Kamel MEHDI & Sihem ZAGHDOUDI. Cours et Exercices de. Résistance des. Matériaux

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1 République Tunisienne Ministère de l Enseignement Supérieur, de la Recherche Scientifique et de la Technologie Université El Manar المعهد التحضيري للدراسات الهندسية بالمنار Institut Préparatoire au Etudes d Ingénieurs El Manar Kamel MEHDI & Sihem ZAHDOUDI Cours et Eercices de Résistance des Matériau Classes Préparatoires au Etudes d Ingénieurs èmes années PT Janvier 011

2 Avant-propos Ce support de cours et ces applications sont destinés au étudiants des èmes années du ccle préparatoire au études d ingénieurs. Ils sont élaborés conformément au programme officiel fié par le Ministère de l Enseignement Supérieur, de la Recherche Scientifique et de la Technologie (République Tunisienne). Les bases théoriques de ce support figurent dans de nombreu ouvrages de Résistance des Matériau. Une sélection d eercices est fournie à la fin de ce document. Ces eercices constituent des sujets d eamen et des devoirs surveillés que nous avons proposés au étudiants l I.P.E.I. El Manar (00-010) Kamel MEHDI & Sihem ZAHDOUDI Cours et Eercices de Résistance des Matériau K. MEHDI & S. ZAHDOUDI janvier 011 i

3 TABLE DES MATIERES I. LES HYPOTHESES DE LA RESISTANCE DES MATERIAUX... 1 I.1. BUT DE LA RESISTANCE DES MATERIAUX... 1 I.. HYPOTHESES ENERALES... 1 I..1. Hpothèses sur les matériau... 1 II. ENERALITES SUR LES POUTRES... 1 II.1. DEFINITION D UNE POUTRE... 1 II.. HYPOTHESE SUR LES POUTRES... II.3. PARAMETRAE DE LA POUTRE... II.4. HYPOTHESES SUR LES EFFORTS EXTERIEURS... 3 II.5. DOMAINE DE VALIDITE DE LA RESISTANCE DES MATERIAUX... 3 III. PROPRIETES EOMETRIQUES D UNE SECTION DROITE... 3 III.1. CENTRE DE SURFACE OU CENTRE DE RAVITE D UNE SURFACE PLANE... 3 III.1.1. Définition :... 3 III.1.. Définition... 4 III.. MOMENT QUADRATIQUE D UNE SURFACE PLANE PAR RAPPORT A UN AXE... 4 III..1. Définition... 4 III.3. MOMENT QUADRATIQUE POLAIRE... 5 IV. TORSEUR DES EFFORTS INTERIEURS... 6 IV.1. DEFINITION DU TORSEUR DES EFFORTS INTERIEURS... 6 IV.. COMPOSANTES DES ELEMENTS DE REDUCTION EN DU TORSEUR DES EFFORTS DE COHESION... 7 IV..1. Définition du repère local lié à la section droite (S)... 7 IV... Composantes des éléments de réduction du torseur des efforts de cohésion dans le repère local. 7 IV.3. RELATION ENTRE EFFORT TRANCHANT ET MOMENT DE FLEXION... 9 IV.4. DEFINITION DES SOLLICITATIONS SIMPLES V. NOTIONS SUR LES CONTRAINTES I. DEFINITION... 1 II. ESSAI DE TRACTION II.1. ÉTUDE EXPERIMENTALE : COURBE CONTRAINTE - DEFORMATION II.. CARACTERISTIQUES MECANIQUES III. ETUDE DES DEFORMATIONS...14 IV. CONTRAINTE DANS UNE SECTION DROITE V. CONDITION DE RESISTANCE VI. ALLONEMENT (OU RACCOURCISSEMENT) L D UNE POUTRE DE LONUEUR L VII. NOTION DE CONCENTRATION DE CONTRAINTES I. DEFINITION II. ETUDE DES DEFORMATIONS...16 III. ETUDE DES CONTRAINTES IV. CONDITION DE RESISTANCE Cours et Eercices de Résistance des Matériau K. MEHDI & S. ZAHDOUDI janvier 011 ii

4 IV.1. CARACTERISTIQUES DES MATERIAUX EN CISAILLEMENT IV.. CONDITION DE RESISTANCE I. DEFINITION II. ESSAI DE TORSION SIMPLE... 0 III. ETUDE DES DEFORMATIONS...0 IV. ETUDE DES CONTRAINTES... 1 V. CONDITION DE RESISTANCE... V.1. RELATION ENTRE CONTRAINTE ET MOMENT DE TORSION :... V.. CONDITION DE RESISTANCE :... V.3. CONCENTRATION DE CONTRAINTES :... VI. CONDITION DE RIIDITE... 3 I. DEFINITION... 4 II. ETUDE DES DEFORMATIONS...5 II.1. ESSAI DE FLEXION... 5 III. ETUDE DES CONTRAINTES... 6 III.1. CONTRAINTES NORMALES... 6 III.. CONTRAINTES TANENTIELLES... 6 IV. CONDITION DE RESISTANCE... 7 IV.1. CONTRAINTES NORMALES... 7 IV.. CONTRAINTES TANENTIELLES... 7 V. DEFORMATION DE LA POUTRE... 7 V.1. EQUATION DE LA DEFORMEE... 7 V.. CONDITIONS AUX LIMITES... 8 VI. CONDITION DE RIIDITE... 8 I. TD-1 : TORSEUR DE COHESION... 9 II. TD- : EXTENSION COMPRESSION... 3 III. TD-3 COMPRESSION - CISAILLEMENT TORSION IV. TD-4 : EXTENSION & FLEXION PLANE V. TD-5 : TORSION SIMPLE Cours et Eercices de Résistance des Matériau K. MEHDI & S. ZAHDOUDI janvier 011 iii

5 Chapitre I énéralités sur la RdM CHAPITRE I ENERALITES SUR LA RDM CHAPITRE I ENERALITES SUR LA RDM I. Les hpothèses de la résistance des matériau I.1. But de la résistance des matériau La résistance des matériau (RdM) étudie le comportement du solide déformable. Elle s intéresse particulièrement au calcul des dimensions des sstèmes mécaniques pour qu ils soient en mesure de supporter les efforts qui leur sont appliqués pendant leur service dans les conditions de sécurité requise. I.. Hpothèses générales Ces hpothèses concernent essentiellement les matériau utilisés, la forme des solides étudiés et le tpe d action mécanique eercée. II. I..1. Hpothèses sur les matériau Continuité de la matière : Nous considérons que la matière est continue et que le matériau est homogène et isotrope. (Voir cours de technologie de production de 1ère année) Caractéristiques mécaniques des matériau : Le comportement des matériau est déterminé epérimentalement par des essais standard permettant de qualifier et de mesurer les paramètres du comportement. Eemple : essai de traction. énéralités sur les poutres II.1. Définition d une poutre Nous appelons poutre un solide dont une des dimensions est grande vis-à-vis de deu autres et qui est soumis à un sstème de sollicitation qui le fait fléchir ou le déformé. Cours et Eercices de Résistance des Matériau K. MEHDI & S. ZAHDOUDI janvier 011 1

