Chapitre IV : Propagation d ondes sonores dans les uides

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1 péiale I - Cours "hysique des ondes" 1 Ondes sonores dans les uides Chapire I : ropagaion d ondes sonores dans les uides Objeifs : Mise en équaion de la propagaion d ondes sonores dans les uides. Aspe énergéique. 1. Le son Nous rappelons ii les prinipales propriéés du son dans les uides. Les ondes sonores : ne se propagen que dans des milieu maériels (pas dans le ide) ; son de peies ibraions de e milieu qui se propagen grâe au ouplage enre le déplaemen e la surpression au sein du uide ; sinusoïdales (fonion du emps de periode T ) possèden une période spaiale (longueur d onde) liée à T par une relaion ompaible ae l équaion de d Alember : T ou es la élérié de l onde dans le milieu (par eemple 34 m. s 1 dans l air).. Equaion de propagaion.1. osiion du problème.1.1. Cas général Le référeniel d éude es supposé galiléen. Nous supposons que le uide es oujours en équilibre hermodynamique loal. Nous pouons alors dé,nir loalemen sa empéraure T (r, ). Au repos, l éa du uide es araérisé par sa masse olumique, sa pression e sa iesse nulle. Une onde aousique orrespond à la propagaion d une perurbaion de e éa. L éa du uide es alors déri loalemen, au poin r, à l insan, par la masse olumique (r, ), la pression (r, ) e la iesse (r, ) (nous nous plaçons en desripion eulérienne pour dérire le uide). our ee éude nous disposons de : l équaion de onseraion de la masse ; l équaion du mouemen ; le bilan énergéique (appliaion du 1 er prinipe de la hermodynamique) ; l équaion d éa du uide. La résoluion eae du sysème prééden à si inonnues (masse olumique (r, ), pression (r, ), empéraure T (r, ) e iesse (r, )) es diile e nous e1euons quelques hypohèses simpli,aries..1.. Hypohèse hermodynamique simpli arie Dans la praique, la propagaion des ondes sonores dans un uide es faiblemen amorie. Nous pouons alors négliger les phénomènes dissipaifs : onduion hermique e isosié. Dans la suie nous supposerons don l éoulemen isenropique. Grâe à ee hypohèse nous pouons eprimer la masse olumique du uide en fonion de sa pression e ainsi oublier les deu dernières équaions du paragraphe La propagaion d ondes ne modi,e que faiblemen les paramères du milieu : les ariaions relaies de masse olumique e de pression son faibles. Nous posons : ariaion de la masse olumique du uide ; p ariaion de pression ou surpression aousique ; 1 oeien de ompressibilié isenropique. e nous aons e p,d où p Une onde aousique dans un uide es une propagaion de peis mouemens isenropiques pour lesquels la surpression aousique p e la ariaion de la masse olumique du uide son faibles e liées par la relaion : p

2 hysique des ondes. Chapire I : ropagaion d ondes sonores dans les uides.1.3. Approimaion aousique : linéarisaion des équaions Comme nous l aons déjà menionné préédemen (.1..) l onde aousique ne modi,e que faiblemen l éa du uide. Comme nous l aons fai pour la relaion p nous uilisons ee hypohèse pour linéariser les équaions ; ee approimaion es appelée approimaion aousique. Equaion de onseraion de la masse : L équaion de onseraion de la masse s éri + di j ae j ( + ) ( ) ( ) ( ) ar di ()+ di di ( ) + di (( + )) +( + ) di + grad ( + ). + di + di + grad ( ). + di + di + grad ( ). e nous pouons égalemen négliger grad ( ). dean () : nous allons le éri,er dans le as d une onde sonore monohromaique de période T e de longueur d onde T : ae les hypohèses préédenes () e grad ( ). T ;si alors grad ( ). (). Equaion du mouemen : La isosié du uide es négligée, l équaion du mouemen es don l équaion d Euler : +. grad grad + f la fore olumique saique f ( f g par eemple) es ompensée par le gradien de pression saique : grad + f. L équaion d Euler s éri alors +. grad grad p soi au premier ordre : grad p Dans l approimaion linéaire ( e ), l éoluion d un uide parouru par des ondes sonores es araérisée par les équaions suianes : () + di (I) : équaion de onseraion de la masse, gradp (II): équaion du mouemen (équaion d Euler), p (III): araère isenropique des ransformaions... Equaions ouplées Ae l équaion (III) nous pouons éliminer de l équaion (I) : ( ) + di ( p) + di p 1 di La propagaion d ondes sonores dans un uide es possible grâe au ouplage enre la iesse e la surpression aousique p qui se radui par le sysème d équaions di/érenielles ouplées : p 1 di (I) 1 gradp () T

