. Ce signal es choisi parce qu il a comme specre, une raie unique à la fréquence. Le monage muliplicaion par une impulsion uniaire agi comme une fenêre emporelle. + / o Esin. e -jf d ; U(f) = - o / posons =f e sin = e+j - e -j j = + / o E e+j - e -j j.e -j d qu on développe : - o / = E j + / o ( e +j( - - e -j( + ) d - o / qu on inègre sachan que ej d = j ej f Physique Appliquée - HASSENBOEHLER page / 5

12 BS EL l analyse harmonique : les séries de Fourier e la ransformée de Fourier o - - E o j e +j( + o j( +) - o E = j.j( -) e +j( - o - e -j( - o - E U(f) = E j e +j( - j( -) j.j( +) e +j( + o - e -j( + o e on revien à la foncion sinus à l aide de la formule d Euler sin = e+j e +j j U(f) = E j( -) sin( o -) - E j( +) sin( + o ) = E sin ( o o -) j ( o -) On ne conserve que la parie posiive du specre, qui s écri en foncion des fréquences : U(f) = E o sin (f-f ) o (f-f ) o, ce qui es une courbe en sin e cenrée en f = f. Le lobe cenral s éale sur une bande de Hz. o fenêre de Hamming - E o j sin ( + ) o ( + ) o Des «fenêrages» plus perfecionnés permeen d obenir qu une raie, comme le specre de la sinusoïde pure de fréquence f. Pour obenir un lobe secondaire rès aénué par rappor au lobe principal, les fenêres peuven êre, du moins performan au plus performan : en forme de demi - sinusoïde, de riangle, de cosinus carré, de cosinus carré décalé de 8% (fenêre de Hamming). fenêre recangulaire : imp() = si, sinon fenêre de Hann (Hanning) : imp() =,5,5 cos (/) si, sinon fenêre de Hamming : imp() =,54,46 cos (/) si, sinon fenêre de Blackmann : imp() =,4,5 cos (/) +,8 cos (4/) si, sinon 7.3. les analyseurs de specres On peu uiliser un piano comme analyseur de specre pour monrer qu un le claquemen des deu mains a un specre de fréquence. Chaque corde du piano agi comme un résonaeur bien accordé : ouvrir le couvercle e appuyer sur la pédale fore, frapper dans les mains près des cordes du piano vous enendez e même vous voyez les cordes qui se meen à résonner les cordes qui résonnen corresponden au fréquences, les fuseau monren l inensié de l ampliude. Les analyseurs analogiques ils uilisen soi un filre sélecif à fréquence cenrale variable, soi le principe de "l'héérodynage". Les analyseurs numériques Au plus basses fréquences l'analyse specrale es faie à l'aide d'une care d'acquisiion e d'un logiciel de calcul de FF (Fas Fourier ransform).. page / 5 Physique Appliquée - HASSENBOEHLER

13 BS EL l analyse harmonique : les séries e la ransformée de Fourier 7.5. Puissance e énergie d un signal Le seul calcul de la ransformée de Fourier perme de calculer l énergie ransporée par un signal. 8. la ransformée de Fourier inverse Connaissan le specre U(f) d un signal la synhèse du signal u() es aussi une sommaion de l infinié d harmoniques du specre : u() = + U(f) e +j f df - 9. la ransformée discrèe de Fourier e la ransformée de Fourier rapide FF La ransformée de Fourier discrèe essaye d évaluer la façon don le conenu en fréquence change dans le emps. Elle procède de la façon suivane : le signal es découpé en peies paries (échanillons) e la ransformée de Fourier es calculée pour chaque échanillon. Chaque specre monre les fréquences conenues dans le signal pendan une coure durée, e les specres successifs monren l évoluion des ampliudes de chaque fréquence dans le emps. Ces specres son représenés graphiquemen l un derrière l aure par un diagramme en forme de chue d eau : waerfall diagram. L ensemble de ces calculs consiue le raiemen numérique du signal (NS). Les N échanillons prélevés pendan une période e = fe où f e es la fréquence d échanillonnage. Si f(n e ) es la valeur de l échanillon prélevé à l insan n e, la ransformée de Fourier rapide (FF pour fas Fourier ransform) es définie par n=n - F ( k f e N ) = n= f(ne). e - j kn N rappelle l epression de la ransformée de Fourier U(f) = + f() e -j f d. - La ransformée de Fourier rapide FF Les calculs précédens nécessien de nombreu calculs ne permean pas d obenir sur un écran le specre d un signal en emps réel. La FF es un des quelques algorihmes don la publicaion a provoqué une vériable révoluion dans le champ echnique. Généralemen associé au noms de Cooley e uckey qui l'on publié en 965, ce algorihme de calcul de la ransformée de Fourier discrèe avai éé maines fois redécouver depuis Gauss, noammen par Danielson e Lanczos en 94. La FF perme de ramener le calcul de la ransformée de Fourier discrèe de N à NlogN opéraions. Elle eploie les simplificaions de inhérenes à la foncion eponenielle complee, pour éliminer les opéraions redondanes. Elle nécessie des blocs de données don la aille es égale à une puissance de. Le programme réalisan la FF es à élécharger sur inerne (FF algorihms). Il eise du rese des processeurs spécialisés dans le raiemen numérique du signal, ils son appelés DSP (Digial Signal Processor), la ransformée de Fourier fai en général parie de leurs panoplies. Physique Appliquée - HASSENBOEHLER page 3 / 5

