UN CHEMIN VERS LES NOMBRES DECIMAUX Jusqu au cycle 3

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1 UN CHEMIN VERS LES NOMBRES DECIMAUX Jusqu au cycle 3 Que disent les textes officiels? (Horaires et programmes de l enseignement primaire, cycle 3, BO hors-série n 3 du 19 juin 2008 Les nombres décimaux et les fractions (extraits): - fractions simples et décimales : écriture, encadrement entre deux nombres entiers consécutifs, écriture comme somme d un entier et d une fraction inférieure à 1, somme de deux fractions décimales ou de deux fractions de même dénominateur ; - nombres décimaux : désignations orales et écritures chiffrées, valeur des chiffres en fonction de leur position, passage de l écriture à virgule à une écriture fractionnaire et inversement, comparaison et rangement, repérage sur une droite graduée ; valeur approchée d un décimal à l unité près, au dixième près, au centième près. Au cycle 3, les fractions puis les nombres décimaux apparaissent comme de nouveaux nombres introduits pour pallier l insuffisance des entiers, notamment pour mesurer des longueurs, des aires et repérer des points sur une demi-droite graduée. L écriture à virgule est présentée comme une convention d écriture d une fraction décimale ou d une somme de fractions décimales, le lien avec le système métrique étant fait ensuite. Seules quelques fractions usuelles (exprimées en demis, quarts, tiers et fractions décimales) sont utilisées par les élèves, et travaillées dans le but d'introduire les nombres décimaux par le biais des fractions décimales. La fraction est introduite en référence au partage d une unité, le dénominateur indiquant la nature du partage et le numérateur le nombre de parts considérées ( 3 4, lu «trois quarts», est compris comme «trois fois un quart») Ils ont appris à encadrer une fraction simple par deux entiers naturels consécutifs et à l écrire sous forme de somme d un entier naturel et d une fraction inférieure à 1.» Une idée de la construction du nombre décimal, dans le cadre d un projet d école ou de réseau, avec décloisonnements Origines et motivations de cette réflexion L habitude de traiter les évaluations, de prendre en charges les difficultés des élèves, de comparer nos données avec celles du département et des résultats nationaux, nous a permis de constater que les élèves quelque soit leurs origines en France, sont (statistiquement) en échec sur les mêmes champs : la connaissance des nombres décimaux, les grandeurs et mesures, le calcul mental. RAR /CIRCO Lamentin : Albert CRUZOE Collège Place d Armes 2 Corinne CLAIN école de Césaire C -Lionel DULYMBOIS école de Sarrault Page 1

2 Autres constats Quelles sont les erreurs d apprentissage que l on rencontre lors des différentes évaluations? Confusion entre dixièmes et dizaines, centièmes et centaines Le nombre décimal est identifié comme deux nombres entiers verrouillage de la virgule lors des produits par 10 ; 100 ; 1000 Des difficultés à compter de dixième en dixième difficulté à reporter les retenues lors des opérations, en particulier l addition difficultés à savoir où se positionne un nombre décimal donné en référence aux entiers l élève ne perçoit pas l ensemble des nombres qu il utilise comme étant linéaire. L élève considère l ensemble des entiers et celui des nombres décimaux comme étant disjoints. (On ne lui dit pas qu il s agit d un seul et même ensemble, non plus qu il y a linéarité, mais le chemin d apprentissage doit lui permettre de le percevoir, le conceptualiser comme tel). Ce schéma symbolise la «linéarité» de l ensemble des nombres que l élève utilise progressivement 0 1/2 0,5 1 5/4 1+1/4 2 8/4 2,9 2+9/10 Une cause possible La vie d antan était «arithmétique», l école s appuyait sur du vécu. Mieux, l école s était adaptée de son côté à cette vie car l arithmétique était au programme, dont une forte part pour les fractions. Ce côté de la vie a changé. L école a-t-elle adapté l enseignement des décimaux en palliant à cette carence? Le temps d apprentissage des nombres décimaux est trop court, compte tenu du vécu qui a changé. Il faut redistribuer l apprentissage sur tout le chemin de l élève quand les fondamentaux (lecture, écriture, numération) sont en souffrance. RAR /CIRCO Lamentin : Albert CRUZOE Collège Place d Armes 2 Corinne CLAIN école de Césaire C -Lionel DULYMBOIS école de Sarrault Page 2