6 Chapitre I énéralités sur la RdM Nous considérons dans cette partie que les poutres à plan moen. C est-à-dire qu on admet un plan de smétrie dans le sens de la longueur. Une poutre est en général un solide engendré par une aire plane (Σ) dont le centre de gravité () décrit une courbe (Γ). Le plan de l aire (Σ) reste normal à la courbe (Γ). Σ Fibre ou ligne moenne Γ Fibre L aire de la section (Σ) est appelée section droite ou section normale de la poutre. La courbe (Γ) est appelée fibre moenne de la poutre. Si la fibre moenne est une droite, la poutre est dite droite. II.. Hpothèse sur les poutres Les dimensions transversales de la poutre considérée sont petites par rapport à sa longueur. Pour une poutre droite, le rapport de la hauteur sur la longueur doit être compris entre 1/5 et 1/ h L 1 5 (valeur courante de 1/10 à 1/15) Pour les poutres courbes, ce rapport peut s abaisser à 1/50 et même à 1/100. Le raon de courbure de la fibre moenne est suffisamment grand par rapport à la dimension transversale de la poutre. En général, ce raon doit être supérieur à 5 fois la hauteur de la section. Dans le cas où la poutre est de section variable, la variation de la section doit être lente et progressive. II.3. Paramétrage de la poutre Soit R0( O, 0, 0, z0) un repère lié à la poutre. Ce repère est choisi tel que ( O, 0 ) soit porté par la ligne moenne de la poutre. Ce repère est appelé repère de position. Il est utilisé pour : 0 0 O z0 L étude de l équilibre de la poutre (E) et la détermination des actions mécaniques etérieures qu elle supporte. Cours et Eercices de Résistance des Matériau K. MEHDI & S. ZAHDOUDI janvier 011

7 Chapitre I énéralités sur la RdM Repérer la section droite (S) de la poutre (E) dans laquelle nous cherchons les contraintes. Dans le repère R 0, on a : O = II.4. Hpothèses sur les efforts etérieurs 0 Toute action mécanique est représentée par un torseur en un point. Ces actions peuvent être concentrées ou réparties, eercées à distance ou en contact. Les efforts etérieurs sont situés dans le plan de smétrie de la poutre ou disposés smétriquement par rapport à ce plan. II.5. Domaine de validité de la résistance des matériau Hpothèse de Navier-Bernoulli : Les sections planes normales au fibres avant la déformation restent planes et normales au fibres après la déformation. Hpothèse de Barré de Saint Venant : Les résultats de la RdM ne s appliquent qu à une distance suffisante de la zone d application des efforts concentrés (problème de concentration de contraintes). Domaine d élasticité : Dans le cadre de la RdM, les pièces qui constituent un sstème mécanique ne doivent pas entrer dans le domaine des déformations plastiques. III. Propriétés géométriques d une section droite III.1. Centre de surface ou centre de gravité d une surface plane III.1.1. Définition : On considère une surface plane (S) du plan π( O,, ). Nous appelons centre de surface de la surface plane (S), le point tel que : 1 P ds = 0 ou encore O = OP ds S P S P S Surface plane (S) P r H avec OP = + et O = + 1 = S P S ds et 1 = S P S ds dsappelé moment statique de la surface (S) par rapport à l ae ( O, ) P S dsappelé moment statique de la surface (S) par rapport à l ae ( O, ) P S O Cours et Eercices de Résistance des Matériau K. MEHDI & S. ZAHDOUDI janvier 011 3

8 Chapitre I énéralités sur la RdM III.1.. Définition On considère une surface plane (S) et une droite de son plan. Soit H, le point projeté orthogonal d un point P de (S) sur. Nous appelons moment statique de la surface plane (S) par rapport à la droite de son plan le scalaire défini par : m ( S) PH ds / = ; PH doit être affecté de signe (+) ou (-) selon que P S l élément de surface ds et d un coté ou de l autre de la droite. Remarques Si le point est confondu avec l origine du repère O, alors : m ( S) = = 0 /(, ) ds et m ( S) = = 0 O /(, ) ds O P S D une manière générale, si le centre de gravité est un point de la droite, alors m ( S) = 0. / Soit une droite parallèle à et distant de d de celui-ci. On vérifie facilement que m ( S) / ' = m ( S) + Sd.. / d doit être affecté de signe (+) ou (-) selon la position respective de et par rapport à la surface (S). Le moment statique d une surface par rapport à un ae de smétrie est nul. (Puisque cette ae passe par le centre ). b P S a R d d m ' m ( S ) ' = ( S) + S. d = a. b. d / / m ' m ( S ) ' = ( S) + S. d = π. R. d / / III.. Moment Quadratique d une surface plane par rapport à un ae (par analogie avec le moment d inertie d un solide par rapport à un ae) III..1. Définition Nous appelons moment quadratique d une surface plane (S), par rapport à une droite de son plan, le scalaire positif défini par : IS ( ) = PH ds= r ds / P S point P sur. Remarques P S avec r = PH et H est le point projeté orthogonal du Cours et Eercices de Résistance des Matériau K. MEHDI & S. ZAHDOUDI janvier 011 4

9 Chapitre I énéralités sur la RdM On considère les deu droites parallèles ( n, ) et '( Mn, ) distant de d. On vérifie que I( S) I( S) S d / ' = +. (Théorème de HUYHENS). / Le moment quadratique est homogène à une longueur à la puissance 4. Il s eprime en m 4 ou en cm 4 ou en mm 4. III.3. Moment Quadratique Polaire Le moment quadratique polaire d une surface plane (S) par rapport à un point O de son plan est le scalaire positif défini par : IO( S) = r ds avec r = OP P S Dans le plan ( O,, ) IS ( ) = / ( O, ) IS ( ) = / ( O, ) ds, P S P S ds on a : O Surface plane (S) IO( S) = ( + ) ds= I( S) + IS ( ). / ( O, ) / ( O, ) P S r P Cours et Eercices de Résistance des Matériau K. MEHDI & S. ZAHDOUDI janvier 011 5

10 Chapitre I énéralités sur la RdM IV. Torseur des efforts intérieurs IV.1. Définition du torseur des efforts intérieurs On considère une poutre (E), en 0 équilibre, par rapport au repère R0( O, 0, 0, z0), sous l effet des actions mécaniques eercées par le milieu etérieur noté ( E ). O Imaginons un plan (π) qui décompose la poutre en deu parties (E 1 ) et (E ). On désigne par (S) la section commune à (E 1 ) et (E ). z 0 (E 1 ) (E ) π L équilibre de la poutre (E) se traduit en tout point par : { ( E E) } = {} 0 Au point, centre de gravité de la section (S), la relation précédente entraîne : R( E E) m ( E E) 0 = 0 L équilibre du tronçon (E 1 ) de la poutre (E), se traduit par : { τ( E1 E1) } { 0} avec ( E 1 ) le milieu etérieur pour (E 1 ) qui comprend : le milieu etérieur ( E ), le tronçon (E ). Les actions mécaniques eercées par le tronçon (E ) sur (E 1 ) à travers la section (S) sont etérieures pour (E 1 ), mais intérieures pour la poutre (E). La connaissance des actions dites de cohésion ou actions élastiques et leur répartition à travers la section (S) constitue l un des buts de la résistance des matériau. Par conséquent, l équilibre du tronçon (E 1 ) de la poutre (E), se traduit par : { τ ( E E1) } + { τ ( E E1) } = {} 0 { τ ( E E1) } = { τ ( E E1) } Définition Le torseur { τ ( E E1) } sera appelé torseur des actions de cohésion ou torseur des actions élastiques qu eerce le tronçon (E ) sur le tronçon (E 1 ) à travers la section (S). On le note par { τ coh }. Les éléments de réduction en du torseur { τ coh} sont alors : τ { coh} R( E E 1) = m ( E E1) R( E E 1) = m ( E E1) τ (S) 0 = Cours et Eercices de Résistance des Matériau K. MEHDI & S. ZAHDOUDI janvier 011 6

