Chapitre 3 Variations d une fonction. Table des matières. Chapitre 3 Variations d une fonction TABLE DES MATIÈRES page -1

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1 Chapitre 3 Variations d une fonction TABLE DES MATIÈRES page -1 Chapitre 3 Variations d une fonction Table des matières I Exercices I I I I I I I I I I I I I I I I I I I- II Cours II-1 1 Algorithmique, tracé d une courbe point par point II-1 Sens de variations d une fonction II- a Vocabulaire et description II- b Exercice corrigé n 1 : décrire les variations d une fonction II- 3 Tableau de variations II-3 Minimum et maximum II-3 5 Comparer des images : exercice corrigé n II- Nombres dont l image est supérieure (ou inférieure) à une image donnée II- de Mathématiques TDM

2 Chapitre 3 Variations d une fonction I EXERCICES page I-1 I Exercices 1 Utilisation d une calculatrice pour observer les variations d une fonction Avec la calculatrice, décrire les variations de la fonction définie par f(x) = x +x 3 sur l intervalle [0 ; 5] Même exercice que le précédent avec 3 1. f(x) = x x 5 sur l intervalle [ 3 ; ]. f(x) = x 5x sur l intervalle [ 8 ; ] 3. f(x) = x 3 x + 11x sur l intervalle [0, 8 ; 3, ] Même exercice avec 1. f(x) = x + x 30 sur l intervalle [ 8 ; 8]. f(x) = x 1x x 15x + 10 sur l intervalle [1, 8 ; 5, 1] Algorithmique et représentation graphique Que fait cet algorithme? Tracer la figure dans le repère ci-contre. Pour des valeurs de x allant de 3 à 5 de 1 en 1. y prend la valeur x Placer le point de coordonnées (x ; y) Fin de la boucle Pour Les points ci-contre font partie de la courbe qui représente la fonction f définie par f(x) = 5 x. Écrire l algorithme qui place ces points de Mathématiques TDM

3 Chapitre 3 Variations d une fonction I EXERCICES page I- Sens de variation d une fonction 1. Tracer dans le repère ci-contre la représentation graphique d une fonction f qui soit : croissante sur l intervalle [0 ; ] décroissante sur l intervalle [ ; 10]. (a) Comment décririez-vous une fonction croissante sur un intervalle à quelqu un qui ne sait pas ce que c est? (b) Même question pour une fonction décroissante sur un intervalle Objectif : décrire, avec un vocabulaire adapté, le comportement d une fonction définie par une courbe. L unité du repère ci-contre est un carreau. La courbe ci-contre représente graphiquement une fonction f définie sur l intervalle [ ; 1]. Décrire les variations de cette fonction Tableau de variations 8 Objectif : décrire, avec un tableau de variations, le comportement d une fonction définie par une courbe. Exemple : le tableau de variations de la fonction f de l exercice 7 se trouve à droite. x 7 1 f(x) 3 Consignes : 1. dresser les tableaux de variations des deux fonctions g et h représentées ci-dessous (l unité des deux repères est un carreau) ;. décrire les variations de ces fonctions par des phrases. de Mathématiques TDM

4 Chapitre 3 Variations d une fonction I EXERCICES page I-3 C g C h 8 9 Objectif : dessiner une représentation graphique compatible avec un tableau de variations. Une fonction f est définie sur l intervalle [ 3 ; 8] et son tableau de variations se trouve à droite. Tracer deux repères et dessiner deux représentations graphiques possibles de la fonction f. Ü ½ ܵ 10 Minimum et maximum Voici un tableau de valeurs d une fonction f définie sur l intervalle [0 ; 7]. x f(x) Le maximum d une fonction f est la plus grande valeur prise par f(x). (a) Quel est le maximum de la fonction f du tableau ci-dessus? (b) Ce maximum correspond à quelle valeur de x?. Le minimum d une fonction f est la plus petite valeur prise par f(x). (a) Quel est le minimum de la fonction f du tableau ci-dessus? (b) Ce minimum correspond à quelle valeur de x? 3. (a) Quel est le nombre a tel que pour tout nombre x de l intervalle [0 ; 7], f(x) a? (b) Quel est le nombre b tel que pour tout nombre x de l intervalle [0 ; 7], f(x) b? 1. Dans l exercice 7 (a) quel est le maximum de la fonction f sur l intervalle [ ; 1]? pour quelle valeur de x ce maximum est-il atteint? (b) quel est le minimum de la fonction f sur l intervalle [ ; 1]? pour quelle valeur de x ce minimum est-il atteint?. Mêmes questions pour les deux fonctions de l exercice de Mathématiques TDM

