Les aires comme outil géométrique

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1 Les aires comme outil géométrique par Jean-arie USSSE PRÉLIINIRE Les aires ne jouissent pas dans l enseignement actuel des mathématiques du statut d outil, en ce sens qu elles sont peu utilisées pour démontrer des propriétés géométriques. Notre but est de réhabiliter les aires et de montrer que cet outil très simple peut s avérer très performant pour résoudre des problèmes de géométrie. ans ce premier article, nous proposons des démonstrations des principaux théorèmes de la géométrie du collège : théorème des milieux, théorème de Thalès, théorème de Pythagore, alignement de trois points dans un repère... es démonstrations s appuient sur les propriétés fondamentales des aires qui font l objet du premier paragraphe ; elles respectent les contraintes définies par les nouveaux programmes du collège et en suivent la progression. Nous avons volontairement pris le parti d utiliser les aires pour démontrer tous les résultats présentés même si, dans certains cas, d autres outils sont plus performants. un point de vue pratique, il est exclu de faire un chapitre correspondant au premier paragraphe de cet article présentant toutes les propriétés des aires telles que nous les avons énoncées. insi, pour introduire une leçon concernant l un des théorèmes fondamentaux le professeur pourra établir uniquement les propriétés nécessaires à la démonstration de celui-ci. Les activités préparatoires constituent un cadre privilégié pour la mise en place de ces propriétés et des prérequis. est dans ce souci que nous rappelons à l aide de logos numérotés les propriétés sur les aires mises en jeu pour chacun des théorèmes que nous proposons. ans un second article nous donnerons des exemples de résolutions de problèmes à l aide des aires, résolutions classiques ou moins classiques dans lesquelles le niveau des connaissances requises sera celui du premier cycle des collèges, même si certains des problèmes traités sont d un niveau supérieur. de la ission Laïque Française ctivités mathématiques et scientifiques 5

2 ans toute l étude qui suit nous nous plaçons dans le plan euclidien et les problèmes de convexité seront abordés naïvement. Nous supposons connues les propriétés du rectangle et la formule donnant l aire du triangle, à savoir, la moitié du produit de la base par la hauteur correspondante. La notation aire () désigne un nombre égal à l aire du triangle si est un triangle et à 0 si, et sont alignés. I. PRPRIÉTÉS FNENTLES THÉRÈE 0 Soit deux points distincts et et une droite parallèle à (). L aire du triangle est indépendante du choix de sur. émonstration Soit des points et de, on appelle H et H les projetés orthogonaux de et sur (). aire () = 1 H et aire ( ) 1 H. Le quadrilatère HH étant un rectangle, ses côtés opposés sont de même longueur, donc H = H, donc aire () = aire ( ), donc l aire du triangle est indépendante du choix de sur. 6 de la ission Laïque Française ctivités mathématiques et scientifiques

3 THÉRÈE 1 Soit des points,, et d une droite et un point n appartenant pas à. = aire () = aire () émonstration n appelle H le projeté orthogonal du point sur la droite. = H = H aire () = aire () H THÉRÈE : première caractérisation du milieu Soit un triangle et un point I de la droite (). I est le milieu de [,] aire (I) = aire (I) émonstration I est le milieu de [,] I = I aire (I) = aire (I) d après le théorème précédent. I de la ission Laïque Française ctivités mathématiques et scientifiques 7

4 THÉRÈE 3 : première caractérisation du parallélisme Soit des points et distincts d une droite et des points distincts et appartenant au même demi-plan de bord. ( ) () aire () = aire ( ) ' émonstration Soit H et H les projetés orthogonaux des points et sur la droite. ( ) () H = H H = H aire () = aire ( ) ' H H' THÉRÈE 4 : deuxième caractérisation du parallélisme Soit des points,, et ( et ) d une droite tels que = et deux points distincts et appartenant au même demi-plan de bord. ' ( ) () aire () = aire ( ) ' ' 8 de la ission Laïque Française ctivités mathématiques et scientifiques

5 émonstration e résultat est une conséquence immédiate du théorème 1 et du théorème 3. THÉRÈE 5 : deuxième caractérisation du milieu Soit un triangle, un point I de () distinct de et et un point de (I) distinct de. I I I milieu de [,] aire () = aire () émonstration H I K Soit H et K les projetés orthogonaux des points et sur la droite (I). I milieu de [,] (aire (I) = aire (I) et aire (I) = aire (I)) Par addition ou soustraction suivant le cas de figure (1) I milieu de [,] aire () = aire () aire () et aire () H = K H = K I H = I K aire (I) = aire (I) I milieu de [,] d après le théorème H K I (1) En fait il y a trois cas de figure selon la place du point par rapport aux points et I. de la ission Laïque Française ctivités mathématiques et scientifiques 9

