Chapitre 2 Autocorrélation des erreurs

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1 Chapire Aocorrélaion des errers Licence Economérie Economérie II Marin Fornier L3 Economérie - Economérie II. Présenaion d problème L3 Economérie - Economérie II. Présenaion d problème () Reprenons le modèle linéaire général Il y a aocorrélaion des errers lorsqe l hypohèse H5 (cf. ch. Inrodcif) n es pls vérifiée, soi : Inerpréaion : - La marice de variance covariance des ermes d errers n es pas diagonale - Les ermes d errer des différenes observaions ne son pas indépendans L3 Economérie - Economérie II 3

2 . Présenaion d problème () En présence d aocorrélaion, les esimaers MCO son sans biais mais ne son pls à variance minimale. En présence d aocorrélaion, les écars ypes sels des MCO e les ess ne son pls valides, même asympoiqemen. L3 Economérie - Economérie II 4.3 Les MCO resen sans biais Sans biais? L3 Economérie - Economérie II 5.4 Mais ne son pls de variance minimale De variance minimale? En présence d aocorrélaion des ermes d errer, les hypohèses d héorème de Gass- Markov (cf. Economérie I) ne son pls vérifiées Le résla de variance minimale des MCO n es pls valide L3 Economérie - Economérie II 6

3 .5 Les ess sels des MCO son invalidés La variance de l esimaer des MCO es : L3 Economérie - Economérie II 7.6 Les ess sels des MCO son invalidés () Tos les ess d hypohèse qi reposen sr l expression de la marice de variancecovariance des MCO ( σ ( X ' X ) ) son invalidés Écars-ypes e inervalles de confiance des coefficiens esimés -Tess e F-ess sr les coefficiens NB : La mesre de la qalié de la régression par le R rese en revanche valide L3 Economérie - Economérie II 8.7 Plan d chapire Les sorces selles de l aocorrélaion Inrodcion ax séries chronologiqes Teser la présence d aocorrélaion Méhodes de correcion Conclsion e mises en garde L3 Economérie - Economérie II 9 3

4 . Les sorces selles d problème L3 Economérie - Economérie II 0. Les sorces selles d problème L aocorrélaion des errers pe êre observée por plsiers raisons : - Variables explicaives imporanes omises - Mavaise spécificaion d modèle - Effes dynamiqes non modélisés Sorces d «inerie» dans les errers L aocorrélaion des errers se renconre esseniellemen dans les modèles en séries emporelles. L3 Economérie - Economérie II. Mavaise spécificaion Un mavais choix de forme foncionnelle pe assi s inerpréer comme ne variable omise : Modèle héoriqe : y = a + b.x + c.x + v Modèle esimé : y = a + b.x + L3 Economérie - Economérie II 4

5 3. Inrodcion ax modèles en séries chronologiqes L3 Economérie - Economérie II 3 3. Inrodcion ax modèles en séries chronologiqes Exemples - Variables macro-économiqes françaises (PIB, inflaion, chômage, ec.) - Sivi mensel d n individ (emploi, salaire, consommaion, ec.) - Coaion d ne acion (annelle, menselle, jornalière, à la mine ) Formalisaion y = b 0 + b x b k x k + L3 Economérie - Economérie II 4 3. Séries chronologiqes / Copes ransversales Les observaions des séries chronologiqes son ordonnées alors qe l ordre des observaions d ne cope ransversale n a pas d imporance Les observaions de séries chronologiqes son isses d n processs sochasiqe (aléaoire) à parir d n modèle héoriqe e non pas d n échanillonnage aléaoire (copes ransversales) L3 Economérie - Economérie II 5 5

6 3.3 Modèles avec reards Un modèle saiqe relie des variables conemporaines y = b 0 + b z + NB : Ideniqe a modèle de cope ransversale Un modèle avec reards incl l observaion passée de ceraines variables y = a 0 + d 0 z + d z - + d z - + L3 Economérie - Economérie II Modèles avec reards () y = a 0 + d 0 z + d z - + d z - + Le paramère d 0 mesre l impac immédia (i.e. de cor erme) de la variable z sr la variable y. L ensemble des paramères (d 0, d,, d q ) décri la relaion de long erme enre les dex variables L3 Economérie - Economérie II Le problème des endances (rend) Les différenes variables d ne série chronologiqe économiqe on soven ne endance emporelle Le fai qe dex variables siven la même endance ne sffi pas à prover ne relaion casale. Exemple: - Le cors d blé flce en foncion des précipiaions - La demande d énergie (chaffage) flce égalemen en foncion des condiions mééorologiqes Une corrélaion es observable enre les dex variables sans q il y ai por aan de casalié L3 Economérie - Economérie II 8 6