3 LA NUMERATION DECIMALE Un nombre décimal : 26,31. Que doit savoir l élève? Lire le nombre, identifier partie entière, partie décimale, nom et position des rangs. La quantité désignée par 31 est inférieure à celle que représente 26 et la partie décimale est toujours inférieure à 1. L entier qui précède 26,31 est 26, celui qui suit est 27. Décomposer canoniquement ce nombre en dizaines, unités, dixièmes et centièmes. En numération, plusieurs travaux L un d eux sera notre fil conducteur: Le développement canonique et le codage du nombre Un exemple : A l issue d un dénombrement d objets sécables, ou d une mesure, on trouve : 4 centaines, 5 dizaines, 3 unités, 2 dixièmes et 6 centièmes L expression mathématique de cette quantité, pour notre civilisation est : ( 4 100) ( 5 10) ( 3 1) ( 2 ) ( 6 ) Il a été convenu que cette quantité se code : 453,26 et toujours dans cet ordre C est donc avec une égalité du type: ( 4 100) ( 5 10) ( 3 1) ( 2 ) ( 6 ) = 453,26 que nous introduirons la virgule et donner du sens au nombre décimal. La partie ( 2 ) ( 6 ) traduit la nature fractionnaire du nombre décimal Le nombre décimal est un nombre fractionnaire : l élève doit construire sa maitrise des nombres décimaux par les fractions. Il doit comprendre, à l occasion de mesures par exemple, que l ensemble des entiers qu il utilise, est insuffisant: Il faut fractionner les unités. Puis, que les fractions, simples ou complexes, deviennent insuffisantes et n offrent pas assez de souplesse pour, par exemple, faire les relations entre unités et sous-unités. RAR /CIRCO Lamentin : Albert CRUZOE Collège Place d Armes 2 Corinne CLAIN école de Césaire C -Lionel DULYMBOIS école de Sarrault Page 3

4 Une conception d approche des nombres décimaux dans le cadre d un projet d école, de RAR ou de RSS. ETAPES - Entiers : développement canonique - Fractionnements - Mathématisation - Mesures fractionnaires - Fractionnement décimal, Fractions décimales, Mesures fractionnaires décimales - Développement canonique du nombre en écriture fractionnaire décimal - Introduction de la virgule RAR /CIRCO Lamentin : Albert CRUZOE Collège Place d Armes 2 Corinne CLAIN école de Césaire C -Lionel DULYMBOIS école de Sarrault Page 4

5 Nombres entiers Fractionnements d objets divers, et de quantités diverses Mathématisation : Dès le CM1 et 2 4 Une conception d approche des nombres décimaux dans le cadre d un projet d école, de RAR ou de RSS. De l écriture canonique au codage et vice-versa (3 x 100) + (4 x 10) + (2 x 1) s écrit 342 dans cet ordre. demi et quart - Sens de la fraction (les parts sont «équivalentes» renforcer le sens de l unité liens entre fraction et quantité entière on met en place, simplement, mécaniquement, oralement, l addition de deux fractions de même dénominateur - fractionnement de l espace entre deux entiers (droite graduée) On donne du sens à la numération de position en proposant des nombres dont l organisation en décomposition canonique est dans le désordre, à remettre dans le bon ordre puis coder. On traite le cas du zéro intercalé : (7 x 100) + (5 x 1) = Dès que la multiplication est vue On reste dans le cadre de la manipulation. Conseil : commencer dès le CP avec les demis Fractionnements d objets, de quantités diverses Demi quart huitièmes tiers Cadre de la manipulation CE2 Retour si nécessaire sur le fractionnement d objets travaux sur rectangles-carrés-disques Codage de la fraction sortir une des propriétés mathématiques de la Fractions fraction : 3 Extension aux autres fractionnements : ; s 'exprime 3 et s ' écrit On en profite pour refaire le lien entre fractions et entiers : 4 1 ; On fait du calcul mental en comptant de demi en demi, de quart en quart, en portant attention au passage sur les fractions qui sont des entiers. On gradue la droite en demis et en quarts. Mêmes travaux, on conforte l idée de fraction. Partager en parts impaires est difficile. Cette propriété de la fraction ne sera utilisée qu en tant qu écriture. Dès le début de l année scolaire au CM1. Les travaux sur les entiers continuant sous forme d exercices, de devoirs réguliers avec soutien pour les élèves en retard. Page 5