3 hysique des ondes. Chapire I : ropagaion d ondes sonores dans les uides 3.3. Eoulemen poeniel Le roaionnel appliqué à l équaion () donne : 1 grad p ro ro 1 grad p ro 1 ro gradp ro se Le roaionnel de es ainsi indépendan du emps e don égal à sa aleur moyenne, elle même supposée nulle ar le mouemen es ibraoire : ro ro ro [ ] (r, ) el que grad L équaion du mouemen () s éri alors : 1 gradp grad 1 gradp grad grad 1 p 1 p + f () le poeniel des iesses es dé,ni à une fonion du emps près (hoi de jauge), nous pouons don le hoisir de façon à aoir f. our une onde aousique l éoulemen du uide es irroaionnel : il eise un poeniel des iesses (r, ) el que grad. La surpression es alors :.4. Equaion de d Alember d après le paragraphe prééden : en éliminan p p (I ) p 1 di 1 di grad 1 p p nous obenons : 1 1 ar appliaion du gradien nous obenons : 1 grad grad 1 1 grad 1 grad di 1 graddi grad + ro ro 1 ar appliaion de la dériée parielle par rapor au emps nous obenons : 1 1 p 1 p 1 p p

4 hysique des ondes. Chapire I : ropagaion d ondes sonores dans les uides 4 La propagaion des ondes aousiques dans un uide es régie par l équaion ridimensionelle de d Alember, éri ée par le poeniel des iesses, par le hamp des iesses e par elui des surpressions p : 1 ; 1 ; p 1 p où, la iesse de propagaion du son, es donnée par : 1.4. Equaion de d Alember - Méhode rapide Il es possible de rerouer les équaions de propagaion plus rapidemen sans uiliser le poeniel des iesses ; d après le paragraphe.. : 1 p gradp e 1 di di 1 di grad p e grad p (di) 1 p e grad p 1 grad (di ) 1 grad (di ) 1 ar ro ro en e1e, en proédan omme au paragraphe.3. : 1 gradp ro ro 1 gradp ro 1 ro gradp ro se ro ro grad (di ) soi grad (di ) nous obenons alors : (di) p p 1 1 gradp p e 1 p e 1 Remarque : ee méhode perme de rerouer les équaions de propagaion mais il nous manque le lien (p, ) : grad e p 3. ropagaion d ondes sonores 3.1. oluions sous forme d ondes planes oi une onde sonore plane se propagean suian l ae (O). Dans une elle siuaion (r, ) (, ) e l équaion de d Alember s éri : 1 Cee équaion d onde à une dimension adme omme soluion générale : (, ) F + G +

