Simulation numérique à l échelle macroscopique par la méthode des éléments finis

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Simulation numérique à l échelle macroscopique par la méthode des éléments finis"

Transcription

1 Simulation numérique à l échelle macroscopique par la méthode des éléments finis F. Pigeonneau Surface du Verre et Interfaces, UMR 125 CNRS/Saint-Gobain, France

2 Plan 1. Introduction 2. Quelques équations aux dérivées partielles (EDP) 3. Classification des EDP 4. Formulation variationnelle 5. Méthode des résidus pondérés 6. Vers la méthode des éléments finis : Equation à une dimension 7. Méthode des éléments finis à 2 et 3 dimensions 8. Quelques exemples de problèmes 9. Travaux dirigés

3 Introduction La physique, la thermo. des phéno. irréver., la mécanique presentent une large gamme d équations aux dérivées partielles (EDP). Les solutions exactes sont rares et limitées à des situations simples. Le recours à la recherche de solutions alternatives s impose = méthode numérique. Bien que les ordinateurs soient de plus en plus puissants, ils restent finis = résolution discrète du problème.

4 Introduction Parmi les approximations discrètes : Méthode des différences finies : locale ; développement fini des dérivées ; simple mais peu généralisable aux géométries complexes. Méthode des volumes finis : locale ; basée sur l écriture d équation de conservation sur des petits volumes de contrôle ; adaptée aux géométries complexes et très utilisée en méca. des fluides compressibles. Méthode des éléments finis : locale ; basée sur la formulation variationnelle ou faible du pb. continu ; adaptée aux géométries complexes et très utilisée en méca. des solides ; mais de plus en plus utilisée pour d autres physiques.

5 Quelques équations aux dérivées partielles (EDP) Les mécaniques des structures et des fluides sont baties sur la mécanique des milieux continus (MMC). MMC suppose que la matière est sans trous. Cette théorie ne peut pas se déduire de la mécanique du point. Elle repose sur la description d entités matériels : En chaque point, on définit des grandeurs macroscopiques : u(x, t), ρ(x, t), U(x, t), γ(x, t).

6 Quelques équations aux dérivées partielles (EDP) Elasticité linéaire Déformations faibles = utilisation de la configuration de référence. Existence d un tenseur de contrainte (Cauchy, 1822). S + n T(P, n) = σ(p) n R

7 Quelques équations aux dérivées partielles (EDP) Elasticité linéaire Etat de déformation décrit par e ij = 1 2 ( ui + u ) j x j x i (1) Solide homogène et isotrope : σ(p) ij = λtr(e)δ ij + 2µe ij, (2) λ et µ sont les coefficients de Lamé. Equations de l élasticité : ργ = div σ + f, (3) ρ 2 u i t 2 = µu i,jj + (λ + µ)u j,ji + f i. (4)

8 Quelques équations aux dérivées partielles (EDP) Mécanique des fluides Descriptions cinématiques Lagrange x = g(x 0, t) Euler U = U(x, t)

9 Quelques équations aux dérivées partielles (EDP) Mécanique des fluides Descriptions cinématiques ( ) t = : dérivée temporelle à x fixé, (5) t ( ) x D Dt = : dérivée temporelle à x 0 fixé. (6) t x 0 Df Dt DU Dt = f + grad f U, t (7) = U + grad U U. t (8)

10 Quelques équations aux dérivées partielles (EDP) Mécanique des fluides Loi de comportement des fluides visqueux : l état de contraintes ne dépend que du tenseur des taux de déformations. d ij = 1 ( Ui + U ) j. (9) 2 x j x i Pour un fluide newtonien (comportement linéaire) : σ = PI + λtr(d)i + 2µd. (10) Les équations générales (Navier-Stokes) : ρ DU Dt ρ t + div(ρu) = 0, (11) = grad P + (λ + µ) grad(div U) + µ U + f. (12)

11 Classification des EDP EDP sur une variable u(x, y) : A 2 u x 2 + B 2 u x y + C 2 u y 2 + D u x + E u + Fu + G = 0. (13) y Si B 2 4AC < 0 : elliptique ; Si B 2 4AC = 0 : parabolique ; Si B 2 4AC > 0 : hyperbolique. Important à connaître car conditionne : les types de conditions aux limites ; le choix de la méthode numérique.

12 Classification des EDP Exemples Equation de Laplace : 2 u x u = 0. (14) y 2 u à fixer sur une partie ou sur toute la frontière. Equation de diffusion instationnaire : T t ( 2 ) T = κ x T y 2. (15) T doit être connue à l instant initial. T peut être spécifiée ou non sur la frontière. Equation des cordes vibrantes : Idem que T. 1 2 u c 2 t 2 = 2 u x 2. (16)

13 Formulation variationnelle Equation elliptique D D 1 n D 2 u = g, (17) u = u 1, sur D 1, (18) u n = u n i = φ, sur D 2. (19) x i La formulation variationnelle : Multiplication par une fonction test ; Intégration sur le domaine.

14 Formulation variationnelle Equation elliptique Définition des espaces de fonctions (Sobolev) : H 2 (D) = {v L 2 (D), m v L 2 (D) avec m 2, v D1 = 0}.(20) H 1 (D) = {v L 2 (D), v L 2 (D), v D1 = 0}. (21) Trouver u H 1 (D) tel que a(u, v) = gvds + φvdl, v H 1 (D), (22) D D 2 a(u, v) = grad u grad vds. (23) Il s agit d une formulation faible = réduction d un ordre des dérivées. Le pb est dit variationnelle car il revient à minimiser la fonctionnelle J(v) = 1 2 a(v, v) gvds φvdl. (24) D D 2 D

15 Formulation variationnelle Equation de l élasticité Sur un domaine D dont la frontière est partitionnée en deux, on considère le problème suivant : σ ij x j + f i = 0, (25) Définition des espaces de fonctions (Sobolev) : u = 0, sur D 1, (26) σ n = T, sur D 2. (27) H 2 (D) = {v L 2 (D) 3, m v L 2 (D) 3 avec m 2, v D1 = 0},(28) H 1 (D) = {v L 2 (D) 3, v L 2 (D), v D1 = 0}. (29) Trouver u H 1 (D) tel que a(u, v) = f vdv + T vds, v V, (30) D D 2 a(u, v) = σ ij (u)e ij (v)dv. (31) D

16 Formulation variationnelle Equation de l élasticité Revient à minimiser la fonctionnelle : J(v) = 1 2 a(v, v) f vdv T vds. (32) D 2 D Principe des travaux virtuels : Parmi tous les champs cinématiquement admissibles, le champ réel est celui qui minimise l énergie.