11 Chapitre I énéralités sur la RdM Notation : Dans le but de simplifier l écriture des équations, nous désignons les éléments de réduction au point, du torseur des efforts de cohésion dans la poutre eercés par le tronçon (E ) sur le tronçon (E 1 ), par R et m. R 1 { τ coh} = = (1) m R( E E ) m ( E E1) Remarque Les éléments de réduction en du torseur { τ coh } sont des fonctions de l abscisse du centre de surface de la section (S). Comme la poutre (E) est en équilibre par rapport au repère R ( O,,, z ), alors τ τ τ { ( E E) } = { ( E E1) } + { ( E E) } = { 0} Par conséquent, les éléments de réduction en du torseur des efforts de cohésion pourront être également eprimés comme suit : R { τ coh} = = + () m R( E E ) m ( E E) Pour effectuer les calculs pratiques de R et m on pourra utiliser, soit la relation donnée par (1), soit la relation donnée par (). Le choi dépendra uniquement de la difficulté de leur epression. IV.. Composantes des éléments de réduction en du torseur des efforts de cohésion IV..1. Définition du repère local lié à la section droite (S) On considère le tronçon (E) de la 0 0 poutre (E) en équilibre, par rapport au repère R0( O, 0, 0, z0). (E 1 ) On désigne par R(, 0, 0, z0 ) le repère local orthonormé direct, lié à la z0 O (S) section (S) d abscisse ( O = 0 ), tel que (, z0 0 ) soit confondu avec la normale etérieure en () à (S) (dirigée vers l etérieur de la matière). T M f N R M t 0 m IV... Composantes des éléments de réduction du torseur des efforts de cohésion dans le repère local Supposons que les éléments de réduction au point du torseur des efforts de cohésion Cours et Eercices de Résistance des Matériau K. MEHDI & S. ZAHDOUDI janvier 011 7

12 Chapitre I énéralités sur la RdM sont connus : { coh} R τ =. m En projection sur les aes du repère R(, 0, 0, z0 ), les composantes des vecteurs R et m se notent conventionnellement comme suit : La projection de R sur la normale etérieure (, 0 ) est notée par N, appelée effort normal. La projection de R sur l ae (, 0 ) est notée par T, appelée effort tranchant suivant (, 0 ). La projection de R sur l ae ( z, 0 ) est notée par T z, appelée effort tranchant suivant ( z, 0 ). La projection de m sur la normale etérieure (, 0 ) est notée par M t, appelée moment de torsion. La projection de m sur l ae (, 0 ) est notée par M f, appelée moment de fleion suivant (, 0 ). La projection de m sur l ae ( z, 0 ) est notée par M fz, appelée moment de fleion suivant ( z, 0 ). Par conséquent : R = N 0 + T m = M + M t 0 0 f + Tz z0 + M On pose : T = T 0 + Tz z0 ; appelé effort tranchant. Mf = Mf 0 + Mfz z0 ; appelé moment de fleion. 0 fz Nous rappelons que les composantes des éléments de réduction du torseur des efforts de cohésion sont des fonctions de l abscisse du centre de gravité de la section (S). Ainsi : { coh} N( ) T ( ) Tz ( ) τ = M f ; M t ( ) M ( ) ( ) fz ( 0, 0, z0 ) z La représentation graphique de ces fonctions donne les diagrammes de composantes algébriques des éléments de réduction. Ces graphes sont appelés diagrammes de l état de sollicitation de la poutre. 0 Cours et Eercices de Résistance des Matériau K. MEHDI & S. ZAHDOUDI janvier 011 8

13 Chapitre I énéralités sur la RdM IV.3. Relation entre effort tranchant et moment de fleion On considère la répartition de charge, 0 p d équation p() sur une poutre (E) ou sur un tronçon de la poutre. Afin de simplifier le calcul, nous supposons que la charge est uniformément répartie définie par sa densité linéique p parallèle à la direction du vecteur z0 0. (S) On considère un élément de la poutre de z0 longueur, délimité par les sections droites (S) et (S ) de centre de gravité respectivement et. (S ) 0 On suppose qu entre (S) et (S ) aucune charge concentrée n est appliquée (voir fig. ) Les composantes des éléments de réduction du torseur des efforts de cohésion au centre de gravité de la section (S) d abscisse sont : N Mt { τ coh } = ( ) ( ) R T Mf ( ) m = ( ) ( ) ; ( ) T z( ) Mfz( ) ( 0, 0, z0 ) soient T ( ) = T( ) 0 + Tz( ) z0 et Mf( ) = Mf( ) 0 + Mfz( ) z0 respectivement l effort tranchant et le moment de fleion en. Les composantes des éléments de réduction du torseur des efforts de cohésion au centre de gravité de la section (S ) d abscisse + sont : N ( + ) Mt ( + ) { τ R coh } = ( + ) T Mf ( ) ( ) ' m '( + ) = + + ; T z( + ) Mfz( + ) ' ( 0, 0, z0) soient T ( + ) = T( + ) 0 + Tz( + ) z0 et Mf( + ) = Mf( + ) 0 + Mfz( + ) z0 respectivement l effort tranchant et le moment de fleion en. Évaluons les éléments de réduction du torseur des efforts de cohésion au point : R ( + ) = R ( ) + Ravec R = p 0 ( ) m'( + ) = m( ) + R( ) ' + p z On pose : R = p 0 0 avec ' = 0 m = m + m = R ( ) '( ) ( ) ( ) ' + p z0 Cours et Eercices de Résistance des Matériau K. MEHDI & S. ZAHDOUDI janvier 011 9