5 hysique des ondes. Chapire I : ropagaion d ondes sonores dans les uides 5 nous obenons alors pour le hamp des iesses, en posan f 1 F e g 1 G : (, ) grad (, ) grad F + G + G + + (, ) F e F (, ) + G + e (, ) 1 F + 1 G + (, ) f + g + e e de même pour la surpression : p (, ) F + G + F p (, ) + G + p (, ) F + G + p (, ) f g + Les ondes sonores planes se propagean dans un uide son des ondes longiudinales superposiion de deu ondes planes progressies se propagean en sens opposé (O) elles que : le poeniel des iesses es (, ) f + g + ; le hamp des iesses es (, ) f + g + e ; le hamp des surpressions es p (, ) f g +. our haque O, on a de plus la relaion : p + (, ) + (, ) e p (, ) (, ) 3.. Cas des ondes planes progressies monohromaiques Dans le as d une onde plane progressie monohromaique de pulsaion e de eeur d onde k, le poeniel es (en noaion omplee) : e j(k) grad jk e j(k) p j ej(k) dans le as général nous aurons : e j( k.r) grad j k e j( k.r) p j e j( k.r) L équaion de propagaion 1 donne la relaion de dispersion : 1 k + k ± nous rerouons la relaion de dispersion déjà renonrée dans les hapires préédens. 4. Aspe énergéique 4.1. Energie aousique Dans une onde aousique : le uide es loalemen en mouemen e possède don de l énergie inéique. ar unié de olume nous aons : e 1 1 ( + ) 1 au ème ordre

6 hysique des ondes. Chapire I : ropagaion d ondes sonores dans les uides 6 le uide es soumis à des ompressions e des déenes. Il y a don raail des fores de pression assoiée à la ariaion de olume. oi un élémen de olume du uide de masse dm. En noan U l énergie inerne, les ransformaions éan isenropiques, nous aons pour le sysème onsidéré du d ( + p) d ae d d + d d dp du ( + p) dp du du m du 1 ( + p) dp 1 ( + p) dp ae u énergie inerne massique ar inégraion enre l éa de repos (p )e l éa de surpression nous obenons : p 1 u du ( + p) dp u p + 1 p Le erme p es plus imporan que 1 p ar il es d ordre en p inférieur (1 < ), mais il ne fau onserer que le seond : p orrespond à de l énergie fournie par le milieu eérieur de pression lors d une surpression p e qui sera redonnée à e milieu lors du reour à l équilibre. La aleur moyenne de e erme es nulle. Nous onserons don le erme 1 p orrespondan à l énergie massique uile ransporée par l onde. Cee énergie pourra se ransformer en énergie inéique e par analogie ae les problèmes lassiques de méanique du poin nous pouons la onsidérée omme une énergie poenielle élasique ; en se ramenan à une grandeur olumique nous obenons e p u 1 p La densié olumique d énergie aousique e a d une onde sonore es la somme de l énergie inéique e 1 e de l énergie poenielle e p 1 p assoiées à l onde : e a e + e p p 4.. Bilan énergéique oi un olume,e délimian une parie du uide (ne onenan ni soure ni puis ). A l insan, l énergie aousique de ee parie du uide es : E a () e a (M,) d) La ariaion par unié de emps de ee énergie es don : de a () d e a (M,) d) d d d après le paragraphe 4.1. : e a e + e p p e a d après le paragraphe.1.. e.1.3. : e a En reporan dans l epression de dea() de a () d grad p e p. grad p pdi di (p) d nous obenons : e a (M,) d) e a (M,) d). + p p 1 ( ) 1 di di (p) d) (p).d Le u (soran) du eeur densié surfaique de puissane aousique (ou densié de débi d énergie) a p à raers la surfae (fermée) qui délimie le olume eségalàlapuissane qui raerse la surfae e don à la diminuion algébrique par unié de emps de l énergie aousique E a onenue dans le olume : a.d de a() d ous forme loale le bilan prééden s éri : di a + e a

