En notation musicale la suite des harmoniques s'écrit :

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1 Chapitre 4 : Acoustique musicale Une onde sonore périodique, donc de fréquence déterminée, est perçue comme un son musical - son grave si la fréquence est basse, son aigu si elle est élevée. Mais qu'est-ce qui distingue le son d'un violon de celui d'une clarinette ou d'un tambourin? Comment articule-t-on les différentes voyelles? Quelle est l'incidence de sons très intenses et prolongés sur l'audition? Ce chapitre, essentiellement descriptif et informatif, a pour but d'expliquer le principe de fonctionnement de quelques instruments de musique, de l'oreille ainsi que de la voix, à partir des notions vues dans les chapitres précédents. 4.1 Harmoniques, gammes et instruments de musique Si la fréquence d'une onde sonore périodique est liée à la hauteur du son perçu, comment l'oreille interprète-t-elle alors les harmoniques c'est-à-dire les ondes dont les fréquences sont des multiples entiers de la fréquence f 1 d'un son fondamental? L'expérience montre que si f 1 est une fréquence correspondant à un Do 1, alors f 2 = 2f 1 représente le Do à l'octave supérieure, noté Do 2, f 3 = 3f 1 le Sol au-dessus de Do 2 soit Sol 2, f 4 = 4f 1 le Do suivant, Do 3 et ainsi de suite. On génère ainsi les notes que nous connaissons : Rang f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 f 8 f 9 f 10 f 11 f 12 f 13 f 14 f 15 f 16 f 17 Note Do 1 Do 2 Sol 2 Do 3 Mi 3 Sol 3 Sib 3 Do 4 Ré 4 Mi 4 Fa# 4 Sol 4 Lab 4 Sib 4 Si 4 Do 5 Do# 5 En notation musicale la suite des harmoniques s'écrit : La série des harmoniques permet de définir les intervalles de notre gamme musicale. En effet, les harmoniques 1 et 2 (Do 1 Do 2 ), puis 2 et 4 ainsi que 4 et 8 etc. sont séparées par une octave. Le rapport des fréquences correspondant à l'intervalle d'octave est donc toujours le même et vaut ici 2/1 = 4/2 = 8/4. Pour la quinte, intervalle entre les harmoniques 2 et 3 (Do 2 Sol 2 ), le rapport des fréquences est de 3/2. Pour la tierce majeure, intervalle entre les harmoniques 4 et 5 (Do 3 Mi 3 ), il vaut 5/4. On peut établir de la sorte le rapport des fréquences pour un intervalle musical quelconque. En divisant l'octave en 12 demi-tons égaux, on obtient pour le rapport des 12 fréquences correspondant à un demi-ton, la valeur 2 1,06. Ainsi, en modifiant de 6% la longueur vibrante d'une corde ou d'un tuyau, on change la hauteur d'un son d'un demi-ton. Ceci permet de comprendre la disposition des frettes (petites barrettes métalliques) le long du manche de la guitare et dont le rôle est de délimiter les longueurs vibrantes de la corde pour obtenir une suite de demi-tons. Manche de guitare avec frettes indiquant la position des demi-tons

2 Chapitre 4 : Acoustique musicale Instruments à cordes Les cordes déplacent très peu d'air en vibrant. Les sons qu'elles produisent sont quasiment inaudibles et doivent donc être amplifiés. Ceci est réalisé en couplant les cordes à une table d'harmonie par l'intermédiaire d'un chevalet : la vibration sonore est alors transmise à la table et rayonnée par l'ensemble de celle-ci. Le chevalet est bien visible dans le cas du violon où il est tenu par les cordes tendues qui l'appuient contre la table d'harmonie. Pour résister mécaniquement à la pression des cordes, la table est légèrement bombée et est de plus soutenue par un petit cylindre en bois (l'âme) qui s'appuie sur le fond de la caisse du violon. Violon avec chevalet et âme visible à travers l'ouïe Les fréquences propres de la table d'harmonie jouent bien sûr un rôle important pour la qualité du son puisqu'elles filtrent les fréquences produites par la corde, en renforçant certaines et en atténuant d'autres. Le violon comporte 4 cordes de diamètres différents que l'on accorde en ajustant leur tension. La longueur vibrante L des cordes est définie par la position des doigts sur la touche et permet de produire toutes les notes de la gamme, avec une fréquence fondamentale valant f1 = (1/2L) F / µ. Dans le cas du piano, la vibration des cordes est également transmise à la table d'harmonie par l'intermédiaire de deux chevalets, un pour les notes graves, un autre pour les notes aiguës et intermédiaires. Mais ici la longueur des cordes est définie une fois pour toutes par le constructeur et ne peut être modifiée par l'exécutant. Le clavier comprend 88 touches et à chacune des touches est associée une seule note. On voit dans l'illustration de gauche ci-dessous les chevalets fixés sur la table d'harmonie et sur l'illustration de droite comment les cordes des notes graves entrent en contact avec le chevalet. On notera par ailleurs que les cordes des graves sont filées, c'est-àdire qu'elles sont constituées d'un coeur en acier sur lequel est enroulé en spirale un fil de cuivre. Ceci permet d'obtenir des cordes possédant une grande masse linéique tout en restant souple ce qui favorise l'émission des harmoniques et assure une bonne consonance à la note. Piano : table d'harmonie avec les deux chevalets et fixation des cordes

