La multiplication. Définition Le produit est le résultat d'une multiplication. Les nombres que l'on multiplie sont appelés les facteurs.

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1 La multiplication I. Vocabulaire Définition Le produit est le résultat d'une multiplication. Les nombres que l'on multiplie sont appelés les facteurs. S'exprimer 10 5,2=52 peut se traduire ainsi : «52 est la produit de 10 par 5,2 ; les facteurs sont 10 et 5,2». 11 6=66 peut se traduire ainsi : «66 est la produit de 11 par 6 ; les facteurs sont 11 et 6». Il n'est pas inutile de rappeler l'importance de savoir et revoir ses tables de multiplication. Propriété fondamentale des multiplications Dans un produit, changer l'ordre des facteurs ne change pas le résultat. 1 ère a pplication Il n'est pas nécessaire d'apprendre tous les résultats des tables de multiplication. En effet, le produit 3 9=27 que l'on trouve dans la table de trois, se retrouve sous la forme 9 3=27 dans la table de 9. Voici la table contenant les résultats à connaître Autres tables de multiplication à connaître La table de 12 correspond en fait à la conversion des années en mois (ou inversement). En effet, un bébé de 3 ans a en fait 36 mois. Mais il y a aussi la journée qui contient deux fois 12 heures. Elle est à bien connaître jusqu'à 12 5=60. La table de 15 s'illustre bien lorsqu'on pense aux quarts d'heure : trois quarts d'heure correspond à quarante-cinq minutes. Elle est à connaître jusqu'à 15 6=90 La table de 25 qui fait penser au centimes : 1 c'est quatre fois 25 centimes. Elle se retient très facilement. La table de 60 qui fait penser aux mesures de temps : 60 secondes correspond à 1 minute ; 60 minutes correspond à 1 heure. Cette table ne s'apprend pas puisqu'à peu de choses près, c'est la table de 6!

2 12 Χ 1 = Χ 2 = Χ 3 = Χ 4 = Χ 5 = Χ 6 = Χ 7 = Χ 8 = Χ 9 = Χ 10 = Χ 11 = Χ 12 = Χ 1 = Χ 2 = Χ 3 = Χ 4 = Χ 5 = Χ 6 = Χ 7 = Χ 8 = Χ 9 = Χ 10 = Χ 11 = Χ 12 = Χ 1 = Χ 2 = Χ 3 = Χ 4 = Χ 5 = Χ 6 = Χ 7 = Χ 8 = Χ 9 = Χ 10 = Χ 11 = Χ 12 = Χ 1 = Χ 2 = Χ 3 = Χ 4 = Χ 5 = Χ 6 = Χ 7 = Χ 8 = Χ 9 = Χ 10 = Χ 11 = Χ 12 = ère a pplication Cet exemple est à comprendre et surtout à savoir refaire. L'idée est de regrouper les facteurs qui se calculent facilement de tête. Ainsi, de proche en proche, on arrive au résultat. A= Les facteurs 25 et 4 sont à regrouper car 4 25=100. A= Dans cette étape, on regroupe les facteurs en question. A= On effectue le(s) calcul(s) facilement faisable(s). A= On obtient un résultat calculé de tête. II. Multiplication posée 1/ Rappel : avec des entiers Posons la multiplication de 683 par Méthode On peut aligner verticalement les chiffres de la même valeur : chiffre des unités sous le chiffre des unités, chiffre des dizaines sous le chiffre des dizaines... A chaque nouvelle ligne, on se décale

3 2/ Avec des nombres décimaux L'objectif est de poser la multiplication de 7,85 par 9,5. 1 ère étape Dans un premier temps, on pose la multiplication sans se préocuper des virgules ère ère étape Maintenant, il faut tenir compte des virgules. Comment la placer dans le résultats? Méthode 1 : puisque 7,85 est proche de 8, et que 9,5 est proche de 9 ; on sait que le résultat est proche de 8 9=72. Il n'y donc qu'une seule possibilité pour placer la virgule dans le résultat et obtenir un résultat proche de 72 ; c'est 74,575. La virgule est située entre le chiffre 4 et le chiffre 5. Donc 7,85 9,5=74,575. Méthode 2 : puisque 7,85 est cent fois plus petit que 785 et que 9,5 est dix fois plus petit que 95, alors le résultat doit être mille fois plus petit que C'est donc 74,575. On remarque que le nombre de chiffres dans les parties décimales de 7, 85 2 chiffres et 9, 5 1 chiffre est le même que dans le résultat 74, chiffres. On en déduit la propriété suivante... 7, 8 5 9, , Propriété fondamentale Dans un produit de nombres décimaux, le nombre de chiffres qu'on trouve dans les parties décimales des facteurs est égal au nombre de chiffres qu'il y a la partie décimale du résultat. Application Comment utiliser le résultat précédent pour trouver directement les produits suivants et sans rien poser? 78,5 9,5=? ; 7,85 0,95=? On remarque d'abord que les chiffres sont les mêmes que dans = Ensuite, il suffit de compter les chiffres dans les parties décimales : 78,5 1 9, 5 1 5=745,75 2.

