DIE FILES DÜRFEN NUR FÜR DEN EIGENEN GEBRAUCH BENUTZT WERDEN. DAS COPYRIGHT LIEGT BEIM JEWEILIGEN AUTOR.

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2 Introduction à la théorie des nombres 1 Notion de base Définition : On étudie les propriétés des nombres entiers : 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4 nombres naturels nombres entires Division : d est un diviseur de n s il existe un k tel que : n = k d Notation : d n ou veut dire «divise» (d divise n). Exemple : parce que 6 = ( 2) ( 3) 5 6 Nombres premiers : Un nombre p > 1 est un nombre premier si seulement ± 1 et ± p sont des diviseurs. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, Y a-t-il une infinité de nombres premiers? Euclide dit : OUI! Raison : Supposons qu il y ait seulement un nombre fini de nombre premiers : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,, P (P plus grand nombre premier) On forme un nombre : N = P + 1 Fait : Chaque nombre possède au moins un diviseur premier. Exemple : 36 = 6 6 = et 3 premier Soit Q un diviseur premier de N : Q N ( P) Q premier Q 2 : N impair Q 3 : 3 N 1 alors 3 N Q 5 : 4 N 1 alors 5 N Q = P : P N 1 alors P N contradiction!! - 1 -

3 Définition : Soit = nombre de nombres premiers. Exemple : Devoir : Programmer en MATLAB la fonction en utilisant «isprime()». 2 Théorème des nombres premiers (1896 par Hadamard et De la Vallée-Poussin) Définition : au sens Devoir : «Vérifier» à l aide de MATLAB. Question : Combien de nombre premiers avec 100 décimales y a-t-il environ? Densité : (chaque 200 ème est un nombre premier) Donc la probabilité qu un nombre avec 100 décimales est premier est de : Devoir : 1) Estimer la densité des nombres premiers avec 200 décimales : Densité : (chaque 460 ème est un nombre premier) 2) Soit m un nombre naturel. Montrer : Il existe une suite de m nombres naturels consécutives n, n+1, n+2,, n+(m-1) qui ne contient aucun nombre premiers. p.ex. : distance entre 2 nombres premiers - 2 -

4 3 Problèmes ouverts 1) Conjecture de Goldbach Goldbach a écrit dans une lettre à Gauss : «Tout nombre pair (>2) est la somme de deux nombres premiers.» (pas unique) 2) Jumeaux premiers On dit que deux nombres premiers sont des jumeaux si leur différence est 2. Question ouverte : Y a-t-il une infinité? On sait : (Leibniz) (Euler) «Le dernier théorème de Fermat» Un problème enfin résolu : polynôme : solutions entières : «triples de Pythagore» polynôme : Euler a montré que ce polynôme n admet pas de solution entières positives. Conjecture de Fermat : Soit. Alors le polynôme n a pas de solutions x,y,z entières positions démonstration par A. Wiles - 3 -

5 Euler a observé : La formule suivante retourne un nombre premier : Lucky number de Euler : Soit Quel est le m, tel que est premier pour tout? m = 79 p est un «lucky number de Euler» si : est premier pour tout Remarque : Un exemple : Devoir : Trouver tous les «lucky numbers» Réponse : 3, 5, 11, 17, 41 Nombre Mersenne : de Un nombre premier de Mersenne est un nombre de la forme Le plus grand nombre connu aujourd hui est : (nombre à 6'320'429 chiffres) Théorème : Si un nombre de la forme donc est premier, alors et est premier. Exemple : pas premier p. q. pas premier p. q. pas premier Démonstration : soustraction des deux lignes - 4 -

6 Supposons que Si, N n est pas premier Si N est premier, alors. (p.ex. est divisible par ) Supposons que n est pas premier : Soit N n est pas premier Si N est premier premier 3.1 Nombre parfait Définition : Un nombre n est parfait, si la somme de tous ses diviseurs est égale à 2n. 8 pas parfait Théorème : (Euler) a) Soit un nombre premier (Mersenne), alors est parfait. b) Si N est parfait et paire, alors N est de la forme où P est un nombre de Mersenne - 5 -