3 Chapitre 4 : Acoustique musicale Instruments à vent L'intensité sonore produite par la colonne d'air mise en vibration dans un instrument à vent est suffisante pour que le son soit audible directement. La hauteur de la note émise dépend de la longueur du tuyau et des conditions d'ouverture et de fermeture à ses extrémités. Ainsi la flûte et la clarinette, bien qu'ayant approximativement la même longueur, sonnent à l'octave l'une de l'autre. En effet, l'excitation de la colonne d'air dans la clarinette se fait à l'aide d'une anche que l'on pince entre les lèvres et l'extrémité à laquelle elle est fixée doit donc être considérée comme fermée. Par contre, dans le cas de la flûte, l'embouchure dans laquelle on souffle constitue une extrémité ouverte. Clarinette et flûte : comparaison des longueurs Ainsi la note fondamentale produite par une clarinette est donnée par f1 = vair /(4L) e t celle produite par la flûte vaut f1 = vair /(2L). Les notes de la gamme chromatique s'obtiennent en variant la longueur de la colonne d'air résonante. Pour cela on ouvre ou ferme les trous disposés le long du corps de l'instrument. Notons encore que la clarinette ne produit que des harmoniques impaires et nécessite de ce fait davantage de trous qu'une flûte et donc un doigté plus complexe. d'un instrument à vent, il influence le timbre en favorisant, s'il est petit, Quant au diamètre l'émission d'harmoniques de rang élevé. Dans le cas des cuivres, les notes sont produites tout d'abord par l'émission de la série des harmoniques. Pour accéder aux fréquences comprises entre les harmoniques 2 et 3 (l'harmonique 1 n'est pratiquement pas utilisée), soit un intervalle de 7 demi-tons, on ajoute des longueurs de tuyaux : longueurs continûment variables dans le cas du trombone, 3 longueurs de tuyaux sélectionnés par 3 pistons dans le cas de la trompette permettant de produire, par combinaisons, toutes les notes comprises entre les harmoniques 2 et 3. Illustration de gauche : trompette avec les trois pistons bien visibles. Illustration de droite : deux des trois tuyaux qui servent à rallonger la colonne d'air ont été enlevés

4 Avec le cor de Alpes (ainsi qu'avec les trompettes naturelles utilisées du temps de Bach), la seule manière d'exécuter des mélodies est d'utiliser uniquement les fréquences de résonance (les harmoniques) de l'instrument puisque sa longueur n'est pas variable. 4.2 Interférences des ondes sonores Alors que précédemment nous avons examiné les superpositions d'ondes de même fréquence, dans ce qui suit on considérera la superposition de deux ou plusieurs ondes sonores sinusoïdales de fréquences différentes, ce qui conduit à deux situations particulièrement intéressantes. Tout d'abord, on verra que la superposition de deux sons de fréquences voisines produit des battements. Ensuite, que la superposition de sons dont les fréquences sont des multiples entiers de la fréquence d'un son fondamental permet d'obtenir des sons de même hauteur mais de timbres différents. Nous aurons ainsi abordé quelques notions de base pour la compréhension de l'analyse et de la synthèse des sons musicaux. Battements Soient deux signaux de même amplitude et de fréquences voisines f 1 et f 2, décrits par les fonctions y 1 (x,t) = Asin(k 1 x ω 1 t) et y 2 (x,t) = Asin(k 2 x ω 2 t). En utilisant les propriétés d'addition des fonction trigonométriques et en se plaçant en un point fixe, par exemple x = 0, on trouve que l'onde résultante est une onde de fréquence f = ( f 1 + f 2 ) /2 dont l'amplitude est modulée à la fréquence Δf = f 1 f 2. En haut :deux ondes de fréquences voisines ; en bas : superposition de ces deux ondes A l'oreille, on entend un son de fréquence f modulé par un "ouaw-ouaw" de fréquence Δf. On utilise les battements pour accorder précisément les instruments de musique. Lorsque les fréquences s'éloignent peu à peu l'une de l'autre, le son se transforme en une vibration unique dissonante puis finalement, lorsque la séparation fréquentielle est suffisante, en deux sons distincts. Exemple 1 : Deux sons de fréquence 440 Hz et 442 Hz sont émis simultanément. On entend alors une modulation d'intensité à la fréquence 2 Hz. Exemple 2 : Un son de fréquence 440 Hz est émis simultanément avec un son de fréquence inconnue. On entend un battement de 3 Hz, ce qui signifie que la deuxième source a une fréquence de 443 Hz ou de 437 Hz