17 Formulation variationnelle Equations de Stokes Ecoulement d un fluide très visqueux incompressible dans un domaine D : div U = 0, (33) µ U + grad P = 0, (34) U = g sur D. (35) Deux espaces, l un pour la vitesse et l autre pour la pression : ] 3 [ 3 H 1 0 [L = {v 2 (D), v L (D)] 2, v D = 0}, (36) L 2 0 = {q L2 (D), qdv = 0}. (37) D

18 Formulation variationnelle Equations de Stokes Trouver (U, P) H 1 0 (D) L 2 0 (D) tel que { a(u, V) + b(v, p) = 0, V H 1 0 (D), b(u, q) = 0, q L 2 0 (D), (38) où a(u, V) et b(u, q) sont donnés par a(u, V) = µ U i V i dv, (39) D x j x j b(u, q) = q div UdV. (40) D

19 Formulation variationnelle Equations de Stokes On peut définir la fonctionnelle suivante L(V, q) = 1 a(v, V) + b(v, q). (41) 2 Le problème de Stokes admet une solution unique si on a L(U, q) L(U, P) L(V, P), (V, q) H 1 0 (D) L2 0 (D). (42) Problème de type point selle. L(U, p) U P

20 Méthode des résidus pondérés C est un premier pas vers une discrétisation. On considère le problème continu u est prise sous la forme d une série L(u) = f, x D, (43) M(u) = t x D. (44) N ū = a n φ n. (45) n=1 Le problème continu n est plus rigoureusement satisfait. On définit alors les résidus : R(ū) = L(ū) f, (46) B(ū) = M(ū) t. (47)

21 Méthode des résidus pondérés La méthode des résidus pondérés consiste à minimiser l erreur sur tout le domaine : R(ū) W m dv + B(ū) W m ds = 0, pour m = 1 à N. D D (48) Le choix de W m appelée fonction test permet de définir différentes méthodes : Si D = N n=1 D n tel que D n D m = n m et W m = 1 sur D m = méthode des volumes finis. Si W m = δ(x x m ) = méthode de collocation (méthode des différences finies et méthode spectrale). Si W m = R a m sur D, W m = B a m sur D, (49) on minimise l erreur quadratique = méthode des moindres carrés. Si W m = φ m = méthode de Galerkin.

22 Vers la méthode des éléments finis : Equation à une dimension On considère le pb elliptique suivant sur l ouvert Ω =]0, 1[ : d 2 u = f sur Ω =]0, 1[, dx 2 (50) u(0) = u(1) = 0. (51) On écrit la formulation variationnelle : Trouver u H 1 0 tel que H 1 0 (Ω) = {v L2 (Ω), a(u, v) = 1 0 fvdx, v H 1 0 (52) 1 du dv a(u, v) = dx, (53) 0 dx dx dv dx L2 (Ω), v(0) = v(1) = 0}. (54)

23 Vers la méthode des éléments finis : Equation à une dimension On discrétise le domaine 1 2 i N x 0 = 0 x i 1 x i x N = 1 u est cherchée sous la forme u h = N u i φ i (x), (55) i=0 où les fonctions de forme (ou de base) φ i (x) sont définies x x i 1, si x [x h i 1, x i ], x φ i (x) = i+1 x, si x [x h i, x i+1 ], 0 sinon. (56) 1 φ 0 φ 1 φ i φ N 1 φ N 1 2 i N x 0 = 0 x i 1 x i x N = 1

24 Vers la méthode des éléments finis : Equation à une dimension Le problème variationnelle est formulé au sens de Galerkin : a(u h,φ i ) = 1 0 fφ i dx, 0 i N. (57) Compte-tenu du support assez petit de φi, on obtient le système : a(φ 0,φ 0 )u 0 + a(φ 1,φ 0 )u 1 = x1 0 xi+1 fφ 0 dx, (58) a(φ i 1,φ i )u i 1 + a(φ i,φ i )u i + a(φ i+1,φ i )u i+1 = fφ i dx, (59) x i 1 pour i = 1 à N 1 a(φ N 1,φ N )u N 1 + a(φ N,φ N )u N = xn x N 1 fφ N dx.(60)

25 Vers la méthode des éléments finis : Equation à une dimension En explicitant le calcul de a(φj,φ i ), on a 1 h u 0 1 h u 1 = b 0, (61) 1 h u i h u i 1 h u i+1 = b i, (62) pour i = 1 à N 1 1 h u N h u N = b N. (63) Deux remarques importantes : Méthode locale. Avec des éléments linéaires, on obtient une formulation équivalente à la méthode des différences finies.

26 Vers la méthode des éléments finis : Equation à une dimension Appliquons à l équation suivante d2 u = sin(πx), sur Ω =]0, 1[, dx2 (64) u(0) = u(1) = 0. (65) de solution exacte u ex(x) = sin(πx) π 2. (66) Détermination de l erreur suivant deux normes [ 1 ( ) ] u 1 = du 2 u 2 + dx, (67) 0 dx 1 u 0 = u 2 dx. (68) 0

27 Vers la méthode des éléments finis : Equation à une dimension u uex 1, u uex u uex 1 u uex 0 u uex 1 = 0.2/N u uex 0 = /N N Résultat général en méthode des éléments finis : u I(u) 1 = O(h), u I(u) 0 = O(h 2 ). (69) Si on prend des polynômes d ordre plus élevé, Pk : u I(u) 1 = O(h k ), u I(u) 0 = O(h k+1 ). (70)

28 Méthode des éléments finis à 2 et 3 dimensions L approche reste exactement la même à plusieurs dimensions. On réalise la formulation faible du problème sur un partionnement discret du domaine. Exemples d éléments finis de référence : 2D 2D 3D 3D P 1 P 2 P 3 Q 1 Q 2 Q 3

29 Méthode des éléments finis à 2 et 3 dimensions Mise en œuvre numérique Discrétisation du domaine avec des éléments les plus parfaits possibles. Etablissement de la connectivité des éléments. Formulation discrète de problème : Transformation géométrique pour passer d un élément quelconque à un élément de référence ; Intégration numérique réalisée à l aide de méthodes de quadrature de type Gauss ; Calcul des coefficients non-nuls uniquement. Résolution du système linéaire : Méthodes directes ; Méthodes itératives. Sauvegarde des résultats.

30 Quelques exemples de problèmes Compression diamétrale d un disque Problème d élasticité en contrainte plane : essai brésilien utilisé pour les matériaux fragiles comme le verre ou le béton. B 2α A σn = P C 1 ( θ α ) 2 D D C A B σn = P 1 ( ) θ 2 α Imposition d efforts de compression. Le reste du domaine reste libre de contrainte. On impose la composante suivant l axe y à zéro en D et D.

31 Quelques exemples de problèmes Compression diamétrale d un disque

32 Quelques exemples de problèmes Compression diamétrale d un disque Contrainte σ xx

33 Quelques exemples de problèmes Compression diamétrale d un disque Contrainte σ xy

34 Quelques exemples de problèmes Compression diamétrale d un disque Contrainte σ yy

35 Quelques exemples de problèmes Compression diamétrale d un disque F σ xx = πre, (71) σ yy = F 3R 2 + y 2 πre R 2 y 2, (72) σxx, σyy 0-1e+06-2e+06 σ xx, sol. num. σ xx, sol. num. σ xx, Eq. (71) σ yy, Eq. (72) -3e+06-4e+06-5e+06-0,02-0,015-0,01-0, ,005 0,01 0,015 0,02 y

36 Quelques exemples de problèmes Equation de Burgers u vérifie l équation de diffusion/advection non-linéaire suivante sur Ω =] 1, 1[ avec u du dx ν d 2 u = 0, (73) dx 2 u( 1) = 1, (74) u(1) = 1. (75) u admet la solution exacte suivante ( u ex(x) = A tanh Ax ), (76) 2ν avec ( ) A A tanh = 1. (77) 2ν

37 Quelques exemples de problèmes Equation de Burgers Formulation faible à l aide de la méthode de Galerkin : où a(u h, v h ) est donné par a(u h, v h ) = Trouver u h H0 1 (Ω), tel que a(u h, v h ) = 0, v h H0 1 (Ω), (78) 1 1 ( du u h h dx v h + ν du h dx a(uh, v h ) n est pas un opérateur symétrique. ) dv h dx. (79) dx

38 Quelques exemples de problèmes Equation de Burgers 2 1,5 1 ν = 10 1 ν = 10 2 ν = ,5 u 0-0,5-1 -1, ,75-0,5-0,25 0 x 0,25 0,5 0,75 1 Pour que la formulation de Galerkin soit stable, il faut que a(u h, u h ) α h u h 2 1. (80) Propriété de coercivité plus assurée pour ν petit.

