TPE LES FRACTALES : L ORDRE DANS LE DESORDRE
|
|
- Rémi Legaré
- il y a 7 ans
- Total affichages :
Transcription
1 TPE LES FRACTALES : L ORDRE DANS LE DESORDRE Darius Faroughy Thomas Décoster Ensemble de Mandelbrot 1
2 Différents types d attracteurs étranges Sommaire : INTRODUCTION p.1 LES FRACTALES MATHEMATIQUES.p.2. 1 La Découverte des Fractales Modernes.. 2 Structures Fractales Simples.. 3 Les Ensembles De Mandelbrot et Julia. LES FRACTALES NATURELLES : LE CHAOS.p La notion du Chaos.. 2 Le Chaos déterministe et l Attracteur Etrange.. 3 Le Chaos et l étude des populations des êtres vivants. CONCLUSION.p.26 2
3 INTRODUCTION Nous sommes tous habitués aux objets de la géométrie euclidienne : aux droites, aux cercles, aux rectangles, aux cubes... Ils nous permettent de décrire simplement ce que l'on trouve dans la nature. Ainsi, les troncs d'arbres sont approximativement des cylindres et les oranges des sphères. Mais comment faiton pour décrire un chou-fleur, un flocon de neige ou même un arbre entier? En effet, les choses se compliquent, la géométrie euclidienne a atteint sa limite. Les scientifiques ne se sont pas découragés, et le mathématicien Mandelbrot, généralisant les travaux des Français Gaston Julia et Pierre Fatou sur les itérations des fonctions complexes, a montré l'intérêt de la géométrie fractale pour caractériser les objets "ayant la propriété de pouvoir être décomposés en parties de telle façon que chaque partie soit une image réduite du tout". Avant de poursuivre, voici quelques exemples d'objets fractals : Le Tapis de Sierpinsky: La Structure de Mandelbrot: 3
4 La géométrie fractale permet de caractériser des objets ayant une forme très irrégulière, et qui ont la propriété d'invariance par changement d'échelle. C'est à dire que si vous regardez un objet fractal au microscope ou à l œil nu, vous allez voir la même chose. Cette particularité d'auto-similarité est très étonnante, et les fractales ont bien d'autres propriétés, plus fascinantes les unes que les autre. Le terme "fractale" vient du latin, "fractus" qui désigne un objet fracturé, de forme très irrégulière. C'est Benoît Mandelbrot qui a introduit ce terme pour désigner ces fameux objets mathématiques. LES FRACTALES METHEMATIQUES.1 La Découverte des Fractales Modernes. Les Fractales sont aussi des curiosités des mathématiques, ayant des applications aussi diverses et variées que la météorologie et la Biologie. Gaston Julia fut le premier à étudier ces suites complexes et en étudier le comportement. Né en Algérie en 1893, il fut envoyé au front français durant la première Guerre Mondiale, où il fut blessé et perdit son nez. Il passa par la suite de nombreuses années à l'hôpital, et eut donc, entre deux opérations, tout le loisir de poursuivre ses recherches mathématiques. A l'âge de 25 ans, il publie un ouvrage, "Mémoire sur l'itération des fonctions", qui fut honoré du Grand Prix de l'académie des sciences. Benoît Mandelbrot reprend par la suite, dans les années 1980, les travaux de Gaston Julia pour expliquer des phénomènes naturels qu'il observait dans son laboratoire chez IBM. Certains phénomènes électromagnétiques étaient à l'époque inexplicable à l'aide des outils mathématiques de la géométrie classique d'euclide. Ainsi Mandelbrot fut le premier qui eut l'idée d'appliquer ces considérations mathématiques à des phénomènes naturels, et très vite la modélisation de ces derniers à l'aide de fractales se développa, essentiellement grâce à la généralisation de l'outil informatique.. 2 Structures Fractales Simples Généralités et application à la courbe de Von Koch: Maintenant que le terme "fractale" a été mis au clair, et que le lecteur a une idée de ce qu'est un objet fractal grâce aux quelques illustrations, nous allons voir comment certaines fractales sont construites. Prenons un exemple simple, la courbe de Von Koch. Pour construire cette courbe, il faut débuter avec deux formes géométriques : un initiateur et un générateur. Le générateur est une ligne brisée faite de n segments égaux de longueur r. En partant de l'initiateur, chaque étape de la construction consiste à remplacer chaque segment de la ligne brisée par une copie du générateur, réduite et placée de telle façon à ce que les deux points aux 4
5 extrémités soient les points des extrémités du segment à remplacer. Une étape de la construction va être appelée "itération", puisque l'on répète la même opération un certain nombre de fois. La courbe de von Koch la plus connue est construite de la manière suivante : Apres plusieurs itérations on obtient: On pourrait continuer ainsi jusqu a l infini. Ceci crée la fractale. Il est simple de voir comment la figure se fracture avec cette fractale simple Toutes les fractales ne sont pas construites à partir d'un initiateur et d'un générateur, mais par contre le terme "itération" va revenir souvent. En effet, toutes les fractales sont construites en itérant un algorithme, qui diffère selon le type de fractale que l'on veut construire. L'ordinateur est alors un excellent outil pour dessiner des fractales puisqu'il est très doué pour effectuer des calculs, notamment la répétition de notre algorithme de construction. Pour dessiner une fractale, nous allons programmer un algorithme, puis demander à l'ordinateur de le répéter un certain nombre de fois. L'écran de l'ordinateur affiche alors la représentation graphique d'une fractale au bout de n itérations. Mais il faut bien comprendre que ce n'est qu'une représentation graphique, et que le véritable objet fractal est une représentation au bout d'une infinité d'itérations. C'est pourquoi, lorsque nous étudierons les fractales, nous allons souvent faire appel aux limites, lorsque le nombre n d'itérations tend vers l'infini. Triangle de Sierpinsky Première Itération Seconde Itération Troisième Itération 5
