UNITÉS ET MESURES VOLUMES. Je tiens une de ces FORMES, ma FIGURE est tout en VOLUMES. Dossier n 7 Juin 2005

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1 UNITÉS ET MESURES VOLUMES Je tiens une de ces FORMES, ma FIGURE est tout en VOLUMES Dossier n 7 Juin 2005 Tous droits réservés au réseau AGRIMÉDIA Conçu et réalisé par : Marie-Christine LIEFOOGHE Bruno VANBAELINGHEM Annie VANDERSTRAELE

2 C. D. R. UNITES ET MESURES AGRIMEDIA Volumes Apprentissage Objectifs : - Calculer les volumes des solides usuels à l aide des formules Contenu : - Calculs de volumes - Exercices d application et problèmes avec réponses Matériel nécessaire : - Calculatrice Pré-requis : - Maîtriser les calculs d aires (cf. dossier n 4) UNITÉS ET MESURES Volumes Dossier n 7 1

3 CALCUL DES VOLUMES LES PLUS UTILISÉS Calculer le volume d un objet, c est calculer la place qu occupe cet objet dans l espace. CUBE côté ou arête Formules de calcul Le côté d un cube s appelle l arête de ce cube Volume = arête x arête x arête ou arête Exemples Volume = arête x arête x arête Volume = x x = 27 Le volume de ce cube est : 27 unités PARALLÉLÉPIPÈDE ou PAVÉ Longueur hauteur Volume = Longueur x largeur x hauteur h = 4 Volume = L x l x h Volume = 6 x x 4 L = 6 Volume = 72 Le volume de ce pavé est : 72 unités hauteur CYLINDRE rayon Volume = π x rayon x rayon x hauteur ou π x rayon 2 x hauteur (R = rayon) 4 Volume = π x R x R x hauteur 1 Volume = π x 1 x 1 x 4 Volume 12,56 Volume de ce cylindre : 12,56 unités BOULE ou SPHÈRE rayon 4 x π 4 x Volume = π x R x R x R ou x rayon Volume = 1,5 = 4 x π 4 x π x R x R x R x 1,5 x 1,5 x 1,5 42,4 14,1 Le volume de cette boule est 14,1 unités UNITÉS ET MESURES Volumes Dossier n 7 2

4 Maintenant à vous! Exercice 1 : Exercices Une salle de classe mesure 8 mètres de longueur, 6 mètres de largeur et mètres de hauteur. Calculez le volume de cette classe. Exercice 2 : Calculez le volume d une boîte de conserve cylindrique de 5 cm de rayon et de 15 cm de hauteur. Exercice : Un ballon de football a un diamètre de 24 cm. Calculez son volume. Exercice 4 : L arête d un cube mesure 2 décimètres. Calculez le volume de ce cube. Voir réponses page suivante UNITÉS ET MESURES Volumes Dossier n 7

5 Exercice 1 : RÉPONSES Les résultats indiqués dans les réponses suivantes ont été calculés avec la touche π (pi) de la machine à calculer. Une salle de classe mesure 8 mètres de longueur, 6 mètres de largeur et mètres de hauteur. Calculez le volume de cette classe. Le volume de cette classe est : Longueur x largeur x hauteur soit : 8 x 6 x = 144 Le volume de cette classe est donc : 144 m Exercice 2 : Calculez le volume d une boîte de conserve cylindrique de 5 cm de rayon et de 15 cm de hauteur. Le volume de cette boîte de conserve est : π x rayon x rayon x hauteur soit : π x 5 x 5 x ,1 Le volume de cette boîte est environ : 1 178,1 cm Exercice : Un ballon de football a un diamètre de 24 cm. Calculez son volume. Le volume V du ballon de football est : Le rayon est x π x R x R x R 4 x π x 12 x 12 x = soit 12 cm, d où : V = 7 28,229 Le volume de ce ballon est environ : 7 28,2 cm Exercice 4 : L arête d un cube mesure 2 décimètres. Calculez le volume de ce cube. Le volume du cube est : arête x arête x arête soit : 2 x 2 x 2 = 8 Le volume de ce cube est : 8 dm UNITÉS ET MESURES Volumes Dossier n 7 4

