Théorie élémentaire de l intégration

Transcription

1 Université Joseph Fourier, Grenoble Mths en Ligne Théorie élémentire de l intégrtion Jen-Pierre Demilly, Didier Piu et Bernrd Ycrt Ignorer l théorie de l intégrtion n jmis empêché personne de clculer des primitives et des intégrles ; les techniques de clcul font d illeurs l objet d un chpitre indépendnt dns ce cours. Ce que vous trouverez ici est ssez théorique et difficile. N espérez ps tout comprendre si vous n vez ps uprvnt bien ssimilé l rt de couper les epsilons en qutre. Un objectif miniml et risonnble est d pprendre à reconnître des sommes de Riemnn qund vous en rencontrerez et de svoir clculer leurs limites. Tble des mtières Cours. Sommes de Riemnn L intégrle d une fonction Propriétés élémentires de l intégrle Le théorème fondmentl de l Anlyse Clcul à l ide de primitives Encdrements pr des fonctions en esclier Entrînement Vri ou fux Exercices QCM Devoir Corrigé du devoir Compléments Archimède et l qudrture de l prbole L fmille ibn Qurr Clcul numérique des intégrles Les différentes intégrles L mésventure de Chsles novembre 2

2 Mths en Ligne Théorie élémentire de l intégrtion UJF Grenoble Cours. Sommes de Riemnn Dns tout le chpitre, et b désignent deux réels tels que < b. Soit f une fonction définie sur l intervlle [, b] et à vleurs dns R. L portion du pln comprise entre le grphe de f et l xe horizontl est l ensemble des couples (x, y) tels que : { y f(x) si f(x) f(x) y si f(x). Pour une fonction f suffismment régulière, nous souhitons évluer l ire de cette portion de pln, en comptnt positivement les surfces situées u-dessus de l xe horizontl, et négtivement celles situées u-dessous (figure ). Nous prlerons de l ire lgébrique située sous le grphe de f. y A 2 A b x A A 3 A = A + A 2 + A 3 + A 4 = A + A 2 A 3 + A 4 Figure Aire lgébrique située sous le grphe de f. L idée est de découper l intervlle [, b] u moyen d une subdivision puis de sommer des ires de rectngles bsés sur les intervlles de l subdivision. Définition.. On ppelle subdivision pointée de l intervlle [, b], l donnée de n + points et de n points x,..., x n tels que : = < < < n = b, i =,..., n, x i [ i, i ].

3 Mths en Ligne Théorie élémentire de l intégrtion UJF Grenoble L subdivision pointée ser notée : D = {([ i, i ], x i )} i n. Les réels h i = i i (mplitudes des intervlles) sont les ps de l subdivision pointée. 2. Soit D une subdivision pointée de l intervlle [, b] et f une fonction de [, b] dns R. On ppelle somme de Riemnn ssociée à f sur D, le réel : S D (f) = f(x i )( i i ) = f(x i ) h i. L somme de Riemnn S D (f) est l ire lgébrique de l réunion des rectngles de lrgeur h i et de huteur f(x i ) (figure 2). Il s git bien d une ire lgébrique (c est-àdire pouvnt être comptée positivement ou négtivement, pr opposition à une ire bsolue), puisque f(x i )h i est compté positivement si f(x i ) > et négtivement si f(x i ) <. y f(x ) i h i b x x i i i n Figure 2 Somme de Riemnn ssociée à f sur D. Intuitivement, l ire A cherchée est l limite de S D (f) qund les ps h i tendent vers. Un choix possible consiste à subdiviser en sous-intervlles égux : Dns ce cs, i =,..., n, i =,..., n, i = + i b n. h i = b n. 2