7 hysique des ondes. Chapire I : ropagaion d ondes sonores dans les uides 7 Remarques : 1) Le eeur a s eprime en W. m. ) Le bilan prééden peu se démonrer à parir de la puissane des fores de pression aousique reçue par le olume : reçue ae reçue d reçue ae d reçue f surpression. pd. d où reçue pd. (p).d a.d 4.3. Inensié sonore Le module du eeur densié surfaique de puissane aousique es l inensié sonore (ou aousique) insananée : i aousique p oi une onde plane progressie se propagean dans la direion (O) (dans un sens déerminé). ar dé niion l inensié sonore, grandeur noée I, es la aleur de la puissane moyenne ransférée par l onde sonore à raers une surfae unié perpendiulaire à la direion de propagaion. C es don le u moyen du eeur a à raers ee surfae : I i aousique p En aousique physiologique, es à dire des ondes aousiques déeées par l oreille humaine, on eprime souen l inensié aousique en déibels par la relaion I db 1log où I es une inensié de référene I 1 1 W. m qui orrespond au seuil audiif de l oreille humaine à 1 Hz. I I iuaion Campagne par nui alme Brui de onersaion Rue animée Aelier de haudronnerie Aion à réaion prohe I db db 6 db 8 db 1 db 1 db 5. Célérié des ondes aousiques dans les gaz 5.1. Cas du gaz parfai D après le paragraphe.4. la iesse de propagaion des ondes sonores dans e uide es 1. our ou uide les oeiens de ompressibilié isoherme T e isenropique son liés par la relaion de Reeh : Nous obenons alors : T * C C rappor des apaiés hermiques massiques à e ses 1 1 T i le uide es un gaz parfai, il éri,e l équaion d éa nrt soi : T 1 RT M * T ae M masse molaire du gaz T 1 nrt 1 M RT La iesse du son dans un gaz parfai donné es proporionnelle à la raine arrée de la empéraure: * RT M

8 hysique des ondes. Chapire I : ropagaion d ondes sonores dans les uides 8 Remarques : 1) i les apaiés hermiques du gaz parfai son onsanes (indépendanes de la empéraure) nous pouons démonrer la relaion préédene gràe à la loi de Laplae : pour une ransformaion isenropique se d + * d * 1 ) En assimilan l air à un gaz parfai de masse molaire M 9g. mol 1 de onsane * 1, 4 nous obenons à T C une aleur héorique 343m. s 1 on,rmé par l epériene (l hypohèse isenropique es jusi,ée). 5.. Cas des gaz réels Dans le as des gaz réels nous aons oujours. La nouelle équaion d éa perme de aluler T T e * grâe à la relaion de Mayer Limies du modèle : rôles de la onduiié hermique e de la isosié Au paragraphe.1.. nous aons supposé l éoulemen isenropique es à dire négligé la onduion hermique e la isosié. la onduion hermique : soi une onde sonore de fréquene.. Le ransfer hermique d une zone omprimée (don à empéraure plus éleée) ers une zone oisine déendue (don à empéraure plus basse) es négligeable si la disane d 1 / /. enre es deu zones es rès supérieure à la disane d h/. araérisique de la di1usion hermique à la fréquene. (h désigne la di1usiié hermique du milieu). d 1 d /. h/... h la onduion hermique es don négligeable à basse fréquene. our l air, dans les ondiions usuelles h.1 5 m. s 1 e 34 m. s 1 e qui donne Hz. our des fréquenes inférieures à 1 MHz la onduion hermique es négligeable. la isosié : La isosié de l air a un e1e négligeable sur la élérié mais elle ause un amorissemen faible au fréquenes audibles roissan en fonion de la fréquene. L ampliude de l onde es aénuée par un faeur eponeniel e! où 1 es la disane parourue e un oeen d absorpion. our une fréquene de 1 Hz 1, m 1 soi une aénuaion d un faeur pour une longueur de parours de km (à éri,er...). Dans de nombreu problèmes, où la disane parourue n es pas rop imporane la isosié es bien négligeable. Le alul prééden n es plus alable dans le as d une onde sonore se propagean dans une onduie ylindrique où les e1es de la isosié son plus imporans (fores supplémenaires enre le uide e la paroi de la onduie). our la alidié des hypohèses de l approimaion linéaire ( e ) oir le paragraphe Célérié des ondes aousiques dans les liquides La masse olumique des liquides es beauoup plus imporane que elle des gaz mais leur ompressibilié es beauoup plus faible. Au,nal, la élérié des ondes aousiques dans les liquides es seulemen d un ordre de grandeur supérieur à elle des gaz. Dans l eau à C, 15 m. s Réeion e ransmission des ondes sonores 7.1. Impédane aousique oi une onde sonore plane progressie se propagean parallèlemen à l ae (O). D après le paragraphe 3.1. * RT M si l onde se propage dans le sens des posiifs : (, ) + (, ) f e e p (, ) p + (, ) f si l onde se propage dans le sens des négaifs (, ) (, ) g + e e p (, ) p (, ) g +