14 Chapitre I énéralités sur la RdM En remplaçant les vecteurs par leur epression respective et en faisant la projection sur les trois aes du repère R ( O,,, z ), les relations deviennent : T = T( + ) T( ) = p T = p Mf = Mf( + ) Mf( ) = Tz M ( ) Mfz = Mfz( + ) Mfz( ) = T + p M T p fz = + Au passage à la limite (en remplace par d), et en faisant tendre vers zéro, nous obtenons : dt dm f = p ; = Tz ; et dm fz = T d d d Ces relations restent valable même lorsque p n est pas constante. Nous démontrons que, pour une répartition de charge donnée, la relation suivante : dmf = T, où T désigne la valeur algébrique de l effort tranchant et M f la valeur d algébrique du moment de fleion. IV.4. Définition des sollicitations simples Une sollicitation est dite simple lorsque toutes les composantes du torseur des efforts de cohésion sont nulles sauf une. Torseur τ ( z,, ) coh { } N ( ) Désignation Traction (N>0) Compression (N<0) Torseur τ ( z,, ) coh { } 0 0 T 0 0 M fz f = T z Désignation Fleion plane simple 0 0 T 0 Tz 0 Cisaillement 0 M t Torsion M fz Fleion pure Cours et Eercices de Résistance des Matériau K. MEHDI & S. ZAHDOUDI janvier

15 Chapitre I énéralités sur la RdM V. Notions sur les contraintes Considérons une poutre (E) en équilibre sous l effet de l action des forces etérieures par rapport au repère R ( O,,, z ) Imaginons un plan (π) qui décompose la poutre en deu tronçons (E 1 ) et (E ). On désigne par (S) la section commune à (E 1 ) et (E ). Nous admettons que l action eercée par le tronçon (E ) sur le tronçons (E 1 ) est la suivante : Sur chaque élément de surface ds de la section (S), (E ) eerce sur (E 1 ) une force dite élastique f = C ds appliquée au centre de l élément ds. Par définition, C est le vecteur contrainte relatif à l élément de surface ds. Le vecteur C dont la direction est quelconque dans l espace peut être décomposé en : Une projection normale à l élément ds suivant n. C est la contrainte normale ou pression C n ou σ ; Elle peut être une compression ou une traction suivant le sens de C par rapport à la normale etérieure. (S ils sont de même sens «traction», s ils sont de sens contraire «compression»). Une projection sur le plan tangent à l élément ds. C est la contrainte tangentielle C t ou τ. La dimension d une contrainte est celle d une force par unité de surface (1MPa = 1N/mm ). L ensemble des forces f appliquées à la surface (S) forme un sstème équivalent au sstème de forces etérieures directement appliquées au tronçon (E 1 ) ou au tronçon (E ). RE E C ds = 1 et m ( ) E E 1 = P Cds P S P S La statique élémentaire ne permet pas de déterminer les contraintes en tout point. Il faut faire appel pour cela à d autres hpothèses résultant de l étude epérimentale permettant l étude de la déformation des corps sous l action des forces etérieures. Cours et Eercices de Résistance des Matériau K. MEHDI & S. ZAHDOUDI janvier

16 Chapitre II Etension - Compression CHAPITRE II EXTENSION - COMPRESSION CHAPITRE II EXTENSION - COMPRESSION Ces deu sollicitations simples sont distinctes et un certain nombre de matériau ont un comportement différent en traction et en compression (fonte :σ e = 0 MPa et σ ec = 150 MPa). Cependant dans les deu cas nous avons les mêmes relations entres contraintes et déformations. I. DEFINITION On dit qu une poutre (E) travaille en etension simple (ou en compression simple) quand elle est soumise à deu forces aiales directement opposées, appliquées au centre de surface des sections etrêmes qui tendent à l allonger (ou à la raccourcir). E FA ( 1 E) A B FB ( E) Dans le repère de définition des sollicitations R (,,, z) lié à la section droite (S), les éléments de réduction en du torseur des efforts de cohésion s epriment par : { } T coh N = 0 0 { } T coh R = m 0 F 0 = F. = FA ( 1 E) z 0 0 A (E 1 ) z N (S) 0 En Traction : N > 0 En Compression : N < 0 Cours et Eercices de Résistance des Matériau K. MEHDI & S. ZAHDOUDI janvier 011 1

17 Chapitre II Etension - Compression Remarques : Une poutre qui travaille en compression ne doit pas être trop élancée, sinon il a risque de flambement. Les règles suivantes doivent être respectées : La section doit être de forme compacte. Les dimensions transversales doivent être de même ordre de grandeur. La longueur ne doit pas dépasser 7 à 8 fois la plus petite dimension transversale. En outre, le poids de la poutre est négligé dans la plupart des applications de la traction ou de la compression simple (sauf les cas où la ligne moenne de la poutre est verticale). II. ESSAI DE TRACTION II.1. Étude epérimentale : Courbe Contrainte - Déformation En appliquant graduellement la charge par incréments, l allongement total mesuré sur la longueur de référence pour chaque incrément de charge et ceci jusqu à rupture de l éprouvette. La contrainte normale σ peut être calculée pour toute valeur de la charge aiale à partir de la surface initiale de la section droite, en utilisant l équation : σ= F où F est la S charge aiale en Newtons et S la surface initiale de la section droite. On peut tracer une courbe en mettant en abscisses la déformation normale ε et en ordonnées la contrainte normale σ. On obtient la courbe ou le diagramme contrainte déformation du matériau pour ce tpe de charge. Les allures de ces courbes sont très différentes suivant les matériau. (voir figures ci-dessous). σ= F S σ= F S σ= F S σ= F S σ= F S O L L ε= L o o O L L ε= L o o O L L ε= L o o O L L ε= L o o O L L ε= L o o Figure a : Acier de construction à teneur moenne en carbone (acier dou) Figure b Acier alliés (acier mi-dur) Figure c Acier durs et certains alliages non ferreu Figure d Fontes et les autres alliages non ferreu Figure e Caoutchouc II.. Caractéristiques mécaniques Les caractéristiques mécaniques tirées de l essai sont : Limite élastique : Elle peut être apparente (R e ou σ e ) ou conventionnelle (R e0, ) Module d élasticité longitudinale ou module de Young : E. Résistance à la rupture : σ r ou R r. Contrainte maimale : σ m ou R m. Cours et Eercices de Résistance des Matériau K. MEHDI & S. ZAHDOUDI janvier

18 Chapitre II Etension - Compression Allongement A% = lu 100 l - l : après rupture l éprouvette a une longueur ultime l u,. l étant la longueur initiale. σ= F S σm σr C : point de striction D : rupture σe O A Ψ Zone d'écrouissage Zone de striction L L ε= L o o Zone élastique Zone de déformation plastique III. COURBE CONTRAINTE - DEFORMATION DANS UN ESSAI DE TRACTION ETUDE DES DEFORMATIONS Hpothèse de Navier - Bernoulli : Les sections planes, normales au fibres avant déformation, demeurent planes et normales au fibres après déformation. L allongement est le même pour tous les points d une section droite (S) repérée par. Il s en suit que l allongement unitaire ε = (sans unité) est le même en tout point de la section. Remarque : En général, on néglige la variation de la section, c est à dire la déformation transversale (striction) : ε = - ν ε,ν étant le coefficient de Poisson compris entre 0.3 et 0.5 pour les aciers. IV. CONTRAINTE DANS UNE SECTION DROITE Les contraintes sont parallèles à (, ) et sont également réparties uniformément dans (S). Le vecteur contrainte C (M,n) = C (M,) = σ. Par suite N = σ ds =σ.s. D où : N σ = S Unités : N en Newton, S en mm, σ en MPa. En etension : N > 0, σ >0. En compression : N < 0, σ < 0. V. CONDITION DE RESISTANCE Hpothèse : Les contraintes nominales sont calculées dans une zone relativement éloignée des perturbations causées par les forces concentrées. (S) Cours et Eercices de Résistance des Matériau K. MEHDI & S. ZAHDOUDI janvier

