TPE LES FRACTALES : L ORDRE DANS LE DESORDRE

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1 TPE LES FRACTALES : L ORDRE DANS LE DESORDRE Darius Faroughy Thomas Décoster Ensemble de Mandelbrot 1

2 Différents types d attracteurs étranges Sommaire : INTRODUCTION p.1 LES FRACTALES MATHEMATIQUES.p.2. 1 La Découverte des Fractales Modernes.. 2 Structures Fractales Simples.. 3 Les Ensembles De Mandelbrot et Julia. LES FRACTALES NATURELLES : LE CHAOS.p La notion du Chaos.. 2 Le Chaos déterministe et l Attracteur Etrange.. 3 Le Chaos et l étude des populations des êtres vivants. CONCLUSION.p.26 2

3 INTRODUCTION Nous sommes tous habitués aux objets de la géométrie euclidienne : aux droites, aux cercles, aux rectangles, aux cubes... Ils nous permettent de décrire simplement ce que l'on trouve dans la nature. Ainsi, les troncs d'arbres sont approximativement des cylindres et les oranges des sphères. Mais comment faiton pour décrire un chou-fleur, un flocon de neige ou même un arbre entier? En effet, les choses se compliquent, la géométrie euclidienne a atteint sa limite. Les scientifiques ne se sont pas découragés, et le mathématicien Mandelbrot, généralisant les travaux des Français Gaston Julia et Pierre Fatou sur les itérations des fonctions complexes, a montré l'intérêt de la géométrie fractale pour caractériser les objets "ayant la propriété de pouvoir être décomposés en parties de telle façon que chaque partie soit une image réduite du tout". Avant de poursuivre, voici quelques exemples d'objets fractals : Le Tapis de Sierpinsky: La Structure de Mandelbrot: 3

4 La géométrie fractale permet de caractériser des objets ayant une forme très irrégulière, et qui ont la propriété d'invariance par changement d'échelle. C'est à dire que si vous regardez un objet fractal au microscope ou à l œil nu, vous allez voir la même chose. Cette particularité d'auto-similarité est très étonnante, et les fractales ont bien d'autres propriétés, plus fascinantes les unes que les autre. Le terme "fractale" vient du latin, "fractus" qui désigne un objet fracturé, de forme très irrégulière. C'est Benoît Mandelbrot qui a introduit ce terme pour désigner ces fameux objets mathématiques. LES FRACTALES METHEMATIQUES.1 La Découverte des Fractales Modernes. Les Fractales sont aussi des curiosités des mathématiques, ayant des applications aussi diverses et variées que la météorologie et la Biologie. Gaston Julia fut le premier à étudier ces suites complexes et en étudier le comportement. Né en Algérie en 1893, il fut envoyé au front français durant la première Guerre Mondiale, où il fut blessé et perdit son nez. Il passa par la suite de nombreuses années à l'hôpital, et eut donc, entre deux opérations, tout le loisir de poursuivre ses recherches mathématiques. A l'âge de 25 ans, il publie un ouvrage, "Mémoire sur l'itération des fonctions", qui fut honoré du Grand Prix de l'académie des sciences. Benoît Mandelbrot reprend par la suite, dans les années 1980, les travaux de Gaston Julia pour expliquer des phénomènes naturels qu'il observait dans son laboratoire chez IBM. Certains phénomènes électromagnétiques étaient à l'époque inexplicable à l'aide des outils mathématiques de la géométrie classique d'euclide. Ainsi Mandelbrot fut le premier qui eut l'idée d'appliquer ces considérations mathématiques à des phénomènes naturels, et très vite la modélisation de ces derniers à l'aide de fractales se développa, essentiellement grâce à la généralisation de l'outil informatique.. 2 Structures Fractales Simples Généralités et application à la courbe de Von Koch: Maintenant que le terme "fractale" a été mis au clair, et que le lecteur a une idée de ce qu'est un objet fractal grâce aux quelques illustrations, nous allons voir comment certaines fractales sont construites. Prenons un exemple simple, la courbe de Von Koch. Pour construire cette courbe, il faut débuter avec deux formes géométriques : un initiateur et un générateur. Le générateur est une ligne brisée faite de n segments égaux de longueur r. En partant de l'initiateur, chaque étape de la construction consiste à remplacer chaque segment de la ligne brisée par une copie du générateur, réduite et placée de telle façon à ce que les deux points aux 4

