Fonctions dérivées. est la courbe représentative d une fonction f définie sur [ 3 ; 2].

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1 3 Fonctions dérivées Échauffez-vous! est la courbe représentative d une fonction f définie sur [ 3 ; 2]. 2 et sont les tangentes à au points d abscisses 2 et. Les tangentes et à au points d abscisses et sont parallèles à l ae des abscisses Cochez la case correspondant à la réponse eacte. a) Le coefficient directeur de la tangente à au point d abscisse 2 est : 3 9 On en déduit que le nombre dérivé f ( 2) de f en 2 est : 3 9 b) Le coefficient directeur de la tangente à au point d abscisse est : 3 9 On en déduit que le nombre dérivé f () de f en est : 3 9 c) Le nombre dérivé de f en et en est : Reliez chaque tangente à son équation. 2 y = 3 y = y = 3 + y = y Aide Nombre dérivé de f en A C est le coefficient directeur de la tangente au point A, d abscisse A, à la courbe représentative de f. Il est noté f ( A )

2 Fonctions dérivables, dérivées. Connaître les dérivées des fonctions usuelles Une fonction f, définie sur un intervalle I, est dérivable sur I lorsqu elle admet en tout de I un nombre dérivé, f (). On appelle alors dérivée de f la fonction, notée f, qui, à tout de I, associe le nombre dérivé f (). Les fonctions usuelles sont dérivables. Les intervalles sur lesquels elles sont dérivables, ainsi que leurs dérivées, sont donnés dans le tableau suivant : Fonction définie sur : Epression de la fonction : f() = a + b Fonction dérivable sur : Epression de la dérivée : f () = a f() = b (constante) f () = c() = 2 c () = 2 ] ; + [ ou ] ; [ q() = 3 q () = 3 2 s() = ] ; + [ ou ] ; [ s () = 2 [ ; + [ r() = ] ; + [ r () = 2 Activité. Complétez. (Utilisez le tableau précédent.) a) c ( 3) = 6 ; c ( ) = 2 ; c () = ; c () = 2 ; c (3) = 6. b) q ( 3) = 27 ; q ( ) = 3 ; q () = ; q () = 3 ; q (3) = 27. c) s ( 2) = 4 ; s ( ) = ; s (,5) = 4 ; s () = ; s (2) = 4. d) r (,6) =,25 ; r () =,5 ; r (4) =,25 ; r (25) =,. 2. Pour chaque cas, en utilisant la question., donnez deu nombres et 2 pour lesquels : a) q ( ) = q ( 2 ); = ; 2 =. b) c ( ) = c ( 2 ); = 3 ; 2 = 3. c) s ( ) = 4s ( 2 ); =,5 ; 2 =. 3. On note t c, t q, t s et t r les tangentes respectives au courbes représentatives des fonctions c, q, s et r, au point d abscisse. Reliez chaque tangente à son coefficient directeur. (Utilisez la question..) t c 3 t q t s 2 t r,5 4 35

3 2. Comment déterminer l équation réduite de la tangente en un point à la courbe représentative d une fonction? Méthode On veut déterminer l équation réduite de la tangente à la courbe représentative d une fonction f au point A, d abscisse A. Étape Calculer f ( A ). Étape 2 Écrire l équation réduite sous la forme y = f ( A ) + b. Étape 3Calculer f( A ), puis résoudre l équation f ( A ) A + b = f( A ), d inconnue b, et écrire l équation réduite de la tangente. Étape 4 Contrôler le résultat en réalisant un tracé sur écran de calculatrice.. Soit s la fonction définie sur [ ; 3] par s() =. Déterminez l équation réduite de la tangente à la courbe représentative de s au point d abscisse 2. Solution Étape s () = 2. Ainsi, s (2) = 4. Étape 2 L équation réduite de la tangente est donc de la forme y = 4 + b. Étape 3 s(2) = 2. On résout l équation b = 2, d inconnue b, pour obtenir b =. L équation réduite de est donc y = 4 +. Étape 4 On donne un tracé de la courbe, issu d un tableur ; tracez la tangente. 2. Soit r la fonction définie sur [ ; 2] par r() =. Déterminez l équation réduite de la tangente à la courbe représentative de r au point d abscisse. Solution Étape r () = 2. Ainsi, r () = 2. Étape 2 L équation réduite de est de la forme y = 2 + b. Étape 3 r() =. On résout l'équation = + b, d inconnue b. 2 On obtient b = 2. L équation réduite de est donc y = Étape 4 On donne un tracé de la courbe, issu d un tableur ; tracez la tangente.,5,5,5,5,5 36 CHAPITRE 3 FONCTIONS DÉRIVÉES 36 4

