Physique Statistique

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1 Physique Statistique Chapitre 8 Photos et Phoos 1 Itroductio e photo est la particule élémetaire qui est le médiateur de l iteractio électromagétique. C est u boso. O peut mettre autat de photos que l o veut das u espace doé, ce qui reviet à dire qu ue lumière peut être aussi itese que l o veut. e phoo est ue otio de mécaique quatique faisat appel au cocept de dualité ode-corpuscule : selo le cotexte expérimetal il peut se maifester soit comme ue ode, soit comme u paquet élémetaire. es phoos sot des paquets d ode qui se propaget das les solides. 2 Rayoemet e équilibre thermique :distributio de Plack 2.1 Foctio de distributio de Plack Das ue cavité maiteue à ue température doée, le spectre d émissio est appelé spectre d émissio du corps oir. a théorie de la mécaique classique e permet pas de retrouver la courbe expérimetale. C est Plack qui e 19 a trouvé ue solutio qui recostitue parfaitemet cette courbe. Pour cela il a quatifié les vibratios du matériau Modes propres de vibratio a) oscillateur harmoique classique K M x a loi de la dyamique s écrit : M d 2 x dt = Kx d 2 x 2 dt + K 2 M x = a solutio de cette équatio différetielles est : 1

2 x = X cos(t +) avec 2 = K M Ce sot les vibratios autour de l état d équilibre. = 2 f est la pulsatio propre et f est la fréquece propre. est appelé mode propre de vibratio de cet oscillateur. Quelle est l éergie associée à E = E p + E c = 1 2 Kx Mx2 avec x = dx dt = X si(t +) E = 1 2 Kx M 2 X 2 si 2 (t +) E = 1 2 Kx M 2 X 2 (1 cos 2 (t +)) E = 1 2 Kx M 2 X M 2 X 2 cos 2 (t +)) 1 2 M 2 X 2 cos 2 (t +)) = 1 2 Kx2 E = 1 2 Kx M 2 X M 2 X 2 cos 2 (t +)) Doc : E = 1 2 M 2 X 2 = Cte pour doé. O peut exciter le mode e lui fourissat de l éergie. éergie augmete comme le carré de l amplitude X. Coclusio : U oscillateur harmoique classique vibre avec u mode propre = K M qu o peut exciter de maière cotiue. éergie état proportioelle au carré de l amplitude : X 2 b) oscillateur harmoique e Mécaique Quatique équatio de Schroëdiger s écrit : p 2 2M + 1 $ 2 Kx2 &'( x,t) = i ('(x,t) % (t a solutio de cette équatio doe pour l éergie la solutio suivate : s = s + 1 $ & avec s etier 2 % état fodametal s obtiet pour s = doc : s = 2 à T = K Coclusio : 2

3 e spectre est discret, quatifié. O e peut exciter que les éergies de type : s = s + 1 $ &. E égligeat l état fodametal qui est égligeable dès que la température 2 % est élevée, alors : s = s c) Ue ode électromagétique efermée das ue boîte (cavité) Rappel du cours «ode et vibratio» : Il y a réflexio sur les parois : - ode est ue combiaiso de l ode icidete et de l ode réfléchie. - Il y a établissemet d odes statioaires das la cavité avec des modes propres i d éergie i cotiue. a quatificatio de Plack O e peut exciter l u des modes de l ode que par des éergies discrètes s = s (idetiques à l oscillateur harmoique) est l éergie d u photo, et s le ombre de photos se trouvat das le mode. d) Rappels : Relatio de dispersio pour l ode électromagétique Pour ue ode électromagétique, o a : = 2 f, f = 1 doc : = 2 T T : est la pulsatio, f la fréquece et T la période Or, T = c = ct est la logueur d ode, et c la vitesse de la lumière O e déduit : = 2c O pose 2 = k le ombre d ode k est le vecteur d ode, tel que k = k D où = ck c est la relatio de dispersio. Sur ue courbe e foctio de k, c est ue droite qui passe par l origie, avec comme pete c Calcul du ombre de photos das le mode d ue ode électromagétique Soit ue cavité à la température T, e équilibre thermique. a foctio de partitio sera : ( Z = exp s % ) $ ' kt & s= C est ue suite ifiie : Z =1+ q + q 2 + q q s +... = 1 1 q avec q = exp % $ ' <<1 T & 3

4 1 Doc : Z = 1 exp % $ ' kt & a probabilité pour que le systèmes soit excité das l état d éergie s = s est doé par Boltzma. exp s % $ ' kt & P( s ) = Z e ombre moye de photos das l état s est doé par : < s >= sp( s ) = Z 1 s.exp s & % ( $ kt ' s O pose y = kt, d où : s.esy = d s dy s Comme précédemmet : 1 exp(sy) = 1 e y s D où : s.e sy = d 1 % e ( y $ ' = dy 1 e y & (1 e y ) 2 s < s() >= Z 1 e y D où < s() >= s e sy (1 e y ) 2 or Z 1 = (1 e y ) e y (1 e y ) = 1 e y 1 < s() >= 1 1 exp = kt 1 e 1 Cette relatio est u cas particulier de la distributio de Bose-Eistei : f () = 1 e (µ ) 1 Das ce cas, le potetiel chimique µ =, car ici le ombre de photos das u état doé est illimité, cotrairemet aux bosos habituels qui ot u potetiel chimique o ul. 2.2 oi de Plack et Stefa-Boltzma Cette loi décrit l éergie d ue ode électromagétique efermée das ue cavité (rayoemet du corps oir) Ode électromagétique de mode O a vu qu à l équilibre, la distributio est doée par : 4

