Simulation numérique à l échelle macroscopique par la méthode des éléments finis

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1 Simulation numérique à l échelle macroscopique par la méthode des éléments finis F. Pigeonneau Surface du Verre et Interfaces, UMR 125 CNRS/Saint-Gobain, France

2 Plan 1. Introduction 2. Quelques équations aux dérivées partielles (EDP) 3. Classification des EDP 4. Formulation variationnelle 5. Méthode des résidus pondérés 6. Vers la méthode des éléments finis : Equation à une dimension 7. Méthode des éléments finis à 2 et 3 dimensions 8. Quelques exemples de problèmes 9. Travaux dirigés

3 Introduction La physique, la thermo. des phéno. irréver., la mécanique presentent une large gamme d équations aux dérivées partielles (EDP). Les solutions exactes sont rares et limitées à des situations simples. Le recours à la recherche de solutions alternatives s impose = méthode numérique. Bien que les ordinateurs soient de plus en plus puissants, ils restent finis = résolution discrète du problème.

4 Introduction Parmi les approximations discrètes : Méthode des différences finies : locale ; développement fini des dérivées ; simple mais peu généralisable aux géométries complexes. Méthode des volumes finis : locale ; basée sur l écriture d équation de conservation sur des petits volumes de contrôle ; adaptée aux géométries complexes et très utilisée en méca. des fluides compressibles. Méthode des éléments finis : locale ; basée sur la formulation variationnelle ou faible du pb. continu ; adaptée aux géométries complexes et très utilisée en méca. des solides ; mais de plus en plus utilisée pour d autres physiques.

5 Quelques équations aux dérivées partielles (EDP) Les mécaniques des structures et des fluides sont baties sur la mécanique des milieux continus (MMC). MMC suppose que la matière est sans trous. Cette théorie ne peut pas se déduire de la mécanique du point. Elle repose sur la description d entités matériels : En chaque point, on définit des grandeurs macroscopiques : u(x, t), ρ(x, t), U(x, t), γ(x, t).

6 Quelques équations aux dérivées partielles (EDP) Elasticité linéaire Déformations faibles = utilisation de la configuration de référence. Existence d un tenseur de contrainte (Cauchy, 1822). S + n T(P, n) = σ(p) n R

7 Quelques équations aux dérivées partielles (EDP) Elasticité linéaire Etat de déformation décrit par e ij = 1 2 ( ui + u ) j x j x i (1) Solide homogène et isotrope : σ(p) ij = λtr(e)δ ij + 2µe ij, (2) λ et µ sont les coefficients de Lamé. Equations de l élasticité : ργ = div σ + f, (3) ρ 2 u i t 2 = µu i,jj + (λ + µ)u j,ji + f i. (4)

8 Quelques équations aux dérivées partielles (EDP) Mécanique des fluides Descriptions cinématiques Lagrange x = g(x 0, t) Euler U = U(x, t)

9 Quelques équations aux dérivées partielles (EDP) Mécanique des fluides Descriptions cinématiques ( ) t = : dérivée temporelle à x fixé, (5) t ( ) x D Dt = : dérivée temporelle à x 0 fixé. (6) t x 0 Df Dt DU Dt = f + grad f U, t (7) = U + grad U U. t (8)

10 Quelques équations aux dérivées partielles (EDP) Mécanique des fluides Loi de comportement des fluides visqueux : l état de contraintes ne dépend que du tenseur des taux de déformations. d ij = 1 ( Ui + U ) j. (9) 2 x j x i Pour un fluide newtonien (comportement linéaire) : σ = PI + λtr(d)i + 2µd. (10) Les équations générales (Navier-Stokes) : ρ DU Dt ρ t + div(ρu) = 0, (11) = grad P + (λ + µ) grad(div U) + µ U + f. (12)

11 Classification des EDP EDP sur une variable u(x, y) : A 2 u x 2 + B 2 u x y + C 2 u y 2 + D u x + E u + Fu + G = 0. (13) y Si B 2 4AC < 0 : elliptique ; Si B 2 4AC = 0 : parabolique ; Si B 2 4AC > 0 : hyperbolique. Important à connaître car conditionne : les types de conditions aux limites ; le choix de la méthode numérique.

12 Classification des EDP Exemples Equation de Laplace : 2 u x u = 0. (14) y 2 u à fixer sur une partie ou sur toute la frontière. Equation de diffusion instationnaire : T t ( 2 ) T = κ x T y 2. (15) T doit être connue à l instant initial. T peut être spécifiée ou non sur la frontière. Equation des cordes vibrantes : Idem que T. 1 2 u c 2 t 2 = 2 u x 2. (16)

13 Formulation variationnelle Equation elliptique D D 1 n D 2 u = g, (17) u = u 1, sur D 1, (18) u n = u n i = φ, sur D 2. (19) x i La formulation variationnelle : Multiplication par une fonction test ; Intégration sur le domaine.

