RÉUSSIR L ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES. Baccalauréat 2015

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1 RÉSSIR L ÉPREVE DE MATHÉMATIQES Baccalauréat Fare retrer l école das l ère du umérque

2 Le mot caddat fat référece au deu sees Mascul et Fém Réussr l épreuve de mathématques au baccalauréat. - Durée et coeffcet L épreuve dure heures, so coeffcet est pour les caddats scrts e phlo C et pour ceu scrts e A et D. - Composto de l épreuve L épreuve écrte de mathématques comporte partes se rapportat à tous les domaes du programme et l ue d etre-elles, la premère parte le plus souvet, est composée d ue sére de questos à réposes objectves qu eglobe tous les domaes thèmes du programme. - Structure de l épreuve Phlo C-D La parte A : La premère parte otée das le tete d eame parte A est costtuée d ue sére de questos objectves de tpe : à compléter ou à chosr la boe répose. Cette parte compte pour % de la ote globale et fat appel au capactés du caddat à effectuer des calculs sur les foctos logarthme et epoetelle surtout dérvées, domae, lmte, prmtve, tégrato, la probablté de réalsato d u évéemet au cours d u lacemet de dé, la forme matrcelle d u ombre complee, les codtos lées au comportemet d ue sute réelle, les coordoées de l sobarcetre d u esemble de pots du pla, les codtos de supplémetarté de deu sous-espaces vectorels d u espace vectorel doé etc La parte B : La parte B égalemet sur % de la ote globale, mas oblgatore, se rapporte à la résoluto d u eercce d Aalse sur les foctos logarthmque et epoetelle par eemple. Le caddat est appelé à fare l étude de cette focto, de la détermato du domae de défto s l est pas doé à la représetato graphque. Le caddat peut évetuellemet répodre à d autres questos se basat sur des équatos, des calculs d are, etc. La parte C : La parte C qu trate de la résoluto de deu eercces proposés sur quatre, revoe à des élémets de coteus sur les sutes umérques, la géométre, les ombres complees et la probablté. Le caddat a le cho de trater deu des quatre eercces comptat chacu sur % de la ote globale; ce qu doe ue représetato de % pour cette parte de l épreuve des mathématques.

3 Structure de l épreuve Phlo A L épreuve écrte de mathématques e phlo A comporte deu partes. La parte A ou premère parte La parte A, costtuée d ue sére de d questos objectves aalse, sutes réelles, probablté comme e phlo C-D est comptée pour % de la ote globale avec pots par questo. La parte B : La parte B comptat pour 7% de la ote globale, vte le caddat à résoudre oblgatoremet tros eercces portat sur l aalse, les sutes umérques et la probablté. Pour réussr les épreuves de mathématques pour les sectos A, C, D et le NS Quelques cosels I- Gesto du temps..aalser le lbellé Le MENFP vte chaque caddat à gérer so temps e deu étapes. à lre le lbellé deu fos fare ue lecture tégrale du tete pour vor les cocepts du programme utlsés pus décrpter le tete...compredre u eercce. eercce est u tout, les questos sot lées etre elles. Par eemple, quad ue questo commece par «E dédure que..», o dot ter compte de la questo précédete ou des questos précédetes. II- Répose à ue questo ou résoluto des problèmes... Le caddat est pas oblgé de répodre au questos l ue après l autre ou de résoudre les problèmes l u après l autre. Il dot d abord répodre au questos ou résoudre des problèmes qu l matrse... caddat dot garder so calme tout au log de la durée du test. S l arrve pas à répodre coveablemet à ue questo qu l e se lasse pas dépasser par cette stuato. Il a qu à lasser u espace et rever plus tard là-dessus, s le temps e lu fat pas défaut... Méthode lée à u eercce. A chaque fos qu u caddat résoud u eercce; l dot s assurer qu o e lu mpose pas ue méthode.

4 .. Les calculs caddat a aucu térêt à fare tous ses calculs au broullo pour des eercces qu l compred. caddat dot vérfer que ses calculs sot sesés; par eemple la probablté d u évéemet est u ombre comprs etre et ; ue dstace est u ombre postf; etc.. caddat dot ecadrer ses réposes pour faclter la correcto de sa cope. III- Rédacto caddat dot évter de fare des ratures être précs das ses rasoemets. Séparer les questos e sautat au mos ue lge. Toutes ces dspostos tedet à amélorer grademet la qualté de la rédacto et de la présetato de la cope. «CE QE TOT CANDIDAT DOIT SAVOIR POR RESSIR L EXAMEN DE MATHÉMATIQES» Modules I.- Sutes umérques. II.- Probabltés III.- Aalse. IV.- Géométre. V.- Nombres complees. Déftos et vocabulare des évèemets.. Espace probablsé.. Equprobablté. Probablté codtoelle.. Evèemets dépedats. Pré-requs Notos d aalse combatore..- Factorelle..- Arragemet..- Permutato..- Combaso..- Formule du bôme de Newto.. Formule des probabltés totales.. Epreuves de Beroull. Varables aléatores dscrètes.. Varables aléatores Bomales et de Beroull

5 Nombres Complees Sommare.- Esemble des ombres complees..- Opératos sur les ombres complees..- Cojugué d u ombre complee..- Module d u ombre complee..- Forme trgoométrque d u ombre complee. 6.- Forme epoetelle d u ombre complee. 7.- Races carrés d u ombre complee. a Forme algébrque. b Forme trgoométrque. c Races ème d u ombre complee. ANALYSE. Foctos umérques Lmte. Cotuté Dérvablté. Prmtve. Itégrale. Focto logarthme épére.. Foctos epoetelles. 8.- Equatos du er degré das C a Equatos e coteat que Z. b Equatos coteatz et. 9.- Equatos du d degré das C. complees. a Equatos à coeffcets réels. b Equatos à coeffcets.- Equatos du trosème degré ou plus das C..- Léarsato..- Smltude a Smltude plae drecte. b Smltude plae drecte. SITES RÉELLES.- Gééraltés..- Sutes arthmétques - Approche et défto. - Terme gééral d ue sute arthmétque. - Somme de termes cosécutfs d ue sute arthmétque..- Sutes Géométrques - Approche et défto. - Terme gééral d ue sute géométrque. - Somme des termes cosécutfs d ue sute géométrque. - Lmte d ue sute géométrque de raso strctemet postve..- Sute arthmétco-géométrques.

