Caractérisation expérimentale d un système linéaire invariant par translation dans le temps en électronique

Transcription

1 Caratérisation xpérimntal d un systèm linéair invariant par translation dans l tmps n éltroniqu BUP 899 p 4- D. 27. Par Thomas Gibaud t Alain Gibaud, 2 - Univrsité d Fribourg, départmnt d physiqu, hmin du musé 3, 7 Fribourg, Suiss, thomas.gibaud@unifr.h 2- Univrsité du Main, Faulté ds Sins, UMR 687 CNRS, 7285 L Mans dx 9 Résumé Nous présntons dans t artil un étud omparativ d thniqus d aratérisation d un Systèm Linéair Invariant par Translation du Tmps, SLITT, n éltroniqu. Cs thniqus, la méthod harmoniqu t la répons impulsionnll, sont justifiés t miss n pratiqu sur l xmpl simpl du filtr pass bas du prmir ordr. La msur st appréhndé au moyn du boîtir d aquisition SYSAM-SP5 ouplé au logiil Latis pro. Nous insistons n partiulir sur l hoix ds paramètrs d aquisition t nous dérivons ls qulqus ritèrs à vérifir afin d validr l diagramm d Bod du filtr obtnu par la méthod d la répons impulsionnll.. Introdution L objtif d t artil st d aratérisr xpérimntalmnt un Systèm Linéair t Invariant par Translation du Tmps (SLITT) n éltroniqu n utilisant un approh basé sur l traitmnt du signal. Pour la nous omparons la répons d'un systèm simpl, l iruit RC séri, à dux typs d signaux d'ntré : l signal harmoniqu t l signal impulsionnl. L iruit RC séri st typiqumnt un filtr pass bas du prmir ordr. Ct artil s déompos n 3 partis. La prmièr introduit l filtr pass bas. La sond présnt t justifi ls méthods d aratérisation xpérimntal du filtr pass bas. La drnièr parti présnt ls résultats. 2. Filtr pass bas du r ordr L filtr pass-bas qu nous allons étudir st un iruit RC séri dont l signal d sorti st msuré aux borns d la apaité (voir Fig. ). C'st un systèm linéair invariant par translation dans l tmps. Il st linéair ar si l'on doubl l signal d'ntré l signal d sorti st aussi doublé n aord av l prinip d suprposition. Il st invariant par translation dans l tmps ar si la répons à un signal (t) st s(t), sa répons au signal (t-t ) sra s(t-t ). Cs propriétés sont un onséqun d la linéarité t d la stabilité ds omposants l onstituant. R=5Ω C=.25μF (t) s(t) Fig. : Shéma du filtr pass bas du r ordr. Pour aratérisr systèm il faut pouvoir prédir la répons tmporll, s(t), ou fréquntill, S(f), onnaissant rsptivmnt l signal d ntré, (t) ou E(f). En d autrs trms, il onvint d'idntifir la fontion d transfrt, h(t) où sa transformé d Fourir H(f). Cs dux fontions sont égalmnt onnus sous l nom d répons impulsionnll t répons fréquntill du systèm. On démontr failmnt n traitmnt du signal qu, pour un SLITT, l signal d sorti s(t) st l produit d onvolution du signal d'ntré (t) par la répons impulisonnll h(t) d l'opératur qu l'on not s(t)=h(t)(t) ( l symbol