5 extrémités soient les points des extrémités du segment à remplacer. Une étape de la construction va être appelée "itération", puisque l'on répète la même opération un certain nombre de fois. La courbe de von Koch la plus connue est construite de la manière suivante : Apres plusieurs itérations on obtient: On pourrait continuer ainsi jusqu a l infini. Ceci crée la fractale. Il est simple de voir comment la figure se fracture avec cette fractale simple Toutes les fractales ne sont pas construites à partir d'un initiateur et d'un générateur, mais par contre le terme "itération" va revenir souvent. En effet, toutes les fractales sont construites en itérant un algorithme, qui diffère selon le type de fractale que l'on veut construire. L'ordinateur est alors un excellent outil pour dessiner des fractales puisqu'il est très doué pour effectuer des calculs, notamment la répétition de notre algorithme de construction. Pour dessiner une fractale, nous allons programmer un algorithme, puis demander à l'ordinateur de le répéter un certain nombre de fois. L'écran de l'ordinateur affiche alors la représentation graphique d'une fractale au bout de n itérations. Mais il faut bien comprendre que ce n'est qu'une représentation graphique, et que le véritable objet fractal est une représentation au bout d'une infinité d'itérations. C'est pourquoi, lorsque nous étudierons les fractales, nous allons souvent faire appel aux limites, lorsque le nombre n d'itérations tend vers l'infini. Triangle de Sierpinsky Première Itération Seconde Itération Troisième Itération 5

6 Pour voir une image plus complète regarder l introduction. Intéressons-nous à cette fractale... À première vue elle a l'air toute simple, mais elle cache en fait des propriétés extraordinaires que nous allons étudier. Commençons par généraliser ce que l'on a écrit sous les triangles : au bout de n itérations, on a : Soit U n le nombre de triangles noirs, U n =3 n Soit V n le côté du triangle, V n =1/2 n Cherchons à calculer l'aire des triangles noirs. Pour cela, calculons l'aire d'un triangle de base a. Le triangle est équilatéral, donc la hauteur est égale à L'aire d'un triangle noir est donc égale à Soit S n l'aire d'un triangle noir au bout de n itérations, on a Mais nous voulons l'aire de tous les triangles noirs. Soit A n l'aire de tous les triangles noirs, d'après ce que l'on a trouvé ci-dessus, on a Donc, Nous avons déjà vu que les représentations graphiques des fractales (par exemple ci-dessus), sont juste des représentations au bout de n itérations. Si l'on veut représenter la vraie fractale, il faudrait effectuer une infinité d'itérations, ce qui est impossible. Mais on peut très bien étudier mathématiquement le comportement d'une fractale, et c'est ce que nous faisons. Calculons donc l'aire des triangles noirs après une infinité d'itérations, et pour ce faire, nous allons calculer la limite de (A n ) quand n tend vers l'infini : La suite (A n ) converge vers 0, donc l'aire des triangles noirs est nulle au bout d'une infinité d'itérations. Cela peut paraître impossible, mais c'est pourtant la réalité. Mais alors pourquoi voyons-nous des triangles noirs à l'écran, alors que 6

7 leur aire est nulle? Pour deux raisons... La première est que jamais on ne voit le vrai objet fractal puisque l'on ne peut pas représenter le tapis de Sierpinsky au bout d'une infinité d'itérations, donc on ne peut pas réellement vérifier visuellement cette affirmation. Et deuxièmement, ce que nous voyons à l'écran, au bout d'un grand nombre d'itérations, c'est tout simplement les côtés des triangles, côtés dont l'aire est nulle.. 3 Les Ensembles De Mandelbrot et Julia Notion d Ensemble L Etude des ensembles est une mathématique considérée moderne. Il y a des ensembles connus dont l ensemble des entiers naturels: 1;2;3;4... etc. Les ensembles sont crées a partir d éléments comme 1;2;3;4;5... dans le cas des entiers naturels. On connaît d autres ensembles dont celui des entiers relatifs, des quotients, des rationnels, des réels et finalement celui des complexes. L ensemble de Mandelbrot et les ensembles de Julia sont formés par les nombres complexes. On trouve les éléments de ces ensembles d une forme très particulière qu on verra a la suite. On appellera ces éléments C. Les nombres complexes Afin de comprendre les ensembles de Julia et de Mandelbrot, il est tout d'abord nécessaire d'exposer quelques notions sur les nombres complexes. Depuis le collège, on explique qu un carré est toujours positif (pour tout x non nul, x 2 >0), mais il est parfois nécessaire de savoir résoudre x 2 = -1 dans R. Beaucoup se sont confrontés au problème, et dès le XVI eme siècle des algébristes italiens (Cardan, 7