4 Mths en Ligne Théorie élémentire de l intégrtion UJF Grenoble Comme premier exemple, considérons l fonction identité f [, ]. Pour n, posons : : x x sur l intervlle =, = n,..., i = i n,..., n =. Les ps de cette subdivision sont tous égux à /n. Voici trois clculs de sommes de Riemnn, selon que l on plce les points x i u début, u milieu ou à l fin des intervlles [ i, i ] (on rppelle que l somme des entiers de à n vut n(n + )/2). x i = i : S D (f) = x i = i + i 2 : S D (f) = x i = i : S D (f) = i n n = (i ) = n n 2 2n, 2i 2n n = 2i = 2n 2 2, i n n = i = n + n 2 2n. L seconde somme est égle à /2 pour tout n, les deux utres tendent vers /2 qund n tend vers l infini. Pr illeurs, l ire du tringle sous le grphe de l fonction est bien /2 (figure 3). Figure 3 Sommes de Riemnn ssociées à l identité sur [, ]. Les trois propriétés des sommes de Riemnn énoncées dns l proposition suivnte sont très fciles à vérifier à prtir de l définition. Nous les retrouverons comme propriétés des intégrles. Proposition. Soit D une subdivision pointée de l intervlle [, b]. Soient f et g deux fonctions de [, b] dns R. 3

5 Mths en Ligne Théorie élémentire de l intégrtion UJF Grenoble. Linérité : Pour tous λ, µ R, S D (λf + µg) = λs D (f) + µs D (g). 2. Monotonie : Si pour tout x [, b], f(x) g(x), lors S D (f) S D (g). 3. Reltion de Chsles : Soient c > b un réel et E une subdivision pointée de [b, c]. Soit f une fonction définie sur [, c]. Alors D E est une subdivision pointée de [, c] et : S D (f) + S E (f) = S D E (f)..2 L intégrle d une fonction L figure 2 montre qu une bonne pproximtion de l ire ssociée à f demnde que les intervlles de l subdivision pointée D soient petits. On mesure cel en prlnt de l finesse de D. Définition 2. Soient D = {([ i, i ], x i )} une subdivision pointée de [, b] et δ R + un nombre réel strictement positif. L subdivision pointée D est δ-fine si les ps de D sont bornés pr δ, c est-à-dire : i =,..., n, h i = i i δ. Remrquons que si δ δ, lors toute subdivision δ -fine est ussi δ-fine. Définition 3. Soit f une fonction définie sur l intervlle [, b] et à vleurs dns R.. On dit que f est intégrble sur [, b] (u sens de Riemnn) s il existe un réel A, représentnt l ire lgébrique située sous le grphe de f, tel que pour toute mrge d erreur ε > donnée priori, on peut trouver un nombre δ R + tel que pour toute subdivision pointée D de [, b], δ-fine, on it : On dit lors que δ est ε-dpté à f. S D (f) A ε. 2. Si f est intégrble sur [, b], le nombre réel A du point précédent est ppelé intégrle (u sens de Riemnn) de f sur [, b] et noté A = f(x) dx. On écrit ussi : n f(x) dx = lim S D (f) = lim f(x i )( i i ). D D et on dit que f(x) dx est l limite des sommes de Riemnn, lorsque l subdivision D devient de plus en plus fine. 4

6 Mths en Ligne Théorie élémentire de l intégrtion UJF Grenoble Si δ est ε-dpté, lors tout δ δ est encore ε-dpté. Nous utiliserons cette observtion à plusieurs reprises dns l section suivnte. L nottion dx intervient pour rppeler qu à l limite on considère des rectngles «infiniment fins» de lrgeur dx, considérée comme ccroissement infiniment petit de l vrible x (figure 4). Le symbole se lit «somme de à b». f(x) x b x+dx Figure 4 Intégrle de f sur [, b]. Si l fonction f est constnte sur [, b], lors pour toute subdivision pointée D, l vleur de S D (f) est constnte. ( ) x [, b], f(x) = k = S D (f) = k(b ). Dns ce cs, n importe quel réel strictement positif est ε-dpté. Une fonction constnte est donc intégrble, et son intégrle est bien l ire du rectngle sous le grphe : l définition est cohérente vec l intuition géométrique. Reprenons l exemple de l fonction identité f : x x sur [, ] (figure 3). Considérons une subdivision pointée quelconque D = {([ i, i ], x i )} de l intervlle [, ]. L somme de Riemnn ssociée à f sur D peut être encdrée de l fçon suivnte. S = i ( i i ) S D (f) i ( i i ) = S 2. L demi-somme de S et S 2 vut : 2 (S + S 2 ) = 2 Leur demi-différence vut : 2 (S 2 S ) = 2 2 i 2 i = 2 (2 2 ) = 2. ( i i ) 2 2 mx{h i} h i = 2 mx{h i}. 5

