Cours de Mécanique des Milieux Continus

Transcription

1 Cous de Mécanque des Mleu Contnus Mondhe NEFAR nsttut Supéeu de l Educaton et de la Fomaton Contnue Janve 9

2 Sommae CAPTRE : EEMENTS DE CACU TENSORE EN BASES ORTONORMEES.. 4. Conventon d'ndce muet Tenseus eucldens en bases othonomées Défntons Changement de base othonomées Tenseus sotopes Multplcaton des tenseus Tenseus gadent et dvegence Tenseu gadent Tenseu dvegence... CAPTRE : CNEMATQUE DES MEU CONTNUS.... Défnton d'un mleu contnu ypothèses de base..... Noton de patcule..... ypothèse de contnuté.... Repéage des mleu contnus..... Confguaton de éféence et confguaton actuelle Relaton ente les confguatons actuelles et de éféence : a tansfomaton du mleu contnu Tansfomaton lnéae tangente Jacoben de la tansfomaton Champ des déplacements et champ des vtesses Descpton lagangenne du mouvement Dévée matéelle et champ des accéléatons Dévée matéelle Champ des acéléatons... CAPTRE : ES DEFORMATONS.... Consdéatons ntutves.... Tenseu de défomaton lagangen..... Tenseu de Cauchy à dote et tenseu de geen-agange Tenseu de Cauchy à dote Tenseu de Geen-agange Décomposton en foncton du champ des déplacements Décomposton polae de la tansfomaton lnéae tangente Dectons pncpales de défomaton et défomaton pncpales Vaaton de longueu d'un vecteu matéel élémentae : Noton de dlataton Calcul de ε NN en foncton de C (tenseu de Cauchy à dote) Calcul de ε NN en foncton de (tenseu de défomaton de Geen-agange)..7. Vaaton d'angle ente deu vecteu matéel élémentaes : Noton de dstoson..8. Vaaton de volume matéel élémentaes : Noton de dlataton volumque.... Cas des tansfomatons nfntésmales..... Défnton : Défnton Conséquences Tenseu des pettes défomatons et des pettes otatons : Epesson de C,, et U dans le cas des tansfomatons nfntésmales : Tenseu de Cauchy à dote (C) : Tenseu de Geen-agange () :... 6

3 ... Tenseu de défomaton pue avant otaton (U) : Tenseu des otatons (R) : Vaaton de longueu en tansfomatons nfntésmales : Vaaton d'angle dot :dstoson dans le cas des tansfomatons nfntésmales : 8.6. Vaaton de volume :dlataton volumque dans le cas des tansfomatons nfntésmales : Dévateu des défomatons Défnton : Sgnfcatons physques Défomatons planes (epésentaton géométque) Défnton Repésentaton géométque du tenseu des défomatons planes... 4 CAPTRE 4 : ES CONTRANTES Actons mécanques su un mleu contnu et tenseu des contantes es actons du mleu etéeu es actons de contact es actons à dstance es actons mécanques ntéeues : noton de vecteu de contantes Tenseu des contantes de Cauchy Défnton Relaton ente vecteu contante et tenseu des contantes Syméte du tenseu des contantes de Cauchy Popétés du tenseu des contantes de Cauchy Théoème de Cauchy Decton pncpales de contantes et contantes pncpales Dévateu des contantes nvaants des contantes Etat de contantes planes epésentaton géométque Equatons d'équlbe TD : Eléments de calcul tensoel TD : Cnématque des Mleu Contnues TD : Défomatons... 6 TD4 : Contantes... 6 Réféences... 66

4 CAPTRE : EEMENTS DE CACU TENSORE EN BASES ORTONORMEES On consdèe l'espace euclden E R n, n N*, mun d'une base othonomée fe B ( e,e,..., en ). Dans la patque, n et même et E epésente espectvement l'espace physque et le plan.. Conventon d'ndce muet Sot un vecteu de E, de composantes, {,,,n} elatvement à la base B. On a alos: n e Et l'on notea : e Défnton (conventon d'ndce muet ou conventon d'ensten) a épétton d'un même ndce dans une epesson athmétque vaut conventon de sommaton su cet ndce. Remaque : On éca ndfféemment e ou j e j Eemple : Soent et y des vecteus de E, de composantes espectves et y, {,,,n}, elatvement à la base B. e podut scalae de pa y, epésenté pa. y et défne pa :.y n s'éca, en utlsant la conventon d'ndce muet : (ou encoe.y y k k ). y.y y. Tenseus eucldens en bases othonomées.. Défntons 4

5 Défnton On appelle fome lnéae su E toute applcaton lnéae de E ves R ou C. Eemple : f : E R n est une fome lnéae. Défnton On appelle fome p-lnéae su E E (p fos) toute applcaton p-lnéae de E E ves R ou C. Eemple : f : EE R (, y ).y est une fome blnéae. Défnton Sot p N*. On appelle tenseu d'ode p su E R n, n N*, toute fome p-lnéae su l'espace podut E E (p fos). Sot alos t une tenseu d'ode p su E et, y,, u, et v p vecteus de E, de composantes espectves, y,..., u et v, {,,,n}, elatvement à la base B. On a alos: t(, y,, u, v n n n n ) t e, ye,..., ue, ve Ou encoe en utlsant la conventon d'ndce muet: t(, y,, u, v ) t( e, ye,...,ue,ve ) Eplotons à pésent la p-lnéaté du tenseu t. l vent : t(, y,, u, v ) y j... u k v l t( e,e j,...,ek, el ) On vot alos que le tenseu t est complètement caactésé pa l'ensemble des n p scalaes t( e,e,...,e, e ), (,j,,k,l) {,,n} p. j k l Cas où p 5

6 t( ) t n e t( e ) t( e ) t e tenseu t de composantes t t( e ), {,,n}, s'dentfe au vecteu t de E ayant les mêmes composantes : t t e Sot y y e E. t( y ) t y t. y Cette elaton pemet d'dentfe tout vecteu composantes, {,,n}. e E à un tenseu d'ode de es vecteus e, {,,n}, s'dentfent en patcule à des tenseus du peme ode e de composantes δ j, j {,,n}. Remaque : δ j est le symbole de Konecke. δ j s j, et δ j snon. On a {,,n}, e( y ) e. y y y E, et e ( e j ) e Cas où p. e j t(, y ) t j y j (,j) {,,n} e tenseu t s'dentfe à la matce T ayant les mêmes composantes que t. T j t j t( e, e ) j e tenseu de Konecke δ de composante δ j est un tenseu d'ode su R n. Cas où p δ(, y ) δ j y j y j. y t(, y,z ) t jk y j z k (,j,k) {,,n} δ j j {,,n}. Un tenseu d'ode su R n content n composantes. Dans le cas où n, c'est-à-de E R, on ntodut le tenseu d'oentaton. es composantes de ce tenseu d'ode sont données pa : s (,j,k) est une pemutaton cculae de (,, ) (,j,k) {,,n}, jk s (,j,k) est une pemutaton cculae de (,,) snon e tenseu d'oentaton pemet d'epme les composantes du podut vectoel z y où (, y ) R. On a : {,,n}, z jk j y k 6