6 GÉOMÉTRIE TERMINALES.- Structure d espace vectorel et sous espace vectorel..- Sous-espaces vectorels supplémetares..- Applcatos léares..- Noau et Image d ue applcato léare..- Homothéte vectorelle et traslato vectorelle. 6.- Matrce et opératos sur les matrces. 7.- Projecto vectorelle et smétre vectorelle. 8.- Espaces Affes. - Barcetre. - Applcatos affes. - Traslato affe, - Homothéte affe, - Projecto affe, - Smétre affe 9.- Afftés Trasformatos orthogoales..- Isométres vectorelles..- Espaces vectorels euclde.- Isométres Vectorelles. Les petts trucs utles Rappels : Quel modèle chosr? Probablté S l éocé cotet le mot successf, l faut ter compte de tous les ordres das lesquels o peut obter u évéemet doé. O dot souvet multpler par le ombre d ordres possbles le résultat trouvé pour u ordre détermé. S l éocé cotet les mots successf et avec remse, cela sgfe que l ordre das lequel o cosdère les élémets a de l mportace et qu u élémet peut évetuellemet être répété. Le modèle mathématque est la p-lste. S l éocé cotet les mots successf et sas remse, cela sgfe que l ordre das lequel o cosdère les élémets a de l mportace mas que tous les élémets cosdérés sot dstcts ou qu l a pas de répétto d élémets. Le modèle mathématque est l arragemet. S l éocé cotet le mot smultaémet, cela sgfe que l ordre das lequel o cosdère les élémets a pas d mportace. Le modèle mathématque est la combaso. Il e s agt que d dcatos, elles admettet des eceptos.

7 Commet étuder les lmtes de foctos? Commet trouver la lmte d ue focto f e l f. O compare la focto f à des foctos plus smples dot o coat la lmte à l f. O utlse les théorèmes relatfs à la lmte d ue somme, d u quotet. Astuce : Peser lors d ue forme détermée, à mettre e facteur le terme de plus haut degré. Commet terpréter la lmte d ue focto? S lm f L ou lm f L alors la drote d équato = L est asmptote horotale à la courbe représetatve de f. S lm f ou lm f alors la drote d équato = a est asmptote a a vertcale à la courbe représetatve de f. S lm [ f a b] ou lm [ f a b], alors la drote d équato = a + b est asmptote oblque à la courbe représetatve de f e Les sutes : Fche Méthode I- Mootoe O étude le sge de après l avor eprmé e focto de. ou e. S > pour tout et seulemet das ce cas, o peut comparer à méthode cosellée lorsque s écrt sous forme d u produt ou d u quotet. II- Sutes arthmétque O motre que est arthmétque e calculat, et e vérfat que cette quatté e déped pas de. Pour eprmer e focto de, l est préférable de reter la formule p r, valable quel que sot le premer terme de la sute arthmétque. p Reter que la somme les premers termes d ue sute arthmétque est doée par S = ombre de termes premer terme + derer terme tester sur ue ou deu valeurs de e cas de doute III- Sutes géométrques O motre que est géométrque e calculat que cette quatté e déped pas de. s et e vérfat

8 Reter que : p q p ombre de terme Reter que s q, alors : S = premer terme q q IV- Lmtes S s écrt f, se rameer au théorèmes sur les lmtes de foctos e. Comparer le plus souvet possble à des sutes coues, grâce au théorèmes de comparaso suvats : S, à partr d certa rag, et o ote : lm l. l V et s lm V, alors coverge vers l - S, à partr d u certa rag, V et s lm V, alors lm. - S, à partr d u certa rag, V et lm V, alors lm. et du théorème suvat : S, à partr d u certa rag, lm V V W et s : lm lm W l, alors V- Tout ce qu l faut savor sur les ombres complees Calculer le module et u argumet d u ombre complee écrt sous forme algébrque. Doer l écrture trgoométrque ou l écrture epoetelle d u ombre complee. Doer le cojugué d u ombre complee : sous forme algébrque, sous forme epoetelle. Module et argumet d u produt et d u quotet. Résoudre ue équato du secod degré avec a, b et c réels. 6 Dfféretes caractérsatos du fat que est réel. a avec l écrture algébrque. b avec l argumet. c Avec le cojugué. 7 Dfféretes caractérsatos du fat que est magare pur. a avec l écrture algébrque. b avec l argumet. c avec le cojugué. 8 Calculer ue logueur avec des complees : AB = 9 Calculer des agles avec des complees : AB ; CD

9 Motrer que deu drotes AB et CD sot perpedculares. Motrer que tros pots A, B et C sot algés. Tradure que ABC est rectagle et socèle e B. Tradure que ABC est équlatéral. Écrture complee des trasformatos. a traslato. b rotato. c homothéte. Répose : Calculer le module et l argumet d u ombre complee écrt sous forme algébrque. = a + b avec a et b deu ombres réels a a b a b et u argumet de est doé par : cos et s a b Doer l écrture trgoométrque ou l écrture epoetelle d u ombre complee. cos s et e avec b a b Doer le cojugué d u ombre complee : sous forme algébrque, sous forme epoetelle. a b et e Module et argumet d u produt et d u quotet. et arg arg arg et arg arg arg Résoudre ue équato du secod degré avec a, b et c réels. Sot l équato a b c, avec a, b et c réels. b ac s >, alors l équato admet deu solutos réelles dstctes : b a s =, alors l équato admet ue soluto : b a s <, alors l équato admet deu solutos complees cojuguées : et b a b et a b a

