Théorème liant, sur un intervalle, le signe de la dérivée d une fonction au sens de variation de cette fonction. :Insuffisament maitrisée

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1 Fonction dérivée et étude des variations d une fonction Le programme L objectif de ce module est d étudier les variations de fonctions dérivables afin de résoudre des problèmes issus des sciences, du domaine professionnel ou de la vie courante. L utilisation des TIC est nécessaire. Capacités Connaissances Commentaires Utiliser les formules et les règles de dérivation pour déterminer la dérivée d une fonction. Étudier, sur un intervalle donné, les variations d une fonction à partir du calcul et de l étude du signe de sa dérivée. Dresser son tableau de variation. Déterminer un etremum d une fonction sur un intervalle donné à partir de son sens de variation. Fonction dérivée d une fonction dérivable sur un intervalle I. Fonctions dérivées des fonctions de référence a b (a et b réels),, 1, et. Notation f (). Dérivée du produit d une fonction par une constante, de la somme de deu fonctions. Théorème liant, sur un intervalle, le signe de la dérivée d une fonction au sens de variation de cette fonction. Étant donnée une fonction f dérivable sur un intervalle I, la fonction qui à tout nombre de I associe le nombre dérivé de la fonction f en est appelée fonction dérivée de la fonction f sur I et est notée f. Dans les énoncés de problèmes ou d eercices, les formules, admises, sont à choisir dans un formulaire spécifique donné en annee. Appliquer ces formules à des eemples ne nécessitant aucune virtuosité de calcul. Les formules sont progressivement mises en œuvre pour déterminer les dérivées de fonctions polnômes de degré inférieur ou égal à. Les théorèmes liant le sens de variation d une fonction et le signe de sa dérivée sont admis. Le tableau de variation est un outil d analse, de réfleion voire de preuve. Constater, à l aide de la fonction cube, que le seul fait que sa dérivée s annule ne suffit pas pour conclure qu une fonction possède un etremum. Autoévaluation Compétence : :Non maitrisée :Insuffisament maitrisée :Maitrisée :Bien maitrisée Activité 1 J ai su associer au grandeurs mathématiques, les grandeurs réelles Approprier : J ai su m eprimer en termes clairs et en utilisant correctement le vocabulaire des statistiques : Communiquer : J ai su m eprimer en termes clairs et en utilisant correctement le vocabulaire des fonctions : Communiquer : J ai su utiliser le tableau des fonctions dérivées : Approprier : J ai su utiliser les logiciels pour conjecturer : TICE : J ai su établir le lien entre la variation d une courbe et le signe de sa dérivée : Raisonner : J ai su être autonome et faire preuve d initiative : Activité J ai su identifier le tableau de signe correspondant au tracé d une fonction Approprier : J ai su réaliser correctement des tableau de variations Réaliser : J ai su m eprimer en termes clairs et en utilisant correctement le vocabulaire des fonctions dérivées : Communiquer : J ai su par raisonnement déterminer des tableau de variations : Raisonner : J ai su par raisonnement déterminer des etrema : Raisonner : J ai su utiliser ma calculatrice graphique pour conjecturer le signe d une dérivée : TICE : J ai su être autonome et faire preuve d initiative : Activité J ai su identifier le tableau de variations correspondant à une fonction Approprier : J ai su réaliser les calculs permettant de déterminer les variations d une fonction Réaliser : J ai su être autonome et faire preuve d initiative :

