Dans un triangle non aplati, la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des deux autres côtés.

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1 DROITES REMARQUABLES I Construction de triangles 1. Inégalité triangulaire : Voir une présentation ici et une illustration ici Propriété admise Dans un triangle non aplati, la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des deux autres côtés. Conséquence : pour tous points A, B et C du plan si AC < AB + BC alors on peut construire un triangle ABC Autre formulation : Pour savoir si un triangle est constructible avec trois longueurs données, il faut que la somme des deux plus petites longueurs soit supérieure à la plus grande Exemples : Le triangle ABC est-il constructible si AB = 7cm, BC = 3cm et AC = 6cm? Le plus grand côté est 7 et 7 < ou encore AB<AC+BC donc OUI ce triangle est constructible. Le triangle EDF est-il constructible si ED = 9cm, EF = 2cm et DF = 6cm? Le plus grand côté est 9 et 9 n est pas plus petit que donc Le triangle EDF n existe pas. Cas particulier : Si DF = 6cm et EF = 3cm alors DE = DF + EF On dit alors que le triangle est aplati Propriété Si le point B appartient au segment [AC] alors AC = AB + BC Le point B appartient au segment [AC] signifie aussi que les 3 points A, B et C sont alignés A B C

2 2. Construction de triangles 3 Méthodes de construction : Pour construire un triangle il faut connaître ; 1- Soit la longueur des trois côtés ; 2- Soit la longueur de deux côtés et la mesure de l angle compris entre ces deux côtés ; 3- Soit la longueur d un côté et la mesure des deux angles adjacents à ce côté. Quelle que soit la méthode, une figure à main levée et codée facilite la construction. 1 ère méthode : matériel nécessaire : une règle graduée et un compas Construire le triangle ABC tel que AB= 5cm, BC =3cm et AC= 4cm On trace à la règle graduée un premier côté (en général le plus grand) et on place les extrémités. Avec le compas on trace 2 arcs de cercle de rayon les 2 autres côtés et de centres A et B Les 2 arcs se coupent au point C, il suffit de tracer les 2 côtés [AC] et [BC] 2 ème méthode : matériel nécessaire : une règle graduée, un compas, un rapporteur Construire le triangle EDF tel que DF = 5cm, ED = 4cm et EDF = 45 On trace le côté DF puis on construit un angle FDx de 45. Le point E se trouve sur la demi-droite [Dx) Il suffit de reporter une longueur DE = 4cm et de tracer les 2 côtés [DE] et [EF] Su la longueur EF était donnée, on reporterait cette longueur au compas depuis le point F.

3 3 ème méthode : Matériel nécessaire : une règle graduée et un rapporteur. Construire un triangle MON tel que MO = 7cm, MON = 60 et OMN = 40 On trace le côté MO de 7cm puis l angle de sommet M de 40 et l angle de sommet O de 60. Il suffit de placer le point d intersection N des 2 demi-droites pour terminer le triangle Variante : Dans le cas où parmi les deux angles connus, il y a celui dont on ne connaît pas le sommet, on utilise la propriété de la somme des angles d un triangle pour retrouver le troisième angle. II Médiatrices dans un triangle 1. Définition Une médiatrice est une droite qui passe par le milieu d un côté et qui est perpendiculaire à ce côté Conséquence : Comme le triangle possède trois côtés on peut donc tracer trois médiatrices dans un triangle. Exemple : Construire les 3 médiatrices d un triangle quelconque EDF, tels que ED= 5,5cm, DF= 5cm et EF= 4cm Techniques de construction : On cherche le milieu d un côté, par exemple [ED]. A l aide d une équerre on trace la droite perpendiculaire au côté [ED] passant par ce milieu. Cette droite devient la médiatrice du côté [ED]. On code la figure (angle droit et longueurs égales) On fait la même construction avec les 2 autres côtés. Propriété admise Si on trace les trois médiatrices dans un triangle alors elles sont concourantes (elles se coupent au même point).

4 2. Propriété des points d une médiatrice Si un point appartient à la médiatrice d un segment alors il est équidistant (à égale distance) des extrémités de ce segment. Réciproquement Si un point est équidistant des extrémités d un segment, alors il appartient à la médiatrice de ce segment Le point O appartient à la médiatrice de [ED] donc il est équidistant de E et de D et OE = OD De même le point O appartient à la médiatrice de [EF] donc OE = OF En résumé, OE = OD = OF. Les points E, D et F sont équidistants de O, ils appartiennent donc à un cercle de centre O. Ce cercle s appelle le cercle circonscrit au triangle EDF Le point de concours des médiatrices d un triangle est le centre du cercle circonscrit à ce triangle Remarque : Ce centre du cercle circonscrit à un triangle peut se trouver en dehors du triangle si celui-ci possède un angle obtus mais la propriété sur les longueurs reste vraie soit OE=OD=OF= rayon du cercle 3. Triangles particuliers et médiatrices Triangle isocèle : Construire un triangle ABC isocèle en A et ses 3 médiatrices et le cercle circonscrit Le triangle ABC est isocèle en A donc AB = AC Le point A est équidistant des points B et C, Donc la médiatrice du côté [BC] passe par A Si un triangle est isocèle alors la médiatrice de sa base passe par le sommet principal