19 Chapitre II Etension - Compression Les contraintes développées dans les poutres doivent rester dans le domaine élastique. En général, on adopte un coefficient de sécurité s. La condition de résistance pour une contrainte normale d etension est : N σ e σ = σ pe = S s σ pe (ou R pe ) : contrainte pratique de limite élastique en traction. En construction mécanique : 1, s 5 La condition de résistance pour une contrainte normale de compression est : N σ e σ = σ pc = S s σ pc (R pc ) : contrainte pratique de limite élastique en compression. VI. ALLONEMENT (OU RACCOURCISSEMENT) L D UNE POUTRE DE LONUEUR L. D après la loi de Hooke : σ = E ε. On peut donc écrire, en supposant que l allongement est également réparti sur toute la longueur L de la poutre : N = E L, soit : S L L = NL ES VII. NOTION DE CONCENTRATION DE CONTRAINTES La plupart des pièces mécaniques présentent des singularités de forme (perçages, gorges, filetages, épaulements.). La valeur de la contrainte augmente au voisinage de ces singularités. Pour rendre compte de cette augmentation, on multiplie la contrainte nominale par un coefficient k appelé coefficient de concentration de contraintes. La contrainte réelle devient : σ réelle = k. σ Et la condition de résistance devient : σ adm = σ pe en etension σ adm = σ pc en compression. σ réelle σadm avec : Cours et Eercices de Résistance des Matériau K. MEHDI & S. ZAHDOUDI janvier

20 Chapitre IV Torsion simple CHAPITRE III CISAILLEMENT CHAPITRE III CISAILLEMENT La sollicitation de cisaillement pur est un cas très particulier de la RDM car elle est impossible à réaliser epérimentalement. D autre part le cisaillement simple concerne une section de la poutre et non la poutre entière. I. DEFINITION Une section droite (S) d une poutre (E) est sollicitée au cisaillement simple si les éléments de réduction au centre de surface de (S) du torseur des efforts de cohésion sont : R T { T coh} = = ; avec T : effort tranchant dans la section (S). m 0 II. ETUDE DES DEFORMATIONS La réalisation du cisaillement simple est difficile. Cependant, on va décrire un modèle qui s en approche. Considérons une poutre encastrée à une etrémité. Soit (S) de centre la section d encastrement. Appliquons un effort F dans une section (S ) distante de de (S). Le torseur des efforts de cohésion se réduit en R - F à :{ T coh} = = m - A F En projection dans le repère R (,,, z) lié à (S) on obtient : (E) F A Cours et Eercices de Résistance des Matériau K. MEHDI & S. ZAHDOUDI janvier

21 Chapitre IV Torsion simple { T } coh = N T Tz M M M t f fz = 0 F F. On voit bien que le moment de fleion n est pas identiquement nul. Cependant si tend vers zéro, on peut négliger ce moment. Si on trace la variation du glissement en fonction de l effort F, on obtient une courbe dont l allure est indiquée ci-dessous. 1. La déformation γ =. S F est appelé effort unitaire de cisaillement. est appelée glissement relatif ou déviation (sans unité). 3. Dans la zone élastique, la pente de la droite est le module d élasticité transversale ou module de Coulomb (eprimé en MPa). τ τm τr rupture τe (E) O tg(ψ)= γ III. ETUDE DES CONTRAINTES Du fait que N = M f = 0 et lim Mfz = 0, on peut admettre que la composante normale 0 du vecteur contrainte est nulle en tout point de (S) ; ainsi C z. (M,) = τ. + τ z = τ Hpothèse simplificatrice : à priori nous ignorons la répartition de la contrainte tangentielle (seul un calcul par élément fini peut donner une idée de cette répartition). Nous supposerons alors que la valeur moenne de la contrainte tangentielle τ vaut : T τ mo = avec T = T + T S z IV. CONDITION DE RESISTANCE IV.1. Caractéristiques des matériau en cisaillement. k 0 σ e 1. τ e (ou R eg ) : contrainte tangentielle limite élastique. τ e = σ e avec k 0 = 1+ k σ 0 ec Cours et Eercices de Résistance des Matériau K. MEHDI & S. ZAHDOUDI janvier

22 Chapitre IV Torsion simple. τ r (ou R rg ) : contrainte limite de rupture au cisaillement E 3. : module de Coulomb = ; ν étant le coefficient de Poisson (1 + ν ) 4. La loi de Hooke s écrit : τ =. γ IV.. Condition de résistance Compte tenu des hpothèses simplificatrices que nous avons fait, il convient d adopter un coefficient de sécurité s par rapport à la limite élastique et de définir une contrainte admissible τ adm, ainsi : τ mo τ adm e = τ s = τ p τ p est appelée contrainte pratique de cisaillement (elle est parfois notée : R pg ). Cours et Eercices de Résistance des Matériau K. MEHDI & S. ZAHDOUDI janvier

23 Chapitre IV Torsion simple CHAPITRE IV TORSION SIMPLE CHAPITRE IV TORSION SIMPLE I. DEFINITION Une poutre est sollicitée à la torsion simple quand les éléments de réduction du torseur des efforts de cohésion s epriment dans le repère de définition des sollicitations R lié à la section droite (S) de centre de surface par : 0 0 M t { T } coh = m Un clindre de révolution est soumis à un ensemble d actions mécaniques modélisées au centre de surface des deu sections etrêmes par un torseur couple : 0 { T0 } 0 = et m0 0 0 { T1 } 1 = m1 L équilibre général de la poutre impose : m0 + m1 = 0 Hpothèses : 1 = M t m 0 z = (S 0 ) z (S) 0 0 z 1 m 1 (S 1 ) Cours et Eercices de Résistance des Matériau K. MEHDI & S. ZAHDOUDI janvier

24 Chapitre IV Torsion simple 1. Le solide est un clindre de révolution. Le poids du solide est négligé II. ESSAI DE TORSION SIMPLE Une éprouvette clindrique de révolution est encastrée à son etrémité (S 0 ) de centre de surface 0. On applique à l etrémité droite sur la section (S 1 ) de centre de surface 1 une action mécanique modélisée en 1 par un torseur «couple» : { T1 } { 1 } 1 m 0 = tel que 1 m1 = m1. On augmente graduellement la valeur de m 1 et on mesure la rotation d angle α d une section droite autour de son ae. La courbe obtenue a une allure semblable à celle de l essai de traction. m 1 rupture O α Essai de torsion simple III. ETUDE DES DEFORMATIONS L essai montre que : 1. toute section plane et normale à l ae du clindre reste plane et normale à l ae.. La distance relative entre deu sections reste sensiblement constante. 3. La section (S) subit uniquement une rotation d angle α proportionnel à sa distance par rapport à la surface (S 0 ). 1 0 M 0 M M 1 γ M 1 M 1 z z 1 α M M Cours et Eercices de Résistance des Matériau K. MEHDI & S. ZAHDOUDI janvier 011 0