7 3.6 Le problème des endances () Ce son le pls soven des facers inobservés par l économère qi casen les endances Même si ces facers ne peven êre observés, il es possible de les conrôler en modélisan la endance emporelle La qesion de la coinégraion (cf. cors de séries emporelles en M) L3 Economérie - Economérie II Le problème des endances (3) Comme por le modèle économiqe, il exise ne infinié de spécificaions possibles por la endance Tendance linéaire y = b 0 + b z + a + e, =,, Tendance exponenielle log(y ) = b 0 + b z + a + e, =,, Tendance qadraiqe y = b 0 + b z + a + a + e, =,, L3 Economérie - Economérie II Prger la endance (derending) A lie d inrodire ne endance linéaire, il es possible de ravailler sr des données prgées de la endance (derended) ) Régression de chaqe variable d modèle sr ne endance ) Uilisaion des résids de chaqe éqaion comme novelles variables L3 Economérie - Economérie II 7

8 3.9 Prger la endance () Applicaion praiqe y = b 0 + b z + a + e, =,, ) Créaions de variables prgées de la endance y = c 0 + c + ε y d = ε z = d 0 + d + η z d = η ) Régression d modèle sr les novelles variables y d = b z d + ω, =,, L3 Economérie - Economérie II 3.0 Prger la endance (3) Prger la endance es ne méhode en éapes qi inrodi ne errer de mesre sr la dexième éape Les variables prgées de la endance son consries à parir de paramères esimés y z ε d = c0 + c + yˆ = y cˆ0 cˆ d = d0 + d + η z = z d0 d ˆ ˆ ˆ L3 Economérie - Economérie II 3 3. Prger la endance (4) L inrodcion d ne endance e l ilisaion de variables prgées de la endance son dex approches éqivalenes Calcl d R Les régressions en séries emporelles on soven n R rès élevé d sel fai d povoir explicaif de la endance (qi ne correspond pas a povoir explicaif réel d modèle économiqe esimé) Le R de la régression avec variables prgées de la endance reflèe de manière pls jse le povoir explicaif d modèle économiqe L3 Economérie - Economérie II 4 8

9 3. Le cas d errers aorégressives de degré [AR()] y = b 0 + b z + Prenons le cas pariclier sivan =. + e < avec e i.i.d (non aocorrélé) () L3 Economérie - Economérie II Le cas d errers AR() () L3 Economérie - Economérie II Le cas d errers AR() (3) L3 Economérie - Economérie II 7 9

10 3.5 Le cas d errers AR() (4) L3 Economérie - Economérie II Sr o sos-évalaion des écars-ypes? σ ( X ' X ) X ' Φ X ( X ' X ) Les dex cas son possibles. < 0? > Dans la plpar des modèles économiqes en séries chronologiqes, les errers son posiivemen corrélées e les variables explicaives resen de même signe La variance des MCO end à sos-évaler la vraie variance. L3 Economérie - Economérie II 9 4. Déecion de l aocorrélaion L3 Economérie - Economérie II 30 0

11 4. Déecion de l aocorrélaion Elle s effece à parir de l analyse des résids empiriqes. Ex sels son conns Examen visel des résids L analyse graphiqe des résids perme le pls soven de déecer ne aocorrélaion des errers lorsqe : - Les résids son pendan plsiers périodes consécives, soi posiifs, soi négaifs : corrélaion posiive - Les résids son alernés : corrélaion négaive. Cependan, le pls soven, l analyse graphiqe es délicae à inerpréer L3 Economérie - Economérie II 3 4. Examen visel des résids L3 Economérie - Economérie II Le es de Drbin Wason Tes d aocorrélaion des ermes d errer d ordre selon la forme :. + e = Il s agi de eser conre avec: e N(0, σ ) e L3 Economérie - Economérie II 33

12 4.3 Le es de Drbin Wason () Por eser l hypohèse nlle, on calcle la saisiqe de Drbin Wason DW n ( ˆ ˆ ) = = n ˆ = De par sa consrcion, cee saisiqe varie enre 0 e 4 e on a : L3 Economérie - Economérie II Le es de Drbin Wason (3) Preve L3 Economérie - Economérie II Le es de Drbin Wason (4) Afin de eser l hypohèse nlle, Drbin e Wason (950) on ablé les valers criiqes de DW a seil de 5%, en foncion de la aille de l échanillon T e d nombre de variables explicaives (k). La lecre de la able perme de déerminer valers d e d comprises enre 0 e. L3 Economérie - Economérie II 36