7 e tenseu d'oentaton pemet auss d'epme le podut mte ( y z ). ( y z). On a : ( y z ) jk y j z k Cas où p 4 t(, y,z, w ) t jkl y j z k w l (,j,k,l) {,,n} 4 Un tenseu d'ode 4 su R n content n 4 composantes... Changement de base othonomées Eamnons à pésent comment se tansfoment les composantes d'un tenseu d'ode p dans un changement de base othonomée de l'espace euclden E R n, n N. Soent B ( e,e,..., en ) et Bˆ ( ê,ê,..., ên ) deu bases othonomées de E, et sot Pˆ la matce de passage de B à Bˆ défne pa : ê Pˆ e {,,n}. j j Sot à pésent t un tenseu d'ode p su E de composantes t j kl, (,j,,k,l) {,,n} p elatvement à la base B, et tˆ j kl, (,j,,k,l) {,,n} p, elatvement à la base Bˆ. On alos, pa défnton des composantes d'un tenseu et (,j,,k,l) {,,n} p : Cas où p tˆ j kl t( ê,ê j,...,ê k, ê l ) t( Pˆ 'e',pˆ j' je j',...,pˆ k'kek',pˆ l'lel' ) Pˆ 'Pˆ j' j...pˆ k'k Pˆ l' l t( e',e j',...,ek', el' ) Pˆ Pˆ...Pˆ Pˆ ' j' j k'k l' l t ' j' k' l' e tenseu t s'dentfe à un vecteu t de composantes t t( e ) elatvement à la base B et de composantes tˆ t( ê ) elatvement à la base Bˆ. On a alos : {,,n} t tˆ On pose [t] M ; [ tˆ ] M et [ Pˆ ] [ Pˆj ]..t n.tˆ n On etouve ans la elaton classque : tˆ Pˆ j t j [ tˆ ] t [ Pˆ ] [t] 7

8 Cas où p e tenseu t est une fome blnéae de composantes t j t( e, e ), (,j) {,,n}, j elatvement à la base B et de composantes tˆ j t( ê, ê j ) elatvement à la base Bˆ. On a alos : En posant [t] [t j ] ; [ tˆ ] [ connues : j tˆ j Pˆ k Pˆ lj t kl tˆ ] ans que [ Pˆ ] [ ], nous obtenons la elaton matcelle Pˆj [ tˆ ] t [ Pˆ ] [t] [ Pˆ ]. Tenseus sotopes Défnton Un tenseu t d'ode p su E R n est sotope losque ses composantes sont nvaantes dans tout changement de epèe othonomé. Un tenseu sotope est nécessaement d'ode pa. es composantes d'un tenseu sotope du second ode su E R n elatvement à une base othonomée sont de la fome : t j α δ j (,j) {,,n} avec α R. es composantes d'un tenseu sotope d'ode 4 su E R n othonomée sont quant à elles de la fome : elatvement à une base t jkl α δ j δ kl + β δ k δ jl + γ δ l δ jk 4. Multplcaton des tenseus Défnton On appelle podut de deu tenseus t et t' d'ode espectfs p et p' et on le note t t' le tenseu d'ode p+p' su E R n de composantes t j kl t' 'j' k'l'. Eemple Sot u le tenseu d'ode su R de composantes u, u, u, et v le tenseu d'ode su R de composantes v, v, v 5. On a : 8

9 Défnton [u v] 4 5 On appelle contacton su un ndce d'un tenseu t d'ode p su E R n pa un tenseu t' d'ode p' su E R n et on le note t. t' le tenseu d'ode p+p'- su E R n de composantes t j kl t' lj' k'l'. Eemple.δ est le tenseu de composantes jk δ kl jl d'où.δ. Défnton On appelle contacton su un ndce d'un tenseu t d'ode p su E R n pa un tenseu t' d'ode p' su E R n et on le note t : t' le tenseu d'ode p+p'-4 su E R n de composantes t j kl t' kl k'l'. Eemple :δ est le tenseu d'ode de composante jk δ jk jj. D'où :δ. 5. Tenseus gadent et dvegence 5.. Tenseu gadent Sot E R n, n N*, mun d'une base othonomée B ( e,e,..., en ). Sot Ω un ouvet de E, et f une foncton éelle défne su Ω. S f est dfféentable au pont e k k Ω, et s {,,n} est un ndce quelconque mas fé, on désgne pa f () la dévée patelle de f pa appot à la vaable au pont : f f ( ) ( ) Dans ce cas, le gadent de f au pont est le tenseu du peme g gad f de composantes g f (), {,,n} elatvement à la base B. On a donc : Ce tenseu s'dentfe au vecteu g elatvement à cette base. On a alos : gad f f ( ) e de E ayant les même composantes g, {,,n} df( ) g.d f ( ).d 9

10 Défnton Sot à pésent t une foncton tensoelle d'ode p, p N*, défne su Ω. es composantes t j kl ( ), (,j,,k,l) {,,n} p de t elatvement à la base B sont des fonctons des vaables, {,,n}. S t est dfféentable au pont et s m {,,n} est un ndce quelconque mas fé, on désgne pa m t( ) la dévée patelle de t pa appot à la vaable m au pont. Cette dévée est le tenseu d'ode p dont les composantes elatvement à la base B sont : tj...kl mtj...kl( ) ( ) (,j,,k,l) {,,n} p. m e gadent de t au pont est alos le tenseu d'ode p+, g gad t de composantes g t (), (,j,,k,l,m) {,,n} p+ elatvement à la base B. On a donc : j klm m j... kl Eemple dt j kl ( ) t () d m m j... kl Sot u la foncton tensoelle d'ode défne su R pa : u u u [gad u( )] Tenseu dvegence Défnton On consdèe à pésent un champ tensoel de peme ode u défne su Ω de composantes u, {,,n}, elatvement à la base B, fonctons des vaables, {,,n}. S u est dfféentable au pont, sa dvegence en ce pont est alos le scalae : Eemple d dv u () On consdèe l'eemple pécédent, dv u Défnton Sot à pésent t une foncton tensoelle d'ode p, p N*, défne su Ω, de composantes t j kl ( ), (,j,,k,l) {,,n} p, elatvement à la base B, fonctons des vaables, {,,n}. S t est dfféentable au pont, on peut alos défn p tenseus d'ode p- appelés dvegences de t au pont et notés dv (q) t( ), q {,,p}. es composantes de dv (q) t( ) elatvement à la base B sont données pa : u

11 (,j,,,t,,k,l) sommaton. (dv (q) t( )) j t kl t () s j...st... kl {,,n} p-, q désgnant c le ang de l'ndce s su lequel pote la S pa eemple p, on obtenda deu tenseus du peme ode dv () t( ) et dv () t( ) de composantes espectfs t j () et j t j (). S le tenseu t( ) est symétque Ω, alos dv () t( ) dv () t( ) dv t( ). Eemple Sot t( ) le tenseu du second ode su R s'dentfant à la matce suvante : [t( )] [dv () t( )] et [dv () t( )]

12 CAPTRE : CNEMATQUE DES MEU CONTNUS Cnématque : c'est l'étude et la descpton du mouvement du mleu sans consdée les effots. Avant : - on consdéat des cops ndéfomables, epésentés pa leu cente de gavté G. -es gandeus physques qu leus étaent attachées étaent epésentées pa des fonctons vectoelles ( v,γ, F ). En mécanque des mleu contnus : - es cops sont supposés défomables sous l'acton de chages etenes. - es gandeus physques étudées sont epésentées pa des fonctons tensoelles.. Défnton d'un mleu contnu ypothèses de base dée ntutve A l'échelle mcoscopque, la matèe appaaît dscontnue. Cette dscontnuté n'est pas décelable à l'échelle macoscopque : un solde qu se défome est fomé de cops matéels occupant en totalté (de façon contnue) un domane de l'espace physque. Cette dée est à la base du concept de mleu contnu. Dans tout ce qu sut, M désgne un mleu, ou cops matéel (mas qu peut ête un lqude ou un gaz)... Noton de patcule Défnton Sot M un cops matéel. On appelle patcule de M un élément matéel de masse dm occupant au pont M de l'espace physque le volume élémentae dv. e volume élémentae dv est d'un pont de vue macoscopque, "suffsamment pett" pou pouvo ête assmlé à un nfnment pett, tout en estant epésentatf de la matèe. Cette epésentatvté dépend de chaque mleu et elle sea equse à dfféentes échelles tès dfféentes : M dv M dm