39 Quelques exemples de problèmes Equation de Burgers Utilisation d une formulation de type moindres carrés : 1 1 ( du h u h dx ν d 2 ) ( u h dv h dx 2 v h dx ν d 2 ) v h dx 2 dx = 0. (81) Opérateur non-linéaire mais symétrique ce qui assure de bonnes conditions de solvabilité. Avec des éléments finis H 1 conforme, on ne sait pas donner un sens au terme de dérivée seconde sur l ensemble du domaine. Utilisation d une méthode mixte Galerkin/moindres carrés : On formule le terme moindres carrés sur chaque élément.

40 Quelques exemples de problèmes Equation de Burgers La formulation Galerkin/moindres carrés prend la forme suivante : τ(h K ) K Ω h K Trouver u h H 1 0(Ω), tel que a(u h, v h ) + ( du h u h dx ν d ) ( 2 u h dv h v dx 2 h dx ν d ) 2 v h dx = 0, (82) dx 2 v h H 1 0(Ω), avec ( ) hk τ(h K ) = min u h,k, hk 2, (83) 12ν

41 Quelques exemples de problèmes Equation de Burgers 1 0,5 N = 100 N = 400 Sol. exacte, Eq. (76) u 0-0, ,75-0,5-0,25 0 0,25 0,5 0,75 1 x

42 Quelques exemples de problèmes Ecoulement forcé dans un demi-cylindre Equations de Navier-Stokes normalisées : avec U t div U = 0, (84) + grad U U = grad P + 1 U, Re (85) Re = ρud µ. (86)

43 Quelques exemples de problèmes Ecoulement forcé dans un demi-cylindre Utilisation d une formulation mixte Galerkin/moindres carrés. Etude de l influence du nombre de Reynolds. 0,25 0,2 Re = 200 Re = 2000 Ux 0,15 0,1 0, t

44 Travaux dirigés Equation de Poisson avec terme source pontuel Soit sur un disque de rayon unité, le problème suivant div(grad u) = δ(x x 0 ), (87) avec u = 0, pour r = 1. (88) La formulation faible de ce problème est u v ds = v(x 0 ). (89) D x i x i Dans l exemple, x 0 = 0. La solution exacte est la fonction de Green de l équation de Laplace : u(x) = 1 ln(r). (90) 2π

45 Travaux dirigés Propagation d un front de fissure Il s agit d un problème d élasticité linéaire en contrainte plane. La géométrie est la suivante l ux = 0 E F D w r A B C a uy = 0 l (mm) 20 w (mm) 2 r (mm) 0, 4 a (mm) 10 e (mm) 5 Propriété Valeur Unité E Pa ν 0, 23 ρ 2500 kg/m 3

46 Travaux dirigés Transfert de masse autour d une bulle L objectif est de calculer le coefficient de transfert de masse autour d une bulle placée dans un écoulement en fonction de l importance de la vitesse. Le problème est normalisé à l aide du diamètre de la bulle, de la vitesse d ascension de cette dernière et de la différence de concentration à la surface de la bulle et à l infini. L équation d advection/diffusion s écrit sous la forme avec C u z z + C ur = 1 [ 1 r Pe r u r = r ( r C ) ] + 2 C, (91) r z 2 zr, (92) 4(z 2 + r 2 ) 3/2 u z = 1 + r 2 + 2z 2, (93) 4(z 2 + r 2 ) 3/2 Pe = 2aU T D. (94)

47 Travaux dirigés Transfert de masse autour d une bulle z Γ1 S r Γ2 C = 1, sur S, (95) C = 0, sur Γ 1, (96) C n = 0, sur Γ 2. (97) On cherchera à déterminer en fonction de Pe C S n Sh = SdS. (98) π

A. Popier (Le Mans) EDP, solutions classiques. 1 / 52

A. Popier (Le Mans) EDP, solutions classiques. 1 / 52 ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES, SOLUTIONS CLASSIQUES. DIFFÉRENCES FINIES. Alexandre Popier Université du Maine, Le Mans A. Popier (Le Mans) EDP, solutions classiques. 1 / 52 PLAN DU COURS 1 FORMULES

Plus en détail

Un exemple de problème à résoudre. Introduction au calcul scientifique pour les EDP de la physique. p.4/27. La démarche de l ingénieur mathématicien

Un exemple de problème à résoudre. Introduction au calcul scientifique pour les EDP de la physique. p.4/27. La démarche de l ingénieur mathématicien Un exemple de problème à résoudre. Introduction au calcul scientifique pour les EDP de la physique. Patrick Joly INRIA-Rocquencourt Exemple: la conduction de la chaleur. Soit un domaine de R N (N =,, 3)

Plus en détail

Simulation numérique, contexte

Simulation numérique, contexte Introduction à la Simulation Numérique Jérémie Gressier Septembre 21 1 / 41 Plan 1 Présentation 2 Différences Finies 3 Intégration d un problème de Cauchy 4 Conclusion 2 / 41 Simulation numérique, contexte

Plus en détail

Équations de Navier-Stokes

Équations de Navier-Stokes Chapitre 8 Équations de Navier-Stokes O. Thual, 26 mai 2013 Sommaire 1 Fluides newtoniens................... 2 1.1 Rhéologie des fluides newtoniens........... 2 1.2 Conditions aux limites................

Plus en détail

Mécanique des fluides numérique

Mécanique des fluides numérique Mécanique des fluides numérique P. Helluy ENSMP Janvier 2006 Notations Modèle général de Naviers-Stokes Équations d Euler compressibles 1D Navier-Stokes visqueux incompressible Turbulence de Reynolds Pertes

Plus en détail

INTRODUCTION A L OPTIMISATION DE STRUCTURES

INTRODUCTION A L OPTIMISATION DE STRUCTURES 1 CONCEPTION OPTIMALE DE STRUCTURES G. ALLAIRE 6 Janvier 20 CHAPITRE I INTRODUCTION A L OPTIMISATION DE STRUCTURES 2 GENERALITES Un problème d optimisation de structures (ou de formes) est défini par trois

Plus en détail

CONTRAINTES. Nous considérons un solide Ω en cours de déformation, nous isolons une partie

CONTRAINTES. Nous considérons un solide Ω en cours de déformation, nous isolons une partie CONTRAINTES 1 Tenseur des contraintes 1.1 Hypothèses de base Nous considérons un solide Ω en cours de déformation, nous isolons une partie Ω A de ce solide, et nous analysons les efforts agissant sur cette

Plus en détail

COURS MA103. Introduction aux équations aux dérivées partielles hyperboliques et à leur discrétisation par différences finies.