14 Formulation variationnelle Equation elliptique Définition des espaces de fonctions (Sobolev) : H 2 (D) = {v L 2 (D), m v L 2 (D) avec m 2, v D1 = 0}.(20) H 1 (D) = {v L 2 (D), v L 2 (D), v D1 = 0}. (21) Trouver u H 1 (D) tel que a(u, v) = gvds + φvdl, v H 1 (D), (22) D D 2 a(u, v) = grad u grad vds. (23) Il s agit d une formulation faible = réduction d un ordre des dérivées. Le pb est dit variationnelle car il revient à minimiser la fonctionnelle J(v) = 1 2 a(v, v) gvds φvdl. (24) D D 2 D

15 Formulation variationnelle Equation de l élasticité Sur un domaine D dont la frontière est partitionnée en deux, on considère le problème suivant : σ ij x j + f i = 0, (25) Définition des espaces de fonctions (Sobolev) : u = 0, sur D 1, (26) σ n = T, sur D 2. (27) H 2 (D) = {v L 2 (D) 3, m v L 2 (D) 3 avec m 2, v D1 = 0},(28) H 1 (D) = {v L 2 (D) 3, v L 2 (D), v D1 = 0}. (29) Trouver u H 1 (D) tel que a(u, v) = f vdv + T vds, v V, (30) D D 2 a(u, v) = σ ij (u)e ij (v)dv. (31) D

16 Formulation variationnelle Equation de l élasticité Revient à minimiser la fonctionnelle : J(v) = 1 2 a(v, v) f vdv T vds. (32) D 2 D Principe des travaux virtuels : Parmi tous les champs cinématiquement admissibles, le champ réel est celui qui minimise l énergie.

17 Formulation variationnelle Equations de Stokes Ecoulement d un fluide très visqueux incompressible dans un domaine D : div U = 0, (33) µ U + grad P = 0, (34) U = g sur D. (35) Deux espaces, l un pour la vitesse et l autre pour la pression : ] 3 [ 3 H 1 0 [L = {v 2 (D), v L (D)] 2, v D = 0}, (36) L 2 0 = {q L2 (D), qdv = 0}. (37) D

18 Formulation variationnelle Equations de Stokes Trouver (U, P) H 1 0 (D) L 2 0 (D) tel que { a(u, V) + b(v, p) = 0, V H 1 0 (D), b(u, q) = 0, q L 2 0 (D), (38) où a(u, V) et b(u, q) sont donnés par a(u, V) = µ U i V i dv, (39) D x j x j b(u, q) = q div UdV. (40) D

19 Formulation variationnelle Equations de Stokes On peut définir la fonctionnelle suivante L(V, q) = 1 a(v, V) + b(v, q). (41) 2 Le problème de Stokes admet une solution unique si on a L(U, q) L(U, P) L(V, P), (V, q) H 1 0 (D) L2 0 (D). (42) Problème de type point selle. L(U, p) U P

20 Méthode des résidus pondérés C est un premier pas vers une discrétisation. On considère le problème continu u est prise sous la forme d une série L(u) = f, x D, (43) M(u) = t x D. (44) N ū = a n φ n. (45) n=1 Le problème continu n est plus rigoureusement satisfait. On définit alors les résidus : R(ū) = L(ū) f, (46) B(ū) = M(ū) t. (47)

21 Méthode des résidus pondérés La méthode des résidus pondérés consiste à minimiser l erreur sur tout le domaine : R(ū) W m dv + B(ū) W m ds = 0, pour m = 1 à N. D D (48) Le choix de W m appelée fonction test permet de définir différentes méthodes : Si D = N n=1 D n tel que D n D m = n m et W m = 1 sur D m = méthode des volumes finis. Si W m = δ(x x m ) = méthode de collocation (méthode des différences finies et méthode spectrale). Si W m = R a m sur D, W m = B a m sur D, (49) on minimise l erreur quadratique = méthode des moindres carrés. Si W m = φ m = méthode de Galerkin.