5 1 < s >= exp kt 1 C est la loi de Plack ou distributio de Plack-Boltzma. Quelle est l éergie moyee du mode? < s >= =< s > = exp kt 1 Si kt >> alors exp =1+ kt kt kt <<1 éergie de vibratio est de l ordre de kt Doc : = kt Odes électromagétiques das ue cavité a) Ue ode électromagétique est ue ode trasverse c est à dire la directio de l ode (polarisatio) est perpediculaire au vecteur de propagatio k. Si la cavité cubique de côté est parfaite, o obtiet des odes statioaires : E = E expi(t k r) avec : r = (x, y, z) k = = (x, y, z ) k = (k x, k y, k z ) avec k x = x, k y = y, k z = z, E x = E x si(t)cos x x E y = E y si(t).si x x E z = E z si(t)si x x si y y si z z cos y y si z z si y y D après les équatios de Maxwell : cos z z div E = =, car =, il y a pas de charge électrique das la cavité. div E = E x x + E y y + E z z = E x x = x E si(t)si x x x E y y = y E si(t)si x x y si y y si z z si y y si z z 5

6 E z z = z E z si(t)si x x si y y si z z div E = doc x E x + y E y + z E z = ou ecore : E. = O e déduit que : E est perpediculaire à, doc à k, car k = Il y a deux polarisatios possibles, comme représeté sur la figure suivate, avec E perpediculaire à k E E k = E électromagétisme classique, o sait que le vecteur B est perpediculaire à E E B k = b) Il y a ue ifiité de modes propres lorsque l ode est cofiée équatio d ode est : E = 1 c 2 2 E t 2 2 x y + % $ 2 ' E = 1 2 E 2 z 2 & c 2 t 2 6

7 Calcul de : 2 E x 2 E x = E x si(t)cos x x E x x = x Doc 2 E x E si(t)si x x x = 2 x 2 x 2 2 si y y si z z si y y si z z E x si(t)cos x x si y y si z z (1) E x y = y E si(t).cos x x x Doc : 2 E x = 2 y 2 y 2 2 cos y y si z z E x si(t).cos x x si y y si z z (2) E x z = z Doc : 2 E x E si(t)cos x x x = 2 z 2 z 2 2 si y y cos z z E x si(t)cos x x si y y si z z (3) E faisat (1)+(2)+(3), o obtiet : 2 E x x + 2 E x + 2 E x = ( 2 x + 2 y + 2 z ) 2 E 2 y 2 z 2 2 x O aura de même : 2 E y x + 2 E y + 2 E y = ( 2 x + 2 y + 2 z ) 2 E 2 y 2 z 2 2 y et : 2 E z x + 2 E z + 2 E z = ( 2 x + 2 y + 2 z ) 2 E 2 y 2 z 2 2 z Doc o peut écrire : 2 x y + % $ 2 ' E = (( 2 x + 2 y + 2 z ) 2 E (4) 2 z 2 & 2 Par ailleurs, puisque : E = E expi(t k r) Doc : 2 E t = 2 E et 1 2 E 2 c 2 t = 2 E (5) 2 c 2 E égalat (4) et (5), o obtiet : ( 2 x + 2 y + 2 z ) 2 = 2 2 c (6) 2 Si o pose x 2 + y 2 + z 2 = 2, o peut ré-écrire (6) : 7

8 avec k = et > = c = ck Eergie totale de toutes les odes a) Déombremet des modes propres Chaque mode a ue éergie, o calcule l éergie moyee < >= avec = c et = 2 x y + z éergie totale de tous les modes sera : U = < > = exp kt 1 exp kt 1 O remplace la somme discrète par ue itégrale : U = Or = c Doc : U = 1 8 exp d kt c / exp c kt 1 d z + d x y 8