13 - Cstau consttuant un métal (nm). - Pallettes dont se compose une agle (µm). - Gans d'un sable (mm). - Ganulats entant dans la composton d'un béton (cm). - Bloc d'un baage en enochement. S ρ désgne la masse volumque au pont M, on a : dm ρ dv.. ypothèse de contnuté Sot M un cops matéel contnu ou mleu contnu. 'ensemble des patcules de M occupe, à chaque nstant t un domane Ω t ouvet et connee de l'espace physque. A tout pont de Ω t coespond une et une seule patcule.. Repéage des mleu contnus On consdèe l'espace euclden R, mune d'un epèe othonomé R (O, e,e d'ogne O supposé fe... Confguaton de éféence et confguaton actuelle Défnton, e ) dect Sot M un mleu contnu. On appelle confguaton de éféence, ou confguaton non défomée de M l'ensemble Ω des postons de ses patcules à un nstant de éféence t quelconque mas fé. Sot P une patcule de M quelconque mas fée. a poston P de P à l'nstant de éféence est alos epéée pa le vecteu : OP kek es vaables (,, ) coodonnées des patcules de M à l'nstant de éféence t, sont appelées vaables de agange.

14 (t ) F t (t) Ω Ω t P P t e e O e Défnton Sot t l'nstant actuel (on dt auss l'stant couant). On appelle confguaton actuelle, ou encoe confguaton défomée, de M à l'nstant t l'ensemble Ω t des postons de ses patcules à cet nstant. Sot P la patcule de M quelconque mas fée consdéée plus haut. a poston P t de cette patcule à l'nstant t est epéée pa le vecteu : OP t e es vaables (,, ) coodonnées des patcules de M à l'nstant de couant t, sont appelées vaables d'eule.4. Relaton ente les confguatons actuelles et de éféence : a tansfomaton du mleu contnu. 'applcaton F t de Ω su Ω t : Ω Ω t a F t ( ) est appelé tansfomaton du mleu contnu M elatve à l'nstant t. F t est une bjecton de Ω su Ω t. Pa alleus, on appelle tansfomaton du mleu contnu M et l'on désgne pa F l'applcaton qu à et t assoce le vecteu. On a donc : Cette elaton peut s'éce auss pafos : F (,t) F t ( ) 4

15 (,t) (,,,t) e (,, (,, (,,,t),t),t) a tansfomaton F t elatve à l'nstant t étant bjectve, l'applcaton écpoque este et est une bjecton de Ω t su Ω. On a donc : F - t : Ω t Ω a F - t ( ) et nous écvons auss pafos : (,t) (,,,t) e (,,,t) (,,,t) (,,,t).5. Tansfomaton lnéae tangente. ypothèse : Sot t l'nstant actuel quelconque mas fé. a tansfomaton F t elatve à cet nstant est une bjecton contnûment dfféentable et l en est de même de sa écpoque F - t. Sot pa alleus Ω quelconque mas fé. es applcatons t a F (,t) ans que t a K F (,t), K {,,}, sont contnues. Cette hypothèse nous pemet de consdée le gadent de F t, gad F t au pont. Ce gadent noté F(,t) ou F t ( ) ou plus smplement F t et même F est le tenseu du second ode appelé tansfomaton lnéae tangente au pont P et à l'nstant t. l est caactésé pa : F t ( ) : F(,t) gad F t ( ) d F(,t) d Ses composantes elatves au epèe othonomé fe R (O, e,e, e ) ont alos pou epesson : F K (,K) {,,} K a tansfomaton lnéae tangente F au pont P et à l'nstant t et donc epésentée pa une matce à lgnes et colonnes : 5

16 F Et la elaton d F(,t) d s'éct : d d d d d d Théoème : a tansfomaton lnéae tangente F(,t) gad F t ( ) au pont P de coodonnées (,, ) et à l'nstant t, est nvesble. Son nvese noté F - (,t) ou F t - ( ) ou plus smplement F t - et même F - n'est aute que le gadent gad F t - de F t - au pont P t de coodonnées (,, ) avec F t( ) l'mage de pa F t. es composantes de F - elatvement au epèe R (O, e,,e e ) sont : K K F (K,) {,,} et la matce epésentatve s'éct : F - a elaton d F - (,t) d s'éct : 6

17 d d d d d d Eemple : F t + ) a( t F ) a( t F t - ) a( t F - ) a( t.6. Jacoben de la tansfomaton Sot t l'nstant actuel et Ω quelconque mas fé, et sot F t la tansfomaton du mleu contnu M elatve à cet nstant. Consdéons, au pont P de coodonnées (,, ) etémté du vecteu, un volume matéel élémentae dv bât su tos vecteus matéels élémentaes non lés d, d et d. a(t) a(t) Confguaton ntale Confguaton actuelle b O e e 7

18 (t ) F t (t) Ω Ω t d P d d d P t d d e e O e On a alos : dv ( d d d ) det [ d, d, d )] JK d d d J K a tansfomée de ce volume matéel élémentae dans la confguaton actuelle Ω t à l'nstant t est alos le volume élémentae dv bât au pont P t de coodonnées (,, ) etémté du vecteu Ft( ) su tos vecteus matéels élémentaes non lés d, d et d défns pa : d α F. d α, α {,,} avec F : tansfomaton lnéae tangente F(,t) au pont P à l'nstant t. l vent alos : dv det [ d, d, d )] jk Fd FjJd J FkKd jk F FjJ FkK d d J d det F JK d d J d K det F dv K K e détemnant de F noté J(,t) ou J t ( ) ou plus smplement J t et même J est appelé le jacoben de la tansfomaton F t au pont P etémté du vecteu. et on a : t, Ω, J(,t) det F Théoème : J dv dv t, Ω, J(,t) > 8

19 .7. Champ des déplacements et champ des vtesses Sot t l'nstant actuel quelconque mas fé, et sot F t la tansfomaton du mleu contnu M elatve à cet nstant. Sot pa alleus P une patcule quelconque mas fée de M, de poston dans la confguaton de éféence Ω le pont P etémté du vecteu, et de poston dans la confguaton actuelle Ω t le pont P t etémté du vecteu Ft ( ). e déplacement de la patcule P à cet nstant est alos le vecteu : u P P t (t ) F t (t) Ω Ω t P u P t e e O e On appelle champs des déplacement l'applcaton u qu à t et assoce le vecteu u de déplacement de la patcule P à cet nstant : u : Ω [t, + [ R (,t) a u (,t) u (,t) u(,, ) e u u (,, ) e u u u u (, u (, u (,,,t),,t),,t) a vtesse v de la patcule P à l'nstant couant t n'est alos aute que la dévée pa appot au temps du déplacement t a u(,t) de cette patcule à cet nstant : u v (,t) (, t) t t Epmée sous cette fome, elle est ans foncton du temps et des vaable de agange (,, ) coodonnées de la patcule P dans la confguaton de éféence Ω. 9

