Fiche résumée du cours de géométrie diérentielle. 1 Equations diérentielles ordinaires. 1.1 Denition. 1.2 Cas des équations linéaires

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1 Fiche résumée du cours de géométrie diérentielle 1 Equations diérentielles ordinaires 1.1 Denition Dénition 1.1 (Equation diérentielle ordinaire) Une équation diérentielle dans E espace vectoriel norméest donnée par un ouvert U dans R E et f : U E (f(t, x) vecteur) une solution C 1 est constituée de I R intervalle, et y : I E, C 1, telle que t I, (t, Y (t)) et y = f(t, y(t)). On a une relation d'ordre sur les solutions (y 1, I 1 ) > (y 2, I 2 ) si I 2 I 1 et y 1 I2 = y 2 dont on déduit la notion de solution maximale. f x sont Cr 1, alors R est C r. R Equations aux variations : x, à t et x xé, est une application I t,x End(E), solution de l'équation diérentielle linéaire z (s) = f x (s, R(s, t, x)) = z(s), z(t 0) = Id E. Théorème 1.3 (Des bouts, critère d'explosion en temps ni) f continue, localement lipschitzienne en x, soit u : I E une solution maximale. Soit (b, x) une valeur d'adhérence de (t, u(t)) lorsque t b une des bornes de I. Alors, (b, x) / U. Conséquance, si U = V R et si b = sup I <, alors k compact V, c < b tel que u(t) / K pour c < t < b.en dimension nie, cela signie que u(t) en b. 1.2 Cas des équations linéaires f est linéaire en x. Proposition 1.1 Toutes les solutions sont dénies sur I. Cas autonome, f(t, x) = f(x), indépendant de t. La solution est donnée par une exponentielle de matrice Existence et unicité Théorème 1.1 (Cauchy-lipschitz) Soit f continue en t, localement lipschitzienne en x, avec une constante de lipschitz localement bornée en t. Alors, (t 0, x 0 ) U, il existe une unique solution maximale u t0,x 0 : I t0,x 0 E, telle que u t0,x 0 (t 0 ) = x 0. Elle est de classe C r+1 si f est de classe C r. Lemme 1.1 Av B non diagonalisable, de mêmes valeurs propres, elles sont semblables en dimension 2. A λi et B λi sont semblables à E 1,2. Lemme 1.2 A, B diagonalisables sur C, semblables sur C, alors elles sont semblables sur R. 1.3 Equations diérentielles et diéomorphismes Compléments Théorème 1.2 D = {(s, t, x) R R E, s I t,x }, on dénit R : D E, R(s, t, x) = u t,x (s) résolvante.d est ouvert, et R est continue. Si f et Proposition 1.2 Soit y = f(t, y), f de classe C r+1, soit D R R E, le domaine de dénition de R : D E. On note U s,t = {x E, s, t, x D}, ϕ s,t : x R s,t,x. 1

2 Alors, ϕ s,t est un diéomorphisme de U s,t dans U t,s. Là où cette formule est dénie, on a ϕ r,s ϕ s,t = ϕ r,t. 2 Sous variétés 2.1 Denitions Corollaire 1.1 Mêmes hypothèses, y = f(y), U t = {x, (t, 0, x) D}, ϕ t = ϕ t,0. Alors ϕ t,s = ϕ t ϕ 1 s, ϕ t+s = ϕ t ϕ s. Dénition 1.2 (Champ de vecteurs) U ouvert de E, un champs de vecteurs de classe C r sur U est une application C r de U dans E. Une ligne intégrale d'un champs de vecteurs f est une solution de l'équation diérentielle y = f(y). Le ot local de f est la famille (U t, ϕ t ), ϕ t difféomorphisme de U t sur U t. f est complet si toutes les lignes intégrales sont dénies sur R tout entier.soit U le domaine de dénition de f, ϕ t Diff r (U) = {C r diffeo U U}. t ϕ t est un morphisme de groupes. On parle de ot, ou de groupe à un paramètre de diéomorphisme. Dénition 2.1 (Sous variété) X R n est une sous variété de dimension d est de classe C r, si x X, il existe un voisinage ouvert de x dans R n, pour tout ouvert V de R n contenant 0, il existe un C r diéomorphisme ϕ : U V, telle que ϕ(x U) = R d V. Dénition 2.2 U ouvert de R n, f : U R n d de classe C r, r 1, x U, f est une submersion en x si T x f est surjective. Soit y R n d, f est une submersion au dessus de y si elle l'est en tout point de f 1 ({y}). Théorème 2.1 (Des submersions) U ouvert de R n, f : U R n d de classe C r. Si f est une submersion au dessus de y, alors f 1 (y) est une sous variété de classe C r et de dimension d de R n, ou alors f 1 (y) =. 1.4 Cinématique Dénition 2.3 f : U R n de classe C r est une immersion si T x f est injective. Dénition 1.3 (Mouvement) Un mouvement dans R n est une application C r : I U m R n telle que pour tout t, m t diéomorphisme de U sur m t (U). Le champs des vitesses du mouvement est le champs de vecteur f t sur m t (U) déni par f t (y) = d ds m s(x) s=t, où m t (x) = y, x = m 1 t (y) Proposition 1.3 Un mouvement est constitué de translations si et seulement si son champs des vitesses est constant. Un mouvement est constitué de rotations si et seulement si son champs des vitesses est constitué de vecteurs linéaires, symétriques. Un mouvement est constitué de déplacements solides si et seulement si son champs des vitesses est constitué de vecteurs antisymétriques. Théorème 2.2 (Des immersions) Si f : U R d R n est une immersion en x de classe C r, alors il existe un voisinage U de x telle que f(u ) est une sous variété de dimension d de R n. Théorème 2.3 (Sard) Si f : U R n R n d est de classe C, f est une submersion au dessus de presque tout point, au sens de Lebesgue. Théorème 2.4 (Du rang constant) f : U R p R n de classe C r. Si le rang de T f est constant au voisinage de x, alors il existe un voisinage U de x tel que f(u ) est une sous variété de dimension rang(t xf), et si y f(u ), f 1 (y) est une sous variété de dimension dim(ker(t x f)). 2