9 O itègre de à l ifii sur, doc que sur le volume etier. Comme les x, y, z sot positifs, il e faut e réalité itégrer que sur 1 8 du volume es odes électromagétiques ayat deux polarités, il y a e fait deux fois plus de modes que ce que ous veos de calculer. Fialemet, l éergie s écrit : U = 2 c 3 exp c kt 1 d O pose : x = c kt doc : = ktx kt et d = c c dx Doc : U = 2 c x 3 4 kt $ & c % Or : dx = 4 e x 1 15 Fialemet o peut écrire : x 3 ( ) dx e x '1 u = U = U 3 V = c k 4 T 4 = AT 4 A est ue costate 3 U est l éergie totale et u est la desité d éergie de la cavité. a loi de Stefa-Boltzma s écrit : u = AT 4 b) Desité spectrale d éergie O calcule l éergie pour chaque mode propre. éergie par uité de volume et uité de fréquece est u (). Doc : u = u () d Soit dv le ombre de modes etre et + d das l espace des. O a dv = dv, e effet la desité spectrale du mode, g() est la même que la desité calculée avec. g()d = g()d = 4 2 d = 2 d Or = c doc d = c d D où: g()d = c 2 c d E simplifiat: g()d = 3 3 du =< > g()d 2 c 3 d 9

10 du = exp kt c 3 d U = du = c 3 exp d kt 1 u = U = U 3 V = 3 2 c 3 exp d = u d kt 1 Fialemet : u = 2 c 3 3 exp kt 1 C est la desité spectrale d éergie pour u mode propre. C est aussi l éergie par uité de volume et par uité de pulsatio Calcul de l etropie des photos O sait que 1 = % $ ' U & V Doc quad le volume est costat : d = du Or : u = U 3 = U V = 2 Doc U = 2 V 15 3 c c 3 4 D où du = 4 2 V c 3 d Or d = du D où d = 4 2 V c d 3 E itégrat, o trouve : = 4 2 V c Costate de Stefa-Boltzma Soit ue ode électromagétique efermée das ue cavité. a desité de flux émis J u est le taux d émissio d éergie par uité de surface. C est l éergie coteue das ue coloe de sectio uité et de logueur la vitesse de la lumière x uité de temps. J u = cu( ) xfacteur.géométrique V e facteur géométrique est 4 1, car tous les rayos arrivet pas parallèlemet au trou. 1

11 J u = cu( ) V Doc : J u = 1 4 = cu( ) c 2 4 = SB T 4 SB est la costate de Stefa-Boltzmae SB = 5, Wm 2.K 4 C est la loi de rayoemet du corps oir 3 Phoos et modèle de Debye de la chaleur spécifique des solides 3.1 Odes élastiques et phoos Das u solide les atomes vibret autour de leur positio d équilibre. Des odes se propaget. E Mécaique Quatique, leur éergie est quatifiée : E = O traite les phoos comme les photos. e ombre moye de phoos de fréquece à la température et doé par : 1 1 < s() >= exp = kt 1 e 1 objectif est de trouver l éergie et la chaleur spécifique des odes élastiques (phoos) das les solides. Hypothèse : est idépedat de l amplitude des vibratios a vitesse v des odes élastiques est idépedate de, de la directio de propagatio et de la polarisatio. Doc les résultats obteus avec les photos sot valables avec les phoos 3.2 Nombre de modes pour les phoos e ombre total de modes de vibratio est 3 N, puisqu il y a N atomes, le ombre 3 viet des 3 possibilités de vibratio quad ue ode se propage : 2 vibratios trasversales, et ue logitudial. Alors que pour les photos ce ombre est ifii. e ombre de modes etre et + d est 4 2 d 3. e chiffre 3 proviet des 3 modes 8 de vibratio, et le rapport 8 1 viet du fait que l itégratio sur toute la sphère correspod à 8 fois celui des x, y et z positifs. a valeur maximale max est doée par : 3 max 4 2 d = 3N 8 D où max = D = 6N $ & % a lettre D est e hommage à Debye 1/3 11

12 3.3 Eergie moyee des phoos et chaleur spécifique U = < >= < s > = exp 1 O remplace : par D U = 3 D 8 exp 4 2 d = 3 D 2 1 exp 2 d 1 O fait le même calcul que pour les photos e remplaçat la vitesse de la lumière c par la vitesse des phoos das le solide v. = v Comme pour les photos : U = v avec x = v et x D = v D $ & $ & % v %..4 O e déduit : x D = v ( x D x 3 e x '1 dx par ailleurs : = kv = v e remplaçat D par sa valeur = 6N $ D & % 6 2 N V $ & % 1/3 O pose x D = D T = k D est la température de Debye : D a) Basses températures T << D U = 3 2 v $ & 4 $ & ( 2 % v % x 3 x 3 x D D = v k x 3 e x '1 dx 6 2 N V $ & % 1/3 = v k 1/3 ( 6 2 ) 1/3 x D e x 1 dx = e x 1 dx = 4 15, car si T est petit, x D U(T ) est proportioel à T 4 C v = U % $ ' T & U(T ) = 3 4 N 4 5(k D ) 3 = 3 4 NkT 4 v = 12 4 Nk 5 3 % $ ' k D & 5 D 3 = 12 4 Nk 5. T % $ ' & D 3 12

13 A basse température C v est ue foctio e T 3 de la température. b) Haute température T >> D O trouve U(T ) = 3NkT (voir exercice e TD) D où C v = 3Nk C est la loi de Dulog et Petit. Si N est le ombre d Avogadro, alors : U = 3RT et C v = 3R 13

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