5 Triangle équilatéral : Construire un triangle EQU équilatéral de côté 5cm, ses 3 médiatrices et le cercle circonscrit. Le triangle EQU est équilatéral donc EQ = EU = QU Le point E est équidistant des points Q et U donc il appartient à la médiatrice du côté [QU] On peut prouver de même que la médiatrice du côté [EQ] passe par le point U et que la médiatrice du côté [EU] passe par le point Q. Si un triangle est équilatéral alors les médiatrices de ses côtés passent par les 3 sommets. Ces médiatrices sont aussi les bissectrices des angles du triangle et des axes de symétrie du triangle. Triangle rectangle Construire un triangle ABC rectangle en A, ses 3 médiatrices et le cercle circonscrit. On remarque que les médiatrices se coupent Au milieu de l hypoténuse [BC] et que cette hypoténuse [BC] est un diamètre du cercle circonscrit. Ces propriétés seront étudiées en classe de 4 ème III Médianes dans un triangle 1. Définition Une médiane dans un triangle est une droite qui passe par un sommet et par le milieu du côté opposé à ce sommet. Il y a donc 3 médianes dans un triangle, chacune d elles passe par l un des sommets. La médiane est aussi la longueur du segment entre le sommet et le milieu du côté. Exemple : Construire les 3 médianes d un triangle ABC tel que AB = 10cm BC = 8cm et AC = 7cm Techniques de construction : On cherche le milieu d un côté, par exemple [AB]. On relie ce point au sommet C en traçant une droite. Cette droite devient la médiane issue de C. On code la figure (longueurs égales) On fait la même construction sur les 2 autres côtés

6 Propriété admise Si on trace les trois médianes d un triangle alors elles sont concourantes en un point appelé centre de gravité. Pour un solide, le centre de gravité est le centre d équilibre de ce solide. Faire l activité suivante : a) Construire le triangle ABC si dessus en carton épais. b) Tracer les trois médianes. Nommer leur intersection G. c) Placer un compas perpendiculairement à la table pointe en haut. d) Poser ou planter légèrement le triangle construit sur la pointe du compas et au point G. e) Que constatez vous? 2. Propriété Le centre de gravité d un triangle se trouve aux deux tiers de chaque médiane à partir des sommets. Dans la figure précédente on a donc AG = 2 3 x AM BG = 2 3 x BN CG = 2 3 x CP Exemple: Si la médiane AM mesure 6cm, alors AM = 2 3 x 6 = 4cm Conséquence : Entre G et le milieu du segment, il reste un tiers de la médiane GM = 1 3 x AM GN = 1 3 x BN GP = 1 3 x CP IV Hauteurs dans un triangle 1. Définition Une hauteur dans un triangle est une droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet. Il y a donc 3 hauteurs dans un triangle, chacune d elles passe par l un des sommets. La hauteur est aussi la longueur du segment entre le sommet et le pied de la perpendiculaire Exemple : Construire les 3 hauteurs d un triangle BUG tel que BU= 6 cm, BG= 5 cm et UBG = 70 Techniques de construction : On trace la droite perpendiculaire à (BU) passant par G On trace la droite perpendiculaire à (BG) passant par U On trace la droite perpendiculaire à (UG) passant par B On code les 3 angles droits.

7 Le point G (se lit G prime) s appelle le pied de hauteur issue de G ou le pied de la perpendiculaire issue de G. De même B est le pied de la hauteur issue B et U est le pied de la hauteur issue de U 2. Propriété admise Si on trace les trois hauteurs d un triangle alors elles sont concourantes en un point appelé l orthocentre du triangle. Construire le triangle NAZ tels que NZ = 7cm, AZ= 3cm et NZA = 130 puis ses 3 hauteurs. Comme pour la médiatrice, le point de concours des hauteurs n est pas forcément à l intérieur du triangle, comme dans l exemple ci-dessous, lorsqu il y a un angle obtus dans le triangle. hauteur issue de Z hauteur issue de N hauteur issue de A orthocentre On remarquera que l orthocentre s trouve en dehors du triangle ainsi que les pieds des hauteurs A et N. Il a fallu pour cela prolonger les côtés du triangle pour construire les perpendiculaires.

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