2 BINET 11 Terminale Mathématiques Page: Eercices CHAPITRE. FONCTIONS DÉRIVÉES Tous les eercices sont à faire à la fin des activités indiquées pour le cours suivant. Ils sont faits proprement sur vos feuilles ou votre cahier dans une partie eercice. Pour chaque eercice proposé, vous devez préciser à chaque étape de sa résolution la règle, la définition,... que vous utilisez en rapport avec ce qui a été vu dans le chapitre. Eercice. Activité 1 Réaliser Calculer les dérivées des fonctions suivantes : Sur l intervalle ] ; [ la fonction f() = 1 Sur l intervalle ]; [ la fonction g() = Sur l intervalle R la fonction h() = ( ) ( ) Sur l intervalle R { } la fonction i() = Sur l intervalle R {} la fonction j() = Eercice. Activité Réaliser TICE Déterminer graphiquement à la calculatrice ou à l ordinateur le signe de la dérivée des fonctions suivantes. En déduire les tableau de variations des fonctions. f() = sur l intervalle [ ; ], g() = 1 ( ) sur l intervalle [ ; ], h() = sur l intervalle [ ; ], f() = 1 sur l intervalle [ 1; ]. Eercice. Activité Réaliser Reprendre les fonctions de l eercice précédent et étudier le signe des dérivées par résolution algébrique.

3 BINET 11 Terminale Mathématiques Page: Cours I Fonctions dérivées des fonctions de référence 1 Fonction dérivée Définition 1 Chapitre Fonctions dérivées et étude des variations d une fonction Une fonction dérivée f dune fonction f permet de déterminer les etrema de cette fonction f. Fonctions de référence Propriété 1 Fonctions dérivées f des fonctions usuelles : Fonction f Fonction dérivée f f() = a b f () = a f() = f () = f() = 1 f () = 1 f() = f () = 1 f() = f () = g() = a f() g () = a f () h() = f() g() h () = f () g () Eemples : f() = donne f () = f() = donne f () = f() = donne f () = f() = donne f () = f() = donne f () = 1 g() = donne g () = 1 II Étude des variations d une fonction ATTENTION DANS LA SUITE DU COURS À NE PAS CONFONDRE LA FONCTION f ET SA DÉRIVÉE f 1 Tangente et variations Propriété Le coefficient directeur a de la tangente d équation = a b en un point est : positif (a > ) quand la fonction est croissante, nul (a = ) quand la fonction est à un etremum (minimum ou maimum), négatif (a < ) quand la fonction est décroissante. Propriété Le coefficient directeur de la tangente en un point correspond au nombre dérivée en ce point f () Fonction dérivée et variations Propriété La fonction dérivée f de la fonction f est : positive (f > ) quand la fonction f est croissante, nulle (f = ) quand la fonction f est à un etremum (minimum ou maimum), négative (f < ) quand la fonction f est décroissante. On étudiera donc le signe de la dérivée f pour savoir si la fonction f est croissante ou décroissante. La fonction f est positive quand sa représentation graphique est au dessus de l ae des abscisses et négative dans le cas contraire.

4 BINET 11 Terminale Mathématiques Page: CHAPITRE. FONCTIONS DÉRIVÉES III Étude du signe de la dérivée 1 Graphiquement Propriété La fonction f est positive quand sa représentation graphique est au dessus de l ae des abscisses et négative dans le cas contraire..... f() g() 1. h() On a vu en première : Signe d une équation du premier degré Pour résoudre une inéquation du premier degré du tpe a b > il faut connaître le propriété suivante : Propriété La multiplication ou la division d une inégalité par un nombre négatif change le sens de l inégalité. 1 Eemple : > deviendra > puis < ( ) soit < 1 et Signe d une équation du second degré Pour résoudre une inéquation du second degré du tpe a b c > il faut d abord à déterminer ses racines réelles. Pour cela, on peut calculer le discriminant : = b ac puis selon le signe de a et de on a si cas : Si > : 1 = b a > i Le signe de a bc a > j et = b a i a < i j signe de a j signe signe de opposé de a a Si = : une racine double 1 = b a a > = Le signe de a bc a < b a signe de signe de a a On retiendra le sens de la parabole selon la valeur de a et sa position selon la valeur de. Si < : pas de racines réelles. a > < Le signe de a bc a < signe de a