7 Mths en Ligne Théorie élémentire de l intégrtion UJF Grenoble Fixons ε > et posons δ = 2ε. Si D est δ-fine, mx h i δ. Le clcul ci-dessus montre qu lors S D(f) 2 ε. Donc f est intégrble sur [, ] et son intégrle est /2. Proposition 2. Soit f une fonction intégrble sur [, b] et γ un réel tel que γ [, ]. Alors : ( b b f(x) dx = lim f + (i + γ) b ). n n n Considérons pr exemple l somme : ( ) (n ) + 2 (n 2) + + (n ), n 2 qui peut s écrire : n n ( ) ( ) ( n n n. n) n C est une somme de Riemnn ssociée à l fonction x x( x) sur l intervlle [, ]. S limite, lorsque n tend vers +, est égle à : x( x) dx. Or, le grphe de cette fonction est un demi-cercle de ryon /2. L limite est donc égle à l surfce du demi-cercle, qui est π/8. Démonstrtion : Pour n, on divise l intervlle [, b] en n intervlles égux en posnt Dns ce cs, Pour γ, posons i =,..., n, i =,..., n, i = + i b n. h i = h = b n. x i = + (i + γ) b n = i + γh. Donc x i [ i, i ] et D = {([ i, i ], x i )} i n est une subdivision pointée de [, b]. Pour γ =, x i = i ; pour γ =, x i = i ; pour γ = /2, x i est le milieu de l intervlle : ce sont les trois cs les plus fréquemment rencontrés. L somme de Riemnn ssociée à f sur D est : S D (f) = f(x i )( i i ) = h f(x i ) = b n 6 ( f + (i + γ) b n ).

8 Mths en Ligne Théorie élémentire de l intégrtion UJF Grenoble Si δ >, l subdivision D est δ-fine dès que (b )/n δ, c est-à-dire : n (b )/δ. Si δ est ε-dpté à f, lors pour n (b )/δ, D où le résultt. S D(f) f(x) dx ε. L proposition suivnte montre une fçon de modifier une fonction sns modifier l vleur de son intégrle. Proposition 3. Soit U un sous-ensemble fini de points de [, b]. Soit f une fonction de [, b] dns R, telle que : f(x) si x U f(x) = si x / U. Alors f est intégrble sur [, b] et son intégrle est nulle. L exemple stndrd de fonction ne stisfisnt ps les hypothèses de cette proposition est l fonction indictrice des rtionnels : { si x Q f(x) = si x / Q. On peut démontrer que cette fonction n est ps intégrble u sens de Riemnn (voir exercice 4). Démonstrtion : L ensemble U est fini, pr exemple U = {u,..., u h }. Notons : ε δ =. h f(u k ) k= Alors, si D = {([ i, i ], x i )} i n est une subdivision pointée δ-fine, l somme de Riemnn S D (f) est bornée comme suit : h S D (f) f(u k ) δ = ε. k= D où le résultt. 7

9 Mths en Ligne Théorie élémentire de l intégrtion UJF Grenoble.3 Propriétés élémentires de l intégrle Les propriétés énoncées dns cette section sont, dns l ordre, l linérité, l monotonie et l reltion de Chsles. Elles sont obtenues à prtir des propriétés nlogues des sommes de Riemnn (proposition ). Théorème (Linérité). Soient f et g deux fonctions intégrbles sur [, b] et λ et µ deux constntes réelles. Alors λf + µg est intégrble sur [, b] et : (λf(x) + µg(x)) dx = λ f(x) dx + µ g(x) dx. Démonstrtion : Posons : A = f(x) dx et B = g(x) dx. Fixons ε >. Pr hypothèse, il existe deux réels δ et δ 2 tels que, si D est δ -fine lors, S D (f) A ε λ + µ, et si D est δ 2 -fine lors, Posons : S D (g) B ε λ + µ. δ = min{δ, δ 2 }. Toute subdivision D qui est δ-fine est à l fois δ -fine et δ 2 -fine. Donc : S D (λf + µg) (λa + µb) = λ(sd (f) A) + µ(s D (g) B) λ S D (f) A + µ S D (g) B ε. Ceci montre que λf + µg est intégrble, et que son intégrle est λa + µb. Une conséquence de ce théorème et de l proposition 3 est que deux fonctions ont l même intégrle si elles ne diffèrent que sur un ensemble fini de points. Corollire. Soit f une fonction intégrble sur [, b]. Soit U un ensemble fini de points de [, b] et g une fonction de [, b] dns R telle que : Alors g est intégrble sur [, b] et : x [, b] \ U, g(x) = f(x). g(x) dx = f(x) dx. 8