22 Vers la méthode des éléments finis : Equation à une dimension On considère le pb elliptique suivant sur l ouvert Ω =]0, 1[ : d 2 u = f sur Ω =]0, 1[, dx 2 (50) u(0) = u(1) = 0. (51) On écrit la formulation variationnelle : Trouver u H 1 0 tel que H 1 0 (Ω) = {v L2 (Ω), a(u, v) = 1 0 fvdx, v H 1 0 (52) 1 du dv a(u, v) = dx, (53) 0 dx dx dv dx L2 (Ω), v(0) = v(1) = 0}. (54)

23 Vers la méthode des éléments finis : Equation à une dimension On discrétise le domaine 1 2 i N x 0 = 0 x i 1 x i x N = 1 u est cherchée sous la forme u h = N u i φ i (x), (55) i=0 où les fonctions de forme (ou de base) φ i (x) sont définies x x i 1, si x [x h i 1, x i ], x φ i (x) = i+1 x, si x [x h i, x i+1 ], 0 sinon. (56) 1 φ 0 φ 1 φ i φ N 1 φ N 1 2 i N x 0 = 0 x i 1 x i x N = 1

24 Vers la méthode des éléments finis : Equation à une dimension Le problème variationnelle est formulé au sens de Galerkin : a(u h,φ i ) = 1 0 fφ i dx, 0 i N. (57) Compte-tenu du support assez petit de φi, on obtient le système : a(φ 0,φ 0 )u 0 + a(φ 1,φ 0 )u 1 = x1 0 xi+1 fφ 0 dx, (58) a(φ i 1,φ i )u i 1 + a(φ i,φ i )u i + a(φ i+1,φ i )u i+1 = fφ i dx, (59) x i 1 pour i = 1 à N 1 a(φ N 1,φ N )u N 1 + a(φ N,φ N )u N = xn x N 1 fφ N dx.(60)

25 Vers la méthode des éléments finis : Equation à une dimension En explicitant le calcul de a(φj,φ i ), on a 1 h u 0 1 h u 1 = b 0, (61) 1 h u i h u i 1 h u i+1 = b i, (62) pour i = 1 à N 1 1 h u N h u N = b N. (63) Deux remarques importantes : Méthode locale. Avec des éléments linéaires, on obtient une formulation équivalente à la méthode des différences finies.

26 Vers la méthode des éléments finis : Equation à une dimension Appliquons à l équation suivante d2 u = sin(πx), sur Ω =]0, 1[, dx2 (64) u(0) = u(1) = 0. (65) de solution exacte u ex(x) = sin(πx) π 2. (66) Détermination de l erreur suivant deux normes [ 1 ( ) ] u 1 = du 2 u 2 + dx, (67) 0 dx 1 u 0 = u 2 dx. (68) 0

27 Vers la méthode des éléments finis : Equation à une dimension u uex 1, u uex u uex 1 u uex 0 u uex 1 = 0.2/N u uex 0 = /N N Résultat général en méthode des éléments finis : u I(u) 1 = O(h), u I(u) 0 = O(h 2 ). (69) Si on prend des polynômes d ordre plus élevé, Pk : u I(u) 1 = O(h k ), u I(u) 0 = O(h k+1 ). (70)

28 Méthode des éléments finis à 2 et 3 dimensions L approche reste exactement la même à plusieurs dimensions. On réalise la formulation faible du problème sur un partionnement discret du domaine. Exemples d éléments finis de référence : 2D 2D 3D 3D P 1 P 2 P 3 Q 1 Q 2 Q 3

29 Méthode des éléments finis à 2 et 3 dimensions Mise en œuvre numérique Discrétisation du domaine avec des éléments les plus parfaits possibles. Etablissement de la connectivité des éléments. Formulation discrète de problème : Transformation géométrique pour passer d un élément quelconque à un élément de référence ; Intégration numérique réalisée à l aide de méthodes de quadrature de type Gauss ; Calcul des coefficients non-nuls uniquement. Résolution du système linéaire : Méthodes directes ; Méthodes itératives. Sauvegarde des résultats.

30 Quelques exemples de problèmes Compression diamétrale d un disque Problème d élasticité en contrainte plane : essai brésilien utilisé pour les matériaux fragiles comme le verre ou le béton. B 2α A σn = P C 1 ( θ α ) 2 D D C A B σn = P 1 ( ) θ 2 α Imposition d efforts de compression. Le reste du domaine reste libre de contrainte. On impose la composante suivant l axe y à zéro en D et D.

31 Quelques exemples de problèmes Compression diamétrale d un disque

32 Quelques exemples de problèmes Compression diamétrale d un disque Contrainte σ xx

33 Quelques exemples de problèmes Compression diamétrale d un disque Contrainte σ xy

34 Quelques exemples de problèmes Compression diamétrale d un disque Contrainte σ yy

35 Quelques exemples de problèmes Compression diamétrale d un disque F σ xx = πre, (71) σ yy = F 3R 2 + y 2 πre R 2 y 2, (72) σxx, σyy 0-1e+06-2e+06 σ xx, sol. num. σ xx, sol. num. σ xx, Eq. (71) σ yy, Eq. (72) -3e+06-4e+06-5e+06-0,02-0,015-0,01-0, ,005 0,01 0,015 0,02 y