6 THÉRÈE 6 Soit trois points deux à deux distincts, et alignés et un point non aligné avec, et, aire () on a. aire () émonstration Soit H le projeté orthogonal de sur la droite (). aire () = 1 H et aire () 1 H, aire () ainsi aire () H THÉRÈE 7 Soit un triangle, un point P de () distinct de et et un point de (P) distinct de. P P 30 de la ission Laïque Française ctivités mathématiques et scientifiques

7 P aire (P). P aire () émonstration ans tous les cas de figure on a : P aire (P) P aire (P) et (théorème 6) P aire (P) P aire (P) P P P P ans les cas de figure ci-dessus () on a : aire () =aire (P) aire (P) aire ()= aire (P) aire (P) aire () =aire (P) +aire (P) aire ()= aire (P) +aire (P) insi, par addition ou soustraction membre à membre, selon le P aire () cas, on obtient. P aire () () Il y a en fait neuf cas de figure suivant les positions relatives de P, et d une part et, et P d autre part. hacun des autres cas de figure se ramène à l un des quatre cas traités cidessus en échangeant les rôles des points et. de la ission Laïque Française ctivités mathématiques et scientifiques 31

8 THÉRÈE 8 : troisième caractérisation du parallélisme Soit un quadrilatère convexe ou croisé tel que et appartiennent au même demi-plan de bord () tel que les droites () et () se coupent en I. I I () () aire (I) = aire (I). émonstration Il n y a que deux cas de figure à étudier : ans les cas de figure ci-dessus, on a d après le théorème 3 : () () aire () = aire () r aire () aire (I) = aire (I) et aire () aire (I) = aire (I) r aire () + aire (I) = aire (I) et aire () + aire (I) = aire (I) donc () () aire (I) = aire (I) Remarque Lorsque le quadrilatère n est ni convexe ni croisé, c est-à-dire «en fer de lance», on peut avoir aire (I) = aire (I) sans avoir () () I 3 de la ission Laïque Française ctivités mathématiques et scientifiques

9 THÉRÈE 9 Soit un trapèze de bases [] et [], aire () on a aire () émonstration Soit H le projeté du point sur la droite () et K le projeté du point sur la droite (). aire () = 1 K et aire () = 1 H. omme K = H car les droites () et () sont parallèlles, aire () donc aire () K II. QUELQUES RÉSULTTS IPRTNTS U LLÈGE H Les propriétés fondamentales utilisées dans les démonstrations qui suivent sont rappelées par un logo comportant une figure caractéristique et le numéro du théorème correspondant. RTÉRISTIN U PRLLÉLGRE éfinition : Un parallélogramme est un quadrilatère dans lequel les côtés opposés sont parallèles. Théorème : Soit un quadrilatère. Si est un parallélogramme alors [, ] et [, ] ont même milieu. Si [, ] et [, ] ont même milieu alors est un parallélogramme. I émonstration 5 ➇ de la ission Laïque Française ctivités mathématiques et scientifiques 33

10 est un parallélogramme et I désigne l intersection des droites () et (). aire (I) = aire (I) car () () (théorème 8) et aire (I) = aire (I) car () () (théorème 8). donc aire () = aire () donc I est le milieu de [,] (théorème 5). n démontre d une manière analogue que I est le milieu de [,] [,] et [,] ont même milieu I. après le théorème : aire (I) = aire (I) et aire (I) = aire (I). aire (I) = aire (I), donc d après le théorème 8 () (). n démontre d une manière analogue que () () omplément Soit un parallélogramme, on a = et =. émonstration 9 En reprenant la démonstration ci-dessus on obtient, aire () = aire (), donc =, d après le théorème 9. n démontre d une manière analogue que =. LE THÉRÈE ES ILIEUX Soit un triangle, le milieu de de [,] et un point de (). Si est le milieu de [,] alors () ( ) Si () ( ) alors est le milieu de [,] émonstration est le milieu de [, ], donc aire ( ) = aire ( ) (théorème ) ' ' ➂ 34 de la ission Laïque Française ctivités mathématiques et scientifiques