8 Tartaglia, Ferrari, Bombelli) se risquent à introduire des nombres «impossibles» ou «imaginaires», par exemple, des nombres dont le carré est négatif. Ils inventent ainsi une structure qui deviendra une des plus utiles dans l histoire des mathématiques : les nombres complexes. On note i le nombre "complexe" tel que i 2 = -1. En général, on appelle nombre complexe tout élément écrit sous la forme a + ib où a et b sont des nombres réels et tel que i 2 = -1. L ensemble des nombres complexes se note C. Un nombre complexe C est composé de deux parties, l'une réelle et l'autre complexe. Il est par ailleurs nécessaire pour représenter un point dans un plan bidimensionnel de fournir deux valeurs : l'abscisse et l'ordonnée d'un point. On va donc utiliser pour représenter un nombre complexe la partie réelle comme abscisse et la partie complexe comme ordonnée. On obtient donc pour le complexe C = 5 + 3i le point C(5;3). Pour tout nombre complexe z de forme algébrique x + iy, le module de z est le nombre réel positif noté z tel que z 2 = x 2 + y 2. On en déduit que. Pour additionner deux nombres complexes z et z' : z + z' = (a + ib) + (a' + ib') = a + a' + i(b + b') Pour multiplier ces deux nombres : zz' = (a + ib) x (a' + ib') = aa' + iab' + iab' + bb'i 2 = aa' + i(ab' + a'b) - bb' (car i 2 = -1) Construction de L ensemble de Mandelbrot Pour créer l ensemble de Mandelbrot, On applique une fonction récursive: Z (n) = Z (n-1) 2 + C avec Z (0) = 0 Où C est un paramètre. On choisit en premier lieu un C pour voir s il appartient à l ensemble. Puis on cherche à voir si la suite va diverger ou converger. On appelle ceci la recherche de l orbite. Si la suite diverge on peut donc en déduire que le complexe C appartient à l ensemble de Mandelbrot. Prenons des exemples: Pour C=1 Z 0 =0 Z 1 =0 2 +1=1 Z 2 =1 2 +1=2 8

9 Z 3 =2 2 +1=5 Z 4 =5 2 +1=26 Z 5 =... On peut observer que pour C=1, Z prend des valeurs de plus en plus grandes. On voit donc que la suite diverge. Ceci signifie que l élément C=1 ne fait pas parti de l ensemble de Mandelbrot. Ceci s appelle l étude de l orbite. Pour C=0 Z 0 =0 Z 1 =0 2 +0=1 Z 2 =0 Z 3 =0 Z 4 =0 Z 5 =... Dans le cas de C=0, on voit que la suite converge vers 0 donc l élément C=0 appartient à l ensemble de Mandelbrot. Pour trouver tout l ensemble de Mandelbrot il faut donc étudier l orbite de tout les nombres complexes par cette fonction récursive. Seul un Ordinateur est capable de faire l étude d un grand nombre de complexes. L utilisation d ordinateurs est donc essentiel pour la construction de l ensemble. Représentation de l ensemble de Mandelbrot 9

10 La représentation est aussi faite avec l usage d ordinateurs. On retrouve une image de la forme suivante: La représentation se fait dans le plan complexe. On représente tous les points d affixe C. on retrouve une forme de ce type. La figure ci dessus est appelée la structure ou Fractale de Mandelbrot. Cette figure contient des auto-similarités qui seraient la caractéristique de la fractale. Si on s approche en utilisant un logiciel, on pourrait observer des fractures infinies. Si on s approche des bulbes on peut voir des formes répétées se sont les autosimilarités. A certains endroits on retrouve même la bulbe principale (photo au dessus) si on fait un zoom assez grand. Exemple d auto-similarité: 10

11 La représentation graphique est très complexe et pour pouvoir bien observer la fractale on a besoin d un ordinateur. Pour déterminer quelle couleur aura un point donné, on va utiliser le module d'un nombre complexe, ce qui équivaut à calculer la distance entre Z(n) et 0. Ainsi si la suite Z (n) s'éloigne très rapidement de 0, on attribuera la couleur blanc au point (x,y) étudié. Si par contre Z (n) reste constant, on attribuera la couleur noire à ce point. Si le point s'éloigne très lentement, on attribuera alors comme couleur une nuance de gris en fonction de la vitesse d'éloignement. Le système de coloration peut varier avec les paramètres choisis. Souvent on essaye D utiliser d autres couleurs pour faire la fractale plus belle. Les Ensembles de Julia. Pour calculer l'ensemble de Julia, on utilise la même formule, mais en prenant Z (0) comme élément variable. On aura donc Z (n+1) = Zn 2 + C. La valeur de C est arbitraire, il existe donc une infinité d'ensembles de Julia. La fractale la plus connu de Julia est le lapin fractal: Il est facile ici de voir les autosimilarités. Remarques sur Mandelbrot et Julia Ces ensembles fractals à base de nombres complexes sont donc en réalité la frontière entre une infinité de bassins d'attractions, d'où l'infinie complexité au sens usuel du terme de ces fractales, révélant des détails sans limite lorsque l'on agrandit certaines portions d'image. Certaines parties de l'image sont des 11