6 Nombres en écriture fractionnaire Compléter des mesures avec des fractions simples Des travaux précédents, à partir de fractionnement d objets, ou de figures géométriques fractionnées, on sort des écritures de la forme : ; 4 ; toujours dans cet ordre et la fraction inférieure à 1. Systématiquement faire identifier l entier qui précède et celui qui suit (encadrer par les deux entiers les plus proches). Utiliser la droite graduée. Puis 5 dans cet ordre. Encadrer. Montrer aux élèves 2 4 que 1 1 est plus petit que On utilise aussi des quarts et des demis d un objet pour reconstituer des quantités fractionnaires à écrire Travaux où à l aide d un gabarit calibré en demis et en quarts, on fait mesurer des distances. Les résultats seront toujours exprimés comme suit: Les numérateurs sont toujours 1 Encadrer, placer sur la droite graduée. On peut oser plus, mais sans plus, avec des mesures qui se formuleraient sous la forme: Il sera important de conduire avec la classe des activités du type : donc Quel est l entier qui précède? celui qui suit? Plus complexe, mais présente de l intérêt pour la retenue : travaux en classe à conduire Quel est l entier qui précède? celui qui suit? Page 6

7 Le fractionnement décimal, les fractions décimales, les nombres en écriture fractionnaire décimale : 1 10 Le fractionnement décimal, les fractions décimales, les nombres en écriture fractionnaire décimale : et Avec des rectangles, des carrés les instruments de mesures de longueur Dans ces travaux, on préconise, dans le cadre de la numération, d éviter la monnaie. 3 Arriver aux écritures du type : 7 10 Encadrer. Placer sur la droite graduée Même démarche que pour les autres fractions vues avant. On fait le lien entre: et 1 ; et Arriver aux écritures : 28 toujours dans cet 3 7 ordre. Encadrer. Montrer que est toujours plus petit que 1. Exercices où il faut ordonner ce type d expression. Cela peut-être des activités conduites. Conduire des activités du type : (2 10) (8 1) (3 ) (7 ) Peut-on concevoir de présenter d abord les dixièmes puis les centièmes ou les deux de front? Activités du même type que celles faites plus haut. Page 7

8 Compléter des mesures avec des fractions décimales A l aide des instruments de mesures de longueur disponibles pour le niveau, on relève des mesures après avoir toujours défini l unité de mesure EX: on utilise le décimètre. L unité étant le décimètre, on trouve: 6 dm 5 cm 8 mm On aide à traduire sous la forme Le numérateur des centièmes est toujours inférieur à 10 On justifie le vocabulaire «mesures décimales». On à se rendra compte plus tard que l on peut avoir une possibilité infinie de donner de la précision aux mesures. Mener des activités du type : Plus complexe : Page 8

9 Deux rappels importants : (4 X 100) + (7 X 10) + (6 x 1) se code dans cet ordre 476. Et 3 1 s ' écrit Conduire des activités du type : (2 10) (8 1) (3 ) (7 ) Avec des cas où il faut ordonner Codage du nombre décimal : introduction de la virgule Ecriture des nombres décimaux inférieurs à 1 A partir d une expression du type : ( 7 100) ( 2 10) ( 6 1) ( 3 ) ( 5 ) On fait repérer la partie entière on fait noter l entier qui précède et celui qui suit éventuellement, on fait placer le nombre sur une droite graduée préparée à cet effet. On peut s arranger pour avoir une droite (ou deux droites) où on peut repérer 726 ; 727 et On demande aux élèves de proposer le code de ce nombre qui est en écriture canonique. Les élèves qui auront codé seront ramenés à l encadrement du nombre. On introduit la virgule comme étant conventionnelle. Coder le nombre : (3 ) (5 ) Repérer ceux qui écriront 35. Les faire encadrer On règle le problème du 0, Page 9