11 est le milieu de [, ] n a, aire ( ) = aire ( ) (théorème ) onc aire ( ) = aire ( ) onc d après le théorème 3, () ( ). () ( ) aire ( ) = aire ( ) car () ( ) (théorème 3), donc aire ( ) = aire ( ), donc, d après le théorème, est le milieu de [, ]. ' ' omplément Soit un triangle, le milieu de de [,] et le milieu de [, ], on a = 1. ' ' 9 émonstration aire ( ) = 1 aire ( ) = 1 aire ( ) omme ( ) () et aire ( ) = 1 aire ( ), d après le théorème 9, = 1. ' ' de la ission Laïque Française ctivités mathématiques et scientifiques 35

12 THÉRÈE E THLES LLEGE Soit deux triangles et tels que les points, et d une part, et, et d autre part soient alignés et rangés dans le même ordre. Si () () alors. Si alors () () émonstration ➂ 7 7 ➇ ans les deux cas de figure on a d après le théorème 7, aire () aire () et. aire () aire () insi aire () aire () r d après le théorème 8, aire () aire () () () et donc () (). 36 de la ission Laïque Française ctivités mathématiques et scientifiques

13 omplément Soit un triangle, un point situé sur () et un point situé sur () tels que les droites () et () soient parallèles, on a émonstration Il reste à démontrer la deuxième égalité, nous allons le faire uniquement dans le cas de figure ci-dessous. aire () aire () aire () aire () aire () aire () aire () aire () aire () aire () aire () aire () 1 1 aire () aire () aire () aire () aire () aire () aire () aire () aire () aire () aire () r (théorème 9) et aire () aire () (théorème 7) aire () onc. de la ission Laïque Française ctivités mathématiques et scientifiques 37

14 Remarque Soit un triangle, un point situé sur () et un point situé sur () tel que les droites () et () soient parallèles, on a aire (). aire () émonstration 6 aire () aire () (théorème 6) et (théorème 6) aire () aire () En multipliant membre à membre ces égalités on obtient, aire () aire (), car on a vu que. ENTRE E GRVITÉ UN TRINGLE L établissement, par les aires, des résultats qui suivent peuvent faire l objet d activités dirigées. Soit un triangle, le milieu de [,], le milieu de [,], l intersection G des droites ( ) et ( ) et l intersection des droites de (G) et (). n a : ' G ' Le point est le milieu de [,]. Le point G est situé au tiers de chaque médiane en partant de son pied. ' 38 de la ission Laïque Française ctivités mathématiques et scientifiques

15 émonstration ➄ 6 émontrons que est le milieu de [,]. ' G ' aire (G) = aire (G) car est le milieu de [, ] (théorème 5). ' ' G ' aire (G) = aire (G) car est le milieu de [, ] (théorème 5). ' ' G ' insi aire (G) = aire (G) après le théorème 5, est le milieu [,]. ' onc, les trois médianes du triangle sont concourantes. émontrons que G est au tiers de [, ] à partir de. aire (G ) = 1 aire (G) car est le milieu de [,] (théorème ) r aire (G) = aire (G) car est le milieu de [,], donc aire (G ) = 1 aire (G), d après le théorème 6, G = 1 G. insi G est au tiers de [, ] à partir de. Jean-arie USSSE de la ission Laïque Française ctivités mathématiques et scientifiques 39

16 ibliographie [0] F. G.-., Exercices de Géométrie, Éd. Jacques Gabay (190) [1] Jean Fresnel, éthodes modernes en géométrie, Hermann, [] Groupe de géométrie, inq problèmes de Géométrie, IRE de ordeaux, [3] Groupe de géométrie, ctivités géométriques en classe de Seconde, IRE de ordeaux, [4] Groupe de géométrie, L enseignement des vecteurs, IRE de ordeaux, 199. [5] P. Legrand, Les aths en ollège et en Lycée, Hachette Éducation, [6] V. Lespinard R. Pernet, Géométrie (cours complet), classes de mathématiques élémentaires, programme 196, ndré esvigne, 196. [7] J. Kaiewski, Utilisation des aires pour la résolution de quelques problèmes de géométrie, IRE de Lille, groupe de géométrie III, [8] G. Papelier, Exercices de géométrie moderne, Vuibert, de la ission Laïque Française ctivités mathématiques et scientifiques