9 hysique des ondes. Chapire I : ropagaion d ondes sonores dans les uides 9 ar dé niion, on appelle impédane aousique araérisique (ou spéi que) Z du milieu de propagaion le rappor p/ : Z p la surpression p e la iesse son alors liées par la relaion : p ±Z Ordres de grandeur : pour l air e dans les ondiions normales ( C e 1am) Z 43N. s. m 3. our l eau ( C) Z 1, N. s. m Approimaion linéaire En se plaçan oujours dans le as pariulier d une onde sonore plane progressie se propagean parallèlemen à l ae (O) nous aons don Z p. D après la relaion (III) p, nous obenons : 1 p p p Z L approimaion linéaire, onjonion de deu ondiions 1 e 1, n es en réalié qu une seule e unique ondiion : Dans l approimaion linéaire, la iesse de déplaemen des pariules uides doi êre faible dean la iesse de propagaion. Ou de manière équialene, l approimaion linéaire es une approimaion de grande longueur d onde : T T ampliude des osillaions du uide Condiions au limies osiion du problème e noaions oi une onde sonore plane progressie se propagean parallèlemen à l ae (O). En ee onde renonre une inerfae de séparaion enre le milieu (1) à gauhe e le milieu () à droie. Nous n éudions que le as pariulier de l inidene normale : l inerfae de séparaion es le plan (,y,z). oi Z i l impédane aousique du milieu (i) : Z i i i. oien inidene (, ) f 1 1 la iesse du uide en à l insan du à l onde inidene, réfléhie (, ) g la iesse du uide en à l insan du à l onde rééhie, ransmise (, ) f la iesse du uide en à l insan du à l onde ransmise. En un poin donné, les déplaemens dûs au di1érenes ondes s ajouen e il en es don de même pour les iesses e les surpressions ; nous posons alors : iesse dans le milieu (1) 1 (, ) inidene (, )+ réfléhie (, ) 1 (, ) f 1 + g iesse dans le milieu () (, ) ransmise (, ) (, ) f surpression dans le milieu (1) p 1 (, ) p inidene (, )+p réfléhie (, ) p 1 (, ) Z 1 f 1 +(Z 1 ) g 1 + Z 1 f 1 g surpression dans le milieu () p (, ) p ransmise (, ) p (, ) Z f

