SIXIEME PARTIE LINEARITE

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1 76 SIXIEME PARTIE LINEARITE I LINEARITE 1. Noton de modèle mathématque Une étude de lnéaté et un ca patcule d'ajutement d'un modèle mathématque u de donnée epémentale. On appelle modèle mathématque, toute foncton detnée à epéente le vaaton d'un phénomène phque. Il peut également avo plueu vaable eplcatve. On condèe le ca d'une gandeu meuée qu dépend d'une gandeu appelée vaable eplcatve. On admet que chaque meue éulte d'une compoante détemnte : le modèle mathématque f() et d'une gandeu aléatoe R appelée édu. f(, α, β...) + R (51) : valeu epémentale de la gandeu meuée (ou vaable eplquée) : valeu epémentale de la vaable eplcatve f : foncton epéentatve ou modèle mathématque α, β... : vae valeu de paamète du modèle mathématque R : fluctuaton aléatoe appelée Rédu Fg 30 Intepétaton gaphque de la méthode de monde caé Le cho de comme vaable eplquée mplque que l'eeu epémentale u et gande devant l'eeu epémentale u. Cette condton et ouvent éalée pace que et ouvent Pee Jot Stattque à l uage de ngéneu et de techncen

2 77 une valeu étalon (pa eemple en chme analtque l abce qu éulte de la pépaaton d'une oluton étalon et cette opéaton et généalement plu péce que la meue de la valeu de ). S la condton nvee et éalée, l faut échange et ( f -1 ()). Loqu'on effectue une modélaton, on chot toujou le modèle mathématque au péalable. Ce cho peut ête effectué en foncton d'une théoe (on dt alo que le modèle et un modèle théoque) ou mplement en foncton de l'allue de la coube epémentale foncton de (on pale alo de modèle empque). Le modèle peut d'alleu compote de teme théoque et de teme empque. Le méthode tattque ont utlée dan deu but : calcule le melleue etmaton de α, β, γ... étude la dtbuton de édu, valde le modèle.. Pncpe de la méthode de monde caé pou un modèle donné La foncton f dot ête choe ntalement Le gandeu α, β, γ... ont le vae valeu de paamète du modèle (au même tte de la moenne µ et la vae valeu de la moenne d'une dtbuton tattque). On peut calcule de etmaton A, B, C epectvement de paamète α, β, γ pa dfféente méthode dont la plu utlée et la méthode de monde caé. Cette méthode conte à ende mnmale la omme de dtance meuée paallèlement à O ente le pont epémentau et le modèle : n ( (,,...)) S f A B R (5) vaant de 1 au nombe total de meue n. Le valeu optmale de paamète endent mnmale la valeu de S donc atfont au équaton appelée "tème d'équaton Nomale". S S 0 ; 0 ;... (53) A B 3. Ajutement de paamète d'une dote Pou ajute une dote on chot le modèle dan le ca généal : A + B. S on peut pouve que la dote pae pa l'ogne ou on veut foce la dote à pae pa l'ogne, on aoce la contante A0, donc B. La éoluton de équaton Nomale entaînent pou le modèle A + B : Pee Jot Stattque à l uage de ngéneu et de techncen

3 78 A ( ) n ( ) (54) B n n (55) ou dan le ca du modèle B : B (56) Toute le omme ont étendue de 1 à n. 4. Paamète de dpeon elatf à la lnéaté a) Ecat-tpe de édu ou écat-tpe éduel Il et donné pa la elaton S n q (57) n et le nombe de pont epémentau q et le nombe de paamète A j n - q et le nombe de degé de lbeté Dan le ca d'une paabole S n 3 (58) Dan le ca d'une dote S n (59) et cette dote pae pa l'ogne S n 1 (60) Dan ce epeon, S epéente la omme de caé de édu (équaton 5) dont on peut donne une epeon développée : S Σ + A n + B Σ - A Σ - B Σ + AB Σ (5b) Pee Jot Stattque à l uage de ngéneu et de techncen

4 79 b) Ecat-tpe et ntevalle de confance u le coeffcent d'une dote On peut démonte le elaton : A B ( ) n (61) n ( ) n (6) Dan le ca d'une dote paant pa l'ogne : B (63) Le ntevalle de confance 'obtennent en multplant A ou B pa le coeffcent de Student t(υ, 1 - α ) α et le eul de que blatéal υ n - dan le ca de équaton (61) et (6) υ n - 1 dan le ca de l'équaton (63) c) Coeffcent de coélaton lnéae C'et le coeffcent défn pa l'équaton n ( ). ( ) n n (64) ou, la dote pae pa l'ogne : (65) et d'autant plu poche de 1 que S et poche de 0. Le coeffcent de coélaton pemet de meue l'adéquaton du modèle lnéae. Pee Jot Stattque à l uage de ngéneu et de techncen

