STI2D - 1N5 - FONCTION DERIVEE ET APPLICATIONS COURS (1/5)

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1 STI2D - 1N5 - FNCTIN DERIVEE ET APPLICATINS CURS (1/5) PRGRAMMES CAPACITES ATTENDUES CMMENTAIRES Dérvton Nomre dérvé d une foncton en un pont. Le nomre dérvé est défn comme lmte du f( + h) tux d ccrossement qund h tend h Tngente à l coure représenttve d une foncton en un pont où elle est dérvle. Foncton dérvée Dérvée des fonctons usuelles : x ï 1/x, x ï x n (n enter nturel non nul), x ï cos x, x ï sn x Dérvée d une somme,d un produt et d un quotent. Dérvée de t ï cos (ωt+φ), t ï sn (ωt+φ), ω et φ étnt réels. Trcer une tngente connssnt le nomre dérvé. Clculer l dérvée de fonctons. vers 0. n ne donne ps de défnton formelle de l lmte en un pont ; l pproche reste ntutve. L utlston des outls logcels fclte l ntroducton du nomre dérvé. n évte tout excès de techncté dns les clculs de dérvton. S nécessre, dns le cdre de l résoluton de prolèmes, le clcul de l dérvée d une foncton est fclté pr l utlston d un logcel de clcul formel. Len entre sgne de l dérvée et sens de vrton. Extremum d une foncton. - Exploter le tleu de vrton d une foncton f pour otenr : - un éventuel extremum de f ; - le sgne de f ; - le nomre de solutons d une équton du type f(x)=k Pour les fonctons étudées, le tleu de vrton est un outl pertnent pour loclser l ou les solutons éventuelles de l équton f(x)=k. Cette prte du progrmme se prête prtculèrement à l étude de stutons ssues des utres dscplnes.

2 STI2D - 1N5 - FNCTIN DERIVEE ET APPLICATINS CURS (2/5) I. TANGENTE A UNE CURBE Sot f une foncton dérvle en x 0. n ppelle tngente à l coure représenttve de f u pont x 0 l drote pssnt pr le pont A(x 0 ; f(x 0 )) et de coeffcent drecteur f (x 0 ). u L foncton f : x ï x 3 dmet u pont (2 ; 8) une tngente dont le coeffcent drecteur est Sot f une foncton dérvle en x 0. L coure représenttve de f dmet u pont A(x 0 ; f(x 0 )) une tngente dont l équton rédute est : y = f (x 0 )(x x 0 ) + f(x 0 ) L tngente à f : x ï x 3 dmet u pont A(2 ; 8) dmet pour équton : y = 12(x 2) + 8 y = 12x y = 12x 16 II. SENS DE VARIATIN D UNE FNCTIN Sot f une foncton dérvle sur un ntervlle I de Y. S f (x) est strctement postve pour tout x de I, lors f est strctement crossnte sur I S f (x) est strctement négtve pour tout x de I, lors f est strctement décrossnte sur I Sot f(x) = 2x 3 + 3x 2 12x + 6. n clcule l foncton dérvée : f (x) = 2(3x 2 ) + 3(2x) 12 = 6x 2 + 6x 12 n étude le sgne de f (x) = 6x 2 + 6x 12 = ² 4c = 6² 4 6 (-12) = = 324 = 18² Les deux solutons sont x 1 = 2 6 = = 1 et x = 2 6 = = -2 Et le sgne de f (x) est donc donné pr : x f (x) f(x)