6 Pour voir une image plus complète regarder l introduction. Intéressons-nous à cette fractale... À première vue elle a l'air toute simple, mais elle cache en fait des propriétés extraordinaires que nous allons étudier. Commençons par généraliser ce que l'on a écrit sous les triangles : au bout de n itérations, on a : Soit U n le nombre de triangles noirs, U n =3 n Soit V n le côté du triangle, V n =1/2 n Cherchons à calculer l'aire des triangles noirs. Pour cela, calculons l'aire d'un triangle de base a. Le triangle est équilatéral, donc la hauteur est égale à L'aire d'un triangle noir est donc égale à Soit S n l'aire d'un triangle noir au bout de n itérations, on a Mais nous voulons l'aire de tous les triangles noirs. Soit A n l'aire de tous les triangles noirs, d'après ce que l'on a trouvé ci-dessus, on a Donc, Nous avons déjà vu que les représentations graphiques des fractales (par exemple ci-dessus), sont juste des représentations au bout de n itérations. Si l'on veut représenter la vraie fractale, il faudrait effectuer une infinité d'itérations, ce qui est impossible. Mais on peut très bien étudier mathématiquement le comportement d'une fractale, et c'est ce que nous faisons. Calculons donc l'aire des triangles noirs après une infinité d'itérations, et pour ce faire, nous allons calculer la limite de (A n ) quand n tend vers l'infini : La suite (A n ) converge vers 0, donc l'aire des triangles noirs est nulle au bout d'une infinité d'itérations. Cela peut paraître impossible, mais c'est pourtant la réalité. Mais alors pourquoi voyons-nous des triangles noirs à l'écran, alors que 6
7 leur aire est nulle? Pour deux raisons... La première est que jamais on ne voit le vrai objet fractal puisque l'on ne peut pas représenter le tapis de Sierpinsky au bout d'une infinité d'itérations, donc on ne peut pas réellement vérifier visuellement cette affirmation. Et deuxièmement, ce que nous voyons à l'écran, au bout d'un grand nombre d'itérations, c'est tout simplement les côtés des triangles, côtés dont l'aire est nulle.. 3 Les Ensembles De Mandelbrot et Julia Notion d Ensemble L Etude des ensembles est une mathématique considérée moderne. Il y a des ensembles connus dont l ensemble des entiers naturels: 1;2;3;4... etc. Les ensembles sont crées a partir d éléments comme 1;2;3;4;5... dans le cas des entiers naturels. On connaît d autres ensembles dont celui des entiers relatifs, des quotients, des rationnels, des réels et finalement celui des complexes. L ensemble de Mandelbrot et les ensembles de Julia sont formés par les nombres complexes. On trouve les éléments de ces ensembles d une forme très particulière qu on verra a la suite. On appellera ces éléments C. Les nombres complexes Afin de comprendre les ensembles de Julia et de Mandelbrot, il est tout d'abord nécessaire d'exposer quelques notions sur les nombres complexes. Depuis le collège, on explique qu un carré est toujours positif (pour tout x non nul, x 2 >0), mais il est parfois nécessaire de savoir résoudre x 2 = -1 dans R. Beaucoup se sont confrontés au problème, et dès le XVI eme siècle des algébristes italiens (Cardan, 7
8 Tartaglia, Ferrari, Bombelli) se risquent à introduire des nombres «impossibles» ou «imaginaires», par exemple, des nombres dont le carré est négatif. Ils inventent ainsi une structure qui deviendra une des plus utiles dans l histoire des mathématiques : les nombres complexes. On note i le nombre "complexe" tel que i 2 = -1. En général, on appelle nombre complexe tout élément écrit sous la forme a + ib où a et b sont des nombres réels et tel que i 2 = -1. L ensemble des nombres complexes se note C. Un nombre complexe C est composé de deux parties, l'une réelle et l'autre complexe. Il est par ailleurs nécessaire pour représenter un point dans un plan bidimensionnel de fournir deux valeurs : l'abscisse et l'ordonnée d'un point. On va donc utiliser pour représenter un nombre complexe la partie réelle comme abscisse et la partie complexe comme ordonnée. On obtient donc pour le complexe C = 5 + 3i le point C(5;3). Pour tout nombre complexe z de forme algébrique x + iy, le module de z est le nombre réel positif noté z tel que z 2 = x 2 + y 2. On en déduit que. Pour additionner deux nombres complexes z et z' : z + z' = (a + ib) + (a' + ib') = a + a' + i(b + b') Pour multiplier ces deux nombres : zz' = (a + ib) x (a' + ib') = aa' + iab' + iab' + bb'i 2 = aa' + i(ab' + a'b) - bb' (car i 2 = -1) Construction de L ensemble de Mandelbrot Pour créer l ensemble de Mandelbrot, On applique une fonction récursive: Z (n) = Z (n-1) 2 + C avec Z (0) = 0 Où C est un paramètre. On choisit en premier lieu un C pour voir s il appartient à l ensemble. Puis on cherche à voir si la suite va diverger ou converger. On appelle ceci la recherche de l orbite. Si la suite diverge on peut donc en déduire que le complexe C appartient à l ensemble de Mandelbrot. Prenons des exemples: Pour C=1 Z 0 =0 Z 1 =0 2 +1=1 Z 2 =1 2 +1=2 8