5 Chapitre 3 Variations d une fonction I EXERCICES page I- 1 La fonction f est définie sur l intervalle [ 3 ; 8] par f(x) = 3x 1x Faire tracer la courbe représentative sur l écran de la calculatrice.. Dresser le tableau de variation de la fonction f sur l intervalle [ 3 ; 8]. Écrire des valeurs au centième près. 3. Quel est le minimum de la fonction f sur l intervalle [ 3 ; 8]?. Pour quelle valeur de x est-il atteint? La fonction f est définie sur l intervalle [0 ; 8] par f(x) = 7x + 0x 1 1. Faire tracer la courbe représentative sur l écran de la calculatrice.. Dresser le tableau de variation de la fonction f sur l intervalle [0 ; 8]. Écrire des valeurs au centième près. 3. Quel est le maximum de la fonction f sur l intervalle [0 ; 8]?. Pour quelle valeur de x est-il atteint? On donne le tableau de variations suivant d une fonction f. Ü ¾ ܵ ¼ ¾ ½ Tracer un repère et dessiner une représentation graphique possible de la fonction f.. Décrire les variations de f par des phrases. 3. Donner le maximum de f sur l intervalle [ ; ] en précisant la valeur de x où il est atteint.. Donner le minimum de f sur l intervalle [ ; ] en précisant la valeur de x où il est atteint. Comparer les images de deux nombres Objectif : lorsque le sens de variation est donné, par une phrase, comparer les images de deux nombres d un intervalle. On donne les informations ci-dessous sur une fonction f définie sur l intervalle [0 ; 13]. Sur l intervalle [0 ; ], la fonction f est srictement décroissante ; sur l intervalle [ ; 13], la fonction f est srictement croissante. 1. Comparer f(1) et f(3). Comparer f(11) et f(1) Indication : avant de répondre, il vaut mieux tracer une représentation graphique possible de f ; compléter le dessin en représentant les nombres 1, 3, 11, 1 et en représentant leurs images. de Mathématiques TDM

6 Chapitre 3 Variations d une fonction I EXERCICES page I-5 1 L unité des repères ci-dessous est un carreau. Les courbes ci-dessous représentent graphiquement deux fonctions f et g. Compléter ci-dessous avec les mots croissante ou décroissante et avec les signes > ou <, et tracer des traits dans les deux repères ci-dessous. 1. (a) La fonction f est sur l intervalle [... ;...]. (b) et f(1)... f(3) (c) et f(7)... f(5). (a) La fonction g est sur l intervalle [... ;...]. (b)... 1 et g()... g( 1) (c)... et g()... g() C f C g Nombres dont l image est supérieure ou inférieure à une image donnée. On considère à nouveau les fonctions f et g de l exercice 1. C f C g Les questions (a) (b) (c) (d) ci-dessous concernent la fonction f et sa représentation graphique dans le repère ci-dessus à gauche. (a) D après la représentation graphique de la fonction f, quelle est l image de 8 par f? Tracer des traits dans le repère. (b) Citer trois nombres dont les images par f sont inférieures à f(8). Tracer des traits dans le repère. (c) Quel est l ensemble des nombres dont les images par f sont inférieures à f(8)? (d) La question précédente revient à demander de résoudre graphiquement une inéquation. Donner cette inéquation.. Quel est l ensemble des nombres dont les images par g sont supérieures à g(1)? Tracer des traits dans l autre repère. de Mathématiques TDM

7 Chapitre 3 Variations d une fonction I EXERCICES page I Soit une fonction f croissante sur l intervalle [-3 ; 7]. Quel est l ensemble des nombres dont les images par f sont supérieures à f()? Conseil : pour répondre à cette question il vaut mieux d abord tracer une représentation graphique possible de cette fonction f.. On donne ci-dessous le tableau de variations d une fonction g x g(x) 5 Quel est l ensemble des nombres dont les images par g sont inférieures à g(1)? (même conseil qu au 1.) de Mathématiques TDM

8 Chapitre 3 Variations d une fonction II COURS page II-1 II Cours 1 Algorithmique, tracé d une courbe point par point Un commentaire dans le programme indique ceci : même si les logiciels traceurs de courbes permettent d obtenir rapidement la représentation graphique d une fonction définie par une formule algébrique, il est intéressant, notamment pour les fonctions définies par morceaux, de faire écrire aux élèves un algorithme de tracé de courbe. Exemple : tracé point par point de la courbe représentative de la fonction définie par f(x) = x sur l intervalle [ 3 ; 5] Algorithme Pour des valeurs de x allant de 3 à 5 de 1 en 1. y prend la valeur x Placer le point de coordonnées (x ; y) Fin de la boucle Pour Algorithme dans AlgoBox 1 VARIABLES X EST_DU_TYPE NOMBRE 3 Y EST_DU_TYPE NOMBRE DEBUT_ALGORITHME 5 POUR X ALLANT_DE 0 A 10 DEBUT_POUR 7 Y PREND_LA_VALEUR X*X 8 TRACER_POINT (X,Y) 9 FIN_POUR 10 FIN_ALGORITHME Programme sur TI 8 PROGRAM:COURBEPP :For(X,-3,5,1) :X Y :Pt-On(X,Y) :End de Mathématiques TDM