10 6 Dfféretes caractérsatos du fat que est réel : a avec l écrture algébrque : = a doc b = [ou ecore cos ] b avec l argumet : R = ou arg c avec le cojugué : 7 Dfféretes caractérsatos du fat que est magare pur : a avec l écrture algébrque : = b ou ecore s magare pur Re = ou arg b avec l argumet : c avec le cojugué : 8 Calculer ue logueur avec des complees : AB B A B A B A 9 Calculer des agles avec des complees : D C AB; CD arg B A Motrer que deu drotes AB et CD sot perpedculares. S l argumet du rapport vaut p / mod p ou s le rapport appartet à. R. O motre que AB CD Motrer que tros pots A, B et C sot algés : S l argumet du rapport vaut mod p ou s le rapport appartet à R. Doc s l este u réel k tel que AB k BC, alors les vecteurs AB et BC sot coléares. Tradure que ABC est rectagle et socèle e B : A B O motre que BA BC et que BA BC ou ecore que e das le cas où ABC C B est u tragle rectagle drect e B. Tradure que ABC est équlatéral : C A O motre que B A C B C A ou ecore que e das le cas où ABC est B A u tragle équlatéral drect. Écrture complee des trasformatos : a Traslato de vecteur u o ul, d affe : b Rotato de cetre Ωw et d agle : w e w ou ecore e w w c Homothéte de cetre Ωw et de rapport k réel o ul : w k w ou ecore k w w

11 MINISTÈRE DE L ÉDCATION NATIONALE ET DE LA FORMATION PROFESSIONNELLE Cosges :. L usage de la calculatrce programmable est terdt MODELE DE TEXTE PHILO C-D MATHÉMATIQES. Le téléphoe est terdt das les salles. Le slece est oblgatore.. L épreuve comporte deu partes. Durée de l épreuve : heures. Le caddat est vté à fare fgurer sur la cope toute trace de recherche, même complète ou o fructueuse, qu l aura développée. La qualté de la rédacto, la clarté et la précso des rasoemets etrerot pour ue part mportate das l apprécato des copes. Parte A.- Recoper sur la feulle de mse au et la questo accompagée de la répose jugée correcte. pts : pts / questo. - O cosdère la focto g défe par g = ll. L esemble de défto de la focto g est : ], [ [, [ ] e, [ ], [ - Das u pla mu d u repère orthogoal O ;, j, s l o pred cm et j cm, alors l are de la régo défe par et 6 cm cm cm vaut : cm - Tros ombres, a et b sot les termes cosécutfs, das cet ordre, d ue sute géométrque de raso postve. O sat de plus que : a + b = 8. Nous dédusos que a et b valet. a 8 et b 6 a et b 7 a et b 98 a et b 96 - O cosdère ue sute umérque telle que, pour tout eter aturel ; o a. affrmer que la sute est : décrossate covergete de lmte lm aucue des réposes O peut - Sot u eter aturel, le ombre complee est réel s est égal à : k k k 6k k N * 6- La forme epoetelle du ombre complee est : 7 e 7 7 e e e 7- Sot E u espace vectorel euclde rapporté à ue base orthoormée, j, k et sot D ue drote eucldee egedrée par a j k. L orthogoal de D est : le pla vectorel d équato la drote vectorelle d équato. la drote vectorelle d équato aucue des réposes 8- Sot E u espace vectorel de base, j. F, sousespace vectorel de E egedré par a j et G, sous-espace vectorel d équato f, smétre vectorelle de E par rapport à F parallèlemet à G. L mage du vecteur, par f est le vecteur de composates : ; ; ; ; 9- e epérece aléatore a tros ssues possbles : ; et t où t est u réel. O sat que p ; p et p t ; de 6 plus l espérace mathématque assocée est ulle. O a alors : t t 6 t aucue des réposes - e epérece aléatore est représetée par l arbre c-dessous où A et B sot deu évéemets, A et B leurs évéemets cotrares :

12 , P A, B P A, B A A,8,9 P A, B P A, Sot la focto f défe sur ], [ par f l l Sot C f la courbe représetatve de f das u repère orthoormal O ;, j. Doer ue écrture de f avec u seul smbole «l». Calculer les lmtes au bores de D f. a Motrer que la drote D d équato = est asmptote oblque à la courbe C f. b Étuder la posto de C f par rapport à la drote D. Étuder les varatos de f. calculer f,8 et f,9. Que peut-o e dédure? 6 Costrure C f et D das le repère O ;, j. 7 Écrre l équato de la tagete au pot d abscsse =. - O désge par C le corps des ombres complees. Sot P la focto défe par : P a Motrer que l équato P = admet ue race magare pure que l o précsera. b Détermer u polôme du secod degré Q à coeffcets complees sachat que P Q c Résoudre l équato P = B B Parte B.- Oblgatore pts. Parte C.- Trater deu des quatre eercces. pts. pts / eercce. B B B d O désge par M, M et M les mages des races de l équato P =. Détermer les coordoées du pot G du sstème S M, ; M, ; M, Calculer les dstaces : GM ; GM et GM. Doer l esemble des pots M du pla affe P rapporté à u repère orthoormé tels que : MM MM MM. - Sot la sute umérque défe sur l esemble des eters aturels N par, À l ade d ue calculatrce, recoper et compléter ce tableau des valeurs de la sute approchées à près. E observat ce tableau, éocer ue hpothèse sur le ses de varato de la sute. a Démotrer, par récurrece, que pour tout aturel ormal, o a : b E dédure que, pour tout eter aturel o ul,. c Étuder la covergece de la sute. Sot la sute V défe sur N par V, a Démotrer que la sute V est ue sute géométrque de raso. O précsera le er terme de la sute V. b E dédure V et e focto de. - Sot E u espace vectorel de dmeso sur R de base, j, k. O cosdère les sous-espaces vectorels F et G tels que :

