Périodes de courbes et de surfaces algébriques

Transcription

1 Périodes de courbes et de surfaces algébriques Petite introduction à la théorie de Hodge 19 octobre 2010

2 Résumé Étant donnée une courbe ou une surface donnée par des équations polynomiales, on peut calculer des périodes : ce sont les valeurs de certaines intégrales sur des contours fermés. La période du pendule pesant en est un exemple. La théorie de Hodge est un ensemble d outils d analyse et de calcul différentiel qui relient ces périodes à des propriétés géométriques qui tiennent plutôt du domaine de l algèbre.

3 Plan Formes différentielles Formes différentielles Périodes Intégrales abéliennes Décomposition de Hodge Cas des surfaces algébriques

4 Formes différentielles Des choses à intégrer sur des éléments de courbes, de surfaces, etc.

5 Formes différentielles Des choses à intégrer sur des éléments de courbes, de surfaces, etc. Par exemple : 1-formes : fdx + gdy + hdz, s intègre sur une courbe

6 Formes différentielles Des choses à intégrer sur des éléments de courbes, de surfaces, etc. Par exemple : 1-formes : fdx + gdy + hdz, s intègre sur une courbe 2-formes : fdx dy (aussi noté f dx dy), s intègre sur une surface

7 Formes différentielles Des choses à intégrer sur des éléments de courbes, de surfaces, etc. Par exemple : 1-formes : fdx + gdy + hdz, s intègre sur une courbe 2-formes : fdx dy (aussi noté f dx dy), s intègre sur une surface etc. La notation rappelle que dx dy = dy dx (questions d orientation). Tout cela se généralise aux k-formes, qui s intègrent sur des «contours» de dimension k.

8 Exemples en trois dimensions les 0-formes sont les fonctions : on prend leur valeur en un point.

9 Exemples en trois dimensions les 0-formes sont les fonctions : on prend leur valeur en un point. les 1-formes sont des champs de vecteurs : fdx + gdy + hdz vecteur (f, g, h) on calcule leur circulation (vecteurs «polaires»)

10 Exemples en trois dimensions les 0-formes sont les fonctions : on prend leur valeur en un point. les 1-formes sont des champs de vecteurs : fdx + gdy + hdz vecteur (f, g, h) on calcule leur circulation (vecteurs «polaires») les 2-formes aussi : fdx dy + gdy dz + hdz dx vecteur (g, h, f) on calcule leur flux (vecteurs «axiaux»)

11 Exemples en trois dimensions les 0-formes sont les fonctions : on prend leur valeur en un point. les 1-formes sont des champs de vecteurs : fdx + gdy + hdz vecteur (f, g, h) on calcule leur circulation (vecteurs «polaires») les 2-formes aussi : fdx dy + gdy dz + hdz dx vecteur (g, h, f) on calcule leur flux (vecteurs «axiaux») les 3-formes sont des fonctions de densité on calcule leur intégrale sur des éléments de volume.

12 Formes différentielles en physique Les formes différentielles sont un langage idéal pour un certain nombre de notions en physique.

13 Formes différentielles en physique Les formes différentielles sont un langage idéal pour un certain nombre de notions en physique. On peut interpréter ainsi certaines grandeurs : température (0-forme), champ électrique (1-forme), vitesse d un fluide (2-forme), densité de matière (3-forme).

14 Formes différentielles en physique Les formes différentielles sont un langage idéal pour un certain nombre de notions en physique. On peut interpréter ainsi certaines grandeurs : température (0-forme), champ électrique (1-forme), vitesse d un fluide (2-forme), densité de matière (3-forme). L électromagnétisme et les équations de Maxwell se formulent idéalement en ces termes.

15 Différentielle extérieure, formule de Stokes Si ω est une k-forme différentielle, on définit dω, c est la (k + 1)-forme différentielle telle que l intégrale de dω sur un petit élément à k + 1 dimensions est l intégrale de ω sur le bord de ce petit élément.