COURS MA103. Introduction aux équations aux dérivées partielles hyperboliques et à leur discrétisation par différences finies. COURS MA103 Introduction aux équations aux dérivées partielles hyperboliques et à leur discrétisation par différences finies Patrick Joly 1 Equation aux dérivées partielles : équation dont l inconnue est

Plus en détail

ESPACES DE SOBOLEV, FORMULATION VARIATIONNELLE DES EDP.

ESPACES DE SOBOLEV, FORMULATION VARIATIONNELLE DES EDP. ESPACES DE SOBOLEV, FORMULATION VARIATIONNELLE DES EDP. Alexandre Popier Université du Maine, Le Mans A. Popier (Le Mans) Solutions faibles. 1 / 42 PLAN DU COURS 1 ESPACES DE HILBERT 2 ESPACES DE SOBOLEV

Plus en détail

La méthode des éléments finis

La méthode des éléments finis Chapitre 6 La méthode des éléments finis 6.1 Introduction La méthode des éléments finis est actuellement la méthode la plus utilisée pour la résolution de problèmes aux limites. Elle découle directement

Plus en détail

Pour comprendre la méthode des éléments finis

Pour comprendre la méthode des éléments finis 1 Pour comprendre la méthode des éléments finis Thibaud Kloczko OPALE Project-Team INRIA Sophia-Antipolis Méditerranée Thibaud.Kloczko@inria.fr Tribune DREAM November 23 th, 2010 Sophia-Antopolis, FRANCE

Plus en détail

Analyse du comportement non linéaire des structures par la méthode des éléments finis. Christian Rey

Analyse du comportement non linéaire des structures par la méthode des éléments finis. Christian Rey Analyse du comportement non linéaire des structures par la méthode des éléments finis Christian Rey christian.rey@safran.fr Mastère Spécialisé Design des Matériaux et des Structures DMS 1 1 Plan du cours

Plus en détail

ANALYSE DES EDPS - ENSEM, FORMATION INGENIERIE DES SYSTEMES NUMERIQUES, 2EME ANNEE - CHAPITRE 4: FORMULATION VARIATIONNELLE ET ESPACES DE SOBOLEV

ANALYSE DES EDPS - ENSEM, FORMATION INGENIERIE DES SYSTEMES NUMERIQUES, 2EME ANNEE - CHAPITRE 4: FORMULATION VARIATIONNELLE ET ESPACES DE SOBOLEV ANALYSE DES EDPS - ENSEM, FORMATION INGENIERIE DES SYSTEMES NUMERIQUES, EME ANNEE - CHAPITRE 4: FORMULATION VARIATIONNELLE ET ESPACES DE SOBOLEV Table des matières I. Remarques préliminaires sur le problème

Plus en détail

Analyse numérique Exercices corrigés

Analyse numérique Exercices corrigés Université Sultan Moulay Slimane 9- Module : Analyse numérique par S. Melliani & L. S. Chadli Analyse numérique Exercices corrigés Interpolation polynômiale Exercice Déterminer le polynôme d interpolation

Plus en détail

Résumé du cours d Analyse Numérique du Professeur Marco Picasso

Résumé du cours d Analyse Numérique du Professeur Marco Picasso Résumé du cours d Analyse Numérique du Professeur Marco Picasso jean-eloi.lombard@epfl.c 19 juillet 2007 Table des matières 1 Problèmes d interpolation 3 2 Dérivation Numérique 3 2.1 Dérivées numériques

Plus en détail

Formation à la Modélisation et à l Identification du Comportement Mécanique des Matériaux

Formation à la Modélisation et à l Identification du Comportement Mécanique des Matériaux Formation à la Modélisation et à l Identification du Comportement Mécanique des Matériaux OBJECTIF Il s agit ici de mécanique appliquée aux matériaux : métaux et alliages, polymères, céramiques et composites.

Plus en détail

Université Paris-Dauphine Ceremade. Introduction aux méthodes particulaires. François BOLLEY

Université Paris-Dauphine Ceremade. Introduction aux méthodes particulaires. François BOLLEY Université Paris-Dauphine Ceremade o Introduction aux méthodes particulaires o François BOLLEY I - Les équations d Euler incompressibles : modèle macroscopique, particules déterministes II - L équation

Plus en détail

Contraintes dans les corps célestes

Contraintes dans les corps célestes Contraintes dans les corps célestes L objectif du problème est de déterminer en chaque point matériel d un corps les contraintes engendrées par les interactions gravitationnelles avec les autres points

Plus en détail

Convection de Rayleigh-Bénard

Convection de Rayleigh-Bénard Article Pédagogique Multimedia O. Thual, APM-INPT thu-rayben (2006) Convection de Rayleigh-Bénard Cet article pédagogique a pour but de présenter la notion d instabilité sur l exemple de la convection

Plus en détail

Ecoulements multiphasiques

Ecoulements multiphasiques Ecoulements multiphasiques 1. Principes généraux et notions de base 2. Ecoulements gaz-liquide en conduite : approche globale 3. Interfaces : propriétés et évolutions 4. Particules, gouttes et bulles 5.

Plus en détail

AMéthode de parallélisation en temps: Application aux méthodes de décomposition de domaine

AMéthode de parallélisation en temps: Application aux méthodes de décomposition de domaine 1/17 AMéthode de parallélisation en temps: Application aux méthodes de décomposition de domaine Rim Guetat sous la direction de M. Yvon Maday Laboratoire Jacques Lious Lions Université Pierre et Marie

Plus en détail

EXERCICES D ANALYSE ET METHODES NUMERIQUES GR-EA

EXERCICES D ANALYSE ET METHODES NUMERIQUES GR-EA EXERCICES D ANALYSE ET METHODES NUMERIQUES 01-013 s.achakir 0.1 INTERPOLATION I- Interpolation On donne x 0 = 1 et h = 1 4 et x i = x 0 + ih pour i=0,1,. et y 0 = 1, y 1 = 1, y = 3. (a) Déterminer le polynôme

Plus en détail

Simulation numérique à l échelle macroscopique par la méthode des éléments finis

Simulation numérique à l échelle macroscopique par la méthode des éléments finis Simulation numérique à l échelle macroscopique par la méthode des éléments finis Franck Pigeonneau Surface du verre et Interfaces, UMR 125 CNRS/Saint-Gobain 39, quai Lucien Lefranc 93303 Aubervilliers

Plus en détail

MMC - Mécaniques des Milieux Continus

MMC - Mécaniques des Milieux Continus INA de Rouen - MECA3 - Année 01-013 MMC - Mécaniques des Milieux Continus ommaire 1 Rappels mathématiques et notations indicielles 3 1.1 Vecteurs..........................................................

