PID analogique. Introduction à la commande des systèmes dynamiques SIE - Semestre IV. Dr. Ph. Müllhaupt. y(t) y c (t) e(t) K(s)

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1 Introduction à la commande des systèmes dynamiques SIE - Semestre IV PID analogique Dr. Ph. Müllhaupt Introduction Avec la disponibilité d ordinateurs toujours plus performants, la régulation automatique se fait de plus en plus de manière numérique. Les circuits analogiques électroniques sont en effet plus difficiles à concevoir et de taille plus grande que les circuits électroniques numériques. De plus, ils sont plus sensibles à l amplification des effets dus au bruit. Toutefois, il est toujours intéressant d analyser de tels circuits analogiques afin de comprendre l implémentation directe de certains concepts théoriques. Aditionnellement, il se pourrait très bien que de tels régulateurs soient synthétisables en utilisant une technologie issue de la biologie et des sciences environnementales plutôt que de la technologie électronique. En effet, les effets capacitifs et inductifs présents dans un circuit électrique et responsables des caractéristiques du PID possèdent des analogues dans d autres disciplines scientifiques. On pourrait ainsi concevoir des PID reposants sur d autres lois que celles de l électronique et de l électricité. Cependant, dans cette étude, nous allons nous restreindre à étudier la manière de traduire le schéma de la figure 1 en un circuit électronique régulant un système physique réel. La commande sera effectuée à l aide d un PID analogique et mise en oeuvre par un circuit à amplificateurs opérationnels (AOP). Le problème sera ensuite d implémenter dans SimScape c, l environnement de simulation de systèmes physiques de MATLAB. y c (t) e(t) K(s) u(t) G(s) y(t) Figure 1: Diagramme de la boucle fermée. Système dynamique à commander Partie mécanique Le système à commander est un moteur électrique entraînant un arbre de transmission à travers un accouplement flexible comme montré dans la figure 2. Le moteur est alimenté par une source de tension V qui est amplifiée d un facteur de 1+ R 1. Le moteur possède une inertie M m et un frottement interne f m sur l arbre. Accouplé au moteur, se situe une charge d inertie M c ayant également un frottement f c. L accouplement possède une rigidité K A et un amortissement de C A. La rotation du moteur est décrite par un angle θ 1 et la rotation de la charge est décrite par un angle θ 2. Les variables dynamiques du système sont donc θ 1, θ 1, θ 2 et θ 2. Les angles et vitesse de rotation des arbres du moteur et de la charge respectivement. 1

2 Le système mécanique est donc décrit par l équation suivante : θ 1 = 1 ( f m θ1 C A ( θ 1 M θ ) 2 ) K A (θ 1 θ 2 )+C m, (1) m θ 2 = 1 ( C A ( θ 1 M θ ) 2 )+K A (θ 1 θ 2 ) f c θ2, (2) c où C m est le couple délivré par le moteur. Amplificateur θ 1 θ 2 Alimentation V R 1 f m M m K A, C A Moteur DC f c M c Figure 2: Système à commander : moteur entraînant un arbre avec accouplement flexible. Partie électrique Si nous analysons le circuit électronique plus loin, nous avons le schéma de la figure 3. Le moteur est modélisé par une résistance interne R m, un solénoïde L m (bobine) et une constante de couple K m. Nous savons aussi que la tension v s arrivant au moteur est égale à ( v s = 1+ R ) 1 v e, (3) où v e est la tension d alimentation. Nous avons donc l équation dynamique du moteur i s = 1 (( 1+ R ) 1 )v e R m i s K m θ1. (4) L m Le couple C m délivré par le moteur est donnée par la relation C m = K m i s (5) 2