13 F : déf par : G : défe par : Précser la ature de F et G. Motrer que F et G sot supplémetares das E. Défr aaltquemet l edomorphsme f, projecto vectorelle de E sur F parallèlemet à G. a E dédure l epresso aaltque de l edomorphsme g, smétre vectorelle de E par rapport à G de drecto F. b Vérfer que A A = I, où A est la matrce assocée à g et I, la matrce uté. a Doer la lo de probablté de S. b Calculer l espérace mathématque de S et terpréter le résultat. c Détermer et représeter la focto de répartto de S. - Das ue vlle comportat méages, ue equête portat sur les habtudes des méages e matère d écologe a doé les résultats suvats. 8 méages pratquet le tr sélectf. parm les méages pratquat le tr sélectf, % cosommet des produts bo. Parm les méages pratquat le tr sélectf, 6 cosommet des produts bo. O chost u méage au hasard tous les méages ot la même probablté d être chos et o ote T l évéemet «le méage pratque le tr sélectf» B l évéemet «le méage cosomme des produts bo» Détermer : PT; P T B et P T B Justfer que PB =, Cette vlle décde de favorser les méages aat u comportemet écoctoe. Pour cela, elle doe chaque mos u chèque de $ au méages qu pratquet le tr sélectf et u chèque de $ à ceu qu cosommet des produts bo les deu motats peuvet être cumulés. Sot S la somme d arget reçue par u méage chos au hasard. a Doer les dfféretes valeurs que predre S.

14 MINISTÈRE DE L ÉDCATION NATIONALE ET DE LA FORMATION PROFESSIONNELLE CLÉ DE CORRECTION PHILO C-D MATHÉMATIQES - Sot g = l l g este ss l > => l > l => > Dg = ], [ - A a 6cm cm -, a, b état des termes d ue sute géométrque a q et b = aq ou b = q. E effet a + b = 8 q q 8 q q Doc q = 6 ou q = 7. O retet q = 6; as a et b 7 - Sot. Nous avos lm D après le théorème des gedarmes lm Doc o peut affrmer que est ue sute covergete de lmte. - Sot cos s cos s cos s est réel s s k k, k N * 6- Sot cos s cos s cos s cos s cos s 7 7 cos s e 7 car cos s e 7- Sot D ue drote eucldee egedrée par a j k L orthogoal de D est le pla vectorel d équato : 8- L mage du vecteur, par f est le vecteur de composates,. 9- La lo de probablté de la varable aléatore X est doée par ce tableau. X t P 6 Nous avos EX = => p t t 6 - Sot p B p A B p A B p B,8, p B A, Parte B.- Oblgatore pts. Soluto Doos ue écrture de f avec u seul smbole «l».

15 f l l f l a Car l a l b l b Calculos les lmtes au bores lm f lm l car lm lm l lm f lm l lm f la drote = est asmptote vertcale à C f. b lm f lm l car lm l lm l lm l l lm f Motros que la drote D d équato = est asmptote oblque à la courbe C f. La drote D est asmptote oblque à C f s lm [ f ] lm [ f ] lm l lm [ f ] lm l l Doc D est asmptote oblque à C f e b Étudos la posto de la courbe C f par rapport à la drote D. Nous avos > et + > : e aat < + l, doc o obtet f < ; cela tradut que la drote est au-dessus de la courbe C f. V Rappel : l V V f f E effet > => N = + + > et N D = + >, doc le rapport ou ecore et D f. Das ce cas f est strctemet crossate sur l tervalle ], [. Calculos f,8 et f, 9,8 f, 8,,9 f, 9,6 Voat que f, 8. f, 9 < => l équato f = a ue soluto et ue seule das l tervalle [, 8;, 9]; c est-à-dre l este u réel [, 8;,9] tel que f = Dressos le tableau de varato de f f f, 8, 9,,6,8 Étudos les varatos de f. Sot f l D C f

16 Eercce a Motros que l équato P = admet ue race magare = B B B B B B B B B B B B B B Par detfcato B B B B B E essaat o trouve B = das. D après la méthode de Horer l équato s écrt : B B B ou B ou B E portat ces tros valeurs das ; o retet que B =. Doc la race magare est =. b Détermos u polôme du secod degré Q à coeffcets complees. Dressos le tableau de Horer. + + = + Factorsos P P [ ] Doc le polôme du secod degré Q à coeffcets complees est : Q a Résolvos das C l équato P = P [ ] ou Cosdéros l équato a b c Calculos b ac. Calculos et. b b ou a a ou = 9 Les solutos de l équato P = sot = ou = + ou = b Détermos les coordoées du barcetre G du sstème S M, ; M, ; M, Nous avos : M mage de = => M, M mage de = + => M, M mage de = => M, G G M M M M M M G 9 G, G 9 Calculos les dstaces metoées GM GM GM GM 7 G G G G