Plus en détail

Mécanique des Matériaux Solides (EMP3122)

Mécanique des Matériaux Solides (EMP3122) Mécanique des Matériaux Solides (EMP3122) Georges Cailletaud Centre des Matériaux Ecole des Mines de Paris/CNRS Cinématique et statique en petites déformations Déplacement déformation Le tenseur de déformation

Plus en détail

Discrétisation des équations. de Stokes et de Navier-Stokes. en formulation tourbillon-vitesse-pression. Christine Bernardi

Discrétisation des équations. de Stokes et de Navier-Stokes. en formulation tourbillon-vitesse-pression. Christine Bernardi Discrétisation des équations de Stokes et de Navier-Stokes en formulation tourbillon-vitesse-pression Christine Bernardi Laboratoire Jacques-Louis Lions C.N.R.S. et Université Pierre et Marie Curie Travail

Plus en détail

Transformations du milieu continu

Transformations du milieu continu Transformations du milieu continu Extensome trie mesures du de placement relatif de deux points 2/75 Extensome trie mesures du de placement relatif de deux points 3/75 Mesures de champ mesures de champs

Plus en détail

Les équations aux dérivées partielles

Les équations aux dérivées partielles Didier Cassereau Laboratoire d Imagerie Biomédicale, UPMC CNRS INSERM, Paris, France ESPCI - Promotion 133 Généralisation du problème des équations différentielles plusieurs degrés de liberté en espace

Plus en détail

MASTER M2 E.D.P. ET ANALYSE NUMERIQUE UNIVERSITE PARIS 6 - ECOLE POLYTECHNIQUE Cours de G. Allaire, Homogénéisation 13 Janvier 2011 (3 heures)

MASTER M2 E.D.P. ET ANALYSE NUMERIQUE UNIVERSITE PARIS 6 - ECOLE POLYTECHNIQUE Cours de G. Allaire, Homogénéisation 13 Janvier 2011 (3 heures) MASTER M2 E.D.P. ET ANALYSE NUMERIQUE UNIVERSITE PARIS 6 - ECOLE POLYTECHNIQUE Cours de G. Allaire, Homogénéisation 13 Janvier 2011 (3 heures On attachera le plus grand soin à la rédaction et à la présentation

Plus en détail

Analyse dimensionnelle et similitude. Plan du chapitre 5

Analyse dimensionnelle et similitude. Plan du chapitre 5 Chapitre 5 ( 4heures) Analyse dimensionnelle et similitude Plan du chapitre 5. Introduction et définitions. Analyse dimensionnelle des équations de bilan: - Forme adimensionnelle des équations de continuité

Plus en détail

Formulation faible et formulation variationnelle

Formulation faible et formulation variationnelle Chapitre Formulation faible et formulation variationnelle. Une première approche en statique Marc Buffat UFR de Mécanique Université Claude Bernard, Lyon I 3 mars 7 On considère une poutre encastrée à

Plus en détail

Formulation variationnelle de problèmes aux limites

Formulation variationnelle de problèmes aux limites Chapitre 5 Formulation variationnelle de problèmes aux limites 5.1 Le problème de Dirichlet homogène Dans ce chapitre, on va utiliser le problème modèle suivant pour introduire la formulation variationnelle

Plus en détail

FORMULATION MATRICIELLE

FORMULATION MATRICIELLE FORMULATION MATRICIELLE PRÉVISION D ÉVÉNEMENTS GLOBAUX PAR UNE DESCRIPTION DE TRANSFORMATIONS LOCALES GÉNÉRIQUES David Ryckelynck Centre des Matériaux, Mines ParisTech 22 novembre 2016 Plan du cours 1

Plus en détail

Qualité des calculs par éléments finis

Qualité des calculs par éléments finis Qualité des calculs par éléments finis 16 mars 2011 Philippe Mestat (Ifsttar) Qu est-ce qu un bon modèle de calcul? Qu est-ce qu un modèle correct? Qualité des données Qualité du logiciel Cohérence des

Plus en détail

Étude de nouvelles stratégies de couplage latéral dans les modèles régionaux de prévision numérique du temps

Étude de nouvelles stratégies de couplage latéral dans les modèles régionaux de prévision numérique du temps Étude de nouvelles stratégies de couplage latéral dans les modèles régionaux de prévision numérique du temps Fabrice Voitus CNRM/GAME, Météo-France 2 Mars 29 F. Voitus (Météo-France) Rencontres Météo/MathAppli

Plus en détail

PC - Cinématique des fluides

PC - Cinématique des fluides PC - Cinématique des fluides Les lois de la mécanique des fluides sont complexes. Une analyse aérodynamique d un système mécanique réel (voiture, aile d avion...) donne souvent lieu à des simulations numériques

Plus en détail

EXERCICES SUR LES DISTRIBUTIONS. 1 x 2 si x < 1. ϕ(x) = 0 si x 1 2

EXERCICES SUR LES DISTRIBUTIONS. 1 x 2 si x < 1. ϕ(x) = 0 si x 1 2 Université Chouaib Doukkali Faculté des Sciences Département de Mathématiques El Jadida A. Lesfari lesfariahmed@yahoo.fr http://lesfari.com EXERCICES SUR LES DISTRIBUTIONS Eercice. Soit ϕ : R R définie

Plus en détail

ENSTA - COURS MS 204 DYNAMIQUE DES SYSTÈMES MÉCANIQUES : ONDES ET VIBRATIONS

ENSTA - COURS MS 204 DYNAMIQUE DES SYSTÈMES MÉCANIQUES : ONDES ET VIBRATIONS ENSTA - COURS MS 204 DYNAMIQUE DES SYSTÈMES MÉCANIQUES : ONDES ET VIBRATIONS Amphi 6 RAPPEL Mise en ligne des documents : PC 5 : Les fichiers.m matlab dont le corrigé : TD5d.m: http://www.ensta-paristech.fr/

Plus en détail

Mécanique de la rupture

Mécanique de la rupture Mécanique de la rupture Etude des fissures macroscopiques, id est dont la géométrie doit être explicitement prise en compte dans la structure. Typiquement, 1mm. Observations Si la longueur de fissure augmente,

Plus en détail

Calcul EF fluides et surfaces libres. Thierry Coupez

Calcul EF fluides et surfaces libres. Thierry Coupez Calcul EF fluides et surfaces libres Thierry Coupez Plan Exemples simulations 3D dans le domaine des matériaux 2 Calcul des écoulements 3 Calcul des surfaces libres 4 Calcul de la température et couplage

Plus en détail

Une équation fondamentale en mécanique des fluides : l équation de Navier - Stokes

Une équation fondamentale en mécanique des fluides : l équation de Navier - Stokes Une équation fondamentale en mécanique des fluides : l équation de Navier - Stokes Une équation fondamentale en mécanique des fluides : l équation de Navier - Stokes Les diverses couches d'un fluide en

Plus en détail

MOOC Introduction à la Mécanique des fluides

MOOC Introduction à la Mécanique des fluides MOOC Introduction à la Mécanique des fluides EVALUATION N 1 1- On considère un écoulement unidimensionnel de fluide dont le champ des vitesses s écrit!"! =!! ( 1 + 2!! ) V 0 et L sont des constantes caractéristiques

Plus en détail

Equations fondamentales de la mécanique des uides

Equations fondamentales de la mécanique des uides Equations fondamentales de la mécanique des uides G. Blanchard, C. Glusa, S. Calisti, S. Calvet, P. Fourment, R. eblanc, M.Quillas-Saavedra 3 mai 2010 Résumé On cherche ici à établir les équations de Navier-Stokes,

Plus en détail

Calcul d écoulements par méthode Vortex

Calcul d écoulements par méthode Vortex Calcul d écoulements par méthode Vortex Jérémie Gressier mars 2007 1/42 incompressible Bilan de masse Bilan de quantité de mouvement div(ρv) = 0 V t + div(v V) = g 1 ( gradp + div ν ) gradv ρ si la viscosité

Plus en détail

Le problème de la turbulence 2D est celui de la dynamique d un fluide gouverné par les équations de Navier-Stokes 2D :

