Contrôle du mardi 21 janvier 2014 (3 heures 30) 1 ère S1. Partie B

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1 1 ère S1 ontrôle du mard 1 janver 01 ( heures 0) Le barème est donné sur 0. Parte B Pour la fabrcaton d un lvre, un mprmeur dot respecter sur chaque page des marges de cm à drote et à gauche, cm en haut et en bas. On note x la largeur et y la longueur d une page, ces deux dmensons étant exprmées en centmètres. On suppose que x et que y 6. Il est demandé de ne ren écrre sur le sujet. En partculer, on n écrra ren sur les fgures ; on reprodura éventuellement au broullon les fgures utles. cm Les trats de fractons, les tableaux de varatons et les flèches de varatons dovent être fats à la règle. On accordera une grande mportance à la quantfcaton avant les calculs de dérvées. I. (6 ponts) 1 ) On consdère la foncton f : x ax bx c (où a, b, c sont tros réels) et l on note sa courbe représentatve dans un repère O,, j du plan. Détermner a, b et c sachant que : passe par le pont A(0 ; 1) ; admet une tangente horzontale au pont B( ; 5). y cm Zone d'mpresson cm cm cm ) On consdère la foncton g : x x x 1. a) alculer g ' x en donnant le résultat sous la forme d un produt de facteurs du premer degré. Recoper et compléter sans justfer la phrase : «g ' s annule en». Fare un tableau récaptulatf comprenant l étude détallée du sgne de g ' x et les varatons de la foncton g. On n oublera pas de mentonner tous les «0» utles ans que les valeurs des extremums locaux (calculées au broullon). b) À l ade de la calculatrce, détermner la valeur décmale approchée d ordre par défaut de la soluton de l équaton g x 0. x cm 1 ) Exprmer sans justfer en foncton de x et y l are A en cm de la parte dsponble pour l mpresson. ) On désre que l are de la parte dsponble pour l mpresson sot égale à 600 cm. Exprmer y en foncton de x pour qu l en sot ans. S x de la page est égale à ) En dédure qu alors l are 6 f x. ) En s adant de l étude des varatons de f fate dans la parte A, détermner les dmensons de la page pour que la consommaton de paper sot mnmale. II. (10 ponts) Parte A x 96x On consdère la foncton f : x. x 1 ) alculer f ' x. ) Recoper et compléter la phrase : «f ' s annule en..». Fare le tableau de varatons de f (mêmes consgnes qu à la queston ) a) de l exercce I). III. (5 ponts) On consdère la foncton f : x x et l on note sa courbe représentatve dans un repère Le but de l exercce est de détermner les tangentes à qu passent par le pont K( ; ). 1 ) Sot A un pont quelconque de d abscsse a. Démontrer que la tangente T a en A à a pour équaton y a x a ) a) Développer et rédure l expresson E t 1t t.. O,, j b) En dédure les abscsses des ponts de la courbe en lesquels la tangente passe par le pont K. du plan.

2 IV. (5 ponts) On écrt les lettres du mot MATHS sur cnq cartons ndscernables au toucher. On met ces cartons dans une boîte et on prélève au hasard tros cartons en remettant à chaque fos le carton dans la boîte. On appelle «mot» une successon de tros lettres, sans tenr compte du sens. On donnera toutes les probabltés sous forme de fractons rréductbles sans justfer. 1 ) alculer : a) la probablté p 1 d obtenr le mot «AAA» ; b) la probablté p que le mot commence par A ; c) la probablté p que le mot ne contenne pas la lettre A. ) Sot X la varable aléatore dénombrant le nombre de A par mot. Détermner la lo de probablté de X en tableau (calculs au broullon). VII. ( ponts) Dans le plan orenté, on consdère un hexagone réguler drect ABDEF nscrt dans un cercle de centre O. Sot M un pont quelconque de. On note x la mesure prncpale en radans de l angle orenté OA ; OM. Quel est l ensemble (ntervalle ou réunon d ntervalles) décrt par x lorsque M décrt l arc EF de (en gras sur la fgure)? Répondre sans justfer. B + V. (7 ponts) L organsateur d une lotere annonce qu l y aura 1 bllet gagnant 5000, 5 bllets gagnant 1000 et 50 bllets gagnant 50, sur un total de bllets ( étant un enter naturel strctement supéreur à 56). On suppose que tous les bllets sont vendus et qu l n y a pas de bllets perdants. On note a le prx d achat d un bllet en euros. On note X la varable aléatore représentant le gan algébrque d un joueur en euros qu achète un bllet au hasard (dfférence entre le montant du lot gagné et le prx d achat du bllet). D E O F A 1 ) Détermner la lo de probablté de X en foncton de a et de a ) Démontrer que l espérance de X est donnée par EX. ) S la lotere est composée de 000 bllets, quel dot être le prx d achat d un bllet pour que cette lotere sot équtable? ) a) L organsateur souhate fare un bénéfce de 000. On suppose qu l vend tous les bllets. Sachant que a 5, détermner. b) En dédure alors la valeur arronde au centème de E(X), pus nterpréter ce résultat. VI. ( ponts) Dans le plan orenté, on consdère un quadrlatère ABD tel que : AB ; AD, BA ; B, DA ; D. 6 B + A 1 ) Détermner par le calcul la mesure prncpale en radans de l angle orenté B ; D On détallera toutes les étapes de calcul. ) Démontrer que (AB) (D). D.