5 Timbre : synthèse et analyse des sons Le son émis par un diapason est une vibration sinusoïdale présentant une seule fréquence bien précise (par exemple 440 Hz) : c'est un son pur. Par contre, le son produit par une corde ou une colonne d'air et qui est lui aussi périodique, est un son complexe puisque constitué par la superposition d'une vibration fondamentale et de ses harmoniques. C'est la fréquence du son fondamental, indépendamment de la valeur de son amplitude, qui détermine la hauteur du son complexe. L'ensemble des sons harmoniques, caractérisés par leur fréquence et leur amplitude, détermine le timbre du son. Les figures suivantes représentent les ondes sinusoïdales, identifiées par leurs fréquences f 1, 2f 1 et 3f 1, que l'on a utilisées pour synthétiser un son, ainsi que la somme de ces trois fonctions, notée y tot. Les deux exemples choisis diffèrent par les amplitudes relatives des harmoniques et illustrent donc deux sons de même hauteur mais de timbres distincts : Si l'on reporte les fréquences sur l'axe des abscisses et les amplitudes correspondantes sur l'axe des ordonnées, on obtient les spectres suivants pour les deux sons créés ci-dessus :

6 Une autre représentation, mieux adaptée à la description d'un son musical qui est presque toujours variable au cours du temps, est le sonagramme (appelé parfois sonogramme). C'est une représentation dans laquelle on reporte trois paramètres : le temps en abscisse, la fréquence en ordonnée et l'amplitude traduite par un trait plus ou moins gros (ou plus ou moins foncé). Pour les deux cas traités ci-dessus et en admettant pour simplifier que les sons ne varient pas au cours du temps, on obtiendrait les sonagrammes suivants : En pratique, l'analyse d'un son quelconque est réalisée à l'aide d'algorithmes informatiques basés sur la transformée de Fourier rapide (FFT) et nécessite l'utilisation d'un programme spécialisé. Quelques exemples sont présentés ci-dessous : Sonagramme d'un diapason : Sonagramme d'un bruit : Clarinette Violon Ces sonagrammes permettent de constater que le diapason ne possède qu'une seule fréquence, que le bruit contient un continuum de fréquences et qu'on ne peut parler dans ce cas de fréquence fondamentale et d'harmoniques, qu'un tuyau ouvert-fermé (clarinette) ne présente que des harmoniques impaires et que le violon possède beaucoup d'harmoniques. En général l'intensité des harmoniques varie au cours du temps

7 L'analyse des sons, dont le but est de déterminer les fréquences des harmoniques constituant un son complexe donné, peut être comparée à l'analyse et à la décomposition de la lumière blanche. Là aussi il s'agit de déterminer les fréquences des ondes (c'est-à-dire les couleurs) qui la constitue. Spectre sonore (spectrogramme) et spectre lumineux (arc-en-ciel ou spectre de raies - voir chapitre suivant) apportent un type d'information comparable, une fois dans le domaine des sons, une autre fois dans celui de la lumière. 4.3 L'oreille humaine L'oreille est composée de trois parties : l'oreille externe (pavillon et conduit auditif), l'oreille moyenne (osselets) et l'oreille interne (cochlée). Sa fonction est de transformer un signal sonore en un signal électrique qui sera transmis au cerveau. Au cours du processus, l'onde sonore se propage d'abord dans l'air (oreille externe) puis dans un liquide (oreille interne) : ceci nécessite d'optimaliser le passage de l'onde d'un milieu à un autre, afin d'éviter de trop grandes pertes d'intensité. Le son qui se propage dans l'air met en vibration le tympan, auquel sont reliés les osselets. Ceuxci amplifient la vibration en se comportant à la fois comme leviers et comme "multiplicateurs" de pression. La pression sonore amplifiée est ensuite transmise, via la fenêtre ovale, à l'oreille interne, remplie de liquide. Les oscillations du liquide sont communiquées aux cils de cellules spécialisées et ce sont elles qui transforment finalement le signal acoustique en un signal électrique. La sensibilité de l'oreille varie en fonction de la fréquence du son : elle chute pour les fréquences très basses ou très élevées et est maximum entre 1 et 5 khz. Le diagramme de Fletcher cidessous donne les niveaux sonores (db) correspondant à une perception de même intensité sonore, en fonction de la fréquence f (Hz) (courbes d'isosonie)