16 Différentielle extérieure, formule de Stokes Si ω est une k-forme différentielle, on définit dω, c est la (k + 1)-forme différentielle telle que l intégrale de dω sur un petit élément à k + 1 dimensions est l intégrale de ω sur le bord de ce petit élément. 0-formes grad d 1-formes curl d 2-formes div d 3-formes

17 Différentielle extérieure, formule de Stokes Si ω est une k-forme différentielle, on définit dω, c est la (k + 1)-forme différentielle telle que l intégrale de dω sur un petit élément à k + 1 dimensions est l intégrale de ω sur le bord de ce petit élément. 0-formes grad d 1-formes curl d 2-formes div d 3-formes On peut écrire dω en fonction des dérivées partielles de ω. Il y a la célèbre formule de Stokes dω = ω. X X

18 Divergence Formes différentielles La divergence est un opérateur dual de la différentielle. On la note d ω.

19 Divergence Formes différentielles La divergence est un opérateur dual de la différentielle. On la note d ω. ω (vecteur) ω (2-forme) d dω (3-forme) d ω (fonction) (aux signes près)

20 Divergence Formes différentielles La divergence est un opérateur dual de la différentielle. On la note d ω. ω (vecteur) ω (2-forme) d dω (3-forme) d ω (fonction) (aux signes près) Si ω = f i dx i on a la formule d ω = f i / x i et on retrouve la divergence habituelle.

21 Opérateur de Laplace-Beltrami La différentielle et la divergence sont des opérations comme ça : grad curl div A 0 FGGGGGGG GGGGGGGB A 1 FGGGGGGG GGGGGGGB A 2 FGGGGGGG GGGGGGGB A 3 div curl grad (on note A k l ensemble des k-formes différentielles).

22 Opérateur de Laplace-Beltrami La différentielle et la divergence sont des opérations comme ça : grad curl div A 0 FGGGGGGG GGGGGGGB A 1 FGGGGGGG GGGGGGGB A 2 FGGGGGGG GGGGGGGB A 3 div curl grad (on note A k l ensemble des k-formes différentielles). Le laplacien (généralisé) est donné par la formule : ω = dd ω ± d dω avec des signes choisis pour que ω, ω = (dω) 2 + (d ω) 2

23 Opérateur de Laplace-Beltrami On retrouve des identités classiques f = div grad f e = curl curl e grad div e si f est une fonction, et si e est un champ de vecteurs ( est traditionnellement l opposé du laplacien normal). Un truc ω (fonction, forme...) est dit harmonique si ω = 0. Sur une variété fermée, les formes harmoniques correspondent à la cohomologie.

24 Périodes Intégrales abéliennes Périodes d une forme différentielle Les formes différentielles fermées s intègrent tout naturellement sur des contours fermés : l équation dω = 0 permet d avoir une propriété de conservation, c est-à-dire ω = ω A si A se déforme en B, ou si l espace entre A et B peut être rempli (on dit que A et B sont homologues). B

25 Théorème de Hodge Périodes Intégrales abéliennes Le théorème de De Rham et Hodge affirme que si on affecte un nombre I(A) à chaque contour («cycle») de façon additive I(A + B) = I(A) + I(B), on peut trouver une seule forme différentielle harmonique telle que ω = I(A) A (les nombres I(A) sont choisis réels ou complexes). Une telle fonction I est appelée classe de cohomologie ou cocycle en topologie algébrique.

26 Intégrales abéliennes Périodes Intégrales abéliennes Les intégrales abéliennes, par exemple les intégrales elliptiques sont de la forme dx dx x3 + ax + b = y sur la courbe y2 = x 3 + ax + b

27 Intégrales abéliennes Périodes Intégrales abéliennes Les intégrales abéliennes, par exemple les intégrales elliptiques sont de la forme dx dx x3 + ax + b = y sur la courbe y2 = x 3 + ax + b L ensemble des solutions complexes de y 2 = x 3 + ax + b est un tore et dx/y est une 1-forme différentielle sur ce tore. Les intégrales abéliennes sont des périodes.

28 Décomposition de Hodge Cas des surfaces algébriques Variétés réelles vs. variétés complexes Les courbes y 2 = x 3 + ax + b sont toutes identiques (ce sont des «ronds»), mais pas les tores associés aux solutions complexes, qui ont deux périodes distinctes : il y a deux courbes fermées indépendantes sur un tore.