4 2 Opérations sur les dérivées. Connaître la dérivée d une somme ou d une différence, du produit par un nombre réel On considère une fonction f, définie sur un intervalle I. Le tableau suivant donne des égalités permettant de calculer des dérivées. u et v sont des fonctions définies et dérivables sur I Si f() s écrit alors f est dérivable sur I et f () est égal à Somme u + v f() = u() +v() f () = u () +v () Différence u v f() = u() v() f () = u () v () Produit ku par un nombre réel k f() = ku() f () = ku () Activité Soit u et v les fonctions définies sur [ ; 2,7] par u() = 2 et v() = 2 +,5.. a) Rayez les encadrés ineacts. u () = 2 / 2 /, donc u () = / 2 / et u (2) = 2 / 4 /. v () =,5 / 2 /, donc v () =,5 / 2 / et v (2) =,5 / 2 / 2. b) Complétez. u () + v () = ; u (2) + v (2) = Rayez les encadrés ineacts. a) On donne ci-contre un tracé de la courbe représentative de la fonction f définie sur [ ; 2,7] par f () = u() + v() = 2 2 +,5 et de ses tangentes et 2 au points d abscisses et 2. Par lecture graphique des coefficients directeurs de et de 2, on constate que f () = 2 / /,5 / et que f (2) = 2 / /,5 /. b) On donne ci-contre un tracé de la courbe représentative 2 de la fonction f 2 définie sur [ ; 2,7] par f 2 () =,5u() =,5 2 et de ses tangentes et 2 au points d abscisses et 2. Par lecture graphique des coefficients directeurs de et de 2, on constate que f 2 () = / / / 2 et que f 2 (2) = / / / a) Complétez avec l un des signes «=» ou. (Utilisez. et 2..) f () = u () + v () et f 2 () =,5u () et b) Rayez l encadré ineact. f (2) = u (2) + v (2). f 2 (2) =,5u (2). Pour les fonctions u et v précédentes et pour = et = 2, on vient de vérifier les re / 2 e / 3 e égalités de l encadré. 3,5 3 2,5 2,5 y 2,5,5 2 3 y,5,5,5 2 2,5 3 3,

5 2. Comment déterminer la dérivée d une fonction f? Méthode 2 Étape On identifie la forme de f() : somme u() + v(), différence u() v(), produit ku(), combinaison des trois (où u et v sont des fonctions usuelles). Étape 2 On calcule les dérivées de chacun des éléments formant f() :u (), v (),, avec les résultats sur les dérivées des fonctions usuelles (voir p. 56). Étape 3On calcule f (), avec les résultats des opérations sur les dérivées (voir p. 58), puis on simplifie l écriture de la dérivée obtenue, si nécessaire.. Soit f la fonction définie sur [ 3 ; 6] par f() = 5 3. Calculez f (). 2. Soit g la fonction définie sur [,5 ; 4] par g() = Calculez g (). 3. Soit h la fonction définie sur ] ; 5] par h() = Calculez h (). Solution. Étape f() s écrit ku(), avec k = 5 et u() = 3. Étape 2 On utilise le résultat sur la dérivée de la fonction usuelle «cube» : u () = 3 2. Étape 3 On utilise le résultat sur le produit par un nombre réel : f () = ku () = = Étape g() s écrit k u() + k 2 v() w(), avec k = 4, k 2 = 2, u() = 3, v() = 2 et w() = 5. Étape 2 On utilise les résultats sur les dérivées des fonctions usuelles (ici «cube», «carré» et «constante») : u () = 3 2, v () = 2 et w () =. Étape 3 On utilise les résultats sur le produit par un nombre réel et sur la somme et la différence : g () = k u () + k 2 v () w () = = Étape h() s écrit k u() + k 2 v(), avec k = 2, k 2 = 3, u() = 3 et v() =. Étape 2 On utilise les résultats sur les dérivées des fonctions usuelles (ici «cube» et «inverse») : u () = 3 2 et v () = 2. Étape 3 On utilise les résultats sur le produit par un nombre réel et sur la somme : h () = CHAPITRE 3 FONCTIONS DÉRIVÉES 38 43