5 80 lnéaté d) Conéquence patque. Planfcaton de epéence pou l'étude d'une Le elaton c-deu montent un fat epémental tè mpotant : la pécon de coeffcent d'une dote et d'autant melleue que le domane epémental et plu étendu (plu vae dan un lage domane, plu le dénomnateu de équaton donnant S A et S B et gand). Il et donc nutle de multple le meue dan un domane epémental etent. L'odonnée à l'ogne et d'autant meu défne que le pont epémentau e appochent davantage de l'ae de. (Toute choe égale pa alleu, l faut que ² ot pett, vo Fg. 31). a) Odonnée à l ogne ben défne b) Odonnée à l ogne mal défne Fg. 31 Condton pou l'etapolaton d'une dote à l'ogne Pou cette aon, tou le potocole de valdaton de la lnéaté pévoent un domane de valdaton lage an que le tacé de pont epémentau poche de l'ogne, même ce pont tombent en deho du domane d'utlaton de la dote Pa conte, pou de mple opéaton de contôle, un nombe lmté de pont, tué au etémté du domane de lnéaté et uffant. e) Etmaton d'une abce 0 à pat d'une meue de 0 Loque la dote de égeon et utlée comme dote d'étalonnage, on cheche à détemne une abce (concentaton) à pat d'un gnal meué ( 0 ). L'ntevalle de confance u 0 et donné pa la elaton : ( 0 ) ( ) A α 1 1,1 0 0 ± t n + + B B n0 n B n : nombe de pont de l'étalonnage n 0 : nombe de épétton de la meue 0 0 : moenne de n 0 meue d'un échantllon nconnu A, B : coeffcent de la dote d'étalonnage : moenne de de l'étalonnage Pee Jot Stattque à l uage de ngéneu et de techncen

6 81 L'eamen de cette epeon monte dfféent apect patque : La melleue "pécon" 'obtent au "cente" de la dote d'étalonnage ( ( 0 ) fable) Comme dan l'évaluaton de a et de b l'étendue du domane epémental dot ête la plu lage poble ( ( ) élevée) Le domane d'eeu autou de la dote et délmté pa deu banche d'hpebole. Ce qu monte que l'etapolaton de la dote lon de la valeu de entaîne une ncettude condéable et que l'odonnée à l'ogne elle-même et tè mal défne loqu'elle e touve lon de l'ntevalle epémental (Fg. 31 et 3). 0 a a 0 0 fg Tet tattque elatf à la lnéaté a) Valdaton d'un modèle mathématque La valdaton d'un modèle mathématque epoe u deu pncpe : la poblté de monte que le édu ont aléatoe et dtbué uvant une lo Nomale, La poblté de monte que la vaance éduelle et contante u tout le domane epémental (otécadcté) Le caactèe aléatoe de édu peut ête véfée "vuellement". Il ete également de tet pemettant de pouve cette condton. Pee Jot Stattque à l uage de ngéneu et de techncen

7 8 Loque le édu ne ont pa aléatoe, cela gnfe que le modèle peut ête améloé comme le monte l'eemple c-deou : R R Fg. 33a et 33b Eemple de épatton de édu (a : édu aléatoe, b : édu non aléatoe) Loqu'on ne vuale pa le coube ou qu'on étude pa le édu, ce deu ée de meue conduent à deu dote condéée comme dentque Un mple eamen vuel de deu fgue (33a et 33b) monte que la pemèe et une dote avec un but de fond élevé, ma que la deuème et une paabole que l'on a ajutée u une dote. Loqu'on applque u la deuème ée un modèle paabolque, on obeve une dmnuton gnfcatve de la vaance éduelle en même temp que ceu-c devennent aléatoe. b) Iovaance de édu (otécadcté) Loque la vaance de édu n'et pa homogène (Fg. 34 b et c) a) Iovaance b) Vaance c) Vaance quelconque coante Fg. 34 Pofl de vaance éduelle Pee Jot Stattque à l uage de ngéneu et de techncen

8 83 Eemple fgue 34b : La pente de la dote et tè mal ajutée et l'odonnée à l'ogne et du même ode de gandeu que le fluctuaton le plu élevée de, ce qu n'a aucun en. On peut coge ce poblème pa une pondéaton adéquate. La méthode qu conte à pende le logathme et à poce abolument. Eemple fgue 34c : Le édu mpotant au cente du domane epémental conduent à une ndétemnaton du modèle à ajute (A côté de la dote, plueu modèle polnomau peuvent ête ajuté avec la même vaance éduelle). Pou tete l'ovaance, l faut épéte le meue pou dfféente valeu de l'abce (habtuellement 5 à 6 nveau et 3 à 4 épétton). ou ben egoupe le édu en 5 à 6 clae (Fg. 35 a et b) b) Répétton de meue a) Regoupement de édu Fg. 35 Méthode pou tete l'ovaance de édu L'homogénété de vaance éduelle et enute tetée à l'ade d'un tet de Cochan ou de Batlett. c) Sgnfcaton du coeffcent de coélaton Ce tet pemet de éponde à la queton "la coélaton ente et et-elle gnfcatve?" On épond à cette queton en montant que le coeffcent de coélaton et gnfcatvement dfféent de 0. n t( n, 1 α ) (69) 1 S la condton et véfée (l 'agt d'un tet unlatéal), la coélaton et condéée comme gnfcatve. En patque, ce tet et peu utle en phco-chme pace qu'on tavalle u de coélaton élevée (> 99 %) et dan ce ca la elaton (69) et toujou véfée. Pa conte en cence humane, on tavalle pafo u de coélaton beaucoup plu fable, pa conéquent la poblté de monte qu'une coélaton et gnfcatve pend tout on ntéêt. Pee Jot Stattque à l uage de ngéneu et de techncen