13 4.6 Les valers criiqes d DW p : nombre de variables explicaives (consane excle) n : nombre d observaions L3 Economérie - Economérie II Lecre de la able d DW Le calcl de la saisiqe de Drbin Wason perme de eser la présence d aocorrélaion de la manière sivane L3 Economérie - Economérie II Les condiions d ilisaion de la saisiqe de Drbin Wason Le modèle doi comporer impéraivemen n erme consan Le nombre d observaions doi êre spérier (o égal) à 5 Le modèle esimé ne conien pas la variable dépendane reardée dans les variables explicaives Le es de DW ne perme de eser qe l aocorrélaion d ordre NB : La saisiqe de DW es ne saisiqe de ème éape, i.e. calclée à parir des résids empiriqes, ex-mêmes somis à errer de mesre L3 Economérie - Economérie II 39 3

14 4.9 Exemple : Esimaion d ne foncion de consommaion (Greene, Economeric Analysis, 5 Ediion) y : ln (consommaion réelle) x : ln (reven réel) Table de DW por var. explicaive e 00 observaions d =,69 d =,65 L3 Economérie - Economérie II Approches alernaives Il s agi de eser l aocorrélaion des ermes d errer d ordre =. + e avec : e i.i.d (non aocorrélé) NB : On lève ici l hypohèse de normalié sr e Por cela il sffi de régresser les résids empiriqes sr les résids empiriqes reardés Un -es sr le paramère esimé perme de eser la présence d aocorrélaion L3 Economérie - Economérie II 4 4. Approches alernaives () Une approche pls flexible Tes d ne aocorrélaion des ermes d errer d ordre q Esimaion d modèle + =. q e avec: e i.i.d non aocorrélé -es sr le paramère esimé Tes d ne srcre pls générale d aocorrélaion jsq à l ordre q Esimaion d modèle q = i. i + e avec: e i.i.d non aocorrélé i= F-es sr le modèle esimé L3 Economérie - Economérie II 4 4

15 5. Correcion de l aocorrélaion L3 Economérie - Economérie II Les Moindres Carrés Généralisés On a v q en présence d aocorrélaion Les esimaers par MCO son sans biais Les esimaers par MCO ne son pls de variance minimale On cherche n esimaer qi soi de variance minimale L3 Economérie - Economérie II Les Moindres Carrés Généralisés () Considérons le modèle linéaire général sivan Y = Xβ + avec σ I On pe démonrer qe l esimaer, sans biais, foncion linéaire de Y e à variance minimale es donné par : ˆ β = ( X ' Ω X ) ( X ' Ω Y ) Ω MCG ˆ β MCG = ( X ' Ω X ) Ω L3 Economérie - Economérie II 45 5

16 5.3 Les Moindres Carrés Généralisés (3) Démonsraion L3 Economérie - Economérie II Les Moindres Carrés Généralisés (4) Démonsraion (sie) L3 Economérie - Economérie II Les Moindres Carrés Généralisés (5) Démonsraion (sie) L3 Economérie - Economérie II 48 6

17 5.6 Les Moindres Carrés Généralisés (6) Si l on connaî la marice de variance-covariance des errers, cela perme de résodre la qesion de l aocorrélaion des résids. Le héorème de Gass Markov s appliqe a modèle ransformé. L esimaer des MCG es BLUE L esimaer des MCG si asympoiqemen ne loi normale cenrée en β e de variance : Var( ˆ β X σ * * * ) = ( X ' X ) = ( X ' Ψ X ) NB : Les MCO son n cas pariclier des MCG por Ψ = I σ L3 Economérie - Economérie II Appliqer la méhode des MCG Dans la praiqe, on ne connaî pas la marice de variance covariance des ermes d errers. Il fa l esimer dans ne première éape. Les ess d hypohèses des MCO peven êre direcemen adapés a modèle ransformé. En revanche, la saisiqe de R n es pls comparable à celle des MCO e il exise plsiers alernaives (non développées ici) L3 Economérie - Economérie II Les moindres carrés qasigénéralisés (MCQG) Por appliqer les MCQG, on procède en dex éapes : ) Esimaion de la marice permean de ransformer le modèle esimé en n modèle sans aocorrélaion des errers ) Esimaion d modèle ransformé par les MCO NB : La première éape inrodi des paramères esimés (avec errer) dans la dexième éape. L3 Economérie - Economérie II 5 7

18 8 L3 Economérie - Economérie II Applicaion des MCQG a cas de ermes d errer AR() Reprenons le modèle à ermes d errers AR() : On a v qe dans ce cas : < + = i.i.d e non aocorrélé avec. e e ) ( σ σ Ψ = = Ω T T L3 Economérie - Economérie II Applicaion des MCQG a cas de ermes d errer AR() () Por obenir l esimaer des MCQG, il fa dans n premier emps esimer le paramère. L3 Economérie - Economérie II Applicaion des MCQG a cas de ermes d errer AR() (3)