9 Z 3 =2 2 +1=5 Z 4 =5 2 +1=26 Z 5 =... On peut observer que pour C=1, Z prend des valeurs de plus en plus grandes. On voit donc que la suite diverge. Ceci signifie que l élément C=1 ne fait pas parti de l ensemble de Mandelbrot. Ceci s appelle l étude de l orbite. Pour C=0 Z 0 =0 Z 1 =0 2 +0=1 Z 2 =0 Z 3 =0 Z 4 =0 Z 5 =... Dans le cas de C=0, on voit que la suite converge vers 0 donc l élément C=0 appartient à l ensemble de Mandelbrot. Pour trouver tout l ensemble de Mandelbrot il faut donc étudier l orbite de tout les nombres complexes par cette fonction récursive. Seul un Ordinateur est capable de faire l étude d un grand nombre de complexes. L utilisation d ordinateurs est donc essentiel pour la construction de l ensemble. Représentation de l ensemble de Mandelbrot 9
10 La représentation est aussi faite avec l usage d ordinateurs. On retrouve une image de la forme suivante: La représentation se fait dans le plan complexe. On représente tous les points d affixe C. on retrouve une forme de ce type. La figure ci dessus est appelée la structure ou Fractale de Mandelbrot. Cette figure contient des auto-similarités qui seraient la caractéristique de la fractale. Si on s approche en utilisant un logiciel, on pourrait observer des fractures infinies. Si on s approche des bulbes on peut voir des formes répétées se sont les autosimilarités. A certains endroits on retrouve même la bulbe principale (photo au dessus) si on fait un zoom assez grand. Exemple d auto-similarité: 10
11 La représentation graphique est très complexe et pour pouvoir bien observer la fractale on a besoin d un ordinateur. Pour déterminer quelle couleur aura un point donné, on va utiliser le module d'un nombre complexe, ce qui équivaut à calculer la distance entre Z(n) et 0. Ainsi si la suite Z (n) s'éloigne très rapidement de 0, on attribuera la couleur blanc au point (x,y) étudié. Si par contre Z (n) reste constant, on attribuera la couleur noire à ce point. Si le point s'éloigne très lentement, on attribuera alors comme couleur une nuance de gris en fonction de la vitesse d'éloignement. Le système de coloration peut varier avec les paramètres choisis. Souvent on essaye D utiliser d autres couleurs pour faire la fractale plus belle. Les Ensembles de Julia. Pour calculer l'ensemble de Julia, on utilise la même formule, mais en prenant Z (0) comme élément variable. On aura donc Z (n+1) = Zn 2 + C. La valeur de C est arbitraire, il existe donc une infinité d'ensembles de Julia. La fractale la plus connu de Julia est le lapin fractal: Il est facile ici de voir les autosimilarités. Remarques sur Mandelbrot et Julia Ces ensembles fractals à base de nombres complexes sont donc en réalité la frontière entre une infinité de bassins d'attractions, d'où l'infinie complexité au sens usuel du terme de ces fractales, révélant des détails sans limite lorsque l'on agrandit certaines portions d'image. Certaines parties de l'image sont des 11
12 reproductions de l'ensemble de l'image à plus petite échelle, et à l'intérieur de ces portions d'autres reproductions de l'image existent aussi, et ainsi de suite. On remarque également que l'ensemble de Mandelbrot est en réalité un assemblage d'ensembles de Julia, puisqu'il existe une infinité d'ensemble de Julia en fonction de C, et que Mandelbrot est calculée à partir de toutes les valeurs de C possibles. En outre, le périmètre de ces deux fractales est infini, tel est le cas d'ailleurs pour toutes le fractales en général. En ce qui concerne l'aire de ces fractales, elle est tout simplement inconnue. Finalement, on peut aussi noter que tous le points ayant la même couleur sont connectés ensemble. Dimension Fractale Pour des objets de dimensions finies dans une enveloppe infinie, on peut calculer facilement la longueur, l'aire ou le volume, mais aussi les classer suivant leur degré de complexité, appelé dimension fractale par Mandelbrot. Le flocon de von Koch fait apparaître un coefficient de 4/3: à chaque étape, la longueur, multipliée par 4/3, tend vers l'infini, sa surface augmente de triangles qui mesurent le quart de l'aire des triangles ajoutés à l'étape précédente. L'aire totale du flocon a pour limite 2 (3/5)^½, en partant d'un flocon de surface unitaire (=1). Plus généralement, remplacer un segment par n segments plus petits dans un rapport k fera apparaître un coefficient d'homothétie égal à n/k. Mandelbrot a défini une notion de dimension qui permet de classer les objets fractals tout en restant en accord avec la dimension topologique classique des objets plus simples: -un segment de dimension topologique 1 est la réunion de trois segments de longueur 1/3, ou de quatre de longueur 1/4; -un carré de dimension topologique 2 est la réunion de neuf carrés de longueur 1/3 ou de seize carrés de longueur 1/4; -un cube de dimension