25 Chapitre IV Torsion simple Avant déformation, les points M 0, M et M 1 sont situés sue la même génératrice. Après déformation, le point M vient en M et le point M 1 vient en M 1 Dans la zone des déformations élastiques, on appelle angle de torsion unitaire, la déformation angulaire relative θ entre deu sections distantes de l unité de longueur : Unités : α (rad), (mm) et θ (rad/mm) α θ = L essai montre que θ est une constante. Toutes les fibres se déforment donc suivant une hélice, sauf la ligne moenne qui reste droite. D autre part l angle ( M 0M, M0M ) = γm. Dans la zone des déformations élastiques, l angle γ M est petit. L arc MM = αρ = γ M. La fibre M 0 M a subit une distorsion ou glissement γ M tel que : α γ M = ρ = θ ρ γ M est aussi appelé déviation (qui s eprime en rad) IV. ETUDE DES CONTRAINTES Si on admet l hpothèse que la distance relative entre deu sections reste constante au cours de la déformation, donc l allongement = 0, alors on peut écrire que la déformation longitudinale ε = = 0 en tout point de la section (S). On admet donc que la composante normale du vecteur contrainte est nulle : σ = 0. Et par suite CM (, ) = τ = τ1 1 + τz1 z1 avec 1 = M M D autre part on admet que la composante τ 1 = 0 = τ La loi de Hooke pour les contraintes tangentielles est : τ =. γ M =. θ.ρ Unités : (MPa), θ (rad/mm), ρ (mm), τ (MPa). M t = i. τz1. ds = ρ.. θ. ds =. θ. ρ ds ( S) ( S) ( S) Or ρ ds représente le moment quadratique polaire I 0 de (S). ( S ) Cours et Eercices de Résistance des Matériau K. MEHDI & S. ZAHDOUDI janvier 011 1

26 Chapitre IV Torsion simple Si la section (S) est de diamètre D, alors s eprime en mm 4 ) π D 4 I 0 = = 3 π R 4 avec R = D/ (I 0 M t =. θ. I 0 Unités : (MPa), θ (rad/mm), I 0 (mm 4 ), M t ( N.mm). V. CONDITION DE RESISTANCE V.1. Relation entre contrainte et moment de torsion : M t =. θ. I 0 = τ I ρ Dans cette relation, τ et M t sont algébriques. 0 τ = M t I0 ( ) ρ V.. Condition de résistance : Lorsque le moment de torsion est variable le long de l arbre, on prend sa valeur maimale soit M t ma. Soit ν la valeur maimale de ρ ; Dans la plupart des cas ν est égal au raon maimum de l arbre. La contrainte maimale de torsion s eprime par : τ ma M t = I 0 ( ) ν I Le rapport ν = s appelle le «module de torsion» 16 la condition de résistance est : 0 πd 3 ma τ τadm ma R eg En torsion la contrainte admissible τ τ e ( ) τ adm = = = p (R pg ) s s τ p (ou R pg ) : contrainte pratique de cisaillement s : coefficient de sécurité V.3. Concentration de contraintes : En tenant compte d un éventuel coefficient k de concentration de contraintes : Cours et Eercices de Résistance des Matériau K. MEHDI & S. ZAHDOUDI janvier 011

27 Chapitre IV Torsion simple τ réelle = k.τ ma < τ adm VI. CONDITION DE RIIDITE Le calcul des dimensions des arbres de transmission ou barres de torsion se fait plus par une condition de déformation qu une condition de résistance. En effet pour assurer une transmission rigide et éviter les vibrations, l angle de torsion unitaire θ ne doit pas dépasser, pendant le service, une valeur limite θ lim : θ lim est de l ordre 0,5 / m M θ = t.i 0 θ lim Cours et Eercices de Résistance des Matériau K. MEHDI & S. ZAHDOUDI janvier 011 3

28 Chapitre IV Fleion Plane Simple CHAPITRE V FLEXION PLANE SIMPLE CHAPITRE V FLEXION PLANE SIMPLE I. DEFINITION Une poutre (E) est sollicitée à la fleion plane simple si le torseur des efforts de cohésion se réduit en, centre de surface d une section droite (S) de la poutre à laquelle on lie le repère de définition des sollicitations R = (,,, z), par : { T } coh = R m ; S { T } coh N= 0 Mt = 0 = T 0 Mf = 0 Tz = 0 Mfz 0 (,,z) M fz z R HYPOTHESES : La ligne moenne de la poutre est rectiligne. L ae ( O, ) est confondu avec la ligne moenne. La section droite de la poutre est constante. La poutre admet un plan de smétrie longitudinal, par eemple le plan ( O,, ). Il en résulte que (, ) (, z ) sont les aes de principau de la section droite. Cours et Eercices de Résistance des Matériau K. MEHDI & S. ZAHDOUDI janvier 011 4

29 Chapitre IV Fleion Plane Simple Toutes les forces appliquées à la poutre que ce soit les forces à distance ou les forces élémentaires de liaison sont : perpendiculaires à la ligne moenne situées dans le plan de smétrie ou réparties smétriquement par rapport à celui-ci. concentrées en un point ou réparties suivant une loi. Au cours de la déformation, les sections droites restent planes et normales à la ligne moenne. REMARQUE : Pour les poutres homogènes, l action de la pesanteur est modélisée par une charge uniformément répartie dp sur toute la longueur et non par un glisseur appliqué au centre de gravité de la poutre. On note p dp la densité linéique de force de pesanteur : p =, la norme d de p s eprime en N/m. II. ETUDE DES DEFORMATIONS II.1. ESSAI DE FLEXION Les jauges de déformation placées du coté de la section droite montrent que : Les fibres situées au dessus du plan (,, z) se raccourcissent. Les fibres appartenant au plan (,, z) ne changent pas de longueur. Ce plan est appelé le plan neutre et la ligne moenne est la fibre neutre. Les fibres situées au dessous du plan (,, z) s allongent. Les allongements ou raccourcissements relatifs ε sont proportionnels à la distance de la fibre considérée au plan (,, z) M 1 M M Plan neutre z φ ' MM ' ε = or MM = tg( Φ) Φ ; ε = - Φ MM 1 Tout se passe comme si la section (S) avait pivoté autour de l ae d un angle faible φ pour venir en (S ). Cours et Eercices de Résistance des Matériau K. MEHDI & S. ZAHDOUDI janvier 011 5