19 5. Applicaion des MCQG a cas de ermes d errer AR() (4) Un résla imporan : Si l esimaer de es convergen, l esimaion en dex éapes par les MCQG es asympoiqemen éqivalene à iliser le vrai paramère Les limies : - Les propriéés à disance finie des esimaers par les MCQG son inconnes dans le cas général. * N es pls «sans biais» * Les saisiqes de ess ne son qe des approximaions des vraies saisiqes de es d fai de l approximaion de par ˆ L3 Economérie - Economérie II Esimer dans le cas de ermes d errer AR() Différenes édes monren qe les MCQG son le pls soven pls efficaces qe les MCO mais, si le problème d aocorrélaion n es pas rop grave, les MCO peven êre pls efficaces qe les MCQG sr peis échanillons. Les MCQG son en pariclier largemen ilisés lorsqe le modèle d aocorrélaion reen por les errers es donné par :. + e = avec e N(0, σ ) L3 Economérie - Economérie II 56 e 5.4 Esimer dans le cas de ermes d errer AR() () Première approche : esimaion direce. OLS sr le modèle sans enir compe de l aocorrélaion. OLS sr les résids d modèle esimés ( ) selon le modèle û ˆ =.ˆ + e ˆ = ˆ = 0 ˆ ˆ ˆ 443 Esimaer des MCO - [(X'X) X'Y avec X= ˆ e Y= ˆ ] L3 Economérie - Economérie II 57 9

20 5.5 Esimer dans le cas de ermes d errer AR() (3) Dexième approche : Uilisaion de la saisiqe de Drbin-Wason DW = T ( ˆ ˆ ) = T ˆ = d'où DW ˆ = - NB : DW ( ˆ) L3 Economérie - Economérie II La procédre iéraive de Cochrane-Orc Première éape : iniialisaion de par esimaion direce (cf. première approche) ˆ ˆ ˆ 0 = ˆ Dexième éape : ilisaion de ˆ 0 por appliqer les MCQG don on dédi n novea résid empiriqe ûˆ e ne novelle valer de ˆ ˆ ˆ = ˆ Le processs es répéé jsq à sabilié de l esimaion de L3 Economérie - Economérie II Exemple : Esimaion d ne foncion de consommaion AR() Model: e() = rho * e(-) + () Iniial vale of rho = Maximm ieraions = 00 Procédre Mehod = Prais - Winsen Ier=, SS=.07, Log-L= éqivalene à Ier=, SS=.07, Log-L= Cochrane- Final vale of Rho = Ier=, SS=.07, Log-L= Orc Drbin-Wason: e() = Sd. Deviaion: e() =.0308 Sd. Deviaion: () =.0095 Drbin-Wason: () =.56 Aocorrelaion: () = N[0,] sed for significance levels Variable Coefficien Sandard Error b/s.er. P[ Z >z] Mean of X Consan LOGY RHO Rappel : LOGY(MCO) = L3 Economérie - Economérie II 60 0

21 5.8 La procédre de balayage de Hildreh-L Première éape : A parir de la saisiqe de Drbin- Wason, on déermine ne aocorrélaion posiive o négaive : > 0 o ˆ 0 ˆ0 0 < Dexième éape : Régression por l inervalle des valers possibles de Si ˆ0 > 0 alors on ilise des valers de sr [0,] Si ˆ0 < 0 alors on ilise des valers de sr [-,0] On reien la valer de qi minimise la somme des carrés des résids en balayan l inervalle avec n pas correspondan a degré de précision désiré. L3 Economérie - Economérie II 6 6. Conclsions e mises en garde L3 Economérie - Economérie II 6 6. Conclsions e mises en gardes Le problème d aocorrélaion des errers es pariclièremen imporan en données chronologiqes Les méhodes de es e de correcion de l aocorrélaion ves ici niqemen por des ermes d errers AR() peven êre développées por eser e corriger des aocorrélaions pls complexes Les méhodes des MCG e MCQG permeen de corriger les biais indis par l aocorrélaion lorsqe l on connaî la nare de cee aocorrélaion L3 Economérie - Economérie II 63

22 6. Conclsions e mises en gardes () Si la nare de la srcre d aocorrélaion es mal évalée, le remède pe se révéler pls nocif qe la maladie. Par ex. si les résids son saisonniers e q on les sppose AR() Dans ce cas, on risqe d avoir par ces procédres d esimaion des réslas pls mavais qe si on faisai des MCO simples. Se romper sr la modélisaion des résids pe êre pls grave qe le problème d aocorrélaion en li-même. Soven, il va miex essayer de revoir sa spécificaion économériqe a lie d appliqer ces méhodes de correcion. L3 Economérie - Economérie II 64

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