20 O F - t ( ), donc v peut s'epme en foncton du temps et des vaables d'eule (,, ) coodonnées de la patcule P dans la confguaton actuelle Ω t et on a : v u (F - t ( ),t) t On appelle champ des vtesse l'applcaton v qu à t et assoce la vtesse v de la patcule P à cet nstant : v : Ω t [t, + [ R (,t) a v (,t) v u (F - t ( ),t) t v (,, ) e v v (,, ) e v v v v (, v(, v (,,,t),,t),,t). Descpton lagangenne du mouvement Défnton Sot P une patcule quelconque mas fée du mleu contnu M. On appelle tajectoe de P le leu des postons successves de cette patcule au cous du temps. Sot le vecteu poston de la patcule P dans la confguaton de éféence Ω et sot F t la tansfomaton du mleu contnu M elatve à l'nstant couant t. a tajectoe de P est alos la coube géométque ayant pou équaton de paamète t : t a F t ( ) Dans ce mode de descpton assocé au vaables de agange,, et nous adoptons un pont de vue consstant à suve les patcules dans leu mouvement. Ce pont de vue, où l'on pvlége la patcule est appelé pont de vue lagangen et la descpton du mouvement du mleu M qu en ésulte est dte lagangenne. 4. Dévée matéelle et champ des accéléatons 4.. Dévée matéelle Sot P une patcule quelconque mas fée du mleu contnu M et sot g(p,t) une gandeu physque (scalae, vectoelle ou tensoelle) lée à la matèe, ou gandeu matéelle. On

21 appelle dévée matéelle ou dévée totale encoe dévée patculae de g et l'on note g& ou d g, le tau de vaaton de cette gandeu losqu'on sut la patcule P dans son mouvement. dt Supposons que g est une gandeu scalae. Soent alos (,, ) les coodonnées de la patcule P dans la confguaton de éféence Ω (vaables de agange), et sot (,, ) les coodonnées de cette même patcule dans la confguaton de actuelle Ω t à l'nstant t (vaables d'eule). Pont de vue lagangen g(p,t) g(,,,t) et on a : Pont de vue euleen g g& t g g g g g(p,t) g(,,,t) et on a : g& + + v t t t g d'où g& + gadg. v t a dévé matéelle d'une gandeu vectoelle ou tensoelle epmée dans un système de coodonnées catésennes s'obtent asément en dévant chacune de ses composante, à l'ade des elatons founes pécédemment. 4.. Champ des acéléatons Sot P une patcule quelconque mas fée du mleu contnu M. 'accéléaton γ de cette patcule à l'nstant t n'est aute que la dévée matéelle de sa vtesse à cet nstant. S v u u (, t) γ (, t) t t dv S v v(, t) γ (,t) dt On appelle champ des accéléatons et désgneons pa γ l'applcaton qu à tout t et l'accéléaton γ de la patcule P à cet nstant : assoce γ( d,t) γ v (,t) γ (,,) e dt Popété γ γ (,,,t) γ γ (,,,t) γ γ (,,,t) v v γ + v j {,,} t j v γ v. v t + gad

22 CAPTRE : ES DEFORMATONS. Consdéatons ntutves Défnton Un cops est dt défomable s losqu'on lu applque des effots, les dstances elatves ente ses patcules sont vaables au cous du temps (pa opposton au cops gdes). Eemple Ecasement d'un échantllon cubque d'un matéau défomable homogène (même matéau, même densté,, dans tout le volume) sotope (les popétés physques sont les mêmes en tout pont et dans toutes les dectons. On suppose que cet écasement se déoule dans des condtons déales de compesson smple (pesson unfome, pas de fottement ente l'échantllon et les embases de la pesse). a tansfomaton est dans ce cas lnéae : et donc : F (,t) F t ( ) [α] [α] F t ( ) gad F t ( ) (Dans ce cas la tansfomaton coïncde avec son gadent). θ t θ t On obseve : - accoucssement de la hauteu, - allongement de la longueu, - consevaton de l'angle dot, - vaaton de l'angle ente dagonale, - dmnuton du volume et de l'ae des faces latéales.

23 Note objectf est de touve un outl mathématque en mesue de etansce toutes ces nfomatons : vaaton de longueu, d'angles, de suface, de volume au cous de la tansfomaton. C'est le ôle du tenseu des défomatons. Remaques - es défomatons sont dfféentes des déplacements. - es défomatons sont des gandeus admensonnelles, ca l s'agt de vaatons elatves de mesues. - Dans tout pojet de géne cvl, les défomatons sont des gandeus dmensonnante de l'ouvage. - l este pluseus méthodes de mesue et de suv des défomatons : jauges d'etensométe, etensomète à fbe optque, etensomète à code vbante,. Tenseu de défomaton lagangen Sot M un mleu contnu dont les confguatons successves sont obsevées elatvement à un epèe othonomé dect R (O, e,e, e ) de R supposé fe. On consdèe : - F : tansfomaton du mleu défomable M. - F t : tansfomaton elatve à l'nstant t. - Ω : état de éféence de M. - Ω t : état défomé de M à t. Sot P une patcule fée de M epéée pa : OP kek dans Ω OPt kek dans Ω t a noton de défomaton, lée au vaatons elatves de mesues est basée su l'étude de la tansfomaton de domanes matéel élémentae, c'est-à-de une appoche locale qu utlse la tansfomaton lnéae tangente (on peut passe au volume global en ntégant)... Tenseu de Cauchy à dote et tenseu de geen-agange On chost deu vecteus élémentaes de longueu au pont P de Ω d et d. Au temps t, ls leus coespond au pont Pt etémté de F t ( ) deu vecteus élémentaes d et d véfant : d F d d F d où F est la tansfomaton lnéae tangente de composantes F K, (,K) {,,}. K Pou quantfe les vaatons de longueus et d'angle au cous de la tansfomaton, egadons comment évolue le podut scalae de ces vecteus élémentaes.

24 (t ) F t (t) Ω Ω t d P d d d Pt e e O e... Tenseu de Cauchy à dote. d d d d FK d K F d F K F d K d Posons : t C F F F K K K F ce qu équvaut à ntodue le tenseu du second ode tel que : C t F.F C est un tenseu lagangen ca est foncton des vaables de agange : C(,t) t F(,t).F(,t). On a donc : d'où :. d d d. d C K d K d d. C. d C est appelé tenseu de Cauchy à dote : C t F.F Popété C est un tenseu d'ode, lagangen et symétque (pa constucton), défn postf (SDP). En effet d. C. d d, donc C est postf S d. C. d, alos d et donc d. Comme F est nvesble, C est nvesble et on a C - F -. t F - 4

25 ... Tenseu de Geen-agange Etudons la vaaton du podut scalae : d. d d. d CK d K d d K δk d ( CK δk ) d K d avec δ le tenseu de Konecke. On pose ( C - δ) ; K ( CK δk) est le tenseu de défomaton de Geen agange. Popété ( C - δ) est un tenseu du deuème ode, symétque et lagangen pa constucton. d.( C - δ). d On montea pa la sute que content toutes les nfomatons pou déce les défomatons autou de P t au temps t.... Décomposton en foncton du champ des déplacements Calculons de façon eplcte les temes de C et. Consdéons le champs des déplacements u (,t) (,t) et son gadent lagangen : On a (,t) + u(, t) Epmons F en foncton de. (,t) gad u(, t) ; J u J ( + u F J δ J + J J d'où la elaton ntnsèque : Epmons C en foncton de ) J F δ + C t F.F donc t C J FK FKJ FK FKJ ( δ K + K )( δ KJ + KJ ) δ J + J + J + K KJ sot t t C J δ J + J + J + K KJ d'où : C δ + C J δ J + t u + J + t u + J. u + K u K J 5