3 v s, i s R m L m v e V R 1 K m Figure 3: Système à Commander : Schéma électrique. Modèle d état et fonction de transfert Avec la partie électrique décrite par l équation (4), nous pouvons écrire l équation dynamique de tout le système avec comme entrée la tension d alimentation v e et comme sortie la vitesse angulaire de la charge θ 2. i s = 1 L m (( 1+ R ) 1 )v e R m i s K m θ1, (6) θ 1 = 1 M m ( f m θ1 C A ( θ 1 θ 2 ) K A (θ 1 θ 2 )+K m i s ), (7) θ 2 = 1 M c ( C A ( θ 1 θ 2 )+K A (θ 1 θ 2 ) f c θ2 ). (8) Le système est donc un système linéaire avec 5 variables d états. A savoir x 1 = i s le courant dans le moteur, x 2 = θ 1 la position angulaire, et x 3 = θ 1 la rotation du moteur, et x 4 = θ 2 la position angulaire, et x 5 = θ 2 la rotation de la charge. Le système peut donc être représenté par le modèle d état suivant : ẋ 1 Rm L m Km L m 1 x 1 1+ R 1 ẋ 2 ẋ 3 ẋ 4 ẋ 5 = 1 1 K m M m K A M m K A M c K A M m K A M c C A+f m M m C A M c C A M m C A+f c M c x 2 x 3 x 4 x 5 + L m ( ) v e (9) y = [ 1 ] x (1) 3

4 Ce modèle d état conduit à la fonction de transfert G(s) = C(sI A) 1 B = a = L m M c M m, K m (1+ R 1 )(C A s+k A ) a s 4 +a 1 s 3 +a 2 s 2 +a 3 s+a 4, (11) a 1 = C A L m M c +C A L m M m +M c M m R m +L m M c f m, a 2 = K 2 m M c +C A R m (M c +M m )+K A L m (M c +M m )+f m (C A L m +M c R m ), a 3 = C A K 2 m +K AR m (M c +M m )+C A R m f m +K A L m f m, a 4 = K A K 2 m +K A R m f m. Les valeurs numériques des paramètres physiques sont données dans le tableau 1. La fonction de transfert a 4 pôles stables donnés par les valeurs suivantes : p 1 = p 2 = p 3 = 5+7.7i p 4 = 5 7.7i (12) Deux des pôles sont réels purs alors que les deux autres sont complexes conjugués. Le diagramme de Bode du système est tracé à la figure 4 et la réponse indicielle à la figure 5. Les graphes montrentquelesystèmeaunebandepassantede1rad/setquelesfréquences plusélevées sont très rapidement filtrées. L utilité d un régulateur sur ce système est d imposer une constante de temps plus petite afin que le système réagisse plus rapidement. Les oscillations doivent également être atténuées. Ampli Valeur Moteur Valeur Charge Valeur R 1 9 kω K m Nm/A M c 1 kgm 2 1 kω M m kgm 2 f c.1 Nms f c.1 Nms C A 1 3 Nms R m.113 Ω K A 1 4 Nm L m H Table 1: Valeurs numériques du système d entraînement 4

5 Bode Diagram 2 Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec) Figure 4: Diagramme de Bode du système à commander. PID analogique PID analogique pur Pour commander ce système nous voyons qu un PI suffit largement à réaliser la tâche de suivi de trajectoire. Par contre, nous allons quand même utiliser un PID complet pour éliminer les bruits éventuels présents dans les mesures. Pour réaliser un système purement analogique, nous allons développer un circuit électronique analogique réalisant le PID. Pour ce faire, il nous faut utiliser quatre types de montage de l amplificateur opérationnel, à savoir, un sommateur inverseur, un amplificateur inverseur, un intégrateur et un différentiateur. Ces quatre types de montages sont illustrés à la figure 6. L idée est d utiliser ces montages de l amplificateur opérationnel pour réaliser un PID en parallèle, c est-à-dire un PID dont l équation est définie par u(t) = K p e(t)+k i t avec e(τ)dτ +K d de(t) dt, (13) K i = K p T i, K d = K p T d. Avant de discuter du montage du PID, précisons que les différents montages inversent le signal de la tension d entrée. Ce sont ce qu on appel des montages inverseurs. Le montage de l amplificateurdumoteurestunmontagenon-inverseur. Ilestaussiànoterquecesmontagessontidéaux et que les versions pratiques nécessitent de mettre des résistances ou capacités additionnelles pour améliorer les performances du montage. Le montage total du système sera donc réalisé en mettant d abord en parallèle l amplificateur inverseur, l intégrateur et le différentiateur. Ensuite le sommateur inverseur est utilisé pour faire la somme des quatre signaux et d inverser le signe. 5