14 BS EL l analyse harmonique : les séries de Fourier e la ransformée de Fourier. Échanillonnage e repliemen du specre (aliasing en anglais) Une opéraion de numérisaion a des conséquences sur le specre du signal : l échanillonnage périodise le specre. specre du signal réel specre du signal échanillonné f(hz) f(hz) B -F é - B B F é F é 3F é Une fréquence minimale de F é = B perme la reconsrucion du signal. Si F é B, les moifs se chevauchen, il y a repliemen du specre. Un signal réel à bande limiée B (limiée car le specre es nul hors d une ceraine bande de fréquences) peu êre reconsrui de façon parfaie, par une conversion numérique-analogique, si la fréquence d échanillonnage F é es supérieur ou égale à deu fois la bande B. C es le héorème de Shannon : F é > B En éléphonie, on souhaie ransmere un signal de bande limiée à B = 4 khz, on a choisi F é = 8 khz. Pour les CD audio, on souhaie reproduire le specre audio Hz - khz, on a choisi F é = 44, khz. Si la bande du signal es supérieure à F é, la reconsrucion inrodui une disorsion. Il y a des fréquences indésirables qui apparaissen dans la bande de fréquence uilisée pour la reconsrucion du signal. Cee disorsion es rendue minimale si l opéraion de numérisaion es précédée d un filrage passe-bas de gain unié dans la bande F é. C es le filrage ani-repliemen (aliasing filer en anglais). En praique, cee opéraion es avanageusemen remplacée par un échanillonnage à une cadence supérieure à B, suivie d un sous-échanillonnage par un raiemen puremen numérique. Ce effe indésirable de repliemen du specre es donc dû au mauvais filrage avan échanillonnage ou à une fréquence d échanillonnage rop faible. Aliasing signifie aussi : crénelage, ligne qui paraî brisée en raison de sa segmenaion en piels, phénomène indésirable dans le raiemen d'une image. page 4 / 5 Physique Appliquée - HASSENBOEHLER

15 BS EL l analyse harmonique : les séries e la ransformée de Fourier Ci-dessous, pour illusrer le repliemen du specre, on a choisi un signal de fréquence f échanillonné à la fréquence F é el que é < = f < é donc F é < f < F é. On vérifie que le signal reconsiué a une fréquence f o = o = F é - f qui n a évidemmen rien a voir avec le signal sinusoïdal de fréquence f qui a éé échanillonné. En radiodiffusion on uilise ce effe pour séparer les voies droie e gauche de la séréophonie. Eemple : l effe sroboscopique Les roues des charios dans les weserns qui semblen ourner en sens inverse son une illusraion du repliemen du specre. L acion es échanillonnée à F é = 4 Hz, c es à dire qu il y a 4 images projeées par seconde. Appelons f la fréquence de roaion d une roue e pour simplifier grossièremen, supposons que la roue n aien qu un seul rayon. Si < f Hz, l œil voi ourner la roue dans le bon sens. À Hz, elle semble immobile. Si Hz < f < 4 Hz, la roue semble ourner en sens inverse e si f > 4 Hz, la roue ourne dans le bon sens mais à une viesse apparene comprise enre Hz e Hz. Eemple : le son dans un hau-parleur produi par un signal reconsiué ayan éé échanillonné à F é consane e à fréquence f variable e croissane (du grave vers l aigu). Si f < F é, la haueur (pich) du son sui la fréquence f e devien de plus en plus aigu. Si F é < f < F é, la haueur du son devien plus grave, en effe la fréquence apparene es de F é - f. Si f > F é, le son se reme à devenir plus aigu. specre F é F é Hz Hz à f = -6 Hz : la roue ourne en sens inverse f(hz) Physique Appliquée - HASSENBOEHLER page 5 / 5