3 2.2 Groupes classiques 2.4 Intersection de sous variétés Dénition 2.4 (Sous variété complexe) X C n est une sous variété complexe de dimension complexe d de C n si au voisinage de tout point, X peut être redressée sur C d par un diéomorphisme holomorphe. On a des théorèmes des immersions, submersions, holomorphes. Dénition 2.8 (Transversalité) E, F sous espaces vectoriels de R n, ils sont dits transverses si E+F = R n. X, Y sous variétés de R n, X et Y sont dits transverses si x X Y, les espaces tangents en x à X et Y sont transverses. Si f : X R n est C 1, f est transverx à y si, x f 1 (Y ), on a Im(T x f) est transverse à T f(x) (Y ). 2.3 Espace tangent Dénition 2.5 (Espace tangent) Soit X R n une sous variété, x X. L'espace tangent à X en x, est T x X = {γ (0), γ C 1, 0 I X, γ(0) = x}. Proposition 2.1 T x X est un sous espace vectoriel de R n de dimension d si X = f(u), f immersion, f(0) = x, alors T x X = im(t x f). Si X = f 1 (y), f submersion, alors T x X = ker(t x f). Dénition 2.6 (Fonctions C r ) Soient X, Y des sous-variétés de R n, R p de classe C r, soit r r. f : X Y, f est dite de classe C r, si x X, f lue à travers les diéomorphismes redresants est C r. Proposition 2.2 f : X Y est C r, f : X Y R p est C r si et seulement si pour tout x, il existe un voisinage U de x dans R n, et g : U R p de classe C r telle que g X U = f X V. Dénition 2.7 X, Y sous variétés, f : X Y C 1, T x f : T x X T f(x) Y est dénie par v T x X, v = γ (0), T x f(v) = (f γ) (0) T f(x) Y. Théorème 2.5 i) Soit X, Z des sous variétés de classe C 1, f : X Z n de classe C 1. Si f est transverse à Y, alors f 1 (Y ) est soit vide, soit une sous variété de codimension codim X f 1 (Y ) = codim Z n(y ) ii) Cas particulier, X, Y sous variétés transverses de Z ( x X Y, T x X + T x Y = T x Z), alors X Y est une sous variété à la fois de X et de Y. iii) Soienrt X, P, Z des sous variétés à Rennes. Soit Y Z une sous variétés, soit F : X P Z, on note F p : X, F p (x) = F (x, p). On s'intéresse à la famille des sous-ensembles F p (x) et à son intersection avec Y, plus exactement Fp 1 (Y ). Si F p est transverse à Y et dim(x) + dim(y ) = dim(z), alors Fp 1 (Y ) est un ensemble discret des points qui dépendent diérentiablement de p. 2.5 Transversalité Théorème 2.6 (Lemme de transversalité de Thorn) Soient X, Y, P des sous variétés de R n, soit Y Z une sous variété. Soit F : X P Z. toutes les variétés sont C. On suppose F transvers à Y, alors pour tout p P, F p est transverse à Y. Dénition 2.9 (Morse) Soit f de classe C 2 au voisinage de 0 à valeurs réelles, telle que 0 est un point critique T 0 f = 0, 0 est un point critique non dégénéré, l'application T f est transverse à la sous variété R n {0} en 0, T f : x (x, T x f). Dénition 2.10 (fonction de morse) X sous variété de classe C 2, f : X R de classe C 2, f est une fonction de morse si tous ses points critiques sont non dégénérés. 3