Le problème de la turbulence 2D est celui de la dynamique d un fluide gouverné par les équations de Navier-Stokes 2D : Chapitre 3 ynamique de la vorticité Introduction Un certain nombre d alignements remarquables entre la direction de la vorticité et les directions propres de la matrice d étirement, d une part et de la

Plus en détail

Simulation numérique pour l aéronautique

Simulation numérique pour l aéronautique Simulation numérique pour l aéronautique Eric Darrigrand Amphis des lycéens Introduction La simulation numérique motivée par des applications nombreuses et variées : médecine, construction d ouvrages,

Plus en détail

Mécanique des Fluides

Mécanique des Fluides Mécanique des Fluides Franck Nicoud Polytech Montpellier // IMAG - UMR CNRS 5149 http://www.math.univ-montp2.fr/~nicoud/ franck.nicoud@umontpellier.fr 1 Plan général 1. Rappels 2. Quelques solutions analytiques

Plus en détail

Compléments mathématiques et notations

Compléments mathématiques et notations Compléments mathématiques et notations 1 Variations, dérivées et approximations Valeurs approchées : notation On utilise plusieurs notations pour exprimer que deux variables ou valeurs sont proches sans

Plus en détail

Méthodes numériques TD 3

Méthodes numériques TD 3 Université de Savoie L MASS Méthodes numériques TD Exercice : On veut approcher l intégrale I = / exp x ) dx. Donner une valeur approchée de I en utilisant la méthode rectangle à gauche rectangle à droite

Plus en détail

Méthodes variationnelles appliquées à la modélisation

Méthodes variationnelles appliquées à la modélisation Méthodes variationnelles appliquées à la modélisation Emmanuel Maitre et Clément Jourdana ENSIMAG 2A / MSIAM1 http://www-ljk.imag.fr/membres/emmanuel.maitre/doku.php?id= introef 1. Introduction : des différences

Plus en détail

Ecole thématique Méthodes Asymptotiques en Mécanique Quiberon septembre Méthodes asymptotiques pour les structures minces

Ecole thématique Méthodes Asymptotiques en Mécanique Quiberon septembre Méthodes asymptotiques pour les structures minces Ecole thématique Méthodes Asymptotiques en Mécanique Quiberon 16-22 septembre 2012 Méthodes asymptotiques pour les structures minces Olivier MILLET Collaborations : A. Cimetière, A. Hamdouni, E. Sanchez-Palencia,

Plus en détail

Méthodes des éléments finis généralisés pour la simulation acoustique et vibro-acoustique Philippe Bouillard

Méthodes des éléments finis généralisés pour la simulation acoustique et vibro-acoustique Philippe Bouillard Mémoire d habilitation à diriger des recherches de l Université Pierre et Marie Curie (Paris VI) Méthodes des éléments finis généralisés pour la simulation acoustique et vibro-acoustique Philippe Bouillard

Plus en détail

Avant-propos 3. 1 Principes fondamentaux Conservation de la masse Le fluide newtonien Dissipation d énergie...

Avant-propos 3. 1 Principes fondamentaux Conservation de la masse Le fluide newtonien Dissipation d énergie... Table des matières Avant-propos 3 1 Principes fondamentaux 15 1.1 Conservation de la masse......................... 16 1.2 Équation du mouvement.......................... 16 1.3 Le fluide newtonien.............................

Plus en détail

Variables aléatoires réelles

Variables aléatoires réelles Variables aléatoires réelles Table des matières 1 Généralités sur les variables aléatoires réelles. 3 1.1 Rappels sur les σ-algèbres ou tribus d événements................................. 3 1.2 σ-algèbre

Plus en détail

THERMODYNAMIQUE-DIFFUSION

THERMODYNAMIQUE-DIFFUSION Spé y 3-4 Devoir n THERMODYNAMIQUE-DIFFUSION On étudie la compression ou la détente d un ga enfermé dans un récipient. Lorsque le bouchon se déplace, le volume V occupé par le ga varie. L atmosphère est

Plus en détail

Chapitre Eléments finis en dimension N 2

Chapitre Eléments finis en dimension N 2 1 Chapitre 6 6.3 Eléments finis en dimension N 2 Plan du cours: 6.3.1 Eléments finis triangulaires (de Lagrange) 6.3.2 Convergence et estimation d erreur 6.3.3 Eléments finis rectangulaires (de Lagrange)

Plus en détail

Séance 2 : Exercices corrigés FONCTIONS CONVEXES

Séance 2 : Exercices corrigés FONCTIONS CONVEXES Mathématiques 2 1 Séance 2 : Exercices corrigés FONCTIONS CONVEXES Question 1 Un circuit électrique : exemple de système non linéaire Montrer que les lois de Kirchhoff (la somme des intensités arrivant

Plus en détail

Analyse numérique : Approximation de fonctions

Analyse numérique : Approximation de fonctions Analyse numérique : Approximation de fonctions Pagora 1A Chapitre 3 29 janvier - 1er février 2013 Analyse numérique (Pagora 1A) Approximation de fonctions 29/01/13-1/02/13 1 / 64 Plan 1 Introduction 2

Plus en détail

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES K désigne les corps R ou C. 1 Généralités sur les équations différentielles 1.1 Notion d équation différentielle Définition 1.1 On appelle équation différentielle une équation

Plus en détail

Mécanique des milieux continus

Mécanique des milieux continus Mécanique des milieux continus Séance 11 : Techniques de résolution Guilhem MOLLON GEO3 2012-2013 Plan de la séance A. Méthode des différences finies 1. Discrétisation des variables 2. Discrétisation des

Plus en détail

DÉVELOPPEMENT D ALGORITHMES ET D UN CODE DE CALCUL POUR LES PROBLÈMES DE L IMPACT ET DU CHOC. Benoît Magnain

DÉVELOPPEMENT D ALGORITHMES ET D UN CODE DE CALCUL POUR LES PROBLÈMES DE L IMPACT ET DU CHOC. Benoît Magnain Thèse de doctorat spécialité : mécanique DÉVELOPPEMENT D ALGORITHMES ET D UN CODE DE CALCUL POUR LES PROBLÈMES DE L IMPACT ET DU CHOC Benoît Magnain 28 novembre 26 Laboratoire de Mécanique et d Énergétique

Plus en détail

Polytechnique Montréal Département des génies civil, géologique et des mines

Polytechnique Montréal Département des génies civil, géologique et des mines Polytechnique Montréal Département des génies civil, géologique et des mines CIV2310 MÉCANIQUE DES FLUIDES EXAMEN FINAL Hiver 2014 Date : 2 mai 2014 Heure : 13h30 à 16h00 (durée: 2h30) Pondération : 55%

Plus en détail

Opérateurs différentiels

Opérateurs différentiels Master Dynamique terrestre et risques naturels Mathématiques pour géologues Opérateurs différentiels On étudie en géosciences des fonctions scalaires des coordonnées d espace, comme la température, ou

Plus en détail

Une méthode de Gauge pour Navier-Stokes incompressible utilisant des ondelettes à divergence nulle ou à rotationnel nul

Une méthode de Gauge pour Navier-Stokes incompressible utilisant des ondelettes à divergence nulle ou à rotationnel nul 1 Une méthode de Gauge pour Navier-Stokes incompressible utilisant des ondelettes à divergence nulle ou à rotationnel nul Souleymane Kadri-Harouna, Valérie Perrier Laboratoire Jean Kuntzmann LJK Grenoble

Plus en détail

Approximation de la fréquence fondamentale d une structure par la méthode de Rayleigh

Approximation de la fréquence fondamentale d une structure par la méthode de Rayleigh Approximation de la fréquence fondamentale d une structure par la méthode de Rayleigh Notes de cours de Dynamique des Structures Résumé Ce document présente la méthode du quotient de Rayleigh pour l approximation

Plus en détail

Résolution pratique des équations aux dérivées partielles. David Manceau

Résolution pratique des équations aux dérivées partielles. David Manceau Résolution pratique des équations aux dérivées partielles David Manceau 2 TABLE DES MATIÈRES 3 Table des matières Introduction 7 1 Exemples classiques d e.d.p. 9 1.1 Modélisation, mise en équation........................