36 Quelques exemples de problèmes Equation de Burgers u vérifie l équation de diffusion/advection non-linéaire suivante sur Ω =] 1, 1[ avec u du dx ν d 2 u = 0, (73) dx 2 u( 1) = 1, (74) u(1) = 1. (75) u admet la solution exacte suivante ( u ex(x) = A tanh Ax ), (76) 2ν avec ( ) A A tanh = 1. (77) 2ν

37 Quelques exemples de problèmes Equation de Burgers Formulation faible à l aide de la méthode de Galerkin : où a(u h, v h ) est donné par a(u h, v h ) = Trouver u h H0 1 (Ω), tel que a(u h, v h ) = 0, v h H0 1 (Ω), (78) 1 1 ( du u h h dx v h + ν du h dx a(uh, v h ) n est pas un opérateur symétrique. ) dv h dx. (79) dx

38 Quelques exemples de problèmes Equation de Burgers 2 1,5 1 ν = 10 1 ν = 10 2 ν = ,5 u 0-0,5-1 -1, ,75-0,5-0,25 0 x 0,25 0,5 0,75 1 Pour que la formulation de Galerkin soit stable, il faut que a(u h, u h ) α h u h 2 1. (80) Propriété de coercivité plus assurée pour ν petit.

39 Quelques exemples de problèmes Equation de Burgers Utilisation d une formulation de type moindres carrés : 1 1 ( du h u h dx ν d 2 ) ( u h dv h dx 2 v h dx ν d 2 ) v h dx 2 dx = 0. (81) Opérateur non-linéaire mais symétrique ce qui assure de bonnes conditions de solvabilité. Avec des éléments finis H 1 conforme, on ne sait pas donner un sens au terme de dérivée seconde sur l ensemble du domaine. Utilisation d une méthode mixte Galerkin/moindres carrés : On formule le terme moindres carrés sur chaque élément.

40 Quelques exemples de problèmes Equation de Burgers La formulation Galerkin/moindres carrés prend la forme suivante : τ(h K ) K Ω h K Trouver u h H 1 0(Ω), tel que a(u h, v h ) + ( du h u h dx ν d ) ( 2 u h dv h v dx 2 h dx ν d ) 2 v h dx = 0, (82) dx 2 v h H 1 0(Ω), avec ( ) hk τ(h K ) = min u h,k, hk 2, (83) 12ν

41 Quelques exemples de problèmes Equation de Burgers 1 0,5 N = 100 N = 400 Sol. exacte, Eq. (76) u 0-0, ,75-0,5-0,25 0 0,25 0,5 0,75 1 x

42 Quelques exemples de problèmes Ecoulement forcé dans un demi-cylindre Equations de Navier-Stokes normalisées : avec U t div U = 0, (84) + grad U U = grad P + 1 U, Re (85) Re = ρud µ. (86)

43 Quelques exemples de problèmes Ecoulement forcé dans un demi-cylindre Utilisation d une formulation mixte Galerkin/moindres carrés. Etude de l influence du nombre de Reynolds. 0,25 0,2 Re = 200 Re = 2000 Ux 0,15 0,1 0, t

44 Travaux dirigés Equation de Poisson avec terme source pontuel Soit sur un disque de rayon unité, le problème suivant div(grad u) = δ(x x 0 ), (87) avec u = 0, pour r = 1. (88) La formulation faible de ce problème est u v ds = v(x 0 ). (89) D x i x i Dans l exemple, x 0 = 0. La solution exacte est la fonction de Green de l équation de Laplace : u(x) = 1 ln(r). (90) 2π

45 Travaux dirigés Propagation d un front de fissure Il s agit d un problème d élasticité linéaire en contrainte plane. La géométrie est la suivante l ux = 0 E F D w r A B C a uy = 0 l (mm) 20 w (mm) 2 r (mm) 0, 4 a (mm) 10 e (mm) 5 Propriété Valeur Unité E Pa ν 0, 23 ρ 2500 kg/m 3

46 Travaux dirigés Transfert de masse autour d une bulle L objectif est de calculer le coefficient de transfert de masse autour d une bulle placée dans un écoulement en fonction de l importance de la vitesse. Le problème est normalisé à l aide du diamètre de la bulle, de la vitesse d ascension de cette dernière et de la différence de concentration à la surface de la bulle et à l infini. L équation d advection/diffusion s écrit sous la forme avec C u z z + C ur = 1 [ 1 r Pe r u r = r ( r C ) ] + 2 C, (91) r z 2 zr, (92) 4(z 2 + r 2 ) 3/2 u z = 1 + r 2 + 2z 2, (93) 4(z 2 + r 2 ) 3/2 Pe = 2aU T D. (94)

47 Travaux dirigés Transfert de masse autour d une bulle z Γ1 S r Γ2 C = 1, sur S, (95) C = 0, sur Γ 1, (96) C n = 0, sur Γ 2. (97) On cherchera à déterminer en fonction de Pe C S n Sh = SdS. (98) π

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