2 désign l produit d onvolution). Par appliation du théorèm d Planhrl, il s'nsuit immédiatmnt qu la répons fréquntill, S(f), du SLITT st égal au produit d H(f) par E(f). Notations : 2 jft X( f) TF xt ( ) xt ( ) dt j TF st () ht () t () S( f) H( f). E( f ) En notation omplx la fontion d transfrt, H, d un tl filtr s alul failmnt n ronnaissant dans l iruit un pont divisur d tnsion. On obtint la fontion h n résolvant l équation différntill du systèm ou n fftuant la transformé d Fourir invrs d H. L systèm RC st ainsi aratérisé par un répons impulsionnll h(t) t un répons fréquntill H(f) qui fait apparaîtr un fréqun d oupur f donné par H( f ), av f 27Hz jf / f 2 RC H( f ) 2 f / f Arg H( f ) tan f / f t / h( t ), av RC 25ms Un façon smi quantitativ d appréhndr simplmnt l omportmnt d la fontion d transfrt onsist à étudir l diagramm d Bod asymptotiqu. On évalu alors l omportmnt du filtr à hauts t basss fréquns. Aux basss fréquns, l impédan d la apaité tnd vrs l'infini qui fait qu la tnsion d sorti st égal à la tnsion d'ntré : H=. A hauts fréquns, l'impédan d la apaité tnd vrs zéro, la tnsion d sorti dvint don très faibl. En tnant ompt d s onsidérations dans l xprssion analytiqu d H, on obtint ls omportmnts suivants: f f 2log H( f ) t 2log f f f 2 C systèm st bin un filtr pass bas : il favoris ls basss fréquns au détrimnt ds hauts fréquns. La transition ntr l omportmnt passant t non-passant d filtr st donné par la fréqun d oupur du filtr. TF 3. Thniqus d aratérisation d un SLIT Pour aratérisr un SLITT, il xist prinipalmnt trois méthods xpérimntals basés sur la répons du SLITT à un signal harmoniqu, à un signal impulsionnl t à un éhlon d tnsion. La méthod harmoniqu onsist à xitr l systèm par un signal sinusoïdal t à msurr n sorti, pour haqu valur d la fréqun f n du signal d'ntré, l modul H(f n ) t la phas φ(f n ) d H(f n ). Un méthod équivalnt mais moins fastidius onsist à étudir la répons impulsionnll. L systèm st xité par un impulsion tmporll matérialisé par un distribution d Dira δ(t). La répons du systèm st d fait la répons impulsionnll h(t) t sa transformé d Fourir H(f) st sa répons fréquntill. Détaillons un pu tt drnièr méthod moins intuitiv qu la méthod harmoniqu. La méthod d la répons impulsionnll onsist à rgardr la répons à un impulsion, 'st-à-dir un distribution d Dira. En fft, la transformé d Fourir d'un distribution d Dira st plat n fréqun (tout qui st fin dans l'spa tmporl st étndu dans l'spa d Fourir t réiproqumnt). Analytiqumnt la transformé d Fourir d'un distribution d Dira st dérit par un somm infini sur la fréqun d signaux sinusoïdaux. L sptr d la distribution d Dira possédant touts ls fréquns av l mêm poids, on omprnd qualitativmnt l équivaln av la méthod 2

3 harmoniqu. Au liu d aratérisr l systèm pas à pas n fréqun, f n, à l aid d sinusoïds, on l aratéris d un sul oup n imposant à l'ntré un impulsion d Dira. Méthod harmoniqu: 2 jf nt 2 jf nt f n, ( t) S( f ) H( f ). TF H( f ). f f H( f ) n n Répons impulsionnll: ( t) S( f ) H( f ). TFH( f ) Comm un GBF n délivr pas d impulsions, l astu onsist à étudir la répons à un éhlon d tnsion : st la répons indiill. L éhlon st réalisé av un signal arré qui doit satisfair 2 ritèrs. Primo, la périod du signal arré doit êtr grand dvant l tmps total d aquisition afin d n avoir qu un sul éhlon d tnsion sur la duré d aquisition. Sundo, l tmps d monté d l éhlon doit êtr faibl dvant l plus ptit tmps aratéristiqu du systèm. Pour obtnir la répons impulsionnll, il suffit d dérivr l signal d sorti. En fft, sahant qu la dérivé d un éhlon d tnsion st un distribution d Dira, qu la dérivation st un opération linéair t finalmnt qu l systèm st linéair, la dérivé d la répons du systèm à un éhlon orrspond don à la répons du systèm à la dérivé du signal d ntré, 'st-à-dir à la distribution d Dira. ds dh d t () () t TF TF TF h TFh H( f) dt dt dt 4. Résultats En pratiqu, pour la méthod harmoniqu, l systèm st xité par un signal sinusoïdal t on msur n sorti pour haqu valur d la fréqun f n du signal d'ntré l modul t la phas d H(f n ). On fait attntion à qu l signal d sorti n satur pas. On s assur aussi qu l modul d l impédan du iruit, Z, st grand dvant l impédan d sorti du GBF : 5Ω. Dans l as ontrair l signal d ntré n st plus indépndant du iruit qu il alimnt. f Z R Z R 5 jc f On put palir à problèm d impédan n intralant ntr l filtr t l GBF un montag suivur ou d façon altrnativ n utilisant un amplifiatur d puissan d gain égal à n sorti du GBF. Ls résultats sont présntés sur la figur. L omportmnt du filtr st dérit par l diagramm d Bod dans lqul log(h) 2 =2log(H) st traé n fontion d la férqun f. On adopt l éhll logarithm ar H vari d plusiurs ordrs d grandurs av la fréqun. L éhll log-log prmt d plus d trar failmnt l diagramm asymptotiqu ar la fontion H st un fontion rationnll n fréqun. On onsidèr H au arré ar on st n général intérssé par la puissan transmis proportionnll à S

