ENSEIRB - Année 1. Traitement du Signal Numérique : Pierre Hanna. Traitement du Signal Numérique p.1/46

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1 ENSEIRB - Année 1 Traitement du Signal Numérique : Pierre Hanna hanna@labri.fr Traitement du Signal Numérique p.1/46

2 Domaine temporel amplitude a(t) temps a(t): amplitude du signal en fonction du temps Traitement du Signal Numérique p./46

3 Représentation fréquentielle/spectrale Représentation spectrale : amplitude en fonction de la fréquence (spectre) amplitude temps (s) 0 amplitude (db) frequence (Hz) Exemple de deux représentations d un même signal de flûte Traitement du Signal Numérique p.3/46

4 Spectre amplitude amplitude ( f,a) a temps fréquence temps 1/ f Traitement du Signal Numérique p.4/46

5 Représentation amplitude-fréquentielle-temps Spectrogramme permet de visualiser l évolution de l énergie en fonction du temps et des fréquences : x ordonnée : fréquence abscisse : temps couleur (3ème dimension) : amplitude Frequency Time Exemple d un spectrogramme Traitement du Signal Numérique p.5/46

6 temporel fréquentiel Il est donc nécessaire de pouvoir décomposer n importe quel signal en une série de fonctions périodiques élémentaires (sinusoïdes) Un outil mathématique permet cette transformation : la transformée de Fourier. Problèmes : Besoin de connaître les limites de cette transformation Besoin de connaître le coût du calcul Signal discret Signal non infini Traitement du Signal Numérique p.6/46

7 Analyse de Fourier L analyse de Fourier doit son nom au mathématicien français J.B. Fourier ( ). L analyse de Fourier est une opération mathématique permettant de décomposer un signal en une somme de signaux élémentaires particuliers. Ces signaux s e sont périodiques et complexes: s e (t) = exp( jπ ft) = cos(π ft) + j sin(π ft) où f est la fréquence du signal élémentaire. le signal est supposé périodique de période T. Traitement du Signal Numérique p.7/46

8 Transformée de Fourier C est une série d opérations mathématiques qui permet d associer à un signal, une série de sinusoïdes de fréquences f, d amplitudes a et de phases déterminées φ : x(t) = a i sin(π f i t + φ i ) i (x i,t) = (a i, f i,φ i ) représentation temporelle = représentation fréquentielle ou spectrale Traitement du Signal Numérique p.8/46

9 Transformée de Fourier : définition La transformée de Fourier permet de définir le spectre complexe X( f ) du signal x(t) par la relation : X( f ) = x(t)exp π j ft dt avec j = 1 cos(ωt) = 1 (exp( jωt) + exp( jωt)) sin(ωt) = 1 (exp( jωt) exp( jωt)) j Traitement du Signal Numérique p.9/46

10 Nombres complexes (rappels) deux notations pour le nombre complexe c: conversions: notation cartésienne: c = x + jy x (partie réelle) et y (partie imaginaire) sont des réels. On note Re(c) = x et Im(c) = y. j est l imaginaire pur (complexe tel que j = 1). notation polaire: c = ae jφ a (module / amplitude) et φ (argument / phase) sont des réels. e désigne la fonction exponentielle complexe (notation d Euler). passage polaire cartésien: x = acos(φ) et y = asin(φ) (formule d Euler). passage cartésien polaire: a = (x + y ) et φ = arctan(y/x) + α(x) π, où α(x) vaut 1 si x est négatif, et 0 sinon. Traitement du Signal Numérique p.10/46

11 Transformée de Fourier : définition Exemple de représentation fréquentielle : 1 sinusoïde sinusoïdes Traitement du Signal Numérique p.11/46

12 Principe de la TF Le théorème de Fourier indique que ce signal s peut être représenté par sous la forme: s(t) = A 0 + [A n cos(ω n t) + B n sin(ω n t)] n=1 La transformée de Fourier repose sur le principe d orthogonalité: où T T T T T T T T T sin(ω n t)cos(ω m t)dt = 0 n,m cos(ω n t)cos(ω m t)dt = 0 n m cos(ω n t)cos(ω m t)dt = 1 n = m 0 ω n = πn T Traitement du Signal Numérique p.1/46

13 Principe de la TF Ainsi, pour m fixé, nous pouvons écrire: B m = T T T s(t)sin(ω m t)dt B m = T T B m = A 0 T T T [A 0 sin(ω m t) + T sin(ω m t)dt + n=1 n=1 A n cos(ω n t)sin(ω m t) + A n T T T n=1 cos(ω n t)sin(ω m t)dt + B n sin(ω n t)sin(ω m t)]dt n=1 B n T T T sin(ω n t)sin(ω m t)dt Ainsi, d après les relations d orthogonalité, nous pouvons simplifier et retrouver la valeur de B m : B m = T T T s(t)sin(ω n t)dt Traitement du Signal Numérique p.13/46