5 11 TPRO Activité 1 codez votre numéro d étudiant cicontre, et écrivez votre nom et prénom cidessous Nom et prénom : Aptitudes à mobiliser des connaissances et des compétences pour résoudre des problèmes Capacités liées à l utilisation des tic Approprier Rechercher, etraire et organiser l information utile, Questions 1 Scores à reporter ici Réaliser Choisir et eécuter une méthode de résolution. Raisonner Raisonner, argumenter, critiquer et valider un résultat. Communiquer Présenter, communiquer un résultat. TICE Epérimenter ou Simuler ou Émettre des conjectures ou Contrôler la vraisemblance de conjectures. Total La qualité de la rédaction et la précision des raisonnements influent sur la notation Les questions faisant apparaître le smbole peuvent présenter zéro, une ou plusieurs bonnes réponses. Les autres ont une unique bonne réponse. Monsieur B. doit remplir sa cuve de fioul de L avant l hiver mais il souhaite l acheter au plus bas pri, il sait qu Israël envisage d attaquer l Iran ce qui risque de créer une envolée du pri et que la prévision du pri du pétrole par les seuls éléments mathématiques est hasardeuse. Néanmoins une analse purement mathématique est tentée sur le cours terme. Il se rend sur http : et télécharge l évolution des pri dans sa région. Il obtient le nuage de points cidessous. Date Pri Date Pri 1 1 pri en euros pri en euros 1 1 date date L évolution des pri est telle qu un ajustement affine est sans intérêt puisqu il passe vraiment trop loin de chaque point et ne traduit pas l évolution réelle des pri comme le montre le tracé de droite. Il réalise alors un ajustement cubique et obtient : pri en euros date

6 1 ce qui correspond à la fonction : f() =,, 1, 1 Question 1 Approprier Indiquer dans cette représentation à quelle grandeur correspond f() et. f() correspond au pri du fioul correspond au pri du fioul f() correspond au dates correspond au dates f() correspond au pourcentage de fioul correspond au volume de fioul Question Approprier Monsieur B. souhaiterait désormais connaître à quelle date le pri a réellement été au minimum sur la période observée et le comparer à la valeur donnée par la courbe. En croisant les données du tableau et la représentation obtenue choisissez les bonnes réponses. observée : le 1, calculée : le observée : à calculée : à calculée : le 1 juin observée : du juin au juillet Question Monsieur B. constate que l interpolation de la courbe par une fonction de degré est assez bonne et donne d assez bons résultats. Il constate par ailleurs que d après la courbe le pri devrait baisser encore. Pour réaliser une prévision plus fine, il se dit qu un polnôme de degré est déjà bien mais souhaite paufiner ses calculs par un degré supérieur. Il réalise donc une interpolation de degré et obtient la fonction suivante : g() = et obtient : pri en euros date Communiquer Indiquer ce que l on peut dire de cette nouvelle interpolation :

7 1 Question Monsieur B. va désormais rechercher à quel moment il obtient des maima et des minima. Communiquer En vous aidant du concept de tangente vue l année dernière epliquer comment on peut trouver des etrema géométriquement. I Fonctions dérivées des fonctions de référence 1 Fonction dérivée Définition 1 COURS Chapitre Fonctions dérivées et étude des variations d une fonction Une fonction dérivée f dune fonction f permet de déterminer les etrema de cette fonction f. Fonctions de référence Propriété 1 Fonctions dérivées f des fonctions usuelles : Fonction f Fonction dérivée f f() = a b f () = a f() = f () = f() = 1 f () = 1 f() = f () = 1 f() = f () = g() = a f() g () = a f () h() = f() g() h () = f () g () Eemples : f() = donne f () = f() = donne f () = f() = donne f () = f() = donne f () = f() = donne f () = 1 g() = donne g () = 1 Question Approprier Donner la fonction dérivée de la fonction : f() =,, 1, 1 f () = f () =,, 1, f () =,, 1, 1 f () =.1..