topologique 3 est la réunion de vingt-sept cubes de longueur 1/3 ou de soixante-quatre cubes de longueur 1/4. Dans chaque cas, la dimension (notée d) est liée au nombre d'éléments constituants (noté n) et au rapport d'homothétie 1/k par la relation: n = (1/k) d. Cela permet d'exprimer d en fonction de n et de k grâce aux logarithmes: d = - log(n)/log(k). Etendue aux objets fractals, cette relation donne des dimensions fractionnaires ou fractales: log(4)/log(3)» 1,26 pour le flocon de von Koch, log(2)/log(3)» 0,63 pour la construction triadique de Cantor, log(9)/log(3) = 2 pour la courbe de Peano recouvrant le carré. Mandelbrot a donné de nombreux exemples où les notions d'homothétie interne et de dimension fractale apparaissent dans les formes complexes de la nature. La longueur d'une côte, le relief d'une montagne jeune ou d'une île 12
13 montagneuse, un réseau fluvial, la forme des arbres, le réseau des veines et des artères, les lignes de fracture en métallurgie, la forme des nuages et leur répartition dans le ciel, celle des étoiles dans une galaxie, la surface des substances favorisant la catalyse, la répartition des mots dans un texte sont autant d'exemples d'objets fractals que l'on peut décrire quantitativement. Comme l'a fait remarquer Mandelbrot, la géométrie naturelle est le plus souvent une géométrie des formes complexes, qu'il appelle géométrie fractale, tandis que la géométrie de la droite, du cercle, des objets réguliers est le plus souvent celle de la création humaine. Les fractales sont souvent utilisées dans l art. Elles forment des figures souvent incroyables et les possibilités des figures sont infinies. Les fractales incarnent la beauté mathématique. Les figures vues dans cette partie sont toutes Mathématiques. Elles sont des figures complexes mais on est capable de les expliquer mathématiquement. On remet donc de l Ordre dans le Désordre. L application des Fractales peut se faire dans la Nature et elle nous permet d expliquer de nombreux phénomènes dont la croissance des plantes et la météorologie. A la suite nous allons étudier les fractales dans une optique biologique. 13
Fonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détailLes mathématiques du XXe siècle
Itinéraire de visite Les mathématiques du XXe siècle Tous publics de culture scientifique et technique à partir des classes de 1ères Temps de visite : 1 heure 30 Cet itinéraire de visite dans l exposition
Plus en détailCOMPTE-RENDU «MATHS EN JEANS» LYCEE OZENNE Groupe 1 : Comment faire une carte juste de la Terre?
Claire FORGACZ Marion GALLART Hasnia GOUDJILI COMPTERENDU «MATHS EN JEANS» LYCEE OZENNE Groupe 1 : Comment faire une carte juste de la Terre? Si l on se pose la question de savoir comment on peut faire
Plus en détailReprésentation géométrique d un nombre complexe
CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres
Plus en détailNombre de marches Nombre de facons de les monter 3 3 11 144 4 5 12 233 5 8 13 377 6 13 14 610 7 21 15 987 8 34 16 1597 9 55 17 2584 10 89
Soit un escalier à n marches. On note u_n le nombre de façons de monter ces n marches. Par exemple d'après l'énoncé, u_3=3. Pour monter n marches, il faut d'abord monter la première. Soit on la monte seule,
Plus en détailC f tracée ci- contre est la représentation graphique d une
TLES1 DEVOIR A LA MAISON N 7 La courbe C f tracée ci- contre est la représentation graphique d une fonction f définie et dérivable sur R. On note f ' la fonction dérivée de f. La tangente T à la courbe
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
Plus en détailOLYMPIADES ACADÉMIQUES DE MATHÉMATIQUES
OLYMPIADES ACADÉMIQUES DE MATHÉMATIQUES ACADÉMIE DE RENNES SESSION 2006 CLASSE DE PREMIERE DURÉE : 4 heures Ce sujet s adresse à tous les élèves de première quelle que soit leur série. Il comporte cinq
Plus en détailChapitre 0 Introduction à la cinématique
Chapitre 0 Introduction à la cinématique Plan Vitesse, accélération Coordonnées polaires Exercices corrigés Vitesse, Accélération La cinématique est l étude du mouvement Elle suppose donc l existence à
Plus en détailPlan du cours : électricité 1
Semestre : S2 Module Physique II 1 Electricité 1 2 Optique géométrique Plan du cours : électricité 1 Partie A : Electrostatique (discipline de l étude des phénomènes liés aux distributions de charges stationnaires)
Plus en détailExercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument
Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour
Plus en détailFrédéric Laroche 2009
Frédéric Laroche 2009 Les Entiers Caractériser les nombres : peut-être avec des figures géométriques? En triangle * * * * * * * * * * --------------- Une formule 1 3 6 10 --- En carré * * * * * * * * *
Plus en détailPetit lexique de calcul à l usage des élèves de sixième et de cinquième par M. PARCABE, professeur au collège Alain FOURNIER de BORDEAUX, mars 2007
Petit lexique de calcul à l usage des élèves de sixième et de cinquième par M. PARCABE, professeur au collège Alain FOURNIER de BORDEAUX, mars 2007 page 1 / 10 abscisse addition additionner ajouter appliquer
Plus en détailUEO11 COURS/TD 1. nombres entiers et réels codés en mémoire centrale. Caractères alphabétiques et caractères spéciaux.