26 Epmons en foncton de. ( C - δ), d'où : ( + u J J t + u + J t. u + K ) u K J.4. Décomposton polae de la tansfomaton lnéae tangente Théoème Toute tansfomaton lnéae tangente admet une unque double décomposton en podut d'une défomaton pue pa une otaton telle que : où : F R.U V.R F : tansfomaton lnéae tangente (F(,t) gad F t ( ) : tenseu lagangen d'ode ) R : tenseu de otaton du second ode othogonal (R - t R sot t R.R δ) de détemnent égal à. U : tenseu lagangen de défomaton pue avant otaton du second ode symétque défn postf (les valeus popes de U sont stctement postves). V : tenseu euleen de défomaton pue apès otaton du second ode symétque défn postf (les valeus popes de V sont stctement postves). Démonstaton ) Montons l'uncté de la décomposton F R.U. en supposant que : t R est othogonal ( R.R δ) det R et U symetque U défn postf Supposons la non uncté de la décomposton et donc F R.U R.U Consdéons le tenseu de Cauchy à dote : C t F.F t (R.U ).(R.U ) t U. t R.R.U t U. δ.u t U.U O U est symétque donc t U U et pa conséquent C U. De même C U. O U et U sont défns postfs et U U donc U U U et R R R F.U -. ) Montons l'estence de la décomposton F R.U avec : t R est othogonal ( R.R δ) det R et U symetque U défn postf 6

27 O sat que le tenseu de Cauchy à dote C est symétque (C t F.F), donc l est dagonalsable. l est défn postf, donc ses valeus popes C, C et C sont stctement postves. Sot R D (P,,, ) un epèe othonomé dect assocé au dectons pncpales de C. Donc C est epésenté dans RD pa la matce dagonale : C C R D C avec C >, C >, C > C Sot Q la matce de passage de R D ves R (O, e,e, e ). Notons que Q est othogonal et det Q. On a C t Q..Q. C RD Sot U le tenseu du second ode epésenté dans R D pa la matce : U est défn postf. U R D C Dans R (O, e,e, ), U est epésenté pa la matce : e C U t Q. U RD.Q C Pa constucton, U est symétque, défn postf avec U C. Consdéons le tenseu R tel que : R F.U - t R.R t (F.U - ). (F.U - ) t U -. t F.F.U - U -.C.U - U -.U.U.U - δ Donc R est othogonal. Montons que det R. Consdéons pou cela le jacoben de la tansfomaton : J det F det (R.U) (det R) (det U) (det R) (det R) J (det R) J (ca J > ). t det C (det R) det ( F.F) D'où det R ) l convent de monte l'estence et l'uncté de la décomposton F V.R', V tenseu euleen de défomaton pue. l sufft d'ag comme pécédemment en consdéant le tenseu de Cauchy à gauche B F. t F qu est un tenseu euleen symétque défn postf. 7

28 4) On a F R.U V.R'. Montons que R R'. F R.U R.U. t R.R (R.U. t R).R 'uncté de la décomposton mpose que : R.U. t R V R R' d'où : t V R.U. R t U R.V. R.5. Dectons pncpales de défomaton et défomaton pncpales Pa constucton, on a vu que C, et U ont les même dectons pncpales (,, ) elatvement à la confguaton ntale Ω. Coollae - es tenseus U et V ont les mêmes valeus popes - es dectons pncpales, et de V sont les tansfomées pa la otaton R des dectons pncpales, et de U, C et. Démonstaton Monte que U et V ont les mêmes valeus popes et que les dectons pncpales de V s'obtennent pa otaton R des dectons pncpales de U event à monte que : - pou α fé, α {,,} : s U α est valeu pope de U assocée à la decton α, alos U est valeu pope de V assocée à la decton R. α ce qu evendat à éce que : α V.(R. ) (V.R). F. (R.U). α α α α R.(U. α ) R.( U α α ) U α (R. α ) D'où α R. α est decton pncpale pou V. Eemple : Cas d'un dsque plan 8

29 U P R P F R.U V.R P R P V.6. Vaaton de longueu d'un vecteu matéel élémentae : Noton de dlataton (t ) F t (t) Ω Ω t P d P t N d n e e O e Sot d un vecteu élémentae de longueu d dans Ω. Sot N un vecteu untae dans la decton et le sens de d. Sot d le vecteu élémentae mage de d pa F t. Défnton On appelle dlataton ε NN dans la decton N au pont P à l'nstant t, la dfféence elatve ente les longueus des vecteus élémentaes d et d amenée à la longueu ntale d. 9

30 On a alos d d d ε NN (dlataton lagangenne) d ( + ε ) d NN Remaque : - ε NN est sans unté (vaaton elatve de longueu). - l este une dlataton euleenne : d d ε nn d - On a + ε )( ε ) ( NN nn.6.. Calcul de ε NN en foncton de C (tenseu de Cauchy à dote) On a d. d d.c. d. Sot d d d et donc d d d D'où d d.c. d O d d N d'où d d N.C. N O d ( + ε ) d d'où NN d ( + ε NN ) d Pa conséquent : ε NN N.C. N En notaton ndcelle ε N C N NN K K.6.. Calcul de ε NN en foncton de (tenseu de défomaton de Geen- agange) On a : d. d d. d d.. d D'où en penant d d d et donc d d d, on obtent : d d d N.. N sot ( + ε NN ) d d d N.. N D'où : ε NN + ε NN N.. N Remaques :

31 - ε NN tadut physquement la vaaton de longueu ente les temps t et t autou de la patcule P dans la decton N. S ε NN >, alos l s'agt d'un allongement. S ε NN <, alos l s'agt d'un accoucssement. S ε NN, alos l s'agt d'une consevaton de longueu. - ε e ε e ε e e e e ε ε ε e.c. e e.c. e e.c. e C C C sot ε ε ε C C C.7. Vaaton d'angle ente deu vecteu matéel élémentaes : Noton de dstoson (t ) F t (t) P Ω Ω t T t d d θ nt P t N d n d C Sot d et d deu vecteus othogonau élémentaes en P. Sot N et T deu vecteus untaes de dectons espectves Défnton : e e O e d et d. On appelle dstoson ente les dectons othogonau N et T au pont P et au temps t, notée γ NT, l'opposé de la vaaton ente l'nstant de éféence t et l'nstant actuel t, de l'angle que font ente elles ces dectons matéelles. On défnt auss la dem dstoson : Eplctons la dstoson γ NT : ε NT γ NT γ π θnt π θ NT nt

32 On sat que d ce qu équvaut à. d d. d d d d cos( θ ) nt.. d d d N.. T π O cos( θ nt ) cos( γ nt ) sn( γ nt ) d ( + ε NN ) d d N.C. N d ( + ε ) d d T.C. T TT D'où : Sot : d N.C. N d T.C. T sn( γ ) nt d d N.. T sn( γ NT ) N.C. N T.C. T N.. T Remaques : - osque γ NT >, l y'a ente t et t une dmnuton de l'angle que font ente elles les dectons des vecteus N et T. - osque γ NT <, l y'a ente t et t une augmentaton de l'angle que font ente elles les dectons des vecteus N et T. - osque γ NT, l y'a ente t et t une consevaton de cet angle dot. - Dstoson ente e et e : sn( γ - Dstoson ente e et e : sn( γ ) sn( ε ) sn( ε ) ) C C C C - Dstoson ente e et e : sn( γ ) sn( ε ) C C - Dstoson ente et dectons pncpales de (et auss de C et U) :