8 Diagramme de Fletcher : courbes d'isosonie en fonction de la fréquence Par ailleurs, la perception des hautes fréquences diminue avec l'âge, comme le montre le graphique ci-dessous. Variation de la sensibilité auditive en fonction de la fréquence pour différents âges L'oreille humaine est un organe très sensible qui se détériore si on le soumet à des bruits trop intenses. Le temps d'exposition au bruit joue également un rôle. On admet que le niveau sonore dans un lieu public ne devrait pas dépasser 93 db quelle que soit la durée d'exposition. Des pertes auditives ou l'apparition d'acouphènes peuvent survenir si la sollicitation de l'oreille est exagérée (walkman à fond, musique d'orchestre, discothèques...). Le schéma ci-dessous représente la durée d exposition hebdomadaire tolérable selon l intensité du bruit. Durée d'exposition hebdomadaire tolérable selon le niveau d'intensité pour éviter des lésions de l'oreille

9 4.4 La voix humaine L'instrument musical le plus répandu, bien qu'il soit le moins visible, est la voix! Une brève description anatomique et fonctionnelle suivie de l'analyse de quelques sons parlés, permettra de comparer les caractéristiques de la voix à celles des instruments décrits plus haut. Une coupe sagittale de la tête montre les éléments jouant un rôle pour l'émission vocale. Les principaux organes sont décrits ci-dessous. (a) Les cordes vocales: elles sont constituées de muscles et de ligaments recouverts de muqueuse et sont fixées d une part à la "pomme d Adam" et d autre part à deux petits cartilages mobiles. Les cordes vocales peuvent être plus ou moins rapprochées : lors de la respiration normale, elles sont écartées, laissant un passage complet à l air. Par contre, lorsque l'on parle ou que l'on chante, elles sont mises en vibration par l air sortant des poumons, se rapprochant et s'écartant alternativement à une fréquence déterminée par leur masse et leur tension. (b) Le conduit vocal: il s étend du larynx jusqu à la bouche (et/ou au nez) et joue le rôle de caisse de résonance. On peut le modéliser comme un ensemble de cavités souples - cavité buccale, cavité formée par l'arrière-gorge (pharynx), cavité nasale - dont on peut modifier à volonté la forme et le volume. En changeant la position des organes tels que les lèvres, la mâchoire, la langue ou le larynx, la section et la longueur du conduit vocal sont modifiées en certains endroits bien précis, favorisant ainsi l'émission de fréquences de résonance particulières. Le conduit vocal agit donc comme un filtre de fréquences et détermine l'émission des voyelles ainsi que le timbre particulier d'une voix donnée. Coupe sagittale de l'appareil phonatoire Schéma des cordes vocales Photographie des cordes vocales

10 Selon les voyelles prononcées, c'est l'une ou l'autre des deux cavités les plus importantes (bouche et arrière-gorge) qui est dilatée de manière significative. Par exemple, pour émettre un a, on ouvre la cavité buccale tout en resserrant l'arrière-gorge. Pour la prononciation d'un i, c'est l'inverse. Quant à l'articulation du ou, la situation est intermédiaire, les deux cavités étant partiellement ouvertes. La représentation schématique de la position des organes phonatoires lors de la prononciation des voyelles a, i et ou est donnée ci-dessous : Le modèle physique simplifié qui permet de décrire le fonctionnement des organes phonatoires, est constitué d'un ensemble de deux tuyaux couplés pour lesquels on peut calculer les fréquences de résonance : [a] [i] [ou] Bien que les calculs dépassent largement le cadre de ce cours, il est cependant possible d'imaginer que l'intensité des différentes harmoniques dépendra de la longueur et du diamètre des tuyaux. Les figures ci-dessous sont des exemples d'analyse spectrales (sonagrammes) pour une voix prononçant deux voyelles différentes. Ces sonagrammes présentent une structure générale semblable quel que soit le locuteur, car chaque voyelle est caractérisée par une signature spectrale qui lui est propre. Sonagramme du son "a" Sonagramme du son "i"