8 1 Question IMPORTANT LA PARTIE SUIVANTE DOIT ÊTRE RÉALISÉE AVEC LE PLUS D AUTONOMIE POSSIBLE COMME EN SITUATION D EXAMEN. VOUS DEVEZ FAIRE PREUVE D AUTONOMIE ET D INITIATIVE. LE MODE OPÉRATOIRE SUIVANT EST LÀ UNIQUEMENT POUR VOUS FACILITER LA TÂCHE. TICE Dans géogébra ( ou ultérieur), vous allez faire tracer le nuage de points puis la courbe d interpolation et sa dérivée. Vous devez comparer le signe de la dérivée avec l évolution de la courbe d interpolation. Partie tableur, recopier les valeurs verticalement (vous numéroterez les valeurs de 1 à plutôt que de mettre les dates), sélectionner vos valeurs, cliquer sur l icône «statistiques à deu variables», vérifier que vous êtes en mode nuage de points, puis réaliser une interpolation polnomiale de degré. Par un clic droit sur la courbe copier votre courbe vers le graphique, déplacer si nécessaire votre courbe pour bien visualiser vos points et votre courbe d interpolation. Dans la fenêtre de saisie en vous aidant de l aide demander le calcul de la dérivée de votre fonction d interpolation. Réduire le zoom pour voir apparaître le tracé de la courbe et de sa dérivée. Appeler le professeur pour lui montrer vos courbes. Question Analser À partir du tracé des points, de la fonction d interpolation et de sa dérivée, indiquer la correspondance que l on peut établir entre les variations de la courbe et le signe de sa dérivée. N OUBLIEZ PAS DE COMPLÉTER L AUTOÉVALUATION

9 11 TPRO Activité codez votre numéro d étudiant cicontre, et écrivez votre nom et prénom cidessous Nom et prénom : Aptitudes à mobiliser des connaissances et des compétences pour résoudre des problèmes Capacités liées à l utilisation des tic Approprier Rechercher, etraire et organiser l information utile, Réaliser Choisir et eécuter une méthode de résolution. Raisonner Raisonner, argumenter, critiquer et valider un résultat. Communiquer Présenter, communiquer un résultat. TICE Epérimenter ou Simuler ou Émettre des conjectures ou Contrôler la vraisemblance de conjectures. Questions 1 Total Scores à reporter ici La qualité de la rédaction et la précision des raisonnements influent sur la notation Les questions faisant apparaître le smbole peuvent présenter zéro, une ou plusieurs bonnes réponses. Les autres ont une unique bonne réponse. II Étude des variations d une fonction COURS ATTENTION DANS LA SUITE DU COURS À NE PAS CONFONDRE LA FONCTION f ET SA DÉRIVÉE f 1 Tangente et variations Propriété Le coefficient directeur a de la tangente d équation = a b en un point est : positif (a > ) quand la fonction est croissante, nul (a = ) quand la fonction est à un etremum (minimum ou maimum), négatif (a < ) quand la fonction est décroissante. Propriété Le coefficient directeur de la tangente en un point correspond au nombre dérivée en ce point f () Fonction dérivée et variations Propriété La fonction dérivée f de la fonction f est : positive (f > ) quand la fonction f est croissante, nulle (f = ) quand la fonction f est à un etremum (minimum ou maimum), négative (f < ) quand la fonction f est décroissante. On étudiera donc le signe de la dérivée f pour savoir si la fonction f est croissante ou décroissante. La fonction f est positive quand sa représentation graphique est au dessus de l ae des abscisses et négative dans le cas contraire.

10 1 Question 1 Approprier Indiquer le tableau de signe des trois fonctions f(),g(),h() suivantes : g() g() h() g().. 1. f() f() g().. h() f() h(). 1. f() h() 1... Tableau de variations Définition Eemples : COURS Un tableau de varitions est un tableau retraçant grace au signe de sa dérivée, les variations d une fonction. f () = 1 f() = 1.. g () = g() = h () = 1 h() =