17 GM G 89 GM Détermos l esemble des pots M tels que : MM MM MM Nous avos : MM MM MM MM MG GM MG MG MG GM G MM MG MG GM MG GM GM GM GM MM GM MM MM MG MG GM MG GM MG MG GM GM MM MM MM MM 9 MG GM GM MG MG GM GM GM O a MG GM MG GM MG GM MG GM GM GM. Falemet : 9 MM MM MM MG 7 Doc ous obteos GM MG 7 MG MG 9 L esemble des pots M est u cercle de cetre G 6 et de rao R. Eercce Thème abordé : Sutes réelles Soluto a Recopos et compléter le tableau proposé,,8,9,6 d après le tableau précédet, o peut cojecturer que la sute est décrossate à partr du rag. Démotros, par récurrece, que pour tout aturel o ul, o a :, Sot P la posto, a Italsato Pour = ; o a =, et,,87; doc P est vrae. b Hérédté Supposos que, pour u certa eter aturel k o ul, la proposto P est vrae, c est-à-dre P :, c Démotros que la proposto P etrae la proposto P + ; c est-à-dre que, Étudos la covergece de la sute. Pour tout N * ; o a :, Cela veut dre que la sute est morée. La sute état décrossate et morée, doc elle est covergete. a Démotros que la sute V est ue sute géométrque. V est ue sute géométrque s l este u réel V q tel que V qv ou q V V, V,

18 ,, V V, Portos V et V + das,, q q,, q Doc V est ue sute géométrque de raso q So premer terme vaut V, V V 8 b V état ue sute géométrque, doc V V q V 8 Comme V, 8, D après l hérédté :, Multplos par, ajoutos, à chaque membre,,,, E effet :,, o e dédut que :, et la proposto P est hérédtare. Cocluso : La proposto P est talsée et hérédtare, elle est doc vrae pour tout N *. b Dédusos que : N * Sot,,,,, car, Eercce Méthode - l équato d u pla vectorel s écrt sous la forme a b c, où a ou b ou c O écrt l équato d ue drote vectorelle sous forme d égaltés, où m,, p m p représete les composates du vecteur base. - La dmeso de E est. O motre que G clut pas das F, pus o coclut que F et G sot supplémetares das E. - O chost u vecteur quelcoque o ul u de E et o calcule so mage u f u. Le couple u, u vérfe : u F, pus o e dédut la défto u ug aaltque de f. Soluto F : sous-espace vectorel déf par : G : sous-espace vectorel déf par : - Nature de F et G F est u pla vectorel

19 G est ue drote vectorelle egedrée par u vecteur de composates,, - Motrer que F et G sot supplémetares das E. Les composates du vecteur a de G e vérfet pas l équato de F, doc. F G O coclut que F et G sot supplémetares das E. - Défr aaltquemet l edomorphsme f, projecto vectorelle de E sur F //G. Pour tout vecteur,, u de E d mage,,, u f u o a : u F et G u u F u t G u u R tel que a t u u c està-dre t t t Cherchet t e remplaçat, et das. O a : t t t 7 7 t t Remplacer t das Telle est la défto aaltque de f, projecto vectorelle de E sur F // G. - a O écrt la relato etre ue projecto et ue smétre vectorelles de drectos dfféretes : Smétre = Idetté projecto. O e dédut l epresso aaltque de la smétre vectorelle g. b O écrt la matrce A assocée à la smétre g. O calcule le produt A A, pus o vérfe que A A = I, matrce uté. Soluto - a E dédure l epresso aaltque de l edomorphsme g, smétre vectorelle de E par rapport à G de drecto F. f : projecto vectorelle de E sur F // G g : smétre vectorelle de E par rapport à G // F La relato est : Smétre = Idetté projecto c est-à-dre : f Id g et, u E u f u u f u Id u g , u g telle est l epresso aaltque de g, smétre vectorelle de E par rapport à G de drecto F. -b Vérfer que A A = I, où A est la matrce assocée à g A A A. I A A

20 Eercce Représetos cette stuato par u arbre podéré V T8 T 6 B 6 B B6 B Sot T l évéemet le méage pratque le tr sélectf. cardt 8 P T P T,7 card Sot T B l évéemet «le méage e pratque pas le tr sélectf, mas cosomme des produts bo» 6 6 P T B P T P B T 6 P T B, Sot T B l évéemet «le méage pratque le tr sélectf et cosomme des produts bo» 6 P T B P T PT B,7,8 8 P T B,8 Prouvos que PB =,. Nous avos parm les méages qu pratquet le tr collectf, 6 qu cosommet des produts bo, esute parm les méages e pratquat pas le tr, 6 cosommet des produts bo. O a CardB = = 7 CardB P B Card Doc PB =,. a Toute observato de l arbre permet de compredre qu u méage peut recevor $ pas de tr et pas de cosommato bo $ Pas de tr, mas cosommat des produts bo $ 7 pratquat le tr et cosommat des produts bo Doc l esemble des valeurs prses par S est {,,, 7} b Doos d abord la lo de probablté de la varable aléatore S. s 7 PS = s,7,,,8 c Calculos l espérace mathématque de la varable aléatore S. E S sp sp sp sp sp E S,7,, 7,8 E S, Défssos ue focto F où pour tout réel s; o a : Fs = P S s Pour s < : o a F s P S s F s P Pour s o a F s P S s F s P S F s,7 Pour s : o a F s P S s F s P s P S. F s,7, F s, Pour s 7: o a F s P S s F s P s P s P s F s,7,, F s,7 Pour s 7: o a F s P S s F s P S P S P S P S 7 F s,7,,,8 F s Graphe de la focto de répartto F.,8,6,, 7