6 3 Sens de variation et etremums d une fonction. Déterminer le sens de variation avec le signe de la dérivée Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et J un intervalle inclus dans I. Si, pour tout de J, f (), alors f est strictement croissante sur J. Si, pour tout de J, f (), alors f est strictement décroissante sur J. Activité Soit f la fonction définie sur [ ; 4] par f() = Rayez l encadré ineact. a) f () est égal à : / b) La solution de l équation f () = est :,25 /,25. c) Le tableau de signe de f () est : d) Le tableau de variation de f est :,25 4,25 4 f () + f () +,25 4,25 4 f () + f () ,25 7, Tracez la courbe représentative de f sur calculatrice et contrôlez les résultats précédents. 2. Visualiser ce qu est un etremum d une fonction Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Lorsque, dans l intervalle I, autour d un nombre, le tableau de variation de f se présente sous l une des formes suivantes, on dit que f a un etremum en. f () + f () + f( ) f( ) Minimum en, égal à f( ) Maimum en, égal à f( ) Activité 2 Rayez l encadré ineact.. Le tableau de variation la fonction f de l activité permet d affirmer qu elle a un etremum en,25. Il s agit d un minimum / maimum, égal à 7, Un tracé de la courbe et le tableau de variation, autour de, de la fonction cube q, définie par q() = 3 sont donnés ci-contre. Cet eemple permet d affirmer que lorsque la dérivée d une fonction est nulle pour un nombre, elle a / n a pas forcément un etremum en. q () + + q () 44 39

7 3. Comment étudier le sens de variation d une fonction f et déterminer ses éventuels etremums? Méthode 3 Étape Calculer f (). Étape 2 Étudier le signe de f (), en résolvant s il y a lieu l équation f () =. Étape 3 Déduire du signe de f () le sens de variation de f et dresser le tableau de variation de f. (Le contrôler avec un tracé de la courbe représentative de f sur calculatrice.) Étape 4 Lire dans ce tableau de variation les éventuels etremums de f. Soit f la fonction définie sur [, ; 4] par f() = + 4. Étudiez le sens de variation de f et dressez son tableau de variation, puis déterminez ses etremums. Solution Étape f() s écrit u() + kv(), avec u() =, k=4 et v() =. On a u () = et v () = 2, donc f () = 4 2. Étape 2 On étudie le signe de f () ; pour cela on factorise : 4 2 = 2 4 ( + 2) ( 2) 2 = Pour appartenant à [, ; 4], puisque 2, f () a le signe de 2, d où son tableau de signe :, f () + Étape 3 D après le tableau de signe précédent : pour appartenant à [, ; 2[, f () <, donc f est strictement décroissante sur [, ; 2[ ; pour appartenant à ]2 ; 4], f () >, donc f est strictement croissante sur ]2 ; 4]., 2 4 f () + 4, 5 4 (Tableau à contrôler avec un tracé de la courbe représentative de f sur calculatrice.) Étape 4 fonction a un minimum en 2, égal à 4. 4 CHAPITRE 3 FONCTIONS DÉRIVÉES 4 45