9 84 d) Sgnfcaton de l'odonnée à l'ogne Il ave féquemment que la natue du phénomène phque ege qu une dote pae pa l ogne (Abobance en foncton d une concentaton, lo d ohm etc). O, en aon de eeu epémentale, une dote ne pae jama pa l ogne. Pou tete l odonné à l ogne et tattquement nulle, on compae A à 0 au moen d un tet de Student. A α S < t n,1 A La dote d'étalonnage pae pa l'ogne et on équaton peut ête ecalculée à l'ade de elaton (54) et (56). Il et mpotant de note que le tet e fat avec un nombe de degé de lbeté égal à n - pace qu'au moment du tet l faut condée l'équaton généale ( A + B) de la dote. Pa conte, loqu'on ecalcule la pente, et on ntevalle de confance, le nombe de degé de lbeté et n - 1. (66) d) Compaaon de pente de deu dote On dpoe de deu dote epmant la même gandeu phque en foncton de la même vaable ce gandeu étant epmée dan le même unté avec le coeffcent A 1 et B 1 d'une pat, A et B d'aute pat, le nombe de meue étant n 1 et n. On effectue un tet de Student avec n 1 + n - 4 degé de lbeté (on meue au total 4 paamète). d B 1 - B et d B + B (67) 1 d t( n1+ n 4, 1 α ) (68) d le pente de deu dote ont gnfcatvement dfféente. 6. Applcaton de l'anale de vaance à l'étude du degé de coélaton ente deu vaable Il et poble d'utle l'anale de vaance pou monte l'etence d'une coélaton gnfcatve ente deu gandeu. a) Somme de caé d'écat ntevenant dan une égeon lnéae On défnt le omme c-deou : St Σ( ) (70) C'et la omme de caé de écat totale, c'et à de le caé de écat de la vaable eplquée pa appot à a moenne. Le nombe de degé de lbeté et n - 1. Pee Jot Stattque à l uage de ngéneu et de techncen

10 85 S b Σ( ) (71) l et la omme de caé de écat u due unquement à la laon lnéae. Nombe de degé de lbeté 1. S Σ( - A - B ) (7) et la omme de caé de écat éduel, c'et à de le écat qu etent loqu'on a etanché de le valeu due à la laon lnéae avec. Nombe de degé de lbeté : n - 1. Ce to omme ont elée pa une équaton d'anale de vaance. S t S l + S b) Vaance lée à la égeon lnéae A pat de omme c-deu et de nombe de degé de lbeté, on défnt le vaance coepondante : St t n - 1 l Sl 1 S n - vaance totale (73) vaance lée à la lnéaté (74) vaance éduelle (75) a) Vaance totale, V T b) Vaance due à la égeon, V L c) Vaance éduelle, V Fg. 36 Applcaton de l'anale de vaance à la valdaton du modèle lnéae Pee Jot Stattque à l uage de ngéneu et de techncen

11 86 c) Tet de coélaton S l > F(1, n -, 1 - α) (76) on condèe que la coélaton ente et et gnfcatve. Remaque : On peut démonte que le équaton (69) et (76) ont totalement équvalente à la condton de non-nullté de la pente (77) B > t(n -, 1 - α/) B (77) On peut donc pouve une coélaton lnéae an même calcule le coeffcent de coélaton en montant que la pente de la dote de monde caé et gnfcatvement dfféente de zéo (tet valable également pou une dote paant pa l'ogne). 7. Calcul de l'équaton d'une dote loque chaque pont et une moenne de plueu meue Il et féquent, loqu'on contut une dote d'étalonnage, que l'on épète chaque meue. Cette méthode péente l'avantage de pemette le calcul de la vaance à chaque pont de meue et de tete l'hpothèe de l'homogénété de vaance u le domane de lnéaté de la dote. Loque le effectf de chaque moenne ont égau, le calcul et fomellement le même en emplaçant le odonnée pa le moenne m j. Le nombe de degé de lbeté et égal, dan ce ca à: ν nk - (n effectf de chaque goupe, k nombe de goupe). Loque le effectf de chaque goupe ont dfféent et loqu'on connaît le valeu bute, on peut tate enemble toute le valeu bute (,j ) avec un pod de 1. Loqu'on ne connaît pa le valeu bute, on effectue une égeon lnéae pondéée en penant comme pod ω le effectf n j de chaque goupe et en emplaçant le odonnée pa le moenne m j. Le nombe de degé de lbeté et alo: n j S, en plu de la multplcté on veut ten compte de la vaance de chaque goupe de meue on pondèe, en plu pa 1/ j, j étant la vaance de chaque goupe. Le pod ont dan ce ca : ω n j j Pee Jot Stattque à l uage de ngéneu et de techncen