21 MINISTÈRE DE L ÉDCATION NATIONALE ET DE LA FORMATION PROFESSIONNELLE TEXTE MODELE PHILO A MATHÉMATIQES Cosges :. L usage de la calculatrce programmable est terdt. Le téléphoe est terdt das les salles. Le slece est oblgatore.. L épreuve comporte deu partes. Durée de l épreuve : heures. Le caddat est vté à fare fgurer sur la cope toute trace de recherche, même complète ou o fructueuse, qu l aura développée. La qualté de la rédacto, la clarté et la précso des rasoemets etrerot pour ue part mportate das l apprécato des copes. Parte A.- Recoper sur la feulle de mse au et la questo accompagée de la répose jugée correcte. pts : pts / questo. - Sot la focto f défe par f l. O ote C f la courbe représetatve de f das u repère orthoormé. Le pot A d abscsse a pour ordoée : l l l l l Aucue des réposes - La somme des premers termes d ue sute géométrque de premer terme V = et de raso équvaut à aucue des réposes - A et B sot deu évéemets dépedats et o sat que pa =, et pb =,. La probablté de l évéemet A B est égale à :,, 7, 6 aucue des réposes - Das R, l équato e admet pour soluto : e l e aucue des réposes - O cosdère la sute géométrque de raso postve q q > telle que = 6 et 8 =, la raso q de cette sute est 6- Voc la lo de probablté d ue varable aléatore X. P,,, E X E X E X aucue des réposes 7- Sot g la focto défe sur ], [ par g l 6. Pour tout ], [: g g 6 l 6 g aucue des réposes 8- O cosdère la sute umérque défe pour par. O peut coclure que la sute est : arthmétque géométrque arthmétco-géométrque aucues des réposes 9- A et B état deu évéemets dépedats assocés à ue epérece aléatore tels que P A et P B P A B P A P B P A B P A P B P A B aucue des réposes - est u réel strctemet postf. La lmte de l e + est : aucue des réposes Parte B.- Oblgatore 7 pts. - O cosdère la focto f défe sur ], [ e par f Calculer f et étuder so sge.

22 Doer le tableau de varatos de f pour,. Écrre l équato de la tagete au pot d abscsse =. Tracer la courbe C représetatve de f pour, das u repère orthoormé d uté cm. pts - e ure cotet boules : cq vertes, tros rouges et deu ores. joueur tre successvemet, avec remse, deu boules de l ure. S l obtet deu boules vertes, l gage gourdes. So, l perd gourdes pour deu boules rouges, gourdes pour deu boules ores et gourde pour deu boules de couleurs dfféretes. O ote G la varable aléatore qu dque le ga algébrque du joueur. Défr la lo de probablté de G. Calculer l espérace et l écart-tpe de G. Ce jeu est-l équtable? Défr la focto de répartto de G. pts - Sot et V les sutes défes, pour toute eter aturel, par : = 9, et V 6. a Motrer que V est ue sute géométrque à termes postfs. b Calculer la somme S V... V e focto de et e dédure la somme S.... O déft la sute W par W = lv pour tout eter. Motrer que W est ue sute arthmétque. Calculer S W... W e focto de. Calculer P V V... V e focto de. pts

23 MINISTÈRE DE L ÉDCATION NATIONALE ET DE LA FORMATION PROFESSIONNELLE CLÉ DE CORRECTION PHILO A MATHÉMATIQES - Le pot A d abscsse l l a pour ordoée : - La somme des premers termes d ue sute géométrque de premer terme V = et de raso équvaut à - La probablté de l évéemet A B est égale à,7 - Das R, l équato e admet pour soluto l - La raso q de cette sute est 6- E X 7- g 8- O peut coclure que la sute est géométrque. 9- P A B - La lmte de l e + est Parte B.- Oblgatore 7 pts. Eercce a Calculos la dérvée premère e e e f f e e f e Doc f b Étudos le sge de la dérvée Pour tout ], [ o a e > et > ; doc f est du sge de. Commetares f pour ], [ f pour ], [ f pour = Doos le tableau de varatos de f pour, e Sot f f e f e, e f e,7 f e,7 f e e e Écrvos l équato de la tagete au pot =. f f Cherchos f et f e e f f e e e f f,7 Reveos das,8,7,8,7,7 Doc =,8,8

24 Traços la courbe C représetatve de f pour, Eercce Méthode - O déft l uvers Ω assocé à ce modèle de trage. Les cho à chaque trage sot trop ombreu pour que l o desse u arbre. O utlse alors le sstème des cases. O vérfe l équprobablté des évéemets élémetares. O déterme les valeurs prses par G. O déombre les ssues qu réalset l évéemet «G =» O calcule pg = = O déterme de même les probabltés des autres évéemets. O déft la lo de probablté de G. - O calcule l espérace et l écart-tpe E k k G g p; V G g p G E - O déft la focto de répartto R [; ] F : g F g p G g Soluto Lo de Probablté de G : re : boules. v, r, ores ère boule cho. ème boule cho C est l esemble des couples g, p avec p p G g e ssue est u couple de boules doc, l uvers Ω cotet = ssues, cardω =. Les boules sot trées soet équprobables. G pred les valeurs :,,, et v R N boules couleurs dfféretes pg = correspod à la probablté de l évéemet V : «boules vertes» Doc V cotet = = ssues favorables. Card V = D où p G, De même, p G, 9 et p G, Les ssues favorables à l évéemet «deu boules de couleurs dfféretes» sot-elles qu ot pas ecore été comptablsées. D où p G, 6 D où la lo de probablté de G : Ga. g p p G g,,9,6, Espérace de G E G g p,,9,6,6 EG =, le jeu est équtable Varace de G