33 Dans R D (P,,, ), est epésenté pa la matce RD, C est C epésenté pa la matce C RD C et on a et, d'où : C sn( γ ) C C donc γ et pa conséquent les dectons pncpales de défomatons estent othogonales deu à deu..8. Vaaton de volume matéel élémentaes : Noton de dlataton volumque Sot dv un volume élémentae en P. Sot dv le volume élémentae en P t au temps t mage de dv pa F t. On sat que Défnton : J dv dv On appelle dlataton volumque notée θ v au pont P, à l'nstant t, la dfféence elatve ente les volumes élémentaes dv et dv amenée au volume ntal dv. On a sgnfcaton physque : dv dv θ v dv θ J v - S θ v >, l y'a ente t et t une augmentaton du volume élémentae. - S θ v <, l y'a ente t et t une dmnuton du volume élémentae. - S θ v, l y'a ente t et t une consevaton du volume élémentae.. Cas des tansfomatons nfntésmales.. Défnton :

34 Tout ce qu a été dt jusqu'alos su les défomatons est absolument généal et ndépendants de la gandeu elatve des défomatons. En mécanque des mleu contnues, et en patcule en mécanque des soldes, l este toutefos un cas patcule mpotant : c'est le cas des "pettes défomatons" ou "tansfomatons nfntésmales".... Défnton Sot u (, t) le champ des déplacements du mleu contnu M. Sot (,t) gad u(, t) : le gadent lagangen du déplacement au pont P au temps t. a tansfomaton est dte nfntésmale, ou nfnment pette, losqu'en tout pont P, et en tout temps t, la nome eucldenne de este pette devant. C'est-à-de : t, u u Ω, << ou encoe << J J Remaque l este une défnton équvalente qu concene le gadent euléen E et qu dt que la tansfomaton est nfntésmale s en tout pont P t, et en tout temps t, la nome eucldenne de E este pette devant. C'est-à-de : t, E u u Ωt, << ou encoe << j j Montons l'équvalence de ces deu défntons. F : (, t) a + u (, t) F : gadent de F de composantes FJ δ J + J (, t) J F - : (, t) a - u (, t) F - : gadent de F - E de composantes Fj δ j j (, t) j E u u K E j K FKj K( δ Kj Kj ) K K j K j d'où : E Kj E E. et E +. E On a alos : E + E 4

35 S << on obtent : D'aute pat : E E + E S << on obtent : E E << et donc << E E << et donc <<... Conséquences Dans le cas d'une tansfomaton nfnment pette, l est possble de néglge les temes en gadent lagangen et euléen E des déplacements d'ode supéeu ou égal à devant ceu du e ode. Dans le cas des tansfomatons nfntésmales, le gadent lagangen du déplacement en P au temps t est égal au e ode au gadent euléen E du déplacement en P t au temps t. E teme du nd ode D où, dans une tansfomaton nfntésmale, on éct : E En pettes défomatons, on peut éce ndfféemment : u u j j j En pettes défomaton, l n'y a plus leu de dfféence vaables d'eule et vaables de agange (physquement, tout se passe autou de P et demeue dans le domane des pettes défomatons).. E.. Tenseu des pettes défomatons et des pettes otatons : a consdéaton des pettes défomatons (tansfomaton nfntésmales) appote des smplfcatons consdéables à la théoe généales évoquée pécédemment. Sot le gadent du champ des déplacements u. Ce tenseu du nd ode se décompose en une pate symétque et une pate ant-symétque. - Pate symétque : ε ( + t ) : tenseu lnéasé des pettes défomatons de composantes : 5

36 ε j u j u j + Pou une tansfomaton quelconque, on avat epmé le tenseu des défomatons de Geen agange pa : t t ( + +. ) teme d'ode, néglgé en pettes défomatons - Pate ant-symétque : ω ( t ) : tenseu lnéasé des pettes otatons de composantes : u u j ω j j Remaque ε + ω.. Epesson de C,, et U dans le cas des tansfomatons nfntésmales :... Tenseu de Cauchy à dote (C) : t t On a : C δ Dans le cas des pettes défomatons, en néglgeant le teme du second ode, on obtent : sot C δ + + C δ + ε t... Tenseu de Geen-agange () : t t On a : ( + +. ) Dans le cas des pettes défomatons, en néglgeant le teme du second ode, on obtent : sot ( ε + t ) 6

37 ... Tenseu de défomaton pue avant otaton (U) : On a : C U Dans le cas des pettes défomatons : C δ + ε, avec ε symétque et ε <<. Alos : U D'où : C δ + ε δ + ε + O( ε ) U δ + ε et U δ ε..4. Tenseu des otatons (R) : On a : F R.U sot R F.U Dans le cas des pettes défomatons : F δ + δ + ε + ω D'où : R ( δ + ε + ω ).( δ ε ) δ + ω + ε ωε, et en néglgeant les temes du second ode : R δ + ω Remaque Sot, et les dectons pncpales de défomaton en P à l'nstant t (dectons pncpales de C, U et ). Sot, et les dectons pncpales de défomaton en P t à l'nstant t (dectons pncpales de V). On sat que α R. α, avec α {,,}. En tansfomatons nfntésmales : elles d'un teme du peme ode en (ou ω). α ( δ + ω ). α α + ω. α. Donc α et α dffèent ente D'où en tansfomatons nfntésmales, on ne palea plus que de dectons pncpales de défomatons au pont et à l'nstant consdéé assocées au dectons popes du tenseu lnéasé des pettes défomatons ε (, t). es valeus popes de ε (, t) consdéé. sont appelées défomatons pncpales au pont et à l'nstant.4. Vaaton de longueu en tansfomatons nfntésmales : On a défnt la dlataton ε NN comme la vaaton de longueu elatve de dans la decton N au pont P ente les nstants t et t telle que : 7

38 avec : d d N et d F. d. ε NN d d d On a monte dans le cas généal que : ε NN + ε NN N.. N. O en tansfomatons nfntésmales, on sat que ε, et ε NN << ε NN pusque c'est un teme en. D'où en tansfomatons nfntésmales, on a : Remaque En consdéant la dlataton euléenne ε ε NN nn N.ε. N d d, dans le cas des tansfomatons d nfntésmales, les ponts de vue lagangen et euléen étant confondus au peme ode en et on a : ε ε N. ε. N n. ε. n NN nn.5. Vaaton d'angle dot :dstoson dans le cas des tansfomatons nfntésmales : On a dans le cas généal : sn( γ NT ) N.. T N.C. N T.C. T O N.C. N ε NN + et T.C. T ε + TT, et donc en tansfomatons nfntésmales sachant que ε NN N.ε. N, ε TT T.ε. T et ε, on obtent : N. ε. T sn( γ NT ) ( N. ε. N + )(T. ε. T + ) En fasant un développement lmté au vosnage de, on obtent : sn( γ NT [ N. ε. N + O( ε )][ T. ε. T + O( ε )] N. ε. T O( ε ) ) N. ε. T + Donc sn( γ NT ) est un teme d'ode en ε. Et comme ε <<, on alos : et γ NT N. ε. T ε NT γ NT N.ε. T : dem dstoson 8

39 Remaque ε ε ε Sachant que ε ε ε ε, on a : ε ε ε ε e ε e ε e e e e e. ε. e ε e. ε. e ε e. ε. e ε Alos, ε, ε, et ε epésentent les dlatatons dans les dectons e, e, et e espectvement. D'aute pat : ε e ε e ε e e e e e. ε. e ε e. ε. e ε e. ε. e ε Alos les temes ε, ε, et ε epésentent les dem dstosons ente les dectons deu à deu pependculaes du epèe R (O, e,e, e )..6. Vaaton de volume :dlataton volumque dans le cas des tansfomatons nfntésmales : On a F δ + J ( + O ( + + D'où : ) + + dv et J det F det dv )( + u + + ε ; + O( + O( ) )) u O( ε ; + + ) O( ε ) u J + t( ) + t( ε ) + dv( u ) et pa conséquent la dlaton volumque devent : θ J t( ε ) dv( u ) v 9