Plus en détail

HYDRODYNAMIQUE. EXAMEN Jeudi 7 juin, 9 13 h Calculettes et bon sens rigoureusement autorisés

HYDRODYNAMIQUE. EXAMEN Jeudi 7 juin, 9 13 h Calculettes et bon sens rigoureusement autorisés Paris 7 PH282 2000 01 HYDRODYNAMIQUE EXAMEN Jeudi 7 juin, 9 13 h Calculettes et bon sens rigoureusement autorisés Avertissement Les questions de base, simples et incontournables, sont indiquées par un

Plus en détail

Analyse des structures mécaniques par la

Analyse des structures mécaniques par la Analyse des structures mécaniques par la méthode des éléments finis c PSA Peugeot Citroën www.lms.polytechnique.fr/users/bonnet/enseignement.html Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, 2008 2009

Plus en détail

Analyse numérique. et optimisation. Une introduction à la modélisation mathématique et à la simulation numérique. Grégoire Allaire.

Analyse numérique. et optimisation. Une introduction à la modélisation mathématique et à la simulation numérique. Grégoire Allaire. Analyse numérique et optimisation Une introduction à la modélisation mathématique et à la simulation numérique Grégoire Allaire c^'qv, Table des matières INTRODUCTION A LA MODÉLISATION MATHÉMATIQUE ET

Plus en détail

Objectifs : vers un rappel... vers un départ intuitif... presque!

Objectifs : vers un rappel... vers un départ intuitif... presque! Chapitre Un : Objectifs Objectifs : vers un rappel... vers un départ intuitif... presque! Comment définit-on un fluide? Écoulement : définition et classification Cinématique de fluide et descriptions de

Plus en détail

Mécanique des Fluides EPFL/ENAC examen GC-BA 4 1

Mécanique des Fluides EPFL/ENAC examen GC-BA 4 1 Correction de l examen du 12 avril 2010 Professeur responsable : Christophe CEY Documentation autorisée : aucune documentation sauf formulaire A4 Matériel autorisé : tout matériel sauf appareil de transmission

Plus en détail

Chapitre 1 : Introduction à la commande optimale

Chapitre 1 : Introduction à la commande optimale Chapitre 1 : Introduction à la commande optimale 1- Objet de la commande optimale Pour introduire la notion de commande optimale, considérons l exemple suivant : Pour arrêter la rotation d un rotor tournant

Plus en détail

Cadre de travail Amphi 4 Hypothèse des petites perturbations : Evolution quasi-statique : Evolution isotherme :

Cadre de travail Amphi 4 Hypothèse des petites perturbations : Evolution quasi-statique : Evolution isotherme : 1 Rupture et Plasticité Plan du cours Comportements non linéaires des matériaux solides : Amphi 1 Rupture fragile : Singularités de contrainte et ténacité des matériaux : Amphi 2 Analyse énergétique de

Plus en détail

Écoulement de l air dans les voies aériennes

Écoulement de l air dans les voies aériennes Écoulement de l air dans les voies aériennes Driss Yakoubi Groupe de travail Modélisation numérique et Images. MAP5, Université Paris Descartes. 10 Avril 2009. Driss Yakoubi (Projet REO, INRIA) Écoulement

Plus en détail

Transferts de chaleur et de masse : Objectifs

Transferts de chaleur et de masse : Objectifs Convection Objectifs Transferts de chaleur et de masse : Objectifs Faire comprendre les mécanismes de transferts par convection Metter en évidence et présenter des outils de calcul des transferts par convection

Plus en détail

Limitations et problèmes de l équation de Stokes Ecoulements de particules, suspensions

Limitations et problèmes de l équation de Stokes Ecoulements de particules, suspensions ENSTA Cours de ème année e MF 6 Limitations et problèmes de l équation de Stokes Ecoulements de particules, suspensions Jean-Pierre Hulin et Benoît Semin (Laboratoire FAST CNRS, Universités Paris 6 et

Plus en détail

Application de la méthode des frontières immergées aux équations de Navier-Stokes

Application de la méthode des frontières immergées aux équations de Navier-Stokes Application de la méthode des frontières immergées aux équations de Navier-Stokes Joris Picot Stéphane Glockner Thomas Milcent Delphine Lacanette GdT I2M TREFLE 17 décembre 2015 Planches restantes : 26

Plus en détail

Chapitre deux : écoulements visqueux... simples?

Chapitre deux : écoulements visqueux... simples? Objectifs Chapitre deux : écoulements visqueux... simples? Différences entre fluides parfaits et fluides réels. Écoulements conduisants aux solutions exactes des équations de Navier Stokes : écoulements

Plus en détail

Chapitre 6 : écoulements laminaires et turbulents. Mécanique des fluides Christophe Ancey

Chapitre 6 : écoulements laminaires et turbulents. Mécanique des fluides Christophe Ancey Chapitre 6 : écoulements laminaires et turbulents Mécanique des fluides Christophe Ancey Chapitre 6 : écoulements laminaires et turbulents Équations de Navier-Stokes Bases phénoménologiques Adimensionnalisation

Plus en détail

Méthodes numériques. Transport et diffusion G. ALLAIRE. Cours no. 5 le 11/I/2016. Différences finies en 1-d: rappels

Méthodes numériques. Transport et diffusion G. ALLAIRE. Cours no. 5 le 11/I/2016. Différences finies en 1-d: rappels 1 G. ALLAIRE Cours no. 5 le 11/I/2016 Méthodes numériques Différences finies en 1-d: rappels Equation de diffusion stationnaire Equation de transport Equation de transport stationnaire 2 (1) Rappels: différences

Plus en détail

TD 4 - CI-3 : PRÉVOIR ET VÉRIFIER LES PERFOR-

TD 4 - CI-3 : PRÉVOIR ET VÉRIFIER LES PERFOR- TD 4 - CI-3 : PRÉVOIR ET VÉRIFIER LES PERFOR- MANCES DYNAMIQUES ET ÉNERGÉTIQUES DES SYSTÈMES. Exercice 1 : Dispositif de mesure d un moment d inertie Un solide (S 2 ) de révolution d axe (G, z 0 ) roule

Plus en détail

Stabilité numérique et conditionnement. Jocelyne Erhel. équipe FLUMINANCE, Inria Rennes et IRMAR, France