25 Var G g p,9 D où G Var G, gourdes Focto de répartto de G : F G p G g g, g, g, g, F G F G p G, F G, p G,,9, F G, p G,,6,7 g, F G,7 p G,7, La focto de répartto F est résumée par le tableau suvat : g FG,,,7 Modèle de trage; Avec remse Pour déombrer les ssues possbles : desser u arbre ou utlser le sstème par cases. Thèmes : varable aléatore, Espérace Varace Écart-tpe Eercce Méthode Lo de probablté Focto de répartto - a O utlse la défto de la sute géométrque, o eprme V + e focto de V, pus o e dédut la raso q. O calcule le er terme V. O remarque V et q sot tous deu postfs, doc, pour tout eter aturel, V >. b O écrt la formule doat la somme des + premers termes d ue sute géométrque, pus o effectue. O eprme le terme gééral de la sute e focto de celu de la sute V, pus o dédut la somme des + premers termes de la sute récurrete. - O utlse la défto de la sute arthmétque. O utlse les proprétés du logarthme, pus o e dédut la raso r. Soluto : = 9, et V : V 6 N, a Motrer que V est ue sute géométrque à termes postfs. V sute géométrque ss q R * tel que N, V qv V 6 6 V 6 V O e dédut que q. Eprmos V e focto de. V Vq V car V 6 V > et q > N, V > Doc, la sute V est ue sute géométrque de premer V = > et de raso q Les termes de la sute V sot tous postfs. b Epresso de la somme S V... V V q S q,

26 S... Epresso de S = + + O a : V 6 V 6 V S 6 S 6... W est tel que : W = lv, N Motrer que W est ue sute arthmétque W sute arthmétque ss r R tel que N : W W r O écrt la formule doat la somme des + premers termes d ue sute arthmétque et, o effectue. Epresso de S W... W e focto de W W l l S Calculer P V V... V e focto de P V Vq Vq...Vq V P q... V q O eprme V, V,, V e focto du premer terme V et de la raso q. O groupe et, o dédut l epresso de P e focto de. W l V La dfférece : W W l V l V V W l W l q l l V W est ue sute arthmétque de raso r l et de premer terme W lv l.

27 MINISTÈRE DE L ÉDCATION NATIONALE ET DE LA FORMATION PROFESSIONNELLE Cosges :. L usage de la calculatrce programmable est terdt CLÉ DE CORRECTION FIN D ÉTDES SECONDAIRES MATHÉMATIQES. Le téléphoe est terdt das les salles. Le slece est oblgatore.. L épreuve comporte deu partes. Durée de l épreuve : heures. Le caddat est vté à fare fgurer sur la cope toute trace de recherche, même complète ou o fructueuse, qu l aura développée. La qualté de la rédacto, la clarté et la précso des rasoemets etrerot pour ue part mportate das l apprécato des copes. Parte A.- Oblgatore pts: 8 pts / questo Recoper sur la feulle de mse au et la questo accompagée de la répose jugée correcte e la justfat. - L équato l l l l : est défe sur ] ; [ a pas de soluto a pour esemble de solutos ] ;] aucue des réposes - O cosdère le ombre complee j tel que j e. 7 La forme algébrque de j est : - L espace est mu d u repère orthoormal drect O ;, j, k. Sot les pots A, 6,, B,, et C,,. L are du tragle ABC est : - véhcule coûte e 9. Il se dépréce de % par a c est-à-dre so pr de revete basse de % par a. Sa valeur à la vete au bout de as sera de : , aucue des réposes - captal de gourdes est placé au tau auel de,% à térêts composés. O ote C le captal tal et C celu dspoble au bout de aées. Le terme C e focto de est égal à : C = +, C =, C = aucue des réposes Parte B.- pts / problème Trater tros des cq problèmes. - A. f est la focto défe sur ] ; [ par : l f a Calculer la dérvée de f et étuder le sge de cette dérvée. Dresser le tableau de varato de f sur ] ; ] b Résoudre l équato f = c E dédure le sge de f sur ] ; ] B. etreprse qu fabrque des ustesles de cuse sat qu elle peut e produre jusqu à par jour et que so bééfce eprmé e mllers par : l q B q, où q est le ombre d utés q produtes e mllers. a Détermer le ombre mmal d utés à produre pour que l etreprse attege le seul de retablté. b Détermer le ombre d utés à produre pour que l etreprse obtee u bééfce mamum, as que la valeur de ce bééfce e dollars - Le secteur de producto d ue etreprse est composé de tros catégores de persoel : les géeurs I, les techces de producto T et les agets de mateace M. Il a 8% d géeurs et 8% de techces de producto. Les femmes F représetet % des géeurs, % des agets de mateace et 6% des techces de producto. O terroge au hasard u membre du persoel de cette etreprse. a Costrure u arbre podéré qu représete cette epérece.

28 b Quelle est la probablté que la persoe terrogée sot u homme? c S la persoe est ue femme, quelle est, à près, la probablté qu elle sot géeur? - Sot E l équato dfféretelle a Résoudre E sur R. b Trouver la soluto de E vérfat = et c Démotrer que, pour tout réel, e cos - est u eter aturel o ul. O pose a a Démotrer que, pour tout eter aturel o ul, a est dvsble par. b Détermer les eters pour lesquels a est dvsble par 7. - O cosdère la sére double statstque suvate : 9 8 a Représeter le uage de pots assocés à la sére statstque double, das u repère orthogoal adapté au doées. b Détermer le pot moe de ce uage de pots. c Calculer : la covarace de et. la varace de. d Détermer ue équato de la drote de régresso de e