40 .7. Dévateu des défomatons 'objectf est de décompose la défomaton en : - une défomaton avec vaaton de volume sans dstoson - une défomaton sans vaaton de volume (à volume constant avec dstoson)..7.. Défnton : On appelle dévateu des défomatons le tenseu symétque du nd ode défn pa : On a alos : ε θ v e δ θ v ε δ + e Pate sotope ou pate sphéque de ε Vaaton de volume sans dstoson Pate dévatoque de ε Vaaton de fome sans vaaton de volume.7.. Sgnfcatons physques θv θ v θ δ v est un tenseu sotope qu ne dépend pas du epèe othonomé dect θv de éféence. Alos toutes les dectons de l'espace sont des dectons pncpales de ce tenseu. * es dlatatons ε nn dans chacune des dectons de l'espace sont égales ente elles et valent : où n * θv θv θv θv ε nn n. δ. n n. δ. n n est un vecteu untae dans une decton quelconque mas fée. a tansfomée d'une sphèe matéelle élémentae est donc une sphèe (d'où pate sphéque). 4

41 θ A la pate sotope de ε (c'est-à-de au tenseu v δ ) est assocé un changement de volume θv sans changement de fome : t( δ ) t( ε ) θv. A la pate dévatoque de ε (c'est-à-de au tenseu e) est assocé un changement de fome sans changement de volume : t(e). e et ε ont les mêmes dectons pncpales..8. Défomatons planes (epésentaton géométque).8.. Défnton Sot u le champ des déplacements du mleu M. M est soums à un état de défomaton plane s'l este un epèe othonomé dect dans lequel on pusse éce : u u(,,t) u u u(,,t) u Sot R (O, e,e, e ) ce epèe. a tansfomaton étant supposée nfntésmale, le tenseu des pettes défomatons au pont Pt au temps t s'éca elatvement à ce epèe comme sut : Remaque ε ε ε ε ε tenseu des défomatons planes. a défomaton se passe dans les plans de vecteu nomal e..8.. Repésentaton géométque du tenseu des défomatons planes Sot R (O, e,e, e ) un epèe othonomé dect dans lequel le tenseu des pettes défomatons ε au pont Pt au temps t s'éct : ε ε ε ε ε Soent : et les dectons pncpales de ce tenseu ε et ε les valeus popes assocées. Pa conventon, on pend est dectement othogonal à et ε ε. 4

42 Compte tenu de la fome de ε au pont P t, on peut de que les défomatons au pont P t se passent dans le plan (P t, e, ). Soent : e n : un vecteu untae de ce plan quelconque mas fé. t : le vecteu untae dectement othogonal à n. ε nn : la dlataton au pont P t dans la decton n. ε nt : la dem dstoson au pont P t ente les dectons n et t. 'dée est de caactése l'état de défomaton plane au pont P t au temps t pa le vecteu : Remaque PM t n ε n + ε t 'état de défomaton autou de P t sea entèement caactésé losque le vecteu n déct l'ensemble des dectons du plan de défomaton ( e, e ), c'est-à-de que le vecteu toune n de π autou de Pt dans ( e, ). e a queston posée est la suvante : quand n toune de π autou de P t dans le plan de défomatons, que fat le pont M n? es postons du pont M n peuvent ête epmées dans le epèe tounant (P t, n, t ) où M n a pou coodonnées (ε nn, ε nt ). Dans le epèe des dectons pncpales de défomaton (P t,, ) on a : nn nt Sot α l'angle que fat n avec. t ε ε ε n α Dans (P t,, cosα ) on a : n - snα et t. D'où : snα cosα ε nn n. ε. n ε cos α + ε sn α ε nt n. ε. t ε cosα snα + ε cosα snα 4

43 ε nn et ε nt sont des gandeus scalaes ndépendantes du epèe dans lequel on les epme. es deu denèes epessons peuvent s'éce sous la fome : ε + ε ε ε ε nn n. ε. n + cos( α ) ε ε ε nt n. ε. t sn( α) osque n déct l'ensemble des dectons du plan de défomaton autou de Pt, sot losque n toune de π, on vot que elatvement au epèe tounant (Pt, n, t ), M n déct un cecle de ε cente ( + ε ε ε Ω, ) et de ayon R appelé cecle de Moh. ε nt t ε Ω ε ε nn P t n -α t P t n α M n Plan de Moh Plan Physque Selon les epessons de ε nn et ε nt, quand n toune d'un angle α autou de P t dans le plan physque, M n toune de -α autou de Ω dans le plan de Moh. Remaque S α, n, t, ε nn ε et ε nt : pas de dstoson pou les dectons pncpales. S α 4 π, εnn ε + ε et ε nt ε ε : dstoson mamale. π S α, n, t, ε nn ε et ε nt : pas de dstoson pou les dectons pncpales. 4

44 CAPTRE 4 : ES CONTRANTES Avant : En cous de mécanque généale, pou un solde ndéfomable, nous consdéons : - es actons mécanques etéeues applquées, - es déplacements, - 'outl mathématque : champ vectoel. Mantenant : En mécanque des mleu contnus, pou les mleu défomables, nous consdéons : - es actons mécanques etéeues applquées, - es actons mécanques ntéeues (contantes), - es déplacements, - es défomatons, - 'outl mathématque : champ tensoel. gandeus physques qu leus étaent attachées étaent epésentées pa des - es cops sont supposés défomables sous l'acton de chages etenes. - es gandeus physques étudées sont epésentées pa des fonctons tensoelles. Remaques - S les défomatons sont obsevables et mesuables dectement (pncpe des jauges d'etensométe), les contantes ne sont généalement pas obsevables (effot ntenes). - es défomatons et contantes sont elées pa la lo de compotement du matéau consdéé (héologe). On pale à tte d'eemple de lo élastque, lo élastoplastque, lo vsqueuse, - a noton de contante est tès mpotantes pou le dmensonnement des ouvages : s les contantes sont top élevées au sen d'un solde, l y'a destucton de la cohéson ntenes ente patcules et donc uptue.. Actons mécanques su un mleu contnu et tenseu des contantes Défnton On appelle actons mécanques toutes actons qu se caactésent pa des foces ou des couples, ou ben pa des densté lnéques, sufacques, volumques ou massques de foce, pa 44

45 opposton au actons non mécanques lées à l'estence de flu (chaleu pa eemple) ou de souce (éacton chmque pa eemple). On dstngue pam les actons mécanques : les actons du mleu etéeu et les actons ntéeues. Eemple q e A θ D B C (S ) F n A θ e (S ) B e e e e On consdèe une poute (S) soumse à un essa de tacton. q e et -q e sont deu foces sufacques etéeues agssant su les bases de l'épouvette (S). Sépaons (S) en deu pates (S ) et (S ) pa un plan vtuel (ABCD). S (S) est en équlbe, alos (S ) et (S ) le sont auss. es foces agssantes su (S ) sont -q e est F. F et une aute foce eecée pa (S ) dont la ésultante est une foce etéeue pou (S ) et c'est une foce ntéeues pou (S)... es actons du mleu etéeu Ces acton sont de deu types : les actons de contact et les actons à dstances.... es actons de contact Elles s'eecent su la suface etéeue du mleu sous la fome d'une densté sufacque de foce q. Su un élément de suface ds s'eece une foce élémentae : Eemple df q ds - 'eau su le paement d'un baage. - e vent su la vole d'un bateau. 45