14 Principe de la TF La valeur A 0 représente la moyenne du signal. Dans le cas d un signal électrique, on parle de composante continue (DC Direct Current): A 0 = 1 T T T s(t)dt Traitement du Signal Numérique p.14/46

15 Transformée de Fourier inverse La transformée de Fourier F est une application réversible : F 1 [F (x)] = x La transformée inverse de Fourier est définie par la relation : x(t) = X( f )exp +π j ft d f Traitement du Signal Numérique p.15/46

16 Spectre Approche spectrale: on ne s intéresse qu à la valeur des coefficients A n et B n Le spectre peut être simplement vu comme la représentation des valeurs des coefficients A n et B n en fonction de n. Sachant que n représente un nombre de périodes, les coefficents peuvent être interprétés comme des fréquences. Traitement du Signal Numérique p.16/46

17 Propriétés de la transformée de Fourier La transformée de Fourier possède quelques propriétés essentielles : La transformée de Fourier est une application linéaire: Echelle Quel que soit le réel c, S(αx + βy) = αx( f ) + βy ( f ) S(x(ct)) = 1 c X( f c ) Traitement du Signal Numérique p.17/46

18 Propriétés de la transformée de Fourier Retard Quel que soit le réel t 0, Décalage en fréquence Quel que soit le réel f 0, Dérivation S(x(t t 0 )) = exp( π j f 0 t)x( f ) S(exp(π j f 0 t)x(t)) = X( f f 0 ) S(x (t)) = π j f X( f ) Traitement du Signal Numérique p.18/46

19 Convolution et transformée de Fourier La transformée de Fourier d un produit de deux signaux est la convolution des transformées de Fourier des signaux. Ainsi, pour deux signaux x et y : S(xy) = X( f ) Y ( f ) S(x y) = X( f )Y ( f ) Traitement du Signal Numérique p.19/46

20 Théorème de Parseval Le théorème de Parseval découle de la définition et des propriétés de la transformée de Fourier: lim T ce qui peut également s écrire: 1 T T T x 1 Ω (t)dt = lim X(ω) dω Ω π Ω x(t) dt = 1 X(ω) dω π La densité spectrale d énergie (DSE) est définie par la fonction qui associe à une fréquence f la valeur X( f ). Traitement du Signal Numérique p.0/46

21 Transformée de Fourier en temps discret Si nous considérons que le temps est discret, le signal devient : x[k] = x(kt e ) où T e est la période d échantillonnage (en s) (inverse de la fréquence d échantillonnage F e (en Hz)) La transformée de Fourier est adaptée aux signaux numériques (échantillonnés), par la transformée de Fourier en temps discret : X( f ) = + x[n]e j π f n Fe n= où x représente le signal et X( f ) l estimation du spectre. t = n F e Traitement du Signal Numérique p.1/46

22 Transformée de Fourier discrète Si le signal est de durée finie transformée de Fourier discrète (DFT pour discrete Fourier Transform) : X( f ) = N 1 x[n]e j π f n Fe n=0 Traitement du Signal Numérique p./46

23 Propriétés de la DFT Pour un signal réel Symétrie Le spectre obtenu par la transformée de Fourier discrète est symétrique : f, S( f ) = S( f F e ) Périodicité La transformée de Fourier discrète d un signal est une fonction périodique de période F e : S( f + mf e ) = S( f ) Traitement du Signal Numérique p.3/46

24 Discrétisation des fréquences signal analysé discret (échantillons) discrétisation des fréquences la transformée discrète de Fourier définit des amplitudes correspondant à des fréquences discrètes, notées F k. Cette discrétisation est évidemment reliée à : la fréquence d échantillonnage F e la taille de la fenêtre de signal N pour laquelle le calcul est effectué Les fréquences f k valent : k {0;N}, f k = k F e N Traitement du Signal Numérique p.4/46

25 DFT La transformée de Fourier discrète peut donc aussi s écrire : X(k) = N 1 x[n]e j πkn N n=0 signal réel spectre conjugué-symétrique fréquence maximale: fréquence de Nyquist F e / spectre discret (échantillonné, par pas de F e /N Hertz) spectre périodique (de période N) un facteur de normalisation N est souvent employé dans l équation pour obtenir la valeur exacte des amplitudes du spectre. Traitement du Signal Numérique p.5/46

26 Amplitudes et phases Les valeurs des amplitudes et des phases de chacune des N composantes fréquentielles (casiers, bins), sont espacées de F e N. Ces amplitudes et ces phases sont directement accessibles à partir des complexes X(k) donnés par la transformée de Fourier discrète : A k = X(k) = [Re(X(k))] + [Im(X(k))] φ k = arg(x(k)) = arctan Im(X(k)) Re(X(k)) Traitement du Signal Numérique p.6/46