10 Mths en Ligne Théorie élémentire de l intégrtion UJF Grenoble Démonstrtion : L fonction g f est non nulle sur un ensemble fini de points de [, b]. Pr ppliction de l proposition 3, elle est intégrble et son intégrle est nulle. Donc g = f + (g f) est intégrble pr le théorème et son intégrle est : g(x) dx = f(x) dx + (g(x) f(x)) dx = f(x) dx +. Théorème 2 (Monotonie). Soient f et g deux fonctions intégrbles sur [, b]. Si pour tout x [, b], f(x) g(x), lors : f(x) dx g(x) dx. Démonstrtion : Pour toute subdivision pointée D de l intervlle [, b], S D (f) S D (g). Soit ε >. Soient δ un réel ε-dpté à f et δ 2 un réel ε-dpté à g. Le réel δ = min{δ, δ 2 } est ε-dpté à l fois à f et à g. Soit D une subdivision δ-fine. Posons : A = f(x) dx et B = g(x) dx. Alors A S D (f) + ε et S D (g) B + ε. Comme S D (f) S D (g), on obtient : A S D (f) + ε S D (g) + ε (B + ε) + ε. Donc pour tout ε >, A B + 2ε, ce qui entrîne A B. Pr exemple, si une fonction est positive ou nulle sur l intervlle d intégrtion, son intégrle doit être positive ou nulle. Aussi, si f et f sont intégrbles, puisque f f f, on en déduit : f(x) dx f(x) dx. Théorème 3 (Reltion de Chsles). Soient, b, c trois réels tels que < b < c. Soit f une fonction de [, c] dns R. Si f est intégrble sur [, b] et intégrble sur [b, c], lors f est intégrble sur [, c] et : c f(x) dx = f(x) dx + c b f(x) dx. Démonstrtion : D près le corollire, modifier f en un point ne chnge rien : nous supposerons donc pour simplifier que f(b) =. Définissons les deux fonctions f et f 2, de [, c] dns R, pr : f (x) = { f(x) si x [, b[ si x [b, c] et f 2 (x) = { si x [, b] f(x) si x ]b, c]. 9

11 Mths en Ligne Théorie élémentire de l intégrtion UJF Grenoble L somme f + f 2 est égle à f. D près le théorème il suffit de démontrer que f et f 2 sont intégrbles sur [, c], vec : c f (x) dx = f(x) dx et c f 2 (x) dx = c b f(x) dx. Nous donnons l démonstrtion pour f, elle s dpte fcilement pour f 2. Soit ε >. Soit δ un réel (ε/3)-dptée pour f sur [, b]. Soit D = {([ i, i ], x i )} une subdivision δ-fine de [, c]. Le point b n est ps nécessirement un des points de subdivision. Soit k l indice tel que b [ k, k [. Selon que le point x k est inférieur ou supérieur à b, l contribution de l intervlle [ k, k ] à l somme de Riemnn S D (f ) ser f(x k )h k, ou bien. Considérons l subdivision D de [, b], déduite de D en remplçnt k et x k pr b, et en supprimnt les intervlles [ i, i ] pour i > k. Puisque D est δ-fine, on : S D (f) f(x) dx ε 3. Pour conclure, nous devons montrer que S D (f ) S D (f) 2ε 3. L différence de ces deux sommes de Riemnn est : S D (f ) S D (f) = si x k b S D (f ) S D (f) = f(x k )( k+ k ) si x k < b. Supposons x k < b. Pr définition de δ, h k = k k δ donc il existe une subdivision δ-fine de [, b] dont le dernier intervlle est de longueur h k et contient x k et b. Selon que l on pointe ce dernier intervlle en x k ou en b, on obtient deux sommes de Riemnn dont l différence est précisément f(x k )h k. Comme δ est (ε/3)-dptée pour f sur [, b], on en déduit : f(x k )h k 2ε 3. D où le résultt. Pour des réels, b qui ne vérifient ps nécessirement < b, on pose : f(x) dx = si = b, f(x) dx = f(x) dx si > b. b On peut vérifier que l reltion de Chsles reste vlble dns tous les cs, quel que soit l ordre des réels, b et c, à condition bien sûr que f soit intégrble sur chcun des intervlles mis en jeu. Comme ppliction de l reltion de Chsles, nous llons démontrer l intégrbilité des fonctions en esclier.