Stabilité numérique et conditionnement. Jocelyne Erhel. équipe FLUMINANCE, Inria Rennes et IRMAR, France Stabilité numérique et conditionnement Jocelyne Erhel équipe UMINANCE, Inria Rennes et IRMAR, France INSA, Mai 2016 1 / 34 Plan duction Stabilité numérique Conditionnement Méthodes d approximation 2 /

Plus en détail

Description Eulerienne-Lagrangienne des équations de Navier-Stokes

Description Eulerienne-Lagrangienne des équations de Navier-Stokes Description Eulerienne-Lagrangienne des équations de Navier-Stokes Carlos Cartes Miguel Bustamante Marc-E. Brachet. Laboratoire de Physique Statistique École Normale Supérieure de Paris Weber-Clebsch p.1/18

Plus en détail

le domaine acoustique

le domaine acoustique Expertise mécanique des sciages par analyse des vibrations dans le domaine acoustique Thèse en mécanique option acoustique Soutenu par Loïc BRANCHERIAU CIRAD Forêt Qualité et Valorisation des Bois de Plantation

Plus en détail

SOMMAIRE NOTIONS FONDAMENTALES 1

SOMMAIRE NOTIONS FONDAMENTALES 1 SOMMAIRE NOTIONS FONDAMENTALES 1 OBJECTIFS POURSUIVIS 1 NOTION DE TEMPERATURE 2 NOTION DE CHALEUR 3 DÉFINITIONS 3 ECHANGE DE CHALEUR À TRAVERS UNE SURFACE 3 UNITÉS SI ET UNITÉS PRATIQUES 4 EXEMPLES DE

Plus en détail

Stabilité des schémas aux différences finies et analyse de von Neumann

Stabilité des schémas aux différences finies et analyse de von Neumann Stabilité des schémas aux différences finies et analyse de von Neumann I- Schémas d Euler explicite/implicite pour l équation de la chaleur, étude de stabilité en " (µ > 0) u 0 à support compact " [#R,R],

Plus en détail

Simulation Numérique des cuves pour l électrolyse de l aluminium

Simulation Numérique des cuves pour l électrolyse de l aluminium Simulation Numérique des cuves pour l électrolyse de l aluminium Michel Flueck (michel.flueck@epfl.ch) Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne, Suisse Typeset by FoilTEX 20 années de collaboration Ecole

Plus en détail

Compte rendu Hackathon

Compte rendu Hackathon Compte rendu Hackathon Alexandre Martin 8 avril 04 Le présent document a pour but de synthétiser la discussion sur la définition d un élément fini. Participants à la discussion : Alexandre Martin (LaMSID),

Plus en détail

MODELES RHEOLOGIQUES

MODELES RHEOLOGIQUES Département Géotechnique DIAPOSITIVES ILLUSTRANT LE COURS DE MECANIQUE DES ROCHES MODELES RHEOLOGIQUES D. HANTZ 202 .. MODELES RHEOLOGIQUES D ELEMENTAIRES Modèle Symbole Réponse à l'application d'une force

Plus en détail

Analyse des structures mécaniques par la

Analyse des structures mécaniques par la Analyse des structures mécaniques par la méthode des éléments finis c PSA Peugeot Citroën www.lms.polytechnique.fr/users/bonnet/enseignement.html Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, 2009 2010

Plus en détail

Application de la formule de la co-aire à deux problèmes d évolution géométrique.

Application de la formule de la co-aire à deux problèmes d évolution géométrique. Application de la formule de la co-aire à deux problèmes d évolution géométrique. François Dayrens Journées MMCS 19 décembre 2014 François Dayrens (Journées MMCS) Co-aire et flots géométriques 19 décembre

Plus en détail

Cours de mathématique en TS d Eric ZERBIB, professeur au lycée Pardailhan à Auch,

Cours de mathématique en TS d Eric ZERBIB, professeur au lycée Pardailhan à Auch, Un peu d histoire La notion de dérivée a vu le jour au XVII e siècle dans les écrits de Leibniz et de Newton qui la nomme fluxion et qui la définit comme «le quotient ultime de deux accroissements évanescents».

Plus en détail

Contrôle des connaissances du cours «Méthodes de traitement des données» du DEA de Strasbourg. Corrigé

Contrôle des connaissances du cours «Méthodes de traitement des données» du DEA de Strasbourg. Corrigé Contrôle des connaissances du cours «Méthodes de traitement des données» du DEA de Strasbourg. Corrigé Le jeudi 28 janvier 1999 de 10h 30à 12h30 à l Observatoire de Strasbourg. Le contrôle est noté sur

Plus en détail

V. ECOULEMENT POTENTIEL. Dans ce chapitre nous allons étudier les problèmes des écoulements potentiels et leurs solutions.

V. ECOULEMENT POTENTIEL. Dans ce chapitre nous allons étudier les problèmes des écoulements potentiels et leurs solutions. V. ECOULEMENT POTENTIEL Dans ce chapitre nous allons étudier les problèmes des écoulements potentiels et leurs solutions. V.1 Introduction et Rappel Rappel : Potentiel de Vitesse Si l effet visqueux peut

Plus en détail

Formulation compacte d ordre quatre des équations de Navier-Stokes 2D : Application à l écoulement d un fluide sur une plaque plane

Formulation compacte d ordre quatre des équations de Navier-Stokes 2D : Application à l écoulement d un fluide sur une plaque plane 8 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 7-3 août 7 Formulation compacte d ordre quatre des équations de Navier-Stokes D : Application à l écoulement d un fluide sur une plaque plane Karim Debbagh,

Plus en détail

Introduction aux méthodes numériques

Introduction aux méthodes numériques Franck Jedrzejewski Introduction aux méthodes numériques Springer Table des matières Introduction 11 1 Problèmes numériques 15 1.1 Erreurs et précision 15 1.2 Convergence et stabilité 17 1.3 Accélération

Plus en détail

Correction TD1 : Approximation de fonctions

Correction TD1 : Approximation de fonctions Grenoble INP Pagora ère année Analyse numérique 7 Correction TD : Approximation de fonctions Méthode des moindres carrés Exercice (régression linéaire pondérée). Soit le modèle de régression linéaire f(x,

Plus en détail

PLAN DE LECON DYNAMIQUE

PLAN DE LECON DYNAMIQUE PLAN DE LECON DYNAMIQUE Objectifs spécifiques : A la fin de la séance l étudiant doit être capable de : Déterminer le torseur Dynamique d un solide en mouvement par rapport à un repère. Appliquer le principe

Plus en détail

Mécanique des Fluides

Mécanique des Fluides Mécanique des Fluides Franck Nicoud I3M franck.nicoud@univ-montp2.fr 1 Définition 1. Fluide: c est un milieu infiniment déformable sous l effet de forces constantes en temps. Il peut être compressible

Plus en détail

J.F.C. p. 1. Ceci est un premier jet et a besoin encore de relectures pour bien tenir la route. EDHEC 2014 EXERCICE 1. Φ ( x) + Φ ( x) ).

J.F.C. p. 1. Ceci est un premier jet et a besoin encore de relectures pour bien tenir la route. EDHEC 2014 EXERCICE 1. Φ ( x) + Φ ( x) ). 3-- 4 JFC p JF COSSUTTA jean-francoiscossutta@wanadoofr Ceci est un premier jet et a besoin encore de relectures pour bien tenir la route EDHEC 4 EXERCICE a U est une variable aléatoire réelle sur Ω, A,

Plus en détail