3 STI2D - 1N5 - FNCTIN DERIVEE ET APPLICATINS CURS (3/5) III. EXTREMUM S f est dérvle sur I et dmet un extremum locl (mxmum ou mnmum) en un pont x 0 dstnct des extrémtés de I, lors f (x 0 ) = 0 Sot f(x) = 2x 3 + 3x 2 12x + 6. n constte sur le tleu de vrton de f qu elle dmet un mxmum locl en -2 et un mnmum locl en 1. Et on constte que : f (-2) = 6 (-2)² + 6 (-2) 12 = = 0 et f (1) = 6 1² = = 0 Attenton : L récproque n est ps vre : l exste des fonctons qu dmettent une dérvée nulle en un pont sns pour utnt vor un extremum en ce pont. Cel sgnfe que l coure dmet une tngente horzontle ms sns chnger de sens de vrton. n dt lors qu on un pont d nflexon. IV. EQUATIN DE LA FRME f(x) = Sot f est dérvle sur [ ; ], vec < : S f est à vleurs strctement postves sur [ ; ], Et s pprtent à [ ; ] Alors l'équton f(x) = dmet une soluton et une seule dns [ ; ]. S f est à vleurs strctement négtves sur [ ; ], Et s pprtent à [ ; ] Alors l'équton f(x) = dmet une soluton et une seule dns [ ; ]. Soluton de f(x) = n consdère l foncton f : x ï x² x 3 sur l ntervlle [0 ; 3] n détermne f (x) = 2x 1 n étude le sgne de f : 1 x 0 2 f (x) + f est strctement postve sur [2 ; 3] f(2) = 2² 2 3 = -1 et f(3) = 3² 3 3 = 3 0 [f(2) ; f(3) ] Alors d près le théorème, l équton f(x) = 0 dmet une soluton et une seule dns [2 ; 3]. 3 Soluton de f(x) =

4 STI2D - 1N5 - FNCTIN DERIVEE ET APPLICATINS CURS (4/5) Remrques : Pour utlser ce théorème l fut en vérfer que f est dérvle sur [ ; ] snon f est strctement crossnte f(x) = rsque de ne ps vor de (décrossnte) sur [ ; ] snon soluton. f(x) = rsque d vor pluseurs solutons. [ ; ] snon f(x) = n ur ps de soluton. V. EXEMPLE D ETUDE D UNE FNCTIN Voc l mrche à suvre pour étuder une foncton f défne sur un ntervlle [ ; ]. Le ut ultme de cette étude est le trcé de l coure C représentnt f, vec un mxmum de rensegnements. 1. Clcul de l dérvée de f En essynt de l mettre sous forme fctorsée, ou sous l forme P(x) où P et Q sont fctorsés. Q(x) n évter de développer, en prtculer les dénomnteurs, surtout s ce sont des «crrés». 2. Etude du sgne de f S f est sous l forme x + Pett tleu de sgne. S f est sous l forme x² + x + c clcul du dscrmnnt et nterprétton. S f est un quotent, on étude le sgne du numérteur et du dénomnteur. En prtculer, on se souvendr que s l un des deux est un crré, l est touours postf. S f content des fonctons cos et/ou sn, on ser rmené à l résoluton d néqutons trgonométrques (le cercle peut être très utle) où l on ouler ps que cos x et sn x sont touours comprs entre -1 et Tleu de vrton de f n trdut l étude du sgne de l dérvée : f (x) > 0 f(x) crossnte et f (x) < 0 f(x) décrossnte. Qund f (x) = 0, cel sgnfe que C dmet une tngente horzontle (mxmum, mnmum ou pont d nflexon). Ne ps ouler de clculer les vleurs de f ux ponts remrqules (ornes de l ensemle de défnton, mxmum ) 4. Recherche des ponts d ntersecton de l coure C vec les xes (x) et (y) Intersecton de C vec (x) : n cherche le(les) nomres x 0 tel que f(x 0 ) = 0 C coupe (x) u(x) pont(s) de coordonnées (x 0 ; 0) Intersecton de C vec (y) : n clcule f(0) C coupe (y) u pont de coordonnées (0 ; f(0)) 5. Tngentes à l coure ux ponts remrqules n connît déà les tngentes horzontles (vor 2. et 3.)

5 STI2D - 1N5 - FNCTIN DERIVEE ET APPLICATINS CURS (5/5) n détermne l (les) tngente(s) u(x) pont(s) d ntersecton vec les xes, détermné(s) dns le 4. en utlsnt l formule y = f (x 0 ) (x x 0 ) + f(x 0 ) 6. Constructon de l coure Trcer les deux xes, en respectnt en l échelle donnée dns l énoncé, et en restregnnt l xe (x) à l ensemle de défnton de l foncton. Plcer les ponts d ntersecton vec les xes, les mxmums, mnmums, ponts d nflexon. Construre les tngentes (nutle de trcer «entèrement» l drote, se contenter du pett morceu utour du pont de tngence). Construre l coure en lssnt utnt que possle, et évtnt les ponts nguleux.

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