29 Décomposition de Hodge Cas des surfaces algébriques Variétés réelles vs. variétés complexes Les courbes y 2 = x 3 + ax + b sont toutes identiques (ce sont des «ronds»), mais pas les tores associés aux solutions complexes, qui ont deux périodes distinctes : il y a deux courbes fermées indépendantes sur un tore. Il faut comprendre la décomposition de Hodge pour faire la différence.

30 Décomposition en types Décomposition de Hodge Cas des surfaces algébriques La rotation d angle θ dans le plan complexe s écrit { dx cos θ dx + sin θ dy r θ : dy sin θ dx + cos θ dy Celle-ci se généralise à plusieurs variables : si ω est une k-forme différentielle, on a alors une décomposition en types r θ (ω) = e i(p q)θ ω p,q p+q=k et on dit que ω p,q est la partie de type (p, q) de ω.

31 Décomposition de Hodge Décomposition de Hodge Cas des surfaces algébriques Le théorème de décomposition de Hodge dit que si ω est harmonique, chaque morceau ω p,q aussi. La cohomologie d une variété algébrique est donc décomposée en morceaux.

32 Décomposition de Hodge Décomposition de Hodge Cas des surfaces algébriques Le théorème de décomposition de Hodge dit que si ω est harmonique, chaque morceau ω p,q aussi. La cohomologie d une variété algébrique est donc décomposée en morceaux. Le cas le plus simple est celui des surfaces. Les points à coordonnées complexes d une surface forment un ensemble de dimension 4. Les 2-formes différentielles se décomposent en morceaux de type (2, 0), (1, 1), (0, 2).

33 Surfaces algébriques Décomposition de Hodge Cas des surfaces algébriques Un élément de surface dz 1 dz 2 a un sens sur une surface réelle mais aussi sur une surface complexe. r θ (dz 1 dz 2 ) = exp(2iθ)dz 1 dz 2 Les formes du type dz 1 dz 2 sont des formes de type (2, 0).

34 Courbes tracées sur une surface Décomposition de Hodge Cas des surfaces algébriques Si une courbe sur une surface est définie par une équation algébrique elle est holomorphe : elle admet une coordonnée complexe, et son élément de surface est de la forme dx i dy i. r θ (dx i dy i ) = dx i dy i

35 Décomposition de Hodge Cas des surfaces algébriques Courbes tracées sur une surface Si une courbe sur une surface est définie par une équation algébrique elle est holomorphe : elle admet une coordonnée complexe, et son élément de surface est de la forme dx i dy i. Formes de type (1,1) r θ (dx i dy i ) = dx i dy i Seules les intégrales de formes de types (1, 1) sont non nulles sur ce type de cycle, on dit qu il est de type (1, 1). Lefschetz : tout cycle de ce type correspond à une courbe algébrique équivalente, c est-à-dire qu elle a les mêmes intégrales.

36 La conjecture de Hodge Décomposition de Hodge Cas des surfaces algébriques Une conjecture à 1 M$ La conjecture de Hodge affirme qu un cycle de type (p, p) (c est-à-dire une combinaison linéaire de contours fermés dont les périodes sont r θ -invariantes) est algébrique, c est-à-dire équivalent, ou homologue à une combinaison linéaire de sous-variétés algébriques.

37 La conjecture de Hodge Décomposition de Hodge Cas des surfaces algébriques Une conjecture à 1 M$ La conjecture de Hodge affirme qu un cycle de type (p, p) (c est-à-dire une combinaison linéaire de contours fermés dont les périodes sont r θ -invariantes) est algébrique, c est-à-dire équivalent, ou homologue à une combinaison linéaire de sous-variétés algébriques. En vérifiant si certaines intégrales s annulent, on peut ainsi détecter l apparition de cycles définis par des équations algébriques. En termes d équations, cela signifie que certains polynômes vont se factoriser pour certaines valeurs des paramètres.

38 Jürgen Jost Riemannian Geometry and Geometric Analysis Universitext Springer Claire Voisin Théorie de Hoge et géométrie algébrique Cours spécialisés 10 Société Mathématique de France