3 1 ère S1 om :.... Prénom :.... ontrôle du mard 1 janver 01 (ope à rendre) ) a).... I 6 II 10 III 5 IV 5 V 7 VI VII Total / 0 Total / 0 ommentares :.... I. 1 ) b) La valeur décmale approchée d ordre par défaut de est. II. Parte A 1 ) x f ' x )....

4 Parte B 1 ) A... III. 1 ) ) a)..... )..... ) )... b) IV. ompléter sans rature. 1 ) a) p1 b) p c) p (un seul résultat à chaque fos) ) x P X x

5 V. 1 ) x P X x )... ). ) a).... b) VI. 1 ) ) VII. Lorsque M décrt l arc EF de, x décrt...

6 I. 1 ) f: x ax bx c orrgé du contrôle du Détermnons a, b et c sachant que : passe par le pont A(0 ; 1) ; admet une tangente horzontale au pont B( ; 5). A donc f (0) 1. Donc a0 b0 c 1 d où c 1. ) g : x x x 1 On reconnaît que g est en fat la foncton f dont on vent de détermner l expresson à la queston précédente. a) alculons g' x. g est une foncton polynôme donc dérvable sur. x g ' x x 6x x x Dressons le tableau de varatons de g. g ' s annule en et 0. B donc f 5. a b c 5 d où 8a b 1 5 sot a b 1. Donc f est dérvable sur comme foncton polynôme. x f ' x ax bx admet une tangente horzontale au pont B( ; 5) donc f '( ) 0 (car le coeffcent drecteur de la tangente en ce pont est nul). On a donc 1a b 0 sot a b 0. Ans on est amené à résoudre le système nconnues). Après résoluton, on obtent a 1 et b. Fnalement, a 1, b, c 1. x f x x x 1 On en dédut que a b 1 a b 0 (système lnéare de deux équatons à deux x 0 + x 0 + x g ' x Varatons de g On vérfe les varatons et les valeurs des extremums sur la calculatrce. Il n y avat aucun moyen de se tromper. 5 b) Détermnons la valeur décmale approchée d ordre par défaut de la soluton de l équaton g x 0. À l ade de la calculatrce (solveur de l équaton), on trouve :, On a donc :,10 <,10. Par conséquent, la valeur décmale approchée d ordre par défaut de la soluton de l équaton g x 0 est,10. 1 On peut auss utlser la méthode de «balayage».

7 II. Il s agt d un problème d optmsaton de deux varables que l on ramène à un problème d optmsaton à une varable. Parte A x 96x f : x x 1 ) alculons f ' x. f est une foncton ratonnelle donc elle est dérvable sur son ensemble de défnton \ {}. x \ {} f ' x x 96x 1x 96x x 8x 8 x ( x )² ) Dressons le tableau de varatons de f. On consdère le polynôme x Son dscrmnant rédut est ' 00. 8x 8 (polynôme du second degré). Le polynôme admet donc deux racnes dstnctes dans : x x 0 Parte B 1 ) Exprmons en foncton de x et y l are A en A x y 6 cm de la parte dsponble pour l mpresson. ) Détermnons y en foncton de x pour que l are de la parte dsponble pour l mpresson sot égale à 600 cm. x y x 600 Donc y 6 x 600 D où y 6 x On obtent fnalement : 576 6x y. x ) Dédusons-en qu alors l are S x de la page est égale à 6 f x. S 576 6x y ( x ) x x x x x x x x alors S x xy x 6 6 f x ) Détermnons les dmensons de la page pour que la consommaton de paper sot mnmale. D après la parte A, f admet un mnmum sur ; ; l vaut 1 et est attent pour x. On en dédut que la consommaton de paper est mnmale pour x ; on a alors y 6. La page a pour largeur cm et pour longueur 6 cm. On pouvat retrouver très faclement ces valeurs grâce à un programme sur calculatrce. f ' x s annule en 16 et (et pas en comme beaucoup d élèves l ont écrt : est valeur nterdte). x 16 + x 8x x f 'x III. f : x x sa courbe représentatve dans un repère K( ; ) 1 ) A : pont de d abscsse a O,, j du plan. Varatons de f On complète le tableau de varatons avec les extremums. 6 1 Démontrons que la tangente T a en A à a pour équaton x f ' x x. On sat que f est dérvable sur et que T a pour équaton y f ' a x a f a sot a Fnalement, on obtent y a x a. y a x a a y a x a. ou encore y a x a a.