UEO11 COURS/TD 1 Contenu du semestre Cours et TDs sont intégrés L objectif de ce cours équivalent a 6h de cours, 10h de TD et 8h de TP est le suivant : - initiation à l algorithmique - notions de bases
Plus en détailNombres complexes. cours, exercices corrigés, programmation
1 Nombres complexes cours, exercices corrigés, programmation Nous allons partir des nombres réels pour définir les nombres complexes. Au cours de cette construction, les nombres complexes vont être munis
Plus en détailContinuité et dérivabilité d une fonction
DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité
Plus en détailAC AB. A B C x 1. x + 1. d où. Avec un calcul vu au lycée, on démontre que cette solution admet deux solutions dont une seule nous intéresse : x =
LE NOMBRE D OR Présentation et calcul du nombre d or Euclide avait trouvé un moyen de partager en deu un segment selon en «etrême et moyenne raison» Soit un segment [AB]. Le partage d Euclide consiste
Plus en détailProjet de traitement d'image - SI 381 reconstitution 3D d'intérieur à partir de photographies
Projet de traitement d'image - SI 381 reconstitution 3D d'intérieur à partir de photographies Régis Boulet Charlie Demené Alexis Guyot Balthazar Neveu Guillaume Tartavel Sommaire Sommaire... 1 Structure
Plus en détailInitiation à l algorithmique
Informatique S1 Initiation à l algorithmique procédures et fonctions 2. Appel d une fonction Jacques TISSEAU Ecole Nationale d Ingénieurs de Brest Technopôle Brest-Iroise CS 73862-29238 Brest cedex 3 -
Plus en détailDate : 18.11.2013 Tangram en carré page
Date : 18.11.2013 Tangram en carré page Titre : Tangram en carré Numéro de la dernière page : 14 Degrés : 1 e 4 e du Collège Durée : 90 minutes Résumé : Le jeu de Tangram (appelé en chinois les sept planches
Plus en détailFctsAffines.nb 1. Mathématiques, 1-ère année Edition 2007-2008. Fonctions affines
FctsAffines.nb 1 Mathématiques, 1-ère année Edition 2007-2008 Fonctions affines Supports de cours de mathématiques de degré secondaire II, lien hpertete vers la page mère http://www.deleze.name/marcel/sec2/inde.html
Plus en détailRaisonnement par récurrence Suites numériques
Chapitre 1 Raisonnement par récurrence Suites numériques Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Raisonnement par récurrence. Limite finie ou infinie d une suite.
Plus en détailNombre dérivé et tangente
Nombre dérivé et tangente I) Interprétation graphique 1) Taux de variation d une fonction en un point. Soit une fonction définie sur un intervalle I contenant le nombre réel a, soit (C) sa courbe représentative
Plus en détailAngles orientés et trigonométrie
Chapitre Angles orientés et trigonométrie Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Trigonométrie Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d un angle orienté, mesure principale.
Plus en détail«Aucune investigation humaine ne peut être qualifiée de science véritable si elle ne peut être démontrée mathématiquement.
«Aucune investigation humaine ne peut être qualifiée de science véritable si elle ne peut être démontrée mathématiquement.» Léonard de Vinci MATHEMATIQUES Les mathématiques revêtaient un caractère particulier
Plus en détailSujet proposé par Yves M. LEROY. Cet examen se compose d un exercice et de deux problèmes. Ces trois parties sont indépendantes.
Promotion X 004 COURS D ANALYSE DES STRUCTURES MÉCANIQUES PAR LA MÉTHODE DES ELEMENTS FINIS (MEC 568) contrôle non classant (7 mars 007, heures) Documents autorisés : polycopié ; documents et notes de
Plus en détailSuites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite
Suites numériques 3 1 Convergence et limite d une suite Nous savons que les termes de certaines suites s approchent de plus en plus d une certaine valeur quand n augmente : par exemple, les nombres u n
Plus en détailDOSSIER D'ACTIVITES SUR TUXPAINT Dessiner avec Tuxpaint. Objectifs :
DOSSIER D'ACTIVITES SUR TUXPAINT Dessiner avec Tuxpaint Objectifs : Apprendre à l apprenant à connaître l'ordinateur Apprendre à l'apprenant à allumer l'ordinateur Faire découvrir à l'apprenant Linux Faire
Plus en détailFONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité
Plus en détailChapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme
Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet
Plus en détail6. Les différents types de démonstrations
LES DIFFÉRENTS TYPES DE DÉMONSTRATIONS 33 6. Les différents types de démonstrations 6.1. Un peu de logique En mathématiques, une démonstration est un raisonnement qui permet, à partir de certains axiomes,
Plus en détailReprésentation d un entier en base b
Représentation d un entier en base b 13 octobre 2012 1 Prérequis Les bases de la programmation en langage sont supposées avoir été travaillées L écriture en base b d un entier est ainsi défini à partir
Plus en détailLe nombre d or et Fibonacci
Août 2004, Bordeaux Pentagone et nombre d or Irrationalité Séries géométriques Equation Remarques et exercice Le pentagramme magique se retrouve partout dans la nature et hors de la nature est le symbole
Plus en détailDéfinition : On obtient les nombres entiers en ajoutant ou retranchant des unités à zéro.
Chapitre : Les nombres rationnels Programme officiel BO du 8/08/08 Connaissances : Diviseurs communs à deux entiers, PGCD. Fractions irréductibles. Opérations sur les nombres relatifs en écriture fractionnaire.