8 . f () = 2 2. f (2) =,25 et f(2) =,5. L équation de la tangente est de la forme y =,25 + b ; on résout alors l équation d inconnue b :,5 =, b, soit b =. Ainsi, : y =, Tracé sur l écran de la calculatrice. 2 f () = 3². f ( ) = 3 ( )² = 3 ; f ( ) = 3 ² = 3. Les coefficients directeurs des tangentes à au points d abscisses et sont égau, donc ces tangentes sont parallèles. 3. Vrai. 2. Fau. g () = 3², donc g ( 2) = 2. Le coefficient directeur de la tangente à g au point d abscisse 2 est Vrai. 4. Fau. f () = 2, donc f ( ) = 2 <. 5. Fau. g () = 3 2, donc g'() =. 6. Fau. f'() = 2, donc f'( ) = 2 <. 4 a) f () = 2. b) f () =. c) f () = 3 2. d) f () = 2 2. e) f () = a) f () = b) f () = 3² + 2. c) f () = 2² 7. d) f () = ² e) f () = a) f () = + 8. b) f () = 6² 2. c) f () = 2² 2. d) f () = 5² 4 2. e) f () = a) f () = 8 +. f () > pour tout de I, donc f est strictement croissante sur I. 5 f () + 5 fonction n'a pas d'etremum. b) f () = f () = équivaut à = 8. Pour appartenant à [ ; 8 [, f () >, donc f est strictement croissante sur [ ; 8 [ ; pour appartenant à ] 8 ; 4 ], f () <, donc f est strictement décroissante sur ] 8 ; 4 ]. 8 4 f () fonction a un etremum en, égal à 93. Cet etremum est un maimum c) f () = 3² 2 = 3( 4). f () = équivaut à = ou = 4. En traçant sur l'écran d'une calculatrice la courbe représentative de la fonction f', on voit que cette courbe est au-dessous de l'ae des abscisses pour tout de l'intervalle ] ; 4[ et au-dessus de l'ae des abscisses pour tout des intervalles [ ; [ et ]4 ; 6]. La fonction f est donc strictement croissante sur les intervalles [ ; [ et ]4 ; 6] et strictement décroissante sur l intervalle ] ; 4[. 4 6 f () fonction a deu etremums : un maimum en, égal à et un minimum en 4, égal à 3. 4 CHAPITRE 3 FONCTIONS DÉRIVÉES 4

9 d) f () = 6² + 6 = 6( + ). f () = équivaut à = ou =. En traçant sur l écran d une calculatrice la courbe représentative de la fonction f, on voit que cette courbe est au-dessus de l ae des abscisses pour tout de l intervalle ] ; [ et au-dessous de l ae des abscisses pour tout des intervalles [ 2 ; [ et ] ; 3]. La fonction f est donc strictement croissante sur l intervalle ] ; [ et strictement décroissante sur les intervalles [ 2 ; [ et ] ; 3]. 2 3 f () fonction a deu etremums : un maimum en, égal à et un minimum en, égal à. 8 a) f () = = 2 4 = ( 2)( + 2) 2 2. ( + 2) 2 > sur I, donc, f () a le signe de ( 2), d où son tableau de signe : f () + f est strictement décroissante sur [ ; 2[ et strictement croissante sur ]2 ; 6]. 2 6 f () fonction a un etremum en 2, égal à 4. Cet etremum est un minimum. b) f () = 4 2 = 42 2 = (2 )(2 + ) 2. Pour tout de I, (2 ) < et (2 + ) <, donc (2 )(2 + ) >. De plus, ² >, donc f () > pour tout de I et f est strictement croissante sur I. 4 f () + 5 6,25 fonction n a pas d etremum. c) f () = > ; f est strictement croissante sur I. 2,5 4 f () + 2,75 fonction n a pas d etremum. d) f () = 2 < ; f est strictement décroissante sur I. 2 f () 9,8 fonction n a pas d etremum. 9 a) f () = 3². Signe de f () : f est strictement décroissante sur [ 2 ; 2]. 2 2 f () 6 fonction n a pas d etremum. b) f () = 3² ; f () est un polynôme du second degré : Δ =, f () s annule donc en = b 2a =. En traçant sur l écran d une calculatrice la courbe représentative de la fonction f, on voit que cette courbe coupe l ae des abscisses en et est au-dessus ou sur cet ae pour tout de l intervalle [ 3 ; 2]. La fonction f est donc strictement croissante sur l intervalle [ 3 ; 2]. 3 2 f () fonction n a pas d etremum. 42