11 1 Question Réaliser Réaliser PROPREMENT le tableau de variations des trois fonctions de la question 1. Question Raisonner Epliquer pourquoi dans le cours on a mis une double barre pour = dans le tableau de la fonction f() = Question Communiquer Epliquer de manière détaillée, comment on procède pour établir les variations d une fonction. Epliquer comment on détermine les valeurs correspondant à ses maima ou minima, à partir des calculs. Epliquer par ailleurs comment par la lecture du tableau on peut voir s il s agit d un minimum ou d un maimum

12 1 Question Raisonner TICE À l aide de votre calculatrice, qui vous servira pour tracer la fonction (ou sa dérivée). Établir le tableau de variations de la fonction f) =, 1 sur l intervalle [1 ;]. Vous détaillerez au maimum tout ce qui permet d établir le tableau de variations. Question Raisonner Tracer le tableau de variations de la fonction donnant le pri du fioul en fonction de la date et déterminer précisement les dates où des pri minima et maima ont été atteint. Vous ne conclurez pas trop vite sans avoir préalablement relu les valeurs du tableau : Date Pri Date Pri 1 1 et la fonction : f() =,, 1, 1 N OUBLIEZ PAS DE COMPLÉTER L AUTOÉVALUATION

13 11 TPRO Activité codez votre numéro d étudiant cicontre, et écrivez votre nom et prénom cidessous Nom et prénom : Aptitudes à mobiliser des connaissances et des compétences pour résoudre des problèmes Capacités liées à l utilisation des tic Approprier Rechercher, etraire et organiser l information utile, Réaliser Choisir et eécuter une méthode de résolution. Questions Scores à reporter ici 1 Raisonner Raisonner, argumenter, critiquer et valider un résultat. Communiquer Présenter, communiquer un résultat. TICE Epérimenter ou Simuler ou Émettre des conjectures ou Contrôler la vraisemblance de conjectures. Total La qualité de la rédaction et la précision des raisonnements influent sur la notation Les questions faisant apparaître le smbole peuvent présenter zéro, une ou plusieurs bonnes réponses. Les autres ont une unique bonne réponse. On a vu dans l activité précédente que l on pouvait déterminer graphiquement le signe de la dérivée. III Étude du signe de la dérivée 1 Graphiquement Propriété COURS La fonction f est positive quand sa représentation graphique est au dessus de l ae des abscisses et négative dans le cas contraire..... f() g() h() 1. Question 1 Réaliser Résoudre l inéquation > > > < > < > =

14 1 COURS On a vu en première : Signe d une équation du premier degré Pour résoudre une inéquation du premier degré du tpe a b > il faut connaître le propriété suivante : Propriété La multiplication ou la division d une inégalité par un nombre négatif change le sens de l inégalité. 1 Eemple : > deviendra > puis < ( ) soit < 1 et Signe d une équation du second degré Pour résoudre une inéquation du second degré du tpe a b c > il faut d abord à déterminer ses racines réelles. Pour cela, on peut calculer le discriminant : = b ac puis selon le signe de a et de on a si cas : Si > : 1 = b a i a > j et = b a i a < j Si = : une racine double 1 = b a a > b i j a > signe de signe Le signe de a bc a opposé de a signe de = signe de signe de Le signe de a a bc a a On retiendra le sens de la parabole selon la valeur de a et sa position selon la valeur de. a < Si < : pas de racines réelles. a > < Le signe de a bc a < Question Réaliser Étudier le signe de la dérivée de la fonction f() = 1 sur l intervalle [ ; ] Question Approprier Choisir le tableau de variations correspondant. signe de a f () f() f () f() f () f() f () f() f () f() f () f()

15 1 Question Réaliser Étudier le signe de la dérivée de la fonction g() = 1 sur l intervalle [ 1; 1] Question Approprier Choisir le tableau de variations correspondant. g () g() 11 f () f() g () g() 11 g () g() 11 1 f () f() g () g() 11 1 g () g() 11 g () g() 11 1 f () f() Pour les plus rapides : Établir sur l intervalle R { }, le tableau de variations de la fonction i() = N OUBLIEZ PAS DE COMPLÉTER L AUTOÉVALUATION