Plus en détailCorrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010
Corrigé du baccalauréat S Asie juin 00 EXERCICE Commun à tous les candidats 4 points. Question : Le triangle GBI est : Réponse a : isocèle. Réponse b : équilatéral. Réponse c : rectangle. On a GB = + =
Plus en détailFONCTIONS À CROISSANCE RÉGULIÈRE
P. LEVY (Paris - Francia) FONCTIONS À CROISSANCE RÉGULIÈRE ET ITÉRATION D'ORDRE FRACTIONNAIRE 1. - Une fonction teue que ^c+e~ x sin log x, malgré la lenteur et la petitesse de ses osciuations, nous apparaît
Plus en détail1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R.
Angles orientés Trigonométrie I. Préliminaires. Le radian Définition B R AB =R C O radian R A Soit C un cercle de centre O. Dire que l angle géométrique AOB a pour mesure radian signifie que la longueur
Plus en détailPriorités de calcul :
EXERCICES DE REVISION POUR LE PASSAGE EN QUATRIEME : Priorités de calcul : Exercice 1 : Calcule en détaillant : A = 4 + 5 6 + 7 B = 6 3 + 5 C = 35 5 3 D = 6 7 + 8 E = 38 6 3 + 7 Exercice : Calcule en détaillant
Plus en détailSoit la fonction affine qui, pour représentant le nombre de mois écoulés, renvoie la somme économisée.
ANALYSE 5 points Exercice 1 : Léonie souhaite acheter un lecteur MP3. Le prix affiché (49 ) dépasse largement la somme dont elle dispose. Elle décide donc d économiser régulièrement. Elle a relevé qu elle
Plus en détailDérivation CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES
Capitre 4 Dérivation Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Dérivation Nombre dérivé d une fonction en un point. Tangente à la courbe représentative d une fonction dérivable
Plus en détailT.P.E. LA PHYLLOTAXIE: ASSOCIATION DES SPIRALES DANS LA CROISSANCE DES PLANTES. Juan Carlos Marroquin, T le S.
T.P.E. LA PHYLLOTAXIE: ASSOCIATION DES SPIRALES DANS LA CROISSANCE DES PLANTES. Juan Carlos Marroquin, T le S. SOMMAIRE Introduction I Quelques spirales et leurs propriétés A. La spirale logarithmique
Plus en détailI - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES
I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et
Plus en détailInitiation à la programmation en Python
I-Conventions Initiation à la programmation en Python Nom : Prénom : Une commande Python sera écrite en caractère gras. Exemples : print 'Bonjour' max=input("nombre maximum autorisé :") Le résultat de
Plus en détailt 100. = 8 ; le pourcentage de réduction est : 8 % 1 t Le pourcentage d'évolution (appelé aussi taux d'évolution) est le nombre :
Terminale STSS 2 012 2 013 Pourcentages Synthèse 1) Définition : Calculer t % d'un nombre, c'est multiplier ce nombre par t 100. 2) Exemples de calcul : a) Calcul d un pourcentage : Un article coûtant
Plus en détailRésolution d équations non linéaires
Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique
Plus en détailOLYMPIADES ACADEMIQUES DE MATHEMATIQUES. 15 mars 2006 CLASSE DE PREMIERE ES, GMF
OLYMPIADES ACADEMIQUES DE MATHEMATIQUES 15 mars 2006 CLASSE DE PREMIERE ES, GMF Durée : 4 heures Les quatre exercices sont indépendants Les calculatrices sont autorisées L énoncé comporte trois pages Exercice
Plus en détailFonctions de deux variables. Mai 2011
Fonctions de deux variables Dédou Mai 2011 D une à deux variables Les fonctions modèlisent de l information dépendant d un paramètre. On a aussi besoin de modéliser de l information dépendant de plusieurs
Plus en détailDe même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que
Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer
Plus en détail= 1 si n = m& où n et m sont souvent des indices entiers, par exemple, n, m = 0, 1, 2, 3, 4... En fait,! n m
1 épartement de Physique, Université Laval, Québec Pierre Amiot, 1. La fonction delta et certaines de ses utilisations. Clientèle Ce texte est destiné aux physiciens, ingénieurs et autres scientifiques.
Plus en détailChapitre 7 - Relativité du mouvement
Un bus roule lentement dans une ville. Alain (A) est assis dans le bus, Brigitte (B) marche dans l'allée vers l'arrière du bus pour faire des signes à Claude (C) qui est au bord de la route. Brigitte marche
Plus en détail5 ème Chapitre 4 Triangles
5 ème Chapitre 4 Triangles 1) Médiatrices Définition : la médiatrice d'un segment est l'ensemble des points équidistants des extrémités du segment (cours de 6 ème ). Si M appartient à la médiatrice du
Plus en détailCompter à Babylone. L écriture des nombres
Compter à Babylone d après l article de Christine Proust «Le calcul sexagésimal en Mésopotamie : enseignement dans les écoles de scribes» disponible sur http://www.dma.ens.fr/culturemath/ Les mathématiciens
Plus en détailExercices Alternatifs. Une fonction continue mais dérivable nulle part
Eercices Alternatifs Une fonction continue mais dérivable nulle part c 22 Frédéric Le Rou (copyleft LDL : Licence pour Documents Libres). Sources et figures: applications-continues-non-derivables/. Version
Plus en détailCours Informatique Master STEP
Cours Informatique Master STEP Bases de la programmation: Compilateurs/logiciels Algorithmique et structure d'un programme Programmation en langage structuré (Fortran 90) Variables, expressions, instructions
Plus en détailExprimer ce coefficient de proportionnalité sous forme de pourcentage : 3,5 %
23 CALCUL DE L INTÉRÊT Tau d intérêt Paul et Rémi ont reçu pour Noël, respectivement, 20 et 80. Ils placent cet argent dans une banque, au même tau. Au bout d une année, ce placement leur rapportera une
Plus en détailDérivation : Résumé de cours et méthodes
Dérivation : Résumé de cours et métodes Nombre dérivé - Fonction dérivée : DÉFINITION (a + ) (a) Etant donné est une onction déinie sur un intervalle I contenant le réel a, est dérivable en a si tend vers
Plus en détailCCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé
CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P
Plus en détailDOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.