29 MINISTÈRE DE L ÉDCATION NATIONALE ET DE LA FORMATION PROFESSIONNELLE CLÉ DE CORRECTION FIN D ÉTDES SECONDAIRES MATHÉMATIQES - L équato l l l l a pour esemble de solutos ], ]. - Sot j e ; la forme algébrque de - L are du tragle ABC est 7,.A 7 j est. - Sa valeur à la vete au bout de as sera de 7 - Le terme C e focto de est égal à C = C + I ou C =, Parte B.- pts / problème Trater tros des cq problèmes. A- Méthode - O utlse la dérvée de la focto, V la dérvée de la focto l O étude le sge de la dérvée qu est celu de l sur ], [. O dresse le tableau de varato sur ], ]. O résoud l équato f = c est-àdre le sge de f sur l tervalle cosdéré. A- f défe sur ], [ par : Soluto l f Dérvée de f. V V f f V V l V V f l l l f Sge de la dérvée Déomateur : > Num = <=> l = => = Tableau de la dérvée. + l f +,, f f Tableau de varato de f sur ], ]. lm f, est AV à C f. l lm f, X = => f =, la courbe C de f admet au pot d abscsse u mamum égal à. D où le tableau de varato sur ]; ] f + f, Résoudre l équato f = f l e, e Sge de f sur ]; ] f f e S e e,

30 f, qd e f, qd. e B- Méthode L etreprse attet le seul de retablté pour q =. O calcule la dérvée du bééfce pour obter le ombre d utés et le bééfce mamum s e dédut. Soluto l q B q, q ombre d utés produtes q e mllers. Nombre mmal d utés à produre Pour cela l etreprse attege le seul de retablté, elle dot produre au mmum utés. Eercce Méthode - O tradut l éocé e repérat les probabltés codtoelles. O utlse la répartto du persoel : pi + pm + pt = O utlse la lo des œuds. Lors de la réalsato de l arbre, les probabltés sur les braches du deuème veau sot des probabltés codtoelles. Pour démarrer l arbre, deu cho sot à pror possbles : la catégore ou le see or, o coaît la probablté de chaque catégore, doc o démarre par I, M et T. - O repère tous les chems qu mèet à la réalsato de cet évéemet. - O utlse la défto de la probablté codtoelle d u évéemet. O applque la lo des chems. Nombre d utés à produre pour obter u bééfce mamum. l q B q q B q l q q B Pour obter u bééfce mamum, l etreprse dot produre utés. Le bééfce correspodat est de dollars. Bq q, 8, q Soluto Costrusos u arbre podéré O ote H l évéemet «la persoe est u homme». D après l éocée. pi =,8 et pt =,8, doc p M p I p T,. pi F, pm F, et p T F,6; doc pi H,, pm H,7 et p T H, D où l arbre podéré représetat l epérece :,8 I M T, F H,, F H,7,6 F, H

31 Probablté que la persoe terrogée sot u homme. O calcule ph. Tros chems I H, M H, T H mèet à H, doc ph est la somme des probabltés des évéemets assocés à ces chems. p H p I H p M H p T H p I p H p M p H p T p H I,8,,,7,8, Doc, ph =, p I F Il s agt de calculer p F I p F Or, F H; d où pf = ph pf =,7 De plus, p I F,8,,, Doc, p I I, 7,7 Thèmes : Probabltés codtoelles Eercce Méthode Lo des œuds Formule des probabltés totales Lo des chems. a O cherche l équato caractérstque de E et o calcule so dscrmat. <, les solutos de E sot les foctos : e cos s b O utlse les codtos mposées pour trouver et. O dérve. O trouve doc et. O écrt la soluto partculère de E. c O utlse ue autre epresso des solutos < : : e Rcos,,, R et sot des costates réelles. R M T O dvse : e cos s par. O e dédura la forme demadée. Soluto E a Résoudre E sur R Cherchos l équato caractérstque : r r Calcul du dscrmat : 6 e race carrée de est. Les solutos de l équato caractérstque sot : r et r races complees cojuguées Les solutos de E sot les foctos de la forme : : e cos s Pour et, o a : e cos s b Soluto de E vérfat = et Il s agt de trouver et. e cos s Décrvos e cos s, La soluto partculère vérfat les codtos est : e cos s c Démotrer que, R, e cos. <, ue autre epresso de est e Rcos, R E dvsat e cos s par e, o a : cos s

32 e cos s e cos cos s s e cos D où e cos R, et. Thème : Équatos dfféretelles Complees Équatos trgoométrques Eercce Méthode - O souhate motrer que a mod. Doc, o s téresse au restes de la dvso eucldee de par. O dresse le tableau des restes das la cogruece modulo. O applque les règles de calcul sur les cogrueces. O coclut. - Comme das le cas précédet, o s téresse au restes de la dvso de par 7, et o dresse le tableau des restes das la cogruece modulo 7. Das le tableau, o detfe les cas pour lesquels a modulo 7 O coclut. Soluto Démotros que, N *, a est dvsble par. Les restes de la dvso eucldee de par sot :, ou. Doc mod, mod ou mod Dressos u tableau des restes das la cogruece modulo. 6 6 Pour tout eter aturel o ul : mod, doc dvse a ou a est dvsble par. Détermos les eters pour lesquels a est dvsble par 7. Das la dvso eucldee de par 7, les restes possbles sot :,,,,,, 6. D où : D après ce tableau : a mod7 ss mod7 ou mod7 ou mod7 Doc les eters cherchés sot les eters : = 7k, = 7k +, = 7k + avec k N *. Thème : Cogruece Eercce Eters cogrus modulo m Proprété des cogrueces. Soluto Le uage des pots correspodat est représeté par le graphque c-dessous : 6

33 Détermos le pot moe de ce uage de pots. Sot, G ce pot Nous avos : 8 9 ; 7 doc G, 7 a Calculos la covarace de et. cov, = cov, = cov, = cov, = b Calculos la varace de. V ou V V V V = détermos ue équato de la drote de régresso de e. b a Le coeffcet drecteur a est doé par la formule :, cov a V a L ordoée à l orge équvaut à 7 b b a b D où = +