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12 Exercices Dans ce qui suit on considère que les instruments de musique sont conçus pour produire une gamme chromatique. Sauf indication contraire, la température ambiante est de 20 C. 1. Quelle est la fréquence la plus basse produite par une clarinette (tuyau cylindrique ouvertfermé) longue de 65 cm? A quelle note cela correspond-il? 2. L'orgue peut produire des notes très graves et il faut donc des tuyaux de longueur adéquate. Discuter comment l'utilisation de tuyaux ouverts-fermés permet de gagner de la place. 3. Quelle différence y a-t-il, pour ce qui est de la perception sonore, entre un tuyau ouvertouvert long de 10 m et un tuyau ouvert-fermé long de 5 m? 4. A chaque note du piano correspond en principe une corde. On suppose que toutes les cordes sont tendues avec la même tension et qu'elles sont faites de la même matière. Considérer dans ce qui suit que le piano possède une étendue de 7 octaves. (a) Si, pour produire les différentes notes, les cordes sont toutes de même diamètre mais de longueur différentes, quelle doit être la longueur de la corde correspondant au son le plus grave si la corde produisant le son le plus aigu est longue de 8 cm? (b) Si, pour produire les différentes notes, les cordes sont toutes de même longueur mais de diamètres différents, quelle doit être le diamètre de la corde correspondant au son le plus grave si la corde produisant le son le plus aigu a un diamètre de 1 mm? 5. Le conduit externe de l'oreille est long de 2,8 cm en moyenne. Calculer les deux premières fréquences de résonance de ce "tube". 6. Un son de 90 db parvient à l'oreille. Quelle est l'intensité du son? Quelle est la puissance absorbée par le tympan si on suppose que son diamètre est de 0,6 cm? 7. Combien d'heures d'écoute quotidienne une personne appréciant la musique à un niveau sonore de 90 db peut-elle se permettre en étant sûre de ne pas subir de dommages auditifs? 8. Quel est le domaine des fréquences pour lequel l'oreille est la plus sensible? 9. Quelles sont les fréquences que l'on entend moins bien en vieillissant? 10. Les différentes voyelles sont des sons qui différent par leur timbre. Expliquer

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14 11. Esquissez le sonagramme de la voyelle "a" parlée par un homme, une femme, un enfant. En quoi diffèrent les sonagrammes correspondants? 12. Comment produit-on les différentes notes dans une trompette naturelle (à cause de la forme particulière de la trompette toutes les harmoniques - paires ou impaires - peuvent être produites)? 13. Quelle doit être la longueur d'un cor des Alpes pour que la 8 ème harmonique produite par le cor soit un La 440 Hz? Quelles notes sont associées à la 9ème et 10ème harmonique? Remarque : cet instrument étant conique, toutes les harmoniques (paires et impaires) peuvent être émises. 14. Combien de trous au minimum faut-il prévoir pour la flûte traversière et comment fait-on pour pouvoir en jouer sur une étendue de 2 octaves? 15. Une flûte de Pan est composée de 5 tubes. Le plus long mesure 20 cm et produit la note la plus grave. Les autres tubes sont construits pour produire un son qui soit (a) une octave, (b) une quinte, (c) une quarte, (d) une tierce au-dessus de la note la plus grave. Quelle doit être la longueur de chacun de ces tubes? 16. Combien de trous au minimum faut-il prévoir sur une clarinette pour pouvoir jouer une gamme chromatique sur une octave? 17. L'accord des 4 cordes du violon est le suivant (de la corde grave à la corde aiguë) : Sol, Ré, La, Mi. La fréquence fondamentale du La est de 440 Hz. Calculer la fréquence fondamentale produite par les autres notes. 18. Démontrer (ou se convaincre) que le rapport de fréquences pour un intervalle de demi-ton 12 vaut bien 2 1, Quel est l'intervalle musical formé par les sons de fréquences 264 Hz et 396 Hz? Même question pour les sons de fréquences 1056 Hz et 1584 Hz. Que peut-on dire de la relation existant entre ces deux intervalles? 20. Quelle doit être la longueur d'une flûte traversière pour que la note la plus grave qu'elle puisse produire soit un Do? Quelle information supplémentaire faut-il fournir pour que la réponse soit sans équivoque?

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