6 Step Response Amplitude Time (sec) Figure 5: Réponse indicielle du système à commander Le schéma est montré à la figure 7. L équation associée est V out = R 4R p2 V in + R t 4 V in + R 4R d C d dv in R 1 R p1 R i C i R 3 dt. (14) En prenant R 1 = = R 3 = R 4 nous avons l identification directe avec l équation (13) : K p = R p2 R p1 K i = 1 R i C i K d = R d C d. (15) Il suffit donc de mettre le signal d erreur comme tension d entrée et la sortie sera le signal à envoyer au moteur. Implémentation pratique : En pratique, il y a plusieurs modifications à apporter au schéma de la figure 7. Premièrement, le montage en intégrateur de la figure 6 a tendance à produire de la dérive sur le signal de sortie. Pour éviter ce problème une résistance élevée R ci est mise en parallèle avec le condensateur C i ce qui introduit un feedback continu et corrige la dérive. Deuxièmement, le montage en différentiateur de la figure 6 est très susceptible à l amplification du bruit se situant dans le signal d entrée, et source d instabilité s il y a des changement brusque dans le signal d entrée étant donné qu il agit comme un filtre passe bas et donc introduit un retard de phase de 9. Pour corriger ces problèmes de bruit et retard de phase, une capacité C cd est mise en parallèle avec la résistance R d et une résistance est ajoutée sur l entrée. L addition de ces deux composants produit un effet d avance de phase de 9 et élimine les bruits en hautes fréquences. Le fait d ajouter ces composants au montage ne change pas l équation (14). Une troisième correction est introduite en relation avec le terme dérivateur de l équation (13). Si le signal d entrée V in est sujet à debrusques variations, cetermepeut prendredes valeursénormes. 6

7 V 1 R 1 R V 2 R 3 V out V in R 1 V out V 3 V out = ( R 4 R 1 V 1 + R 4 V 2 + R 4 R 3 V 3 ) V out = R 1 V in 3 4 R i C i C d R d V in V in V out V out V out = 1 t V dv R i C i indτ V out = R d C in d dt Figure 6: Configuration de l amplificateur opérationnel nécessaire pour concevoir un PID analogique. 1 : Somateur inverseur. 2 : Amplificateur inverseur. 3 : Intégrateur. 4 : Différentiateur. Pour éviter ce problème une forme du PID appelé forme à dérivation séparée est utilisée. A la place de dériver le signal d erreur, le signal de mesure y(t) est dériver uniquement. Cette forme du PID est donnée par l équation : u(t) = K p e(t)+k i t dy(t) e(τ)dτ +K d. (16) dt Danslecontexte de la commande en vitesse dumoteur, cette formedevient utile car les sauts de vitesse sont en général imposés dans le signal de référence créant ainsi des brusques variations. Le signal d erreur est obtenu en utilisant un montage avec inverseur pour inverser le signe du signal de mesure, un sommateur inverseur pour créer le signal d erreur et encore un inverseur pour changer le signe. Ce montage est définit à la figure 9. Il suffit de prendre toutes les mêmes résistances R a,b,c,e,f,g,h,i pour ne pas avoir d amplification. Nous pouvons maintenant définir le montage complet du système qui est représenté à la figure 1. Maintenant que le montage est complet, nous pouvons définir les valeurs numériques des composants électriques ne faisant pas partie des relations (15). Le tableau 2 définit ces valeurs. Réglage du PID : Nous devons maintenant concevoir le PID pour améliorer la vitesse de réaction du système et 7

8 R p1 R p2 R 1 P R i C i R 4 V out V in I C d R d R 3 D V out = R 4R p2 R 1 R p1 V in + R 4 t V R i C i in + R 4R d C d dv in R 3 dt Figure 7: PID Analogique avec AOP. réduire les oscillations. Nous allons faire la conception du PID de deux façons différentes. En premier lieu, nous allons réaliser un PID par la première méthode de Ziegler Nichols. Ensuite, nous allons concevoir un PID amélioré dans le diagramme de Bode. Pour réaliser le premier PID nous devons appliquer une rampe au système et mesurer la sortie. Ainsi, nous appliquons une rampe en tension au système représenté à la figure 2 et nous mesurons la réponse en vitesse ([rad/s]) de la charge. Le résultat de ce test (simulé) est présenté à la figure 11. Les paramètres a et L mesurés sont les suivants : a =.4 L =.5 (17) Nous avons donc les coefficient du PID obtenus grâce au tableau 3 : K p = 1 T i =.6 K i = 1667 T d =.15 K d = 1.5 (18) Le second régulateur est conçu dans le diagramme de Bode. Nous calculons un gain K p tel que la fréquence de coupure ω c soit de 35 [rad/s]. Donc en regardant le diagramme de la figure 4, 8