10 hysique des ondes. Chapire I : ropagaion d ondes sonores dans les uides Coninuié de la iesse Les ondes sonores son longiudinales e nous nous sommes plaés dans le as pariulier de l inidene normale : Il y a oninuié de la iesse à la raersée de l inerfae de séparaion : 1 (,) (,) Coninuié de la pression f 1 + g 1 + f 1 1 Il y a oninuié des pressions à la raersée de l inerfae de séparaion : p 1 (,)p (,) Z 1 f 1 1 g Z f 7.4. Coe?iens de reeion e de ransmission des ondes sonores Coe?iens de reeion e de ransmission en ampliude Le oeien de reeion r 1 (respeiemen ransmission 1 ) es le rappor enre l ampliude de l onde rééhie (respeiemen ransmise) e l ampliude de l onde inidene éalué au nieau de l inerfae de séparaion. elon les as nous uiliserons les oeiens en iesse ou en surpression. En uilisan les résulas des paragraphes e nous obenons : r 1() Z 1 Z Z 1 +Z r 1(p) e 1() Z 1 Z 1 +Z Z 1 Z 1(p) Coe?iens de reeion e de ransmission énergéiques Le oeien de réeion énergéique R (respeiemen ransmission énergéique T ) es le rappor (en aleur absolue) enre la puissane rééhie (respeiemen ransmise) e la puissane inidene à l inerfae. R r i 1 1g1 e T i f soi : 1 1 f f 1 R r 1() r 1(p) Z1 Z Z 1 +Z e T 1() 1(p) 4Z 1 Z (Z 1 +Z ) La onseraion de l énergie se radui par : T + R Cas d un obsale Dans erains as, l éude ne onerne que la propagaion du oé de l onde inidene. L inerfae de séparaion (siuée en ) es alors onsidérée omme un obsale araérisé par son impédane aousique Z obsale p (,)/ (,). Les oeiens de reeion son alors : r () Z 1 Z obsale Z 1 + Z obsale r (p) e R r() r (p) Z1 Z obsale Z 1 + Z obsale Dans le as pariulier d un obsale e, la iesse es nulle : Z obsale soi r (p) 1 e r () (1)

11 hysique des ondes. Chapire I : ropagaion d ondes sonores dans les uides Ondes sonores saionnaires Nous enisageons dans e paragraphe di1érenes méhodes pour obenir des ondes sonores saionnaires dans une onduie Reeion d une OM La réeion d une onde plane monohromaique sur une erminaison parfaie (ne dissipan auune énergie) donne des ondes saionnaires don les noeuds e les enres son disans de /4. Les deu as fondamenau son le uyau ouer à l air libre (Z L )eleuyaufermé(z L ): 8.. Modes propres d une aié Comme pour les ondes saionnaires dans une orde possédan deu ondiions au limies nous pouons enisager le as d un uyau ae deu ondiions au limies : Cas d un uyau fermé : Nous rerouons eaemen le as de la orde ibrane ae ses deu erémiés,es : les noeuds de débi e les enres son disans de /4 il y a un noeud à haque erémié les osillaions libres du gaz se déomposen en un série d harmoniques de fréquenes. 1 L,.. 1, ,...

12 hysique des ondes. Chapire I : ropagaion d ondes sonores dans les uides 1 Cas d un uyau ouer : Il su de reprendre le as prééden en inersan noeud e enre Cas d un uyau semi-fermé : les noeuds de débi e les enres son disans de /4 il y a un noeud (resp. un enre) à l erémié fermé (resp. ouere) les osillaions libres du gaz se déomposen en un série d harmoniques de fréquenes. 1 4L,. 3. 1, ,...Il n y a que les muliples impaires du fondamenal. 1 4L Résonane Les résulas son ideniques à eu obenus ae la orde de Melde : i on eie l un des sysèmes préédens ae un signal possédan un large spere oninu, le sysème joue le rôle de lre résonan e les osillaions du gaz feron apparaîre les fréquenes propres du sysème. 9. Eeries Eerie n 1 : Une onde plane progressie sinusoïdale ranserse se propage dans l air ae une élérié. 1) Donner la puissane moyenne m raersan une surfae perpendiulairemen à ee onde. On eprimera le résula en fonion de, (masse olumique de l air), e. L air es assimilé à un gaz parfai pour lequel T 88Ke 1 5 a. Caluler la aleur e'ae de la surpression aousique pour une inensié de l onde égale à I 1 1 W. m. ) Un réaeur d aion à m éme un «son» orrespondan au seuil de douleur pour l oreille. On assoie à e signal un nieau de 1dB, la référene éan I. Quelle es l inensié orrespondane? Quelle es la puissane émise dans ou l espae par une elle soure (on adopera, pour simpli.er, le modèle d une soure sphérique)? Données : R 8, 31 J. K 1. mol 1, M(masse molaire de l air) kg. mol 1, * 1, 4. Eerie n : Un uyau d orgue es assimilable à un uyau de longueur 1 1, m fermé à l une de ses erémiés e ouer à l aure. Les pression, empéraure, e masse olumique moyennes de l air onenu dans le uyau son 1, a, T 9K e 1, kg. m 3.