9 Chapitre 3 Variations d une fonction II COURS page II- Sens de variations d une fonction a Vocabulaire et description Vocabulaire Le mot croissant vient du verbe croître qui veut dire augmenter. Le mot croissant veut donc dire qui augmente, et le mot décroissant veut donc dire qui diminue. Description intuitive Dire qu une fonction est croissante sur un intervalle [a ; b] signifie que, dans l intervalle [a ; b], lorsque x augmente, f(x) augmente. Sur l intervalle [a ; b], si on parcourt la courbe représentative avec la pointe d un crayon de la gauche vers la droite, la pointe du crayon monte. Dire qu une fonction est décroissante sur un intervalle [a ; b] signifie que, dans l intervalle [a ; b], lorsque x augmente, f(x) diminue. Sur l intervalle [a ; b], si on parcourt la courbe représentative avec la pointe d un crayon de la gauche vers la droite, la pointe du crayon descend. Remarque : la description n est pas une véritable définition mathématiques. Celle-ci sera donnée ultérieurement dans l année. b Exercice corrigé n 1 : décrire les variations d une fonction Cet exercice illustre un objectif du programme qui est de décrire, avec un vocabulaire adapté, le comportement d une fonction définie par une courbe. Énoncé : l unité du repère ci-dessous est un carreau. La courbe ci-dessous représente graphiquement une fonction f définie sur l intervalle [ ; 1]. Décrire le comportement de cette fonction Corrigé D après la courbe de la fonction f, on peut dire que : L image de est 3 ; l image de 7 est ; l image de 1 est ; la fonction f est croissante sur l intervalle [ ; 7] ; la fonction f est décroissante sur l intervalle [7 ; 1]. de Mathématiques TDM

10 Chapitre 3 Variations d une fonction II COURS page II-3 3 Tableau de variations Exemple 1 : le tableau de variations de la fonction f de l exercice corrigé n 1 se trouve ci-dessous. Ü ¾ ½ ܵ L exemple 1 ci-dessus illustre un objectif du programme qui est Décrire, avec un tableau de variations, le comportement d une fonction définie par une courbe. Exemple : Une fonction f est définie sur l intervalle [ 3 ; 8] et son tableau de variations se trouve ci-dessous. Dessiner une représentation graphique compatible avec ce tableau de variations. Ü Üµ ½ Réponse On peut avoir comme représentation graphique ou 8 8 L exemple ci-dessus illustre un objectif du programme qui est dessiner une représentation graphique compatible avec un tableau de variations. Minimum et maximum Définitions Le maximum M d une fonction f sur un intervalle est la plus grande valeur prise par f(x) lorsque x parcourt cet intervalle. On a alors, pour tout nombre réel x de cet intervalle, f(x) M Le minimum m d une fonction f sur un intervalle est la plus petite valeur prise par f(x) lorsque x parcourt cet intervalle. On a alors, pour tout nombre réel x de cet intervalle, f(x) m Exemple La fonction f de l exercice corrigé n 1 admet un maximum en 7 sur l intervalle [ ; 1], en effet : pour tout nombre x de l intervalle [ ; 1], f(x) de Mathématiques TDM

11 Chapitre 3 Variations d une fonction II COURS page II- 5 Comparer des images : exercice corrigé n. Cet exercice illustre un objectif du programme qui est lorsque le sens de variation est donné, par une phrase, comparer les images de deux nombres d un intervalle. Énoncé : on donne les informations ci-dessous sur une fonction f définie sur l intervalle [0 ; 13]. Sur l intervalle [0 ; ], la fonction f est srictement décroissante ; sur l intervalle [ ; 13], la fonction f est srictement croissante. 1. Comparer f(1) et f(3). Comparer f(11) et f(1) Corrigé On peut avoir comme représentation graphique 10 8 ou Comparons f(1) et f(3) : Les nombres 1 et 3 sont dans l intervalle [0 ; ] et sur l intervalle [0 ; ], la fonction f est srictement décroissante. 1 < 3 donc f(1) > f(3). Comparons f(11) et f(1) : Les nombres 11 et 1 sont dans l intervalle [ ; 13] et sur l intervalle [ ; 13], la fonction f est srictement décroissante. 11 < 1 donc f(11) < f(1) Nombres dont l image est supérieure (ou inférieure) à une image donnée. Cet exemple illustre un objectif du programme qui est lorsque le sens de variation est donné, par une phrase ou un tableau de variations, déterminer tous les nombres dont l image est supérieure (ou inférieure) à une image donnée. Énoncé Une fonction f est définie sur l intervalle [0 ; 10] et son tableau de variations se trouve ci-dessous. Dans l intervalle [0 ; 10] quels sont les nombres x tels que f(x)? Ü ¼ ½¼ ܵ ½½ ¾ Réponse : dans l intervalle [0 ; 10] les nombres x tels que f(x) sont les nombres de l intervalle [0 ; 7]. de Mathématiques TDM