7 4 Théorème fondamental de l arithmétique Introduction : Tout nombre naturel peut uniquement être factorisé comme produit de nombres premiers. Exemples : Application : est irrationnelle Supposons le contraire : On peut supposer que paires. est réduit, en particulier m et n ne sont pas tous les deux pair 2 divise pair pair pair Devoir : Montrer que n est pas rationnel

8 5 Algorithme d Euclide Définition : Soit a et b deux nombres naturels. Le plus grand nombre d qui divise a et b est appelé le plus grand diviseur commun : GGT( ) Exemple : factoriser : Algorithme : Pour calculer (a, b) on utilise l algorithme d Euclide qui évite la factorisation : Si a & b sont des nombres avec 100 décimales, quelle est le nombre maximale de récursions de cet algorithme :, Les nombres sen rouge représentent les nombres Fibonacci. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, on reconnaît la suite de Fibonacci. Théorème de Lamé : Soient et. Alors le nombre de récursions de l algorithme d Euclide pour calculer (a, b) est plus petit que. Formule de Binet : donc est le nombre d or où (nombre d or) - 7 -

9 Supposons que Le nombre de récursion est plus petit où égale à. Supposons que b est un nombre de 100 décimales. (101 décimales) - 8 -

10 6 Congruence Définition : On dit que deux nombres a & b sont congruent modulo n si On écrit : Exemple : Si on a un nombre a, on trouve toujours un nombre tel que : Exemple :, Propriétés : 1. Si et, alors 2. Si et, alors et Exemple : Anneau de contient : (Restklassenring) avec addition et multiplication mod n

11 Exemple : table d addition de table de multiplication de table de multiplication de On constate les propriétés suivantes : Propriétés : (addition) 3. (associativité) 4. (commutativité) 5. il existe un «élément neutre» 0 tel que 6. Pour tout élément il existe (élément réciproque) tel que Un groupe qui suit ces 4 propriétés, on dit que ( abélien., pour l addition) est un groupe Propriétés : (multiplication) Considérons (, pour la multiplication) 7. (associativité) 8. (commutativité) 9. il existe un «élément neutre» 1 tel que 10. Pour tout élément il existe (élément réciproque) tel que on écrit Un groupe qui suit ces 4 propriétés, on dit que (, pour la multiplication) est un groupe abélien. Ceci est seulement vrai, si est un nombre premier

12 Démonstration : (, pour la multiplication) est un groupe abélien is et seulement si p est premier. Supposons que p n est pas premier, alors Mais. Considérons Application : (Neunerprobe) Quersumme der (Quersumme a mal Quersumme b) = Quersumme c!! Devoir : Trouver un test similaire pour Un nombre est congruent mod 9 à sa «Quersumme». Donc un nombre est divisible par 9 si et seulement si sa «Quersumme» est égale à 9. Décider sans calculatrice si : a) 11 49'016'437'701'679' b) 7 37'

13 7 Résolution des équations Théorème : (Bézout) Si, alors il existe tel que. Exemple : Soient,, Soient,, pas de solution On aimerait résoudre l équation. En général :.. Question : Comment résoudre l équation de Bézout? Algorithme d Euclide :,

14 8 Algorithme de Euclide augmenté On veut résoudre l équation de Bézout où 1) Algorithme d Euclide : 2) autre variante : Exemple : Résoudre : Application : (mettre la plus grande variable en 1 ère posotion), Devoir :

15 Exemple : Résoudre L inverse : est le nombre tel que Définition : L inverse de a mod n est le nombre tel que Comment résoudre o Trouver o Ex. : combien vaux? Comment trouver A l aide de l algo d Euclide augmenté trouver x, y tel que : Reprenons. A l aide d Euclide on trouve (devoir) :

16 Comment calculer quand b est grand? Calculer : Complexité : de cette algorithme : - nombre de multiplications :

17 8.1 Théorème (petit) de Fermat Pierre Fermat ( ) Soit a un nombre premier et un nombre qui n est pas un multiple de, alors : Exemple :, Si n est pas premier, p. ex., Que faire si n est pas premier? 8.2 Fonction d Euler Exemple : = nombre de nombres < n qui n ont pas de diviseur commun avec Si est premier Euler a trouvé la formule : Théorème : Soit a et n deux nombres tel que, alors : Exemple :,,,