27 Egalité de Parseval Calcul de l énergie du signal aussi bien sur une représentation temporelle que sur une représentation spectrale. Dans le cas discret, l égalité de Parseval précise cette égalité: 1 N N 1 x(n) = n=0 N 1 X(k) k=0 Traitement du Signal Numérique p.7/46

28 DFT : exemple amplitude (db) frequence (Hz) spectre discret Traitement du Signal Numérique p.8/46

29 Dualité temporel / spectral domaine temporel domaine spectral zéro 0 zéro 0 impulsion de Dirac constante sinusoïde impulsion de Dirac addition + addition + convolution multiplication multiplication convolution Traitement du Signal Numérique p.9/46

30 Transformée de Fourier : coût Le calcul d une transformée de Fourier est coûteux : en temps de calcul en mémoire nécessaire pour sauvegarder le signal à analyser Or l analyse d un son (ou d un signal) requiert le calcul de nombreuses DFT. complexité: O ( N ) besoin d un algorithme efficace Traitement du Signal Numérique p.30/46

31 Transformée rapide de Fourier Sur le plan du temps, le calcul selon un algorithme naïf de la transformée de Fourier discrète d un signal de N échantillons nécessite, pour chaque valeur k, N multiplications complexes et N 1 additions complexes (double boucle) = N multiplications complexes et N N additions complexes : la complexité est en O(N ). Pour accélérer le temps de calcul et pour réduire la mémoire nécessaire au calcul, plusieurs algorithmes ont été proposés. Le plus classique (algorithme de Colley-Tukey) : diviser pour régner = au lieu d effectuer le calcul sur N échantillons, il est effectué fois sur deux signaux de N échantillons. Le signal est découpé en segments. Traitement du Signal Numérique p.31/46

32 Algorithme de FFT Nous notons dans la suite WN kn s écrit donc : j πkn = e N. La transformée de Fourier discrète X(k) = X(k) = X(k) = N 1 x[n]wn kn n=0 N 1 x[m]wn mk + x[m + 1]W (m+1)k N m=0 N 1 x[m]wn mk + x[m + 1]WNW k N mk m=0 Traitement du Signal Numérique p.3/46

33 Algorithme de FFT () En remarquant que W mk N = W mk N, l équation précédente devient : X(k) = X(k) = N 1 x[m]w mk N + x[m + 1]W k m=0 NW mk N N 1 x[m]w mk N +WN k m=0 X(k) = X 1 (k) +W k NX (k) N 1 x[m + 1]W mk N m=0 Traitement du Signal Numérique p.33/46

34 Algorithme de FFT (3) De plus, il est possible de simplifier en apppliquant la périodicité ( N ) de W mk N : et que : X 1 (k) = X 1 (k + N ) X (k) = X (k + N ) W k+ N N = W k N Ainsi, pour k {0;1;...; N 1 }, la transformée de Fourier discrète s écrit donc : X(k) = X 1 (k) +W k NX (k) X(k + N ) = X 1(k) W k NX (k) Traitement du Signal Numérique p.34/46

35 Coût de l algorithme FFT Le coût de l algorithme est donc : ( N ) multiplications pour X 1 et X ( DFTs) N multiplications pour la reconstruction Total : ( N ) + N = N + N N multiplications au lieu des N multiplications initiales. En redivisant ce processus par, on obtient 4( N 4 ) + N 4 + N = N 4 + N N 4. En effectuant cette redivision plusieurs fois, on arrive à une transformée de Fourier sur éléments. Traitement du Signal Numérique p.35/46

36 Coût de l algorithme FFT () Le coût C de l algorithme provient donc uniquement de la reconstruction : C = m N où m = log (N). L algorithme est donc en O(N log (N)) au lieu de O(N ). Illustration de l algorithme de la transformée rapide de Fourier. Traitement du Signal Numérique p.36/46

37 Exemple: N = 8 graphe butterfly (papillon) Traitement du Signal Numérique p.37/46

44 Exemple: N = 8 graphe butterfly (papillon): profondeur log (N) = les indices se retrouvent permuttés... ( bit reversal ) Traitement du Signal Numérique p.44/46

45 Coût de l algorithme FFT L algorithme de transformée rapide de Fourier (Fast Fourier Transform ou FFT) permet de calculer la transformée de Fourier d un signal de longueur N avec une complexité en O(N log (N)) Contrainte : N est une puissance de. Traitement du Signal Numérique p.45/46

46 Implémentation de la FFT Une implémentation de cet algorithme est proposée par le MIT sous le nom de FFTW (Fastest Fourier Transform in the West) Traitement du Signal Numérique p.46/46