10 c) f () = 3² ; f () est un polynôme du second degré : Δ = 6, f () s annule en = et en =. 3 En traçant sur l écran d une calculatrice la courbe représentative de la fonction f, on voit que cette courbe est audessus de l ae des abscisses pour tout de l intervalle ] 3 ; [ et au-dessous de l ae des abscisses pour tout des intervalles [ 3 ; 3 [ et ] ; 3]. La fonction f est donc strictement croissante sur l intervalle ] 3 ; [ et strictement décroissante sur les intervalles ] 3 ; 3 [ et ] ; 3] f () f () + 3. Le nombre 3 est le minimum de la fonction f sur [ 2 ; 2]. 2. Le nombre 3 étant le minimum de f, on en déduit que pour tout de [ 2 ; 2], on a f() 3. Ainsi, l inéquation f() < n a pas de solution. 2. Le nombre 2 est le maimum de la fonction f sur [ ; ]. 2. Le nombre 2 étant le maimum de f, on en déduit que pour tout de [ ; ], on a f() 2. Ainsi, tous les nombres réels de l intervalle [ ; ] sont solutions de l inéquation f() <. fonction a deu etremums : un maimum en, égal à et un minimum en, égal à d) f () = 6² + ; f () est un polynôme du second degré : Δ = 25, f () s annule donc en = 2 et en = 3. En traçant sur l écran d une calculatrice la courbe représentative de la fonction f, on voit que cette courbe est audessus de l ae des abscisses pour tout des intervalles [ 3 ; 2 [ et ] 3 ; 4 ] et au-dessous de l ae des abscisses pour tout de l intervalle ] 2 ; 3 [. La fonction f est donc strictement croissante sur les intervalles [ 3 ; 2 [ et ] 3 ; 4 ] et strictement décroissante sur l intervalle ] 2 ; 3 [ f () , fonction a deu etremums : un maimum en 2, égal à 3 8 et un minimum en, égal à f () = ; f () >, donc f est strictement croissante 2 sur [ ; 9]. 3. a) et b) Tracé de la courbe,6,4,2,8,6,4,2 y,5,5 2 Les solutions de l équation = sont les abscisses des points d intersection de la courbe et de la droite d équation y =, soit le nombre. Les solutions de l inéquation < sont les abscisses des points de la courbe situés au-dessous de la droite d équation y =, soit les nombres de l intervalle [,5 ; [. Les solutions de l inéquation > sont les abscisses des points de la courbe situés au-dessus de la droite d équation y =, soit les nombres de l intervalle ] ; 2]. 2. a) f () =. b) f () = équivaut à =, soit successivement = ; = ; =. En utilisant la question., on obtient =. f () > équivaut à >, soit successivement > ; > ; <, car >. En utilisant la question., on obtient les nombres de l intervalle [,5 ; [. 43 CHAPITRE 3 FONCTIONS DÉRIVÉES 43

11 f est strictement croissante sur [,5 ; [ et strictement décroissante sur ] ; 2].,5 2 f () + 2 5,5, Le tableau de variation de f permet d'affirmer que f a un etremum en, égal à. Cet etremum est un maimum. 4 Partie A. f () = 9 3² = 3(3 ). f () s annule pour = et pour = 3. Pour tout de [ ; 45], 3, donc f () a le même signe que (3 ). D où son tableau de signe : f () f () + 3. Tableau de valeurs f() Tracé sur l écran d une calculatrice. Partie B. Le nombre de personnes malades est maimal le 3 e jour ; le nombre maimum de malades est alors égal à La droite d équation y = coupe la courbe au points d'abscisses 2 et 38. a) Le premier jour où le nombre de personnes malades a dépassé est le 2 e jour. b) Le premier jour où le nombre de personnes malades est redevenu inférieur à est le 38 e jour. 5 Partie A. f () = 9 2 = = ( + 3) ( 3) Pour tout de [6 ; 6], signe que ( 3). D où le tableau de signe : ( + 3) 2 >, donc f () a le même f () f () Tableau de valeurs f() f() 2, Tracé de la courbe représentative de f sur l écran d une calculatrice. Partie B. Le coût unitaire moyen lorsque l artisan fabrique 5 meubles est 25 ; le coût unitaire moyen lorsque l artisan fabrique 4 meubles est 2,5. 2. L artisan doit fabriquer 3 meubles pour que le coût unitaire moyen soit minimal ; le coût unitaire moyen correspondant est. 6. a) f (t) = 5t² + 45t b) f (t) est un polynôme du second degré : Δ = 8, f (t) s annule donc en t = 2 et en t = 8. En traçant sur l écran d une calculatrice la courbe représentative de la fonction f, on voit que cette courbe est au-dessus de l ae des abscisses pour tout t de l intervalle [2 ; 8] et au-dessous de l ae des abscisses pour tout t des intervalles [ ; 2] et [8 ; 2]. D où le tableau de signe : t f (t) + c) Tableau de variation de f t f (t) f (t) 3 2. a) Tableau de valeurs 45 t f(t)