12 reproductions de l'ensemble de l'image à plus petite échelle, et à l'intérieur de ces portions d'autres reproductions de l'image existent aussi, et ainsi de suite. On remarque également que l'ensemble de Mandelbrot est en réalité un assemblage d'ensembles de Julia, puisqu'il existe une infinité d'ensemble de Julia en fonction de C, et que Mandelbrot est calculée à partir de toutes les valeurs de C possibles. En outre, le périmètre de ces deux fractales est infini, tel est le cas d'ailleurs pour toutes le fractales en général. En ce qui concerne l'aire de ces fractales, elle est tout simplement inconnue. Finalement, on peut aussi noter que tous le points ayant la même couleur sont connectés ensemble. Dimension Fractale Pour des objets de dimensions finies dans une enveloppe infinie, on peut calculer facilement la longueur, l'aire ou le volume, mais aussi les classer suivant leur degré de complexité, appelé dimension fractale par Mandelbrot. Le flocon de von Koch fait apparaître un coefficient de 4/3: à chaque étape, la longueur, multipliée par 4/3, tend vers l'infini, sa surface augmente de triangles qui mesurent le quart de l'aire des triangles ajoutés à l'étape précédente. L'aire totale du flocon a pour limite 2 (3/5)^½, en partant d'un flocon de surface unitaire (=1). Plus généralement, remplacer un segment par n segments plus petits dans un rapport k fera apparaître un coefficient d'homothétie égal à n/k. Mandelbrot a défini une notion de dimension qui permet de classer les objets fractals tout en restant en accord avec la dimension topologique classique des objets plus simples: -un segment de dimension topologique 1 est la réunion de trois segments de longueur 1/3, ou de quatre de longueur 1/4; -un carré de dimension topologique 2 est la réunion de neuf carrés de longueur 1/3 ou de seize carrés de longueur 1/4; -un cube de dimension topologique 3 est la réunion de vingt-sept cubes de longueur 1/3 ou de soixante-quatre cubes de longueur 1/4. Dans chaque cas, la dimension (notée d) est liée au nombre d'éléments constituants (noté n) et au rapport d'homothétie 1/k par la relation: n = (1/k) d. Cela permet d'exprimer d en fonction de n et de k grâce aux logarithmes: d = - log(n)/log(k). Etendue aux objets fractals, cette relation donne des dimensions fractionnaires ou fractales: log(4)/log(3)» 1,26 pour le flocon de von Koch, log(2)/log(3)» 0,63 pour la construction triadique de Cantor, log(9)/log(3) = 2 pour la courbe de Peano recouvrant le carré. Mandelbrot a donné de nombreux exemples où les notions d'homothétie interne et de dimension fractale apparaissent dans les formes complexes de la nature. La longueur d'une côte, le relief d'une montagne jeune ou d'une île 12

13 montagneuse, un réseau fluvial, la forme des arbres, le réseau des veines et des artères, les lignes de fracture en métallurgie, la forme des nuages et leur répartition dans le ciel, celle des étoiles dans une galaxie, la surface des substances favorisant la catalyse, la répartition des mots dans un texte sont autant d'exemples d'objets fractals que l'on peut décrire quantitativement. Comme l'a fait remarquer Mandelbrot, la géométrie naturelle est le plus souvent une géométrie des formes complexes, qu'il appelle géométrie fractale, tandis que la géométrie de la droite, du cercle, des objets réguliers est le plus souvent celle de la création humaine. Les fractales sont souvent utilisées dans l art. Elles forment des figures souvent incroyables et les possibilités des figures sont infinies. Les fractales incarnent la beauté mathématique. Les figures vues dans cette partie sont toutes Mathématiques. Elles sont des figures complexes mais on est capable de les expliquer mathématiquement. On remet donc de l Ordre dans le Désordre. L application des Fractales peut se faire dans la Nature et elle nous permet d expliquer de nombreux phénomènes dont la croissance des plantes et la météorologie. A la suite nous allons étudier les fractales dans une optique biologique. 13

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