4 Point de calcul mental Il peut être utile de connaître les résultats suivants : 125 4=500 et 125 8=1000. Cela permet de calculer les produits suivants : 12,5 0,4=5,00=5 ; 1,25 8=10,00=10 ; 2,5 4=10. De même, on essaiera de comprendre ces calculs 2,5 0,4=1 ; 1,5 0,6=0,9. III. Multiplication par un multiple de dix Les multiples de dix sont 10, 100, 1000, Activité L'objectif est de calculer de tête un produit du genre 13, On peut interpréter ce résultat en ce disant qu'on cherche le nombre qui est cent fois plus grand que 13,574. Pour rendre un nombre cent fois plus grand, il faut le rendre dix fois plus grand puis encore dix fois plus grand. Mais comment fait-on pour rendre un nombre dix fois plus grand? Voilà comment rendre dix fois plus grand le nombre 13,574. Le chiffre 1 est le chiffre des dizaine, il devient donc le chiffre des centaines ; le chiffre 3 est le chiffre des unités, il devient donc le chiffre des dizaines ; le chiffre des dixièmes 5 devient le chiffre des unités ; le chiffre des centaines 7 devient le chiffre des dizaines ; et enfin le chiffre des millièmes 4 devient celui des centièmes. On obtient donc 135,74. Pour rendre ce nombre encore dix fois plus, de le même façon, on obtient 1357,4. D'où le résultat 13, =1357,4. Mais que remarque-t-on? C'est que la virgule s'est décalée de deux chiffres vers la droite : autant de zéros qu'il y a dans le nombre 100! En généralisant, on obtient des résultats du genre : 7, =7123,5 et 854,12 10=7541,2. Et aussi 7,5 1000=7500! Dans ce dernier exemple, il faut compléter par des zéros. On peut aussi utiliser la propriété fondamentale car si = , alors on a 13, =1357,1 00=1357,1 en comptant le nombre de chiffres dans les parties décimales. De même, on a 9, =9760,00=9760. Propriété Pour multiplier un nombre décimal par 10, 100 ou 1000 ; il suffit de décaler la virgule de 1, 2 ou 3 chiffres vers la droite, en complétant au besoin par des zéros. Exemples 9510,9 10 = , = 991,222 78, = 7875,74 5, = 52, , = 4496,08 Application Le calcul qui va suivre utilise la propriété fondamentale du début de chapitre, la table de 25 et la propriété vue juste au dessus. A=25 3,789 4 A= ,789 A=100 3,789 A=378,9

5 IV. Multiplication par 0,1 ; 0,01 ; 0, Rappel Écriture en toutes lettres un dixième 0,1 Écriture décimale un centième 0,01 un millième 0,001 un dix-millième 0,0001 un cent-millième 0,00001 un millionième 0, Le principe est presque le même. Le produit 42 0,1 se dit «42 fois un dixième» ou encore «42 dixièmes». Mais 42 dixième s'écrit 4,2, d'où 42 0,1=4,2. On se doute bien que si à la place de 42 on avait 42,7, on obtiendrait 42,7 0,1=4,27. Ici, la virgule se décale vers la gauche! On admettra donc la propriété suivante... Propriété Pour multiplier un nombre décimal par 0,1, 0,01 ou 0,001 ; il suffit de décaler la virgule de 1, 2 ou 3 chiffres vers la gauche, en complétant au besoin par des zéros. Exemples 816,907 0,001 = 0, ,687 0,01 = 9, , ,1 = 0, ,3 0,0001 = 8, ,17 0,001 = 1,22017 V. Conversions Rappels Tableau des conversions km hm dam m dm cm mm Méthode Pour convertir d'une «unité à droite vers une unité à gauche», il faut multiplier par 10, 100, Par exemple : 2,5 km=25 hm ; 5,46 dam=5460 cm. Pour convertir d'une «unité à gauche vers une unité à droite», il faut diviser par 10, 100, Par exemple : 574,4 mm=0,5744 m ; 7 dm=0,07 dam.

6 VI. Ordre de grandeur Explication Un ordre de grandeur d'un produit est une valeur approchée du résultat. Il se calcule de tête en prenant des nombres proches de ceux donnés dans le calcul ou le problème. Par exemple, si je veux acheter 15 stylos à 0,90 alors que je n'ai qu'un billet de 10, cela semble assez difficile. Sans faire de calcul, on pressent que le prix sera un peu inférieur à 15 tout en étant supérieur à 10. L'intérêt est de pouvoir contrôler la vraisemblance du résultat ou d'anticiper un résultat. On parle alors d'un résultat cohérent. Exemple (à finir) Il y a autant d'ordres de grandeur que de personnes qui décident d'en chercher! (à finir) Méthode pour trouver un ordre de grandeur Méthode pour trouver un ordre de grandeur On cherche une valeur approchée de chacun des facteurs (en général un nombre entier ou un multiple de 10, 100 ou 1000 ). Ces valeurs approchées doivent permettre de faire des calculs de tête. On calcule de tête le produit de ces valeurs approchées.