12 b) Tracé de la courbe représentative de f 75 y t Le nombre d hôtesses de caisse doit être maimal afin de fluidifier la sortie des clients à 8 h. 7 Partie A. f () = Tableau de signe 24 3 f () + Tableau de variation de f 24 3 f () Tableau de valeurs f() Tracé de la courbe représentative de f y Partie B. Le nombre de buffets pour lequel le restaurant atteint un bénéfice maimum est 24. Le montant de ce bénéfice maimum est alors de La courbe représentative de f est située au-dessus de l ae des abscisses pour > 8 ; le restaurateur va réaliser un bénéfice à partir de 9 buffets. 8. Tracés sur tableur 2. a) R() = 35 est l epression d une fonction linéaire ; la recette est donc proportionnelle au nombre de robes vendues. b) Le montant des coûts fies est C() = 25, soit 25. c) Les cellules B2 et C2 permettent de déterminer le coût total de production de robes et la recette de la vente de ces robes, soit 27 5 et 35. Le bénéfice réalisé est alors de = Le styliste réalise un bénéfice lorsque les recettes sont supérieures au coûts. Graphiquement, on cherche les valeurs de pour lesquelles la courbe représentative de la fonction R est située au-dessus de celle de la fonction C, soit pour 5 < < 25. Le styliste réalise un bénéfice lorsqu il vend entre 6 et 24 robes. 4. a) B() = R() C() = 35 (² ) = ² b) B () = c) B () s annule en 5. D où le tableau de signe : B () + D où le tableau de variation de B : 5 35 B () + B () 25 3 d) Le styliste réalise un bénéfice maimal pour 5 robes vendues. e) Tracé sur tableur 45 CHAPITRE 3 FONCTIONS DÉRIVÉES 45

13 f) La courbe représentative de la fonction B est située au-dessus de l ae des abscisses pour 5 < < 25, ce qui correspond à un bénéfice pour le styliste. 9 Partie A. f () = 3² = 3(² 6 + 9) = 3( 3)². 2. f () s annule en = 3 ; pour tout nombre réel de [ ; 7], f (). 3. Tableau de variation de f 3 7 f () Courbe représentative de f 3. a) h() = 9 (³ 9² + 2 7) = ³ + 9² 8 b) h() = équivaut à g() f() =, soit g() = f() ; les solutions de l équation h() = sont donc les abscisses des points d intersection des courbes représentatives des fonctions f et g. On lit =, = 3 et = 6. c) ( 3) (6 ) = (6 ² 8 + 3) = ( ² + 9 8) = ³ + 9² 8 = h(). h() = équivaut à ( 3) (6 ) =, soit = ou ( 3) = ou (6 ) =. Les solutions sont donc, 3 et 6, ce qui vérifie le résultat précédent. 4. Sur les intervalles ] ; 3[ et ]6 ; 7], la courbe représentative de f est située au-dessus de celle de g, donc pour tout nombre de ces intervalles, h() < ; sur l intervalle ]3 ; 6[ la courbe représentative de f est située audessous de celle de g, donc pour tout nombre de cet intervalle, h() > h () + Pour que l entreprise réalise un bénéfice journalier strictement positif, il faut que appartienne à l intervalle ]3 ; 6[. Partie B. g() =