A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur
Plus en détailContinuité d une fonction de plusieurs variables
Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs
Plus en détailPerrothon Sandrine UV Visible. Spectrophotométrie d'absorption moléculaire Étude et dosage de la vitamine B 6
Spectrophotométrie d'absorption moléculaire Étude et dosage de la vitamine B 6 1 1.But et théorie: Le but de cette expérience est de comprendre l'intérêt de la spectrophotométrie d'absorption moléculaire
Plus en détail3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Plus en détailChapitre 1 : Évolution COURS
Chapitre 1 : Évolution COURS OBJECTIFS DU CHAPITRE Savoir déterminer le taux d évolution, le coefficient multiplicateur et l indice en base d une évolution. Connaître les liens entre ces notions et savoir
Plus en détailOPÉRATIONS SUR LES FRACTIONS
OPÉRATIONS SUR LES FRACTIONS Sommaire 1. Composantes d'une fraction... 1. Fractions équivalentes... 1. Simplification d'une fraction... 4. Règle d'addition et soustraction de fractions... 5. Règle de multiplication
Plus en détailBaccalauréat L spécialité, Métropole et Réunion, 19 juin 2009 Corrigé.
Baccalauréat L spécialité, Métropole et Réunion, 19 juin 2009 Corrigé. L usage d une calculatrice est autorisé Durée : 3heures Deux annexes sont à rendre avec la copie. Exercice 1 5 points 1_ Soit f la
Plus en détailSOCLE COMMUN - La Compétence 3 Les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique et technologique
SOCLE COMMUN - La Compétence 3 Les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique et technologique DOMAINE P3.C3.D1. Pratiquer une démarche scientifique et technologique, résoudre des
Plus en détailChapitre 02. La lumière des étoiles. Exercices :
Chapitre 02 La lumière des étoiles. I- Lumière monochromatique et lumière polychromatique. )- Expérience de Newton (642 727). 2)- Expérience avec la lumière émise par un Laser. 3)- Radiation et longueur
Plus en détailTOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET
TOUT E QU IL FUT SVOIR POUR LE REVET NUMERIQUE / FONTIONS eci n est qu un rappel de tout ce qu il faut savoir en maths pour le brevet. I- Opérations sur les nombres et les fractions : Les priorités par
Plus en détailChaînes de Markov au lycée
Journées APMEP Metz Atelier P1-32 du dimanche 28 octobre 2012 Louis-Marie BONNEVAL Chaînes de Markov au lycée Andreï Markov (1856-1922) , série S Problème 1 Bonus et malus en assurance automobile Un contrat
Plus en détailComparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10
PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?
Plus en détail8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2
Chapitre 8 Fonctions de plusieurs variables 8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles Définition. Une fonction réelle de n variables réelles est une application d une partie de R
Plus en détailIntroduction à l étude des Corps Finis
Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur
Plus en détailCours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Plus en détailFÊTE DE LA SCIENCE 2005 (Village des Sciences)
FÊTE DE LA SCIENCE 2005 (Village des Sciences) Présentation des applications de réalité virtuelle et augmentée présentées par le Laboratoire LISA les samedi 15 et dimanche 16 octobre 2005 à l Ecole Supérieure
Plus en détailStatistiques Descriptives à une dimension
I. Introduction et Définitions 1. Introduction La statistique est une science qui a pour objectif de recueillir et de traiter les informations, souvent en très grand nombre. Elle regroupe l ensemble des
Plus en détailTraitement numérique de l'image. Raphaël Isdant - 2009
Traitement numérique de l'image 1/ L'IMAGE NUMÉRIQUE : COMPOSITION ET CARACTÉRISTIQUES 1.1 - Le pixel: Une image numérique est constituée d'un ensemble de points appelés pixels (abréviation de PICture
Plus en détailIntroduction au maillage pour le calcul scientifique
Introduction au maillage pour le calcul scientifique CEA DAM Île-de-France, Bruyères-le-Châtel franck.ledoux@cea.fr Présentation adaptée du tutorial de Steve Owen, Sandia National Laboratories, Albuquerque,
Plus en détailEnoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé.
Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. I- ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) Exercice 1 (3 points) On considère
Plus en détailEXERCICES DE REVISIONS MATHEMATIQUES CM2
EXERCICES DE REVISIONS MATHEMATIQUES CM2 NOMBRES ET CALCUL Exercices FRACTIONS Nommer les fractions simples et décimales en utilisant le vocabulaire : 3 R1 demi, tiers, quart, dixième, centième. Utiliser
Plus en détailBac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures)
Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Eercice 1 (5 points) pour les candidats n ayant pas choisi la spécialité MATH Le tableau suivant donne l évolution du chiffre
Plus en détail315 et 495 sont dans la table de 5. 5 est un diviseur commun. Leur PGCD n est pas 1. Il ne sont pas premiers entre eux
Exercice 1 : (3 points) Un sac contient 10 boules rouges, 6 boules noires et 4 boules jaunes. Chacune des boules a la même probabilité d'être tirée. On tire une boule au hasard. 1. Calculer la probabilité
Plus en détailNOMBRES COMPLEXES. Exercice 1 :
Exercice 1 : NOMBRES COMPLEXES On donne θ 0 un réel tel que : cos(θ 0 ) 5 et sin(θ 0 ) 1 5. Calculer le module et l'argument de chacun des nombres complexes suivants (en fonction de θ 0 ) : a i( )( )(1
Plus en détailExercices Alternatifs. Une fonction continue mais dérivable nulle part
Eercices Alternatifs Une fonction continue mais dérivable nulle part c 22 Frédéric Le Rou (copleft LDL : Licence pour Documents Libres). Sources et figures: applications-continues-non-derivables/. Version
Plus en détailLa fonction exponentielle
DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction
Plus en détailItems étudiés dans le CHAPITRE N5. 7 et 9 p 129 D14 Déterminer par le calcul l'antécédent d'un nombre par une fonction linéaire
CHAPITRE N5 FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION Code item D0 D2 N30[S] Items étudiés dans le CHAPITRE N5 Déterminer l'image
Plus en détailMais comment on fait pour...
Mais comment on fait pour... Toutes les méthodes fondamentales en Maths Term.S Édition Salutπaths Table des matières 1) GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS...13 1.Comment déterminer l'ensemble de définition
Plus en détailChoisir entre le détourage plume et le détourage par les couches.
Choisir entre le détourage plume et le détourage par les couches. QUEL CHOIX D OUTILS ET QUELLE METHODE, POUR QUEL OBJECTIF? Il existe différentes techniques de détourage. De la plus simple à la plus délicate,
Plus en détailIndications pour une progression au CM1 et au CM2
Indications pour une progression au CM1 et au CM2 Objectif 1 Construire et utiliser de nouveaux nombres, plus précis que les entiers naturels pour mesurer les grandeurs continues. Introduction : Découvrir
Plus en détailEXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)
EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat
Plus en détailChapitre 2 : Vecteurs
1 Chapitre 2 : Vecteurs Nous allons définir ce qu'est un vecteur grâce à une figure (le parallélogramme), mais au préalable nous allons aussi définir une nouvelle transformation (la translation). Nous
Plus en détailVision industrielle et télédétection - Détection d ellipses. Guillaume Martinez 17 décembre 2007
Vision industrielle et télédétection - Détection d ellipses Guillaume Martinez 17 décembre 2007 1 Table des matières 1 Le projet 3 1.1 Objectif................................ 3 1.2 Les choix techniques.........................
Plus en détailUnité 2 Leçon 2 Les permutations et les combinaisons
Unité 2 Leçon 2 Les permutations et les combinaisons Qu'apprenons nous dans cette leçon? La différence entre un arrangement ordonné (une permutation) et un arrangement nonordonné (une combinaison). La
Plus en détailREPRESENTER LA TERRE Cartographie et navigation
REPRESENTER LA TERRE Seconde Page 1 TRAVAUX DIRIGES REPRESENTER LA TERRE Cartographie et navigation Casterman TINTIN "Le trésor de Rackham Le Rouge" 1 TRIGONOMETRIE : Calcul du chemin le plus court. 1)
Plus en détailSujet. calculatrice: autorisée durée: 4 heures
DS SCIENCES PHYSIQUES MATHSPÉ calculatrice: autorisée durée: 4 heures Sujet Approche d'un projecteur de diapositives...2 I.Questions préliminaires...2 A.Lentille divergente...2 B.Lentille convergente et
Plus en détailMAT2027 Activités sur Geogebra
MAT2027 Activités sur Geogebra NOTE: Il n est pas interdit d utiliser du papier et un crayon!! En particulier, quand vous demandez des informations sur les différentes mesures dans une construction, il
Plus en détailCoefficients binomiaux
Probabilités L2 Exercices Chapitre 2 Coefficients binomiaux 1 ( ) On appelle chemin une suite de segments de longueur 1, dirigés soit vers le haut, soit vers la droite 1 Dénombrer tous les chemins allant
Plus en détailI- Définitions des signaux.
101011011100 010110101010 101110101101 100101010101 Du compact-disc, au DVD, en passant par l appareil photo numérique, le scanner, et télévision numérique, le numérique a fait une entrée progressive mais
Plus en détailRappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie
Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie 1 Définition des nombres complexes On définit sur les couples de réels une loi d addition comme suit : (x; y)
Plus en détailComplément d information concernant la fiche de concordance
Sommaire SAMEDI 0 DÉCEMBRE 20 Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler aujourd hui : La fiche de concordance pour le DAEU ; Page 2 Un rappel de cours
Plus en détailBaccalauréat S Nombres complexes Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS
Baccalauréat S Nombres complexes Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS N o Lieu et date Q.C.M. Algébrique Géométrie 1 Asie juin 2012 2 Métropole juin
Plus en détailCours Fonctions de deux variables
Cours Fonctions de deux variables par Pierre Veuillez 1 Support théorique 1.1 Représentation Plan et espace : Grâce à un repère cartésien ( ) O, i, j du plan, les couples (x, y) de R 2 peuvent être représenté
Plus en détail