6 Parfois, connaissant le volume d un objet, il peut être utile de calculer l une de ses dimensions. C est ce que nous allons voir. Exemple : Sur un massif rectangulaire de 7 mètres de longueur et 5,2 mètres de largeur, on étale régulièrement 5,1 m de terreau. Quelle est l épaisseur de la couche de terreau? Le volume de terreau est V = Longueur x largeur x hauteur 5,1 = 7 x 5,2 x hauteur 5,1 = 6,4 x hauteur D où : 5,1 hauteur = = 0,14 6,4 soit 0,14 m ou 14 cm L épaisseur de la couche de terreau est donc : 14 cm Maintenant à vous! Exercice 5 : Un silo à grains cylindrique de 2 mètres de diamètre contient 12 m de blé. Quelle est la hauteur de blé dans ce silo? Voir réponse page 7 UNITÉS ET MESURES Volumes Dossier n 7 5

7 Exercice 6 : Lors de la construction d une route de 4 m de large, on étale du remblai (des pierres) sur une épaisseur de 15 cm. Quelle longueur de route peut-on recouvrir avec 00 m de remblai? Exercice 7 : Un bassin cylindrique mesure 5,6 mètres de diamètre et a une profondeur de 1,4 mètre. Quel est le volume de ce bassin? Quelle est la hauteur atteinte lorsqu on y verse 2,4 m d eau? Exercice 8 : Dans une station service, une cuve à essence a la forme d un parallélépipède de 7,8 mètres de longueur et de 2,5 mètres de largeur. 1) Le matin, le pompiste constate que la hauteur d essence dans la cuve est de 1, mètre. Quel est le volume d essence contenu dans cette cuve? 2) Dans la journée, il vend 9,75 m d essence. Quelle est la hauteur de l essence qui reste dans la cuve? Litres Pompe à essence Voir réponses pages 7 et 8 UNITÉS ET MESURES Volumes Dossier n 7 6

8 RÉPONSES Exercice 5 : Un silo à grains cylindrique de 2 mètres de diamètre contient 12 m de blé. Quelle est la hauteur de blé dans ce silo? Le volume qu occupe le blé est : V = π x rayon x rayon x hauteur d où : 12 = π x 1 x 1 x hauteur 12 d où : hauteur =,82 π Exercice 6 : 12 = π x hauteur La hauteur de blé dans ce silo est environ,82 m Lors de la construction d une route de 4 m de large, on étale du remblai (des pierres) sur une épaisseur de 15 cm. Quelle longueur de route peut-on recouvrir avec 00 m de remblai? Le volume du remblai est : V = Longueur x largeur x hauteur 00 d où : Longueur = = 500 0,6 Exercice 7 : 00 = Longueur x 4 x 0,15 00 = Longueur x 0,6 La longueur de route que l on peut recouvrir est : 500 m Un bassin cylindrique mesure 5,6 mètres de diamètre et a une profondeur de 1,4 mètre. Quel est le volume de ce bassin? Quelle est la hauteur atteinte lorsqu on y verse 2,4 m d eau? Le volume du bassin est : π x rayon x rayon x hauteur soit : π x 2,8 x 2,8 x 1,4 4,48 Le volume de ce bassin est environ 4,48 m Le volume qu occupe l eau est : V = π x rayon x rayon x hauteur d où : 2,4 = π x 2,8 x 2,8 x hauteur 2,4 24,6 x hauteur 2,4 d où : hauteur = 0,95 24, 6 La hauteur d eau dans ce bassin est environ 0,95 m UNITÉS ET MESURES Volumes Dossier n 7 7

9 Exercice 8 : Dans une station service, une cuve à essence a la forme d un parallélépipède de 7,8 mètres de longueur et de 2,5 mètres de largeur. 1) Le matin, le pompiste constate que la hauteur d essence dans la cuve est de 1, mètre. Quel est le volume d essence contenu dans cette cuve? 2) Dans la journée, il vend 9,75 m d essence. Quelle est la hauteur de l essence qui reste dans la cuve? Litres Pompe à essence 1) Le volume d essence contenu dans la cuve est : V = Longueur x largeur x hauteur V = 7,8 x 2,5 x 1, V = 25,5 Le volume d essence contenu dans la cuve est : 25,5 m 2) Le volume de l essence qui reste dans la cuve est : 25,5-9,75 soit 15,6 m Le volume de l essence qui reste est : V = Longueur x largeur x hauteur 15,6 = 7,8 x 2,5 x hauteur 15,6 = 19,5 x hauteur d où : hauteur = 15,6 19,5 = 0,8 La hauteur de l essence qui reste dans la cuve est : 0,8 m Très bien! Passons à la suite!! UNITÉS ET MESURES Volumes Dossier n 7 8