4 Lemme 2.1 (Morse) Soit f de classe C 2 au voisinage de 0 dans R n, on suppose que 0 est un point critique non dégénéré, alors il existe un diéomorphisme local ϕ de R n tel que ϕ(0) = 0. Alors, T 0 ϕ = Id, et f(x) = f(0) + q(ϕ(x)), q forme quadratique non dégénérée. Lemme 3.1 Soit f : U R q R n de classe C r, U où f est une immersion en U, U voisinage de U tel que f(u ) est une sous variété et f un C r diéomorphisme de U sur f(u ). Théorème 2.7 Soit X R n une sous variété de classe C, pour presque toute forme linéaire l R n, la restriction l X est une fonction de morse sur X. 3.2 espace projectif Dénition 3.4 (Espace projectif) L'espace projectif réel (resp. complexe) de dimension n est P n (R) = { droites vectorielles de R n+1 }. 3.1 Denitions 3 Variétés Dénition 3.5 (Transformation projective) Si M M n+1 (R) est inversible, alors M induit une bijection de P n (R) appellée transformation projective. f M = f M λ R, M = λm. Le groupe GL n+1 (R)/R I n+1 = PGL n+1 (R) agit sur P n (R) dèlement (i.e. f M = Id Pn(R) = S(M) = R de PGL n (R) Dénition 3.1 (Atlas, carte) Soit X un espace topologique. Un atlas de classe C r de dimension n pour X est la donnée d'un recouvrement de X par des ouverts U i, et pour tout i d'un homéomorphisme ϕ i : U i V i ouvert de R n tels que, i, j tel que U i U j, ϕ j ϕ 1 i = ϕ i (U i U j ) ϕ j (U i U j ) est un C 1 diéomorphisme. Les ϕ i s'appellent les cartes de l'atlas, les U i sont les domaines de l'atlas. ϕ j ϕ 1 i sont les changements de cartes. 2 atlas (U i, ϕ i ), et (W α, ψ α ), sont compatibles si les ψ α ϕ 1 i sont des C 1 diéomorphismes. Dénition 3.6 (Sous variété linéaire) Si F R n+1 est un sousespace vectoriel de dimension d + 1, p(f ) P n (R) s'appelle une sous variété linéaire de dimension d Lemme 3.2 H 1, H 2 deux hyperplans anes de R n+1, 0 / H 1 H 2. Alors, (P H1 ) 1 P H2 est C. Dénition 3.2 (Structure diérentielle) Une structure diérentielle sur X, c'est une classe d'équivalence d'atlas compatibles. Cette dénition équivaut à la donnée de l'atlas maximal de toutes les cartes compatibles avec un atlas donné. 3.3 Espaces quotients Dénition 3.7 G agit librement sur X si forall g e, x X, gx x Dénition 3.3 (Variété) Une variété de dimension d de classe C r est la donnée d'un espace topologique séparé, à base dénombrable d'ouverts et d'une structure diérentielle Dénition 3.8 (Action proprement discontinue) G agit proprement discontinument si k compact, {g G, gk K } est ni. 4

5 Théorème 3.1 Soit X une variété, G un groupe de diéomorphismes de X, on suppose l'action libre et proprement discontinue. Alors X/G est séparé, et il existe une unique structure diérentielle sur X/G telle que Π : X X/G soit un diéomorphisme local. Lemme 3.3 Un atlas de cartes ϕ i : U i V i Y variété à changement de cartes C r dénit une structure diérentielle. Proposition 3.1 X variété, G agit librement et proprement discontinument sur X, Y variété. f : X/G Y de classe C r f : X Y de classe C r, G-invariante. 3.4 Fibré tangent Dénition 3.9 γ 1, γ 2 courbes C 1, ] ε, ε[ X ont même position et vitesse en 0, si γ 1 (0), γ 2 (0) = x pour toute carte ϕ : U V R d, x U, (ϕ γ 1 ) (0) = (ϕ γ 2 ) (0) T X = {γ :] ε, ε[ X/ }, où γ 1, γ 2 si ils ont la même position et vitesse en 0. Dénition 3.10 Si ϕ : X Y est C r, on défnit T ϕ : T X T Y, [γ] [ϕ γ], T ϕ est de classe C r 1 linéaire sur chaque bre. 5