30 Chapitre IV Fleion Plane Simple III. ETUDE DES CONTRAINTES III.1. CONTRAINTES NORMALES La fleion plane simple engendre des contraintes normales au sections droites et proportionnelles à leur distance au plan neutre. La loi de Hooke relative au contraintes normales permet d écrire : Φ σ = E. ε = E σ est proportionnel à soit : σ = k. Calculons ce coefficient de proportionnalité k à partir de la relation entre le moment de fleion et la contrainte normale : M fz M fz = σ ds = k ds = k ds = kiz soit k = I ( S) ( S) ( S) z d où : σ = - M I fz z La contrainte normale est maimale dans la section où M fz est maimal et pour ma = v : σ ma = Mfz I v z ma Zone comprimée z φ Plan neutre Zone tendue Iz est appelé le «module de fleion» v III.. CONTRAINTES TANENTIELLES La répartition des contraintes tangentielles est plus difficile à déterminer. Pour cela on fait l hpothèse que la contrainte tangentielle τ est uniformément répartie, non pas sur la section entière mais sur toutes les fibres situées à une distance 0 de l ae neutre dans le plan de la section (S). Sa valeur est donnée par : T w z τ = - avec : b Iz b W ds z = ( S) représente le moment statique (d ordre un) de la région hachurée de la section par rapport à l ae neutre. b est la largeur de poutre à l endroit où est calculée la contrainte de cisaillement. 0 v Ae neutre Cours et Eercices de Résistance des Matériau K. MEHDI & S. ZAHDOUDI janvier 011 6

31 Chapitre IV Fleion Plane Simple IV. CONDITION DE RESISTANCE IV.1. CONTRAINTES NORMALES En tenant compte des singularités de forme et des hpothèses simplificatrices, la contrainte réelle doit être inférieure à une contrainte admissible. La condition de résistance pour les contraintes normales s écrit donc : σ k. σ σ = k : coefficient de concentration de contraintes en fleion. s : coefficient de sécurité. ma p s e IV.. CONTRAINTES TANENTIELLES De même la condition de résistance pour les contraintes tangentielles s écrit : τ τ τ mo s e p = V. DEFORMATION DE LA POUTRE V.1. EQUATION DE LA DEFORMEE Avant application des efforts mécaniques, la ligne moenne est rectiligne (fig.1). Après application des efforts la ligne moenne se déforme (fig.). La courbe obtenue est appelée courbe déformée ou simplement la déformée. Son équation dans le plan (O,,) est = f(). Courbe déformée ou ligne élastique A z Ligne moenne B Figure 1 Figure z A F B L équation de la déformée est : M fz () '' ( ) = E.I z '' : la fonction dérivée seconde de la fonction par rapport à la variable. L ordonnée désigne la défleion (ou la flèche) de la poutre à la distance d une etrémité de la poutre. Il est nécessaire d intégrer deu fois l équation différentielle pour obtenir une équation algébrique de la défleion en fonction de. Attention : La fonction ne doit pas être confondue avec l ordonnée d une fibre donnée dans le plan de la section (S). Cours et Eercices de Résistance des Matériau K. MEHDI & S. ZAHDOUDI janvier 011 7

32 Chapitre IV Fleion Plane Simple V.. CONDITIONS AUX LIMITES L intégration de l équation précédente introduit des variables d intégration qui sont déterminées à partir des conditions au limites qui sont : Encastrement en un point A : le déplacement en A et la rotation en A sont nuls, alors ( A ) = 0 et ( A ) = 0. Appui simple en un point A : le déplacement en A est nul, alors ( A ) = 0. Pivot en un point A : le déplacement en A est nul, alors ( A ) = 0. Lorsque la fonction M fz est continue par zone, on doit écrire la condition de continuité de la fonction () et de sa dérivée () à droite et à gauche des limites de zones : si le point A est la limite entre deu zones, alors on doit écrire : ( A ) droite = ( A ) gauche ( A ) droite = ( A ) gauche Sinon, il faut prendre en compte les discontinuités. VI. CONDITION DE RIIDITE La valeur () en un point donné est appelée la flèche et est notée f. Il arrive qu une poutre vérifie les conditions de résistance mais se déforme dans des proportions inacceptables. Il faut donc eprimer des conditions de déformation en plus des conditions de résistance. La flèche maimale doit être inférieure à un flèche limite imposée par le cahier des charges : fma flim Cours et Eercices de Résistance des Matériau K. MEHDI & S. ZAHDOUDI janvier 011 8

33 Eercices de Travau Dirigés EXERCICES DE TRAVAUX DIRIES EXERCICES DE TRAVAUX DIRIES I. TD-1 : Torseur de cohésion Eercice 1 Nous proposons de faire l étude de résistance de l arbre (9) au efforts etérieurs. L étude sera menée au moment où la roue dentée (10) est actionnée. La chaîne de transmission (14) et le dispositif de freinage ne sont pas actionnés et n ont aucune action mécanique sur l arbre (9). Soit RAz (,,, ) le repère lié à l arbre (9) modélisé par une poutre d ae ( A, ).( figure 1) 7 z A 9 B C D a b c Figure 1 17 Le roulement à bille (7) est modélisé par une liaison rotule sans frottement de centre A. On note par { } X A 0 T 7 9 = YA 0 le torseur d action mécanique de (7) sur (9). A Z A 0 A (,, z ) Le roulement à aiguilles (17) est modélisé par une liaison linéaire annulaire sans frottement d ae ( D, ). On note par { } 0 0 T 17 9 = YD 0 le torseur d action mécanique de (17) sur l arbre (9). D Z D 0 D (,, z ) L action de la roue dentée motrice () sur l arbre (9) est modélisée au point B par le torseur : X B LB T 9 = YB 0. B Z B 0 { } B (,, z ) Cours et Eercices de Résistance des Matériau K. MEHDI & S. ZAHDOUDI janvier 011 9

34 Eercices de Travau Dirigés L action de la roue dentée (11) sur l arbre (9) est modélisée au point C par le torseur : X C LC T 11 9 = YC 0. C Z C N C { } C (,, z ) On pose : AB = a ; BC = b ; CD = c. Application numérique : Les constantes géométriques a = 0 mm ; b = 40 mm ; c = 50 mm Action de () sur (9) au point B X B = 364 N; Y B = N; Z B = 1000 N ; L B = N.mm et N B = N.mm Action de (11) sur (9) au point C X C = N; Y C = 5330 N; Z C = 000 N ; L C = N.mm et N C = N.mm Questions 1) Déterminer les torseurs des actions mécaniques des liaisons au points A et D. ) Déterminer le torseur des efforts de cohésion tout au long de la ligne moenne de la poutre droite. En déduire les tpes de sollicitations pour les différentes parties de la poutre. 3) Tracer les diagrammes de sollicitation tout au long de la ligne moenne de la poutre. En déduire le point le plus sollicité de la poutre. Eercice On se propose d étudier un sstème roue et vis sans fin (39 & 11). Pour cela la vis (39) est modélisée par une poutre droite OB, de section constante. Les liaisons de la poutre avec le bâti (9) sont modélisées de la manière suivante : Au point O : Liaison linéaire annulaire parfaite d ae (, ) cette liaison. Au point B : Liaison rotule de centre B. On note par { } O. On note par { } T le torseur associé à 1 T le torseur associé à cette liaison. 3 Le moteur transmet à la poutre en O un couple moteur = (valeur en Nm). L action de la roue (11) sur la vis (39) est modélisée, au point A par le torseur { T } = Les forces sont eprimées en N et les moments sont en Nm. A ( A,,, z ) C m L action du champ de la pesanteur est supposée négligeable. 1) On donne a = 198 mm et b = 13 mm. C m O A 39 B z ) a Figure 1 b Cours et Eercices de Résistance des Matériau K. MEHDI & S. ZAHDOUDI janvier