14 COMME À L ÉCRAN Déterminer la courbe représentative d une fonction à partir de celle de sa dérivée On sait que la dérivée d une fonction f, définie sur [ ; 2], est définie par f () = ( ). On a obtenu à l aide d un tableur un tableau de valeurs et un tracé de la courbe représentative de f :. a) Quelle formule a-t-on saisie dans la cellule B2, puis recopiée jusqu en B8? On a saisi la formule =A2*(A2 ). b) À partir du tableau de valeurs et de la courbe de f, étudiez le signe de f () et complétez ci-contre le tableau de variation de la fonction f, en y portant les valeurs des solutions de l équation f () =. 2. Parmi les tracés suivants, déterminez celui de la courbe représentative de f. y,8,6,4,2,5,2,5,5 2,4,6,8 A 2 f () + + f() y,8,6,4,2,5,2,5,5 2,4,6,8 B 2,6 y 2,4 2,2 2,8,6,4,2,8,6,4,2,5,5,5 2,2 C Il s'agit de la courbe C. 2,6 y 2,4 2,2 2,8,6,4,2,8,6,4,2,5,5,5 2,2 D 5 47

15 Évaluation Nom Prénom Classe Date Eercice 4 points. Soit f et g les fonctions définies sur [,5 ; 5] par f() = et g() = Calculer f () et g (). f'() = = g () = 3 ( ) = Eercice 2 6 points Soit f la fonction définie sur [ 6 ; 3] par f() = Calculer f (). f'() = = a) Étudier le signe de f () ; en déduire le sens de variation de f. f () = ( + 3). f'() s'annule en et en 3. En traçant sur l'écran d'une calculatrice la courbe représentative de la fonction f', on voit que cette courbe est au-dessus de l'ae des abscisses pour tout des intervalles [ 6 ; 3[ et ] ; 3] et au-dessous de l'ae des abscisses pour tout de l'intervalle ] 3 ; [. f est strictement croissante sur les intervalles [ 6 ; 3[ et ] ; 3] ; elle est strictement décroissante sur ] 3 ; [. b) Compléter le tableau de variation de f. f () + + 7,5 25,5 f(), Déterminer les etremums de f. Le tableau de variation de f permet d'affirmer que cette fonction a deu etremums : un maimum en 3, égal à 7,5 et un minimum en, égal à CHAPITRE 3 FONCTIONS CHAPITRE VECTEURS DÉRIVÉES 48 5

16 Eercice 3 points Chaque jour, une petite entreprise fabrique centaines de cartons d emballage, avec 2. La recette journalière issue de la vente de tous ces cartons, en euros, est donnée par la fonction R définie par R() = Calculer R (). R'() = = 3( + 8). 2. Étudier le signe de R (). R'() s'annule en et en 8. R'() a le même signe que + 8, car pour tout de [ ; 2], 3. Ainsi, R'() sur [ ; 8] et R'() sur [8 ; 2]. 3. Dresser le tableau de variation de la fonction R. 8 2 R () + 3 R() Déterminer le nombre de cartons à fabriquer et vendre chaque jour pour obtenir une recette journalière maimale. Quelle est cette recette maimale? Le maimum de la fonction R est 3, atteint en 8. La recette maimale journalière est donc 3 pour 8 cartons fabriqués et vendus. 5. Pour contrôler les résultats obtenus au questions précédentes, on veut tracer sur tableur la courbe représentative de la fonction R. On entre dans la cellule A et dans la cellule A2 ; on sélectionne ces deu cellules, puis on tire la poignée de remplissage jusqu en A3. a) Donner une formule à écrire dans la cellule B et à recopier jusqu à la cellule B3 pour obtenir un tableau de valeurs de la fonction B. On écrit la formule = *A^3+2*A^2 26. b) Quelle formule obtient-on alors en cliquant dans la cellule B8? On obtient la formule = *A8^3+2*A8^2 26. c) L assistant graphique a permis d obtenir le tracé ci-contre. Retrouver graphiquement les réponses à la question 4. (Faire apparaître les tracés utiles à la lecture.) 3 Le point le plus haut de la courbe a pour coordonnées (8 ; 3), donc le maimum de la fonction est obtenu en 8 et est égal à