9 Comparateur e(t) Valeur Sommateur Valeur PID Valeur R a,b,c,e,f,g,h 1 kω R 1,2,3,4 1 kω R ci 1 MΩ R cd 1kΩ 1pF C cd Table 2: Valeurs numériques du système d entraînement R ci C cd R i C i R cd C d R d Figure 8: Montage pratique des AOP intégrateur et différentiateur. nous voyons que le diagramme doit être monter d environ 2 db. Donc le K p est donné par la relation : 2log 1 (K p G(jω c ) ) = K p = 1 2/2 = 1 (19) Enusite nous voulons augmenter la pente en basse fréquence à -2 db/décade et la pente des haute fréquence à -4 db/décades. Pour se faire nous allons choisir les coefficients T i et T d comme tel : T i = 1/1 T d = 1/5 (2) Avec ce choix, le diagramme de bode de la fonction de transfert en boucle ouverte est de la forme de la figure 12. Ayant choisi les coefficients du PID nous pouvons choisir les valeurs des composants électroniques nécessaires pour réaliser la commande du système. Pour les deux régulateurs les valeurs se choisissent avec les relations (15). Nous avons donc dans le cas du premier PID les relations : K p = R p2 R p1 = 1 K i = 1 R i C i = 1667 K d = R d C d = 1.5, (21) R p1 = 1kΩ R p2 = 1 3 kω R i = 1kΩ C i =.6µF R d = 1 3 kω C d = 1.5µF. Pour le second PID nous avons les relations : K p = R p2 R p1 = 1 K i = 1 R i C i = 1 K d = R d C d =.2, (22) R p1 = 1kΩ R p2 = 1kΩ R i = 1kΩ C i =.1µF R d = 1kΩ C d = 2µF. 9

10 R f R h V ref R e R g V erreur R b R c R a V mesure Figure 9: Montage pratique pour construire le signal d erreur. Type K p T i T d P 1/aL - - PD.9/aL 3.3L - PID 1.2/aL 2L.5L Table 3: Tableau des coefficients pour différents régulateurs de Ziegler-Nichols. Le résultat de simulation pour un saut unité sont montrés à la figure 13. Nous constatons que le régulateur de Ziegler Nichols est très mauvais. Par contre, celui conçu dans le diagramme de Bode a peu d oscillation et un temps de réponse rapide. Simulation Avec SimScape c Depuis quelques années, il existe sur le marché des logiciels qui permettent de simuler des systèmes sans devoir écrire explicitement le système d équations décrivant la dynamique associée. Les équations de la dynamique sont dérivées par le programme basées sur une description externe détaillée des constituants du modèle (sans entrer dans le détails des équations différentielles qui le constitue). La toolbox SimScape c de Simulink permet de simuler des système électriques, mécaniques, thermiques, pneumatiques etc... Les simulations de la figure 13 ont été réalisées de cette manière. La figure 16 montre la réalisation dans Simulink du système à commander, c est-à-dire le système de la figure 2. 1

11 yref Erreur e(t) PID : e(t) U(t) Système G(s) Signal de mesure y(t) Figure 1: Montage complet du système en boucle fermée. 11

12 .8.12 X: Y: Amplitude y(t) [rad/s] L =.3 a = Temps t [s] Figure 11: Signal de sortie du test rampe de Ziegler-Nichols. Les paramètres a et L sont identifiés. 1 Bode Diagram Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec) Figure 12: Diagramme de Bode de la fonction de transfert en boucle ouverte K(s)G(s). 12

13 2.5 2 Amplitude w [rad/s] Temps t [s] Amplitude w [rad/s] Temps t [s] Figure 13: Résultat de la commande d un saut unité en vitesse du système avec le PID de Ziegler- Nichols (haut) et le PID conçu dans le diagramme de Bode (bas). 13

14 Partie Electronique Partie Mécanique Figure 14: Schéma SimScape du système à commande de la figure 2. Ce schéma est utilisé pour simuler la réponse indicielle du système et pour le test de Ziegler-Nichols. 14

15 Figure 15: Schéma SimScape du PID. 15

16 PID (K(s)) Système à commander (G(s)) Création du Signal d erreur e(t) 16 Figure 16: Schéma SimScape du système en boucle fermée de la figure 1.