8 ) a) Développons et rédure l expresson E t 1t t. y 1 E t t t t t t t t t t b) Dédusons-en les abscsses des ponts de la courbe en lesquels la tangente passe par le pont K. V j O W x K s et seulement s a T a a s et seulement s 6a a s et seulement s 6a a 0 s et seulement s a a 0 (on smplfe par l égalté) a 1 a a 0 (utlsaton de la queston précédente) s et seulement s s et seulement s a 1 0 ou a a 0 s et seulement s a 1 ou a a 0 K Résoluton de l équaton a a 0 : Le dscrmnant rédut de cette équaton est égal à '. ' 0 1 L équaton a a 0 admet donc deux racnes dstnctes : a1 1 et 1 a 1. U Ans : K s et seulement s a 1 ou a 1 ou a 1. T a Il exste tros tangentes à passant K : l s agt des tangentes aux ponts d abscsses 1, 1, 1. S on note U, V, W les ponts d abscsses respectves 1, 1, 1, les tangentes passant par K sont les drotes (AU), (AV) et (AW).

9 IV. On utlse un arbre de probabltés en consdérant l événement S : «la lettre marquée sur le carton est A» ) a) p1 b) p c) p1 P S S S P S 5 15 p P S S S P S S S P S S S P S S S... ) 6 p 5 15 ) Détermnons le prx d achat d un bllet pour que la lotere sot équtable sachant que 000. On cherche a tel que E X 0 (1). (1) est successvement équvalente à : a a 5 Pour que cette lotere sot équtable dans le cas où 000, le prx d achat d un bllet dot être de 6,5 x 0 1 ) a) Détermnons de telle sorte que l organsateur fasse un bénéfce de 000 sachant que a 5. P X x Total 1 Le bénéfce de l organsateur est égale à la dfférence entre le montant de la vente de tous les bllets et la somme des gans des bllets gagnants vendus. On cherche donc tel que (1). V. L énoncé aurat peut-être dû précser que les bllets non gagnants sont marqués 0. (1) est successvement équvalente à : ) Détermnons en foncton de a et de, la lo de probablté de X. b) Dédusons-en la valeur arronde au centème de E(X), pus nterprétons ce résultat. x 5000 a 1000 a 50 a a P X x ) Démontrons que EX a a 5(1000 a) 50(50 a) ( 56)( a) 1500 a EX xp X x Total 1 On a 900 et a E X , Donc E X 0,69 (valeur arronde aux centème) Le jeu est donc défavorable au joueur et que la perte moyenne pour le joueur est d envron 69 centmes d euros. Le joueur perdra en moyenne 69 centmes d euros.

10 VI. 1 ) Détermnons la mesure prncpale en radans de l angle orenté B ; D. B ; D B ; AB AB ; AD AD ; D B ; BA AB ; AD DA ; D BA ; B AB ; AD DA ; D 6 On a ; (relaton de hasles pour les angles orentés) donc la mesure prncpale en radans de l angle orenté B ; D est. VII. ABDEF : hexagone nscrt dans un cercle de centre O M : pont quelconque de x : mesure prncpale en radans de l angle orenté OA ; OM Détermnons l ensemble décrt par x lorsque M décrt l arc EF de. B + ) Démontrons que (AB) (D). D O A AB ; D AB ; B B ; D BA ; B On en dédut que (AB) et (D) sont perpendculares. E F Remarque : Il état nutle de précser avant de conclure que 90. Autre méthode : On ntrodut le pont d ntersecton E des drotes (AB) et (D). On travalle ensute dans le trangle ADE. On sat que la somme des mesures en radans des angles géométrques d un trangle est égale à. On prend son de rester avec des mesures d angles géométrques et de ne pas applques la proprété avec des angles orentés. M est varable, moble sur l arc EF. x : mesure prncpale en radans de l angle orenté OA ; OM. Attenton, on n est pas dans le cercle trgonométrque! onsel, repasser l arc avec le dogt. Le premer vecteur de base est OA. On partage en deux l arc EF en deux arcs : le pett arc DE et le grand arc FD. OA ; OE OA ; OF Lorsque M décrt l arc EF, x décrt ; ;. On fat attenton aux crochets ouverts ou fermés. Les extrémtés de l arc sont comprses dans l arc.

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