46 ... es actons à dstance Elles se caactésent su chaque patcule (dm, dv) pa une acton popotonnelle à la masse de la patcule consdéée. Su une patcule s'eece une foce élémentae : df ' F dm F ρ dv Eemple - Foce de pesanteu : F g. - Foces électomagnétques... es actons mécanques ntéeues : noton de vecteu de contantes Ce sont les actons du mleu su lu-même. Pou les défn autou d'un pont P(,t), l convent de coupe le mleu M en deu pates () et () pa une suface abtae S passant pa P. () S P n () F e S e e Consdéons une facette élémentae S de l'nteface fctve S, de nomale untae n. Sot F la foce qu'eece su cette facette pa les patcules stuées du côté de n (c'est-à-de du côté ()) et au contact de cette facette. On défn le vecteu contante au pont P et coespondant au à la decton n et à l'nstant t pa : F df( n,p,t ) ( n,p,t ) lm S S ds S l'espace physque est appoté à un epèe othonomé R (O, e,e, e ) dect, P peut ête emplacé pa le vecteu poston. e vecteu contante ou n est une foncton de la poston, du temps, de l'oentaton de la facette élémentae donnée pa le vecteu untae n, et du sens de n. Remaque : 46

47 () 'acton de () su ds est df( n,,t ) et l'acton of () su ds est df( n,,t ). 'équlbe de ds mplque que : df( n,,t ) + df( n,,t ) Donc ( n,p,t ) ( n,p,t ) () e vecteu contante peut ête décomposé en une composante nomale et une composante tangentelle à la facette : n +.t n nn. nt t nt.t n n nn. n En mécanque des mleu contnues : S nn > : contante nomale de tacton f nn < : contante nomale de compesson. nt est généalement postve. En contante plane, elle peut ête affectée d'un sgne. () En un pont matéel P, l passe une nfnté de suface élémentae ds n, donc l este une nfnté de vecteu contante. Pou déce l'état de contante en un pont, la noton de vecteu contante est nsuffsante. l faut ntodue le tenseu des contantes... Tenseu des contantes de Cauchy... Défnton Défnton : Consdéons un pont abtaae P du mleu M et appelons la defnton du vecteu contante coespondant au facettes de nomal etéeu e, e and e. Ces vecteus contantes sont espectvement e, e and e. e e e P e e e P P e e e e e e e e e e 47

48 e ( e,,t ) ; e ( e,,t ); e ( e,,t ). Notons j les composantes du vecteu contante e dans la base ( e,, ). j e e e je j e + e + e ) ( e j j j j es neufs composantes de ces tos vecteus contantes sont les composantes du tenseu du second ode nommé tenseu des contantes de Cauchy (,t ) : (,t ) e e e es composantes pependculaes au facettes, (,, ), sont les contantes nomales. es composantes contenues dans les facettes, (,,,,, ) sont les contantes tangentelles. Composantes de Composantes de Composantes de... Relaton ente vecteu contante et tenseu des contantes Remaquons que :. e e j j Cette elaton ente le tenseu des contantes et le vecteu des contantes e au pont P peut ête généalsée pou j tout vecteu untae n en consdéant un volume élémentae consttué d'un tétaède de sommet P. a base de ce tétaède est de nomal etéeue n et ses tos autes faces sont de nomal etéeu - e, - e et - e comme le monte la fgue. e e A e B e P n P P n P P e C e es foces agssant su le tétaède sont : - es foces à dstance b - es vecteus contantes su les sufaces (APB), (BPC), (APC) and (ABC). e vecteu contantes agssant su (ABC) est n n e + n e + n e. e vecteu contantes agssant su (APB) est e e e e e. 48

49 e vecteu contantes agssant su (BPC) est e e e e e. e vecteu contantes agssant su (APC) est e e e e e. es aes des sufaces sont : S ABC dσ S APB dσ n.e dσ n. S BPC dσ n.e dσ n. S APC dσ n.e dσ n. En applquant la elaton fondamentale de la dynamque su le tétaède, on obtent : n S dv D'où, ABC + h dσ ; h S + e APB e BPC e d(p, (ABC)) S + S APC ( n jn j )e + ( n jn j )e + ( n jn j ) e v + ρ dv b ρ dv γ osque le tétaède tend ves P, h tend ves et on obtent : ρ h ( γ - b) o n n j n n j... Syméte du tenseu des contantes de Cauchy Consdéons un volume paalléléppédque centé su P de dmensons d, d et d. es composantes de l'effot qu s'eece su la facette de nomal e sont d d, d d and d d. es composantes de l'effot qu s'eece su la facette de nomal e sont - d d, - d d et - d d. es composantes de l'effot qu s'eece su la facette de nomal e sont d d, d d and d d. es composantes de l'effot qu s'eece su la facette de nomal e sont - d d, - d d and - d d. e e + e Consdéons le pncpe fondamental de la dynamque pou la otaton autou de l'ae : 49

50 m / / θ '' Somme des moments des foces pa appot à Moment d'nete pa appot à Accéléaton angulae pa appot m / / V ρ( d d + d ) dv d d d d d d d d d ρ( ( + ) dv ρ [( d ) + ( d ) ] d d d Donc ρ [ d + d ] θ' ' ( ) ( ) osque le volume élémentae tend ves le pont P, d et d tendent ves et donc. ) d En consdéant les otatons pa appot à et, on monte que et. e tenseu des contantes de Cauchy est symétque : d d o j j t. Popétés du tenseu des contantes de Cauchy.. Théoème de Cauchy Sot n et n ' deu vecteus untaes. Consdéons les vecteus contantes en un pont P agssant su les facettes de nomal n et n '. Nous avons : n n n' n' n. n' n'.(.n ) tn'..n tn'. t.n t( tn'. t.n ) tn..n' n.(.n' ) n'.n 5

51 On peut éce que : n'.n n et n'. n. n' n nn.n + ou n' n'n'.n' + S n n' alos nt.t.t' n't' n ' n' n't' t ' ntt τ n' t' t '.n nt t τ.n' n n t.n' t'.n n et n' n nt n' t' e théoème de Cauchy énonce que su deu facettes quelconques othogonale, les composantes des contantes tangentelles nomales à l'aête commune au deu facettes sont égales en module ( τ τ ) et smultanément convegent ou s'écatent de l'aête. n' n't' t ' n ' τ n' t' t'.n τ ntt.n' ntt n n.. Decton pncpales de contantes et contantes pncpales Pou un pont P où les composantes du tenseu des contantes de Cauchy sont j, on assoce pou chaque decton n le vecteu contante : n. n es dectons pou lesquelles n et n sont colnéae sont appelée decton pncpale de contantes. Pou une decton pncpale de contante : n λ n où λ, la magntude du vecteu de contante, est appelée contante pncpale. En notaton ndcelle, la denèe équaton peut s'éce comme sut : n λ δjn j ou ( λδ ).n j j j ( j λ δ )n j es solutons de cette équatons aute que la soluton tval n, s'obtennent en annulant le détemnant λ δ. Sot : n 5

52 det( λ ) o λ e développement de cette epesson donne le polynôme de degé en λ: où : λ λ * * * λ + λ λ * * * t( ) ( jj jj ) det( ) * * *, et sont des nvaants de contantes., et, qu sont les acnes du polynôme, sont les contantes pncpales. On assoce à chaque contante pncpale (, et ), une decton pncpale de contante ( j, j et j espectvement), solutons des équatons: ( ).j ).j ).j Comme le tenseu des contantes est éel et symétque, les contantes pncpales sont des valeus éelles. Dans le epèe des dectons pncpales de contantes, la matce epésentatve du tenseu des contantes est dagonale : R D ( j, j, j ) ( R D ).. Dévateu des contantes Sot m la contante moyenne: m t ( ) e tenseu des contantes peut se décompose en une somme de deu tenseus, un epésente la pate sphéque ou sotope de l'état des contantes dans lequel toute contante 5