10 AUTRES CALCULS DE VOLUMES Chapitre 2 Formules de calcul Rappels PRISMES Volume du prisme = aire de la base x HAUTEUR hauteur HAUTEUR V = aire du triangle x HAUTEUR base Aire du triangle = base x hauteur 2 B hauteur B = GRANDE BASE HAUTEUR V = aire du trapèze x HAUTEUR b b = petite base Aire du trapèze = B + b 2 x hauteur Il ne faut pas confondre la HAUTEUR du prisme et la hauteur de la figure qui forme la base du prisme. PYRAMIDE HAUTEUR Le volume V de la pyramide et celui du cône se calculent de la même façon : et CÔNE V = Aire de la base x HAUTEUR La base d un cône est toujours un disque dont l aire est : HAUTEUR Aire de la base = π x rayon 2 UNITÉS ET MESURES Volumes Dossier n 7 9

11 Maintenant à vous! Exercice 1 : En Egypte, la pyramide de KHÉOPS est la plus haute des trois pyramides du site de Gizeh. C est une pyramide à base carrée. Ses dimensions sont les suivantes : côté du carré : 20 m HAUTEUR : 146 m Quel est le volume de cette pyramide? Exercice 2 : Une tente pour campeur de type canadienne a pour dimensions : Longueur : 197 cm largeur : 98 cm hauteur : 112 cm Calculez le volume de cette tente. Remarque : cette tente a la forme d un prisme à base triangulaire, comme le montre le schéma ci-contre. Commencez par placer sur ce schéma les dimensions indiquées dans l énoncé. Voir réponses page 12 UNITÉS ET MESURES Volumes Dossier n 7 10

12 Exercice : Une bougie a la forme d un cône de hauteur 12 cm. Sa base est un cercle de diamètre 10 cm. Quel est le volume de cette bougie? Exercice 4 : 16 dm Un réservoir d eau est composé d une partie cylindrique et d une partie conique, comme le montre le schéma ci-contre. 12 dm Calculez son volume. 22 dm Voir réponses page 1 UNITÉS ET MESURES Volumes Dossier n 7 11

13 Exercice 1 : RÉPONSES En Egypte, la pyramide de KHÉOPS est la plus haute des trois pyramides du site de Gizeh. C est une pyramide à base carrée. Ses dimensions sont les suivantes : côté du carré : 20 m HAUTEUR : 146 m Quel est le volume de cette pyramide? Aire de la base de la pyramide = 20 x 20 = soit m 2 Volume de cette pyramide : V = ( Aire de la base x HAUTEUR ) / V = ( x 146 ) / V = ( ) / V Le volume de la pyramide de KHÉOPS est environ m Exercice 2 : Une tente pour campeur de type canadienne a pour dimensions : Longueur : 197 cm largeur : 98 cm hauteur : 112 cm Calculez le volume de cette tente. Les dimensions de ce prisme sont : base du triangle : 98 cm hauteur du triangle : 112 cm HAUTEUR du prisme : 197 cm 98 x 112 Aire du triangle de base : = soit cm 2 2 Le volume du prisme est : V = Aire de base x HAUTEUR V = x 197 V = Le volume de cette tente est : cm ou encore environ 1,08 m UNITÉS ET MESURES Volumes Dossier n 7 12

14 Exercice : Une bougie a la forme d un cône de hauteur 12 cm. Sa base est un cercle de diamètre 10 cm. Quel est le volume de cette bougie? 10 Le rayon du disque de base est = 5 soit 5 cm 2 L aire de la base de la bougie est : π x ,54 soit 78,54 cm 2 Le volume de cette bougie est : V = V = Aire de la base x HAUTEUR 78,54 x 12 V 14,16 Le volume de cette bougie est environ : 14,16 cm Exercice 4 : Un réservoir d eau est composé d une partie cylindrique et d une partie conique. 16 dm Calculez son volume. Le volume du cylindre est : V = π x 8 x 8 x 12 soit environ : 2 412,74 dm 12 dm 22 dm La hauteur du cône est : = 10 soit 10 dm ( π x 8 x 8 ) x 10 Le volume du cône est : V = soit 670,2 dm environ Le volume total est : 2 412, ,2 = 082,94 Le volume du réservoir est environ : 08 dm Fin UNITÉS ET MESURES Volumes Dossier n 7 1