13 hysique des ondes. Chapire I : ropagaion d ondes sonores dans les uides 13 1) Déerminer les fréquenes. du fondamenal e. 1 de la première harmonique. L air es assimilé à un gaz parfai de oe'ien * C p /C 1, 4. ) A la fréquene. 1 on a mesuré une ampliude maimale des élongaions de l air égale à a 1mm. En déduire l ampliude maimale orrespondane : p pour la surpression, ) pour la empéraure. Eerie n 3 : Une sphère.e de enre O a son rayon R qui arie selon une loi R R + a os ae a R. Elle es plongée dans un milieu 4uide de masse olumique e de oe'ien de ompressibilié isenropique. Les ibraions de la sphère produisen, dans le milieu, une onde aousique diergene. La surpression p(r, ) prend la forme, en noaion omplee p A r ej(kr) r désigne la disane du poin O au poin M onsidéré dans le milieu. 1) Donner les epressions des grandeurs k e A en fonion de, (élérié des ondes),, R e a. ) Caluler la puissane aousique moyenne rayonnée par la sphère. Commener le résula obenu : on se plaera dans le as où l on a R ( es la longueur d onde). Appliaion numérique : Donner la aleur de a, ainsi que elle de l ampliude de la surpression à une disane r 1mdu poin O. On prendra, 15 W, 34m. s 1, 1, kg. m 3 e R 5m. Eerie n 4 : On éudie la propagaion d ondes aousiques dans un uyau d ae O e de seion irulaire de surfae () arian lenemen ae. Le 4uide es de l air don les ondiions son données à l équilibre par (masse olumique) e (oe'ien de ompressibilié isenropique). On négligera les e7es de la pesaneur. 1) réiser les hypohèses qui permeen d assimiler la perurbaion sonore à un éoulemen unidimensionnel. On supposera es ondiions réalisées par la suie. d d 1 a. Eablir l équaion de propagaion relaie à la surpression p(, ). On fera apparaîre le oe'ien 1 ) Déerminer les propriéés des ondes aousiques se propagean dans un paillon eponeniel pour lequel a es une onsane. Commener les résulas obenus. Eerie n 5 : Le déplaemen du pison es repéré par la ariable 7(). La posiion d équilibre orrespond à,e p(, ),le ressor n éan ni endu ni omprimé. On supposera que la pression rese uniforme e égale à à droie du pison. De l aure ôé le ube es rempli d un liquide (masse olumique,oeien de ompressibilié adiabaique ). Le uide es le siège d une perurbaion dérie par le poeniel des iesses : %(, ) % + + % +

14 hysique des ondes. Chapire I : ropagaion d ondes sonores dans les uides 14 De plus, le pison es soumis à des fores de froemen isqueu du ype : f d7 d e 1) Eablir l équaion du mouemen du pison en fonion de 7() e % + (,). ) Appliaion à une onde sinusoïdale inidene de la forme : % + % os Dé,nir e éudier quelques as pariuliers. Eerie n 6 : L es une membrane in.nimen mine de masse surfaique 8. Elle peu oulisser sans froemen dans un uyau horizonal. Elle sépare deu 4uides parfais. On noe i e i (i {1, }) la masse olumique e la élérié des ondes aousiques dans de els milieu. Une onde aousique inidene arrie sur la membrane (onde plane monohromaique de pulsaion ). Déerminer les ondes ransmise e ré4éhie. Le uyau es supposé illimié.