4 Tnsion [V] s(.5khz) s(5khz) s(5khz) [ ] log(H) [db] - -2 H -2dB/dads a t/t -9 b ' ' ' -4 ' ' ' Fig. 2 : (a) omparaison ds signaux d ntré t d sorti à f=.5, 5 t 5kHz. L amplitud du signal d ntré st gardé onstant t l aquisition st délanhé à U=.V sur un front montant du signal d ntré. L tmps st normalisé par la périod d haqu signal afin d ls omparr. (b,) Comparaison ntr l diagramm d Bod xpérimntal t théoriqu obtnu pour f =273Hz. L systèm st bin linéair : la répons à un xitation sinusoïdal st un sinusoïd. Sur l graph a, on onstat l atténuation progrssiv d l amplitud t l augmntation du rtard du signal d ntré par rapport au signal d sorti au fur t à msur qu la fréqun augmnt. L diagramm d Bod xpérimntal st n aord av l diagramm d Bod théoriqu. En fft la fréqun d oupur f =273Hz orrspond bin à la fréqun d oupur à -3dB attndu t l atténuation st bin d -2dB par déad pour f>>f. En pratiqu, pour la méthod d la répons indiill, on ollt n sorti la répons à un éhlon d tnsion. La fontion d transfrt du systèm st alors la transformé d Fourir d la dérivé d la sorti. L hoix ds paramètrs d aquisition st ruial. Ils fixnt d un part la fréqun maximum obsrvabl dans la dnsité sptral t d autr part l pas fréquntil t la fréqun minimum obsrvabl. On ls hoisira d façon à qu ls ritèrs suivants soint satisfaits: fmax f, t st la périod d'éhantillonnag 2t df f min f, Tt st la duré total d'aquisition Tt L prmir ritèr prmt d s assurr qu l éhantillonnag st suffisammnt rapid pour suivr ls plus ptits variations tmporlls d la répons du filtr. C st un équivalnt du ritèr du Shannon mployé pour ls signaux périodiqus. L sond ritèr fix l pas fréquntil df. On doit l hoisir suffisammnt ptit pour résoudr ls variations d la dnsité sptral. Il fix aussi la fréqun minimum obsrvabl: f min =df. En pratiqu on st limité dans notr hoix par l nombr total d points d aquisition : nviron points t la vitss maximum d aquisition : 4MHz. Pour N= points, on a d fait hoisi t =us qui onduit à f max =5kHz, T t =ms t df=f min =Hz. 4

5 Tnsions [V] a t [ms] (t) s(t) Dérivés [ 3 V/S] d/dt 2 6 b t [s] =.25ms ds/dt t [ms] Fig. 3 : (a) L éhlon,, t la répons à l éhlon, s. Comm on travaill sur la dérivé ds signaux on n st pas obligé d avoir un éhlon ommnçant à U=V. (b) La dérivé d par rapport au tmps. d/dt orrspond bin à un distribution d Dira : l pi n s étal qu sur 2 points t son intnsité st 3 fois plus élvé qu l intnsité maximum d la répons, ds/dt. () La dérivé d s par rapport au tmps. ds/dt déroît bin d façon xponntill av un tmps aratéristiqu d τ=.25ms. La ourb n trait plin rprésnt l théoriqu t la droit n pointillés rprésnt la tangnt à l origin d la déroissan xponntill. log(ds) [db] E S 2dB/dads a [ ] b Fig. 4 : (a) Rprésntation d la dnsité sptral, DS, ds signaux t s n fontion d la fréqun, f. La ourb n ontinu rprésnt l théoriqu av f =273Hz. On not qu l pas fréquntil st bin d Hz. La dnsité sptral, E(f) a été normalisé à aux basss fréquns. En fft sa valur dépnd d l'air d la fnêtr utilisé pour fftur la transformé d fourir. On divis S par l fatur d normalisation d E. (b) rprésntation d la phas d S n fontion d la fréqun. La dnsité sptral d la distribution d Dira xpérimntal st plat ntr Hz t khz. La limit supériur, khz, st infériur à la fréqun maximum obsrvabl, 5kHz. La aus n st qu la distribution d Dira xpérimntal bin qu très orrt n st pas parfait : ll s étal sur 2 points. Ctt plag st toutfois suffisant pour rnr ls aratéristiqus prinipals du filtr à savoir la fréqun d oupur t l atténuation à haut fréqun t pour omparr av suès av l théoriqu. La méthod harmoniqu ainsi qu la répons indiill donnnt touts ls dux xatmnt la fontion d transfrt. La méthod d la répons indiill néssit toutfois d bin paramétrr la msur. On put aisémnt vérifir la prtinn du paramétrag n traçant la dnsité sptral du dira. Ell doit 5

6 êtr plat sur d domain d étud d la fontion d transfrt. L xtration d la phas st un pu plus subtil dans la méthod d la répons indiill ar ll fait appl à ds onsidérations thniqus sur l programm d la TF (Voir l'artil d M. Krob [2]). Toutfois tt drnièr méthod a l avantag d êtr rapid t don tout adapté pour étudir l influn d un paramètr sur un filtr ou pour étudir ds systèms osillants à plusiurs dgrés d librté. Bibliographi [] R. Duffait t J.-P. Livr, Expérins d éltroniqu, Bréal (999) [2] M. Krob, Exmpls d idntifiation d systèms linéairs, BUP n 795 (997) Thomas GIBAUD Alain GIBAUD 6