35 Eercices de Travau Dirigés Questions 1) Déterminer les torseurs des actions mécaniques des liaisons au points O et B. ) Déterminer le torseur des efforts de cohésion tout au long de la ligne moenne de la poutre droite. En déduire les tpes de sollicitations pour les différentes parties de la poutre. 3) Tracer les diagrammes de sollicitation tout au long de la ligne moenne de la poutre. En déduire le point le plus sollicité de la poutre. Eercice 3 On considère la poutre (1) représentée par sa ligne moenne AD, de section constante. Les liaisons (supposées parfaites) de la poutre avec le bâti (0) sont : - Une liaison pivot d ae (A,z). - Une liaison ponctuelle de normale (B, ). La poutre est soumise en outre à deu actions mécaniques etérieures modélisées par : Au point D par le torseur { T } D = Les forces s epriment en N et les moments en Nm. 0 0 (D,,,z) - Une charge uniformément répartie sur le tronçon AC, représentée par une densité linéique de force : p ( ) = p. p = 500 N/m z A p( ) = p 1 B 0 C D 0 a b c On donne : a=b=c= 1m 1. Déterminer les torseurs des liaisons au points A et B.. Déterminer le torseur des efforts de cohésion le long de la poutre. 3. Tracer les diagrammes des sollicitations le long de la poutre. Cours et Eercices de Résistance des Matériau K. MEHDI & S. ZAHDOUDI janvier

36 Eercices de Travau Dirigés II. TD- : Etension Compression Eercice 1 Déterminer les contraintes en chaque section de la poutre schématisée par la figure 1. On donne : = 1000 ; F = 000 ; F3 = 1000 ; (unité : N) F 1 d 1 = 10 mm ; d = 0 mm ; d 3 = 30 mm ; L 1 = L = L 3 = 00 mm ; Eercice Déterminer l augmentation de la longueur d un barreau de section constante suspendu verticalement et soumis seulement à son propre poids. (Figure ) Le barreau est droit au départ. On pose ρ le poids volumique (poids par unité de volume) du barreau = constante. Eercice 3 Calculer la section des barres telle que la contrainte subie ne soit pas plus grande que 00 MPa. (Figure3) Calculer le déplacement vertical du point B. On donne E = 00 Pa. L 3 φ d 3 A C F 3 L=3m L=3m L L 1 φ d φ d 1 F L d φ d B Figure 3 P=475 KN F 1 Figure 1 Figure Eercice F F Figure 4 L appareil ci-dessus est utilisé pour la rééducation des muscles. Il se compose de deu brides (1) et (), supposées indéformables et liées par cinq Sandows en caoutchouc (3), (3 ), (4), (4 ) et (5). Cours et Eercices de Résistance des Matériau K. MEHDI & S. ZAHDOUDI janvier 011 3

37 Eercices de Travau Dirigés Le Sandow (5) a pour une longueur initiale L 0. Les Sandows (4) et (4 ) ont pour longueur initiale L 1 = 1.1 L 0 et les Sandows (3) et (3 ) ont pour longueur initiale L = 1. L 0. Les Sandows ont tous la même section S = 0 mm² et les déformations sont élastiques. 1) Déterminez l intensité des efforts F 5, F 4 et F 3 appliqués sur chaque Sandow lorsque la longueur commune des cinq Sandows est égale à 1.5 L 0. On donne le module d élasticité longitudinal du caoutchouc E = 0.75 N/mm². ) En déduire l effort total F à eercer sur les brides pour maintenir l appareil en équilibre. Eercice 5 Figure 5 La petite presse pneumatique ci-dessus est utilisée pour les opérations d assemblages, de fabrication et d entretien. Elle se compose d un socle (0), de deu colonnes rectifiées (1) et () et d acier E95 et d un support fie (4). L effort de pressage est fourni par le vérin pneumatique composé d un corps (3) et d une tige (6). (La pression maimale d alimentation est de 10 bars). Le pressage est réalisé par le coulisseau (5) d un coté et par le socle (0) de l autre coté. 1) L effort de pressage est de 6000 dan a) Déterminez la valeur de la contrainte dans les deu colonnes. Donnez la nature de la sollicitation. b) Calculez l allongement total de chaque colonne. La longueur déformée est de 80 mm. (Le module d élasticité longitudinal E = 0000 dan/mm²). ) Dans le cas où la charge F atteint accidentellement la valeur 1000 dan, les deu colonnes peuvent elles résister? La limite à la rupture de l acier E95 est 50 dan/mm². 3) On souhaite que l allongement total de chaque colonne ne dépasse pas mm. Déterminez dans ce cas le diamètre minimal pour la construction des colonnes. Cours et Eercices de Résistance des Matériau K. MEHDI & S. ZAHDOUDI janvier

38 Eercices de Travau Dirigés III. TD-3 Compression - Cisaillement Torsion Présentation du sujet Le dispositif schématisé par la figure 1 est un etracteur usuel utilisé pour le démontage à froid des petits roulements. Le roulement aant un ajustement serré sur l arbre. Il faut toujours essaer de le démonter sans l endommager, notamment quand on veut le réutiliser. Il est donc important d effectuer le démontage correctement. L effort de démontage doit toujours s appliquer sur la bague intérieure. Les griffes des deu crochets (3) et (3 ) doivent être parfaitement centrées pour éviter d endommager la portée du roulement. Le démontage est assuré en maintenant l etracteur par une main et en appliquant graduellement à la tête de la vis, par l autre main, un couple de démontage jusqu à où il atteint une valeur maimale. (Valeur qui donne un effort d etraction supérieur à celui produit par l ajustement serré du roulement avec l arbre). 3 B O 1 A D C B C Données Figure 1 : Schéma de l etracteur et du principe de démontage Toutes les liaisons sont considérées parfaites (sans frottement). L action du champ de pesanteur est supposée négligeable devant toutes les autres actions mécaniques. La vis (1) est réalisée avec un filetage à un seul filet de profil métrique ISO M16 (figure ). Le torseur d action mécanique de l écrou () sur la vis (1) est noté par X1 L 1 p { τ 1 } = Y1 M A 1 avec L1 = X 1 où p représente le pas du filetage. Z1 N 1 ( Az π,,, ) Le couple maimale appliqué à la tête de la vis est Cm = 3500 (valeur en N.mm). La vis est modélisée par une poutre droite de longueur L=00 mm. On donne OA L = et OD = L La limite élastique du matériau en traction et en compression de la vis (1): R e = 840 MPa. La limite élastique du matériau en traction et en compression de l écrou (): R e = 510 MPa. Pour tous les calculs, on prendra comme limite élastique de cisaillement R eg = 0.5 R e avec un coefficient de sécurité s = 3. Cours et Eercices de Résistance des Matériau K. MEHDI & S. ZAHDOUDI janvier