12 Mths en Ligne Théorie élémentire de l intégrtion UJF Grenoble Définition 4. On ppelle fonction en esclier sur [, b] une fonction f telle qu il existe une subdivision de [, b], = u < u < < u p = b, et des constntes réelles c i, telles que pour tout i =,..., p, x ]u i, u i [, f(x) = c i, les vleurs f(u i ) étnt quelconques, éventuellement différentes des vleurs c i. Proposition 4. Soit f une fonction en esclier sur [, b], telle que x ]u i, u i [, f(x) = c i, pour une subdivision = u < u < < u p = b de [, b]. L fonction f est intégrble sur [, b] et son intégrle vut : p f(x) dx = c i (u i u i ). Démonstrtion : L intégrle de l fonction constnte qui vut c i sur [u i, u i ], est l surfce du rectngle. Sur l intervlle [u i, u i ], l fonction f diffère de l fonction constnte u plus en deux points (les deux extrémités). D près le corollire, f est donc intégrble sur [u i, u i ], et son intégrle est c i (u i u i ). Pr l reltion de Chsles, f est donc intégrble sur l réunion des intervlles [u i, u i ], et son intégrle est l somme des intégrles sur chcun des intervlles (cf. figure 5). Figure 5 Fonction en esclier.

13 Mths en Ligne Théorie élémentire de l intégrtion UJF Grenoble.4 Le théorème fondmentl de l Anlyse On ppelle théorème fondmentl de l Anlyse, le fit que l intégrtion (c est-àdire le clcul d ires) et l dérivtion (c est-à-dire le clcul de tngentes) sont des opértions inverses l une de l utre. Avnt d énoncer ce théorème, nous llons voir un moyen très simple de comprendre le rpport entre intégrtion et dérivtion, vi les sommes de Riemnn. Rppelons que d près le théorème des ccroissements finis, sur tout intervlle où une fonction est dérivble, il existe un point où l vleur de l dérivée est égle u tux d ccroissement globl de l fonction sur cet intervlle. L proposition suivnte s en déduit imméditement. Proposition 5. Soit F une fonction continue sur [, b] et dérivble sur ], b[. On note f s dérivée. Considérons une subdivision quelconque de l intervlle [, b] : = < < n = b. Pour tout i =,..., n, il existe x i ] i, i [, tel que : F ( i ) F ( i ) = f(x i )( i i ). Si D désigne l subdivision pointée D = {([ i, i ], x i )}, lors S D (f) = f(x i )( i i ) = F (b) F (). Démonstrtion : L existence de x i est ssurée pr le théorème des ccroissements finis, ppliqué à F sur l intervlle [ i, i ]. Il suffit ensuite d écrire : f(x i )( i i ) = F ( i ) F ( i ) = F (b) F (). Théorème 4. Soit F une fonction continue sur [, b] et dérivble sur ], b[. On note f s dérivée. Si l fonction f est intégrble sur [, b], lors : On note ussi : f(x) dx = f(x) dx = F (b) F (). [ ] b F (x) = F (b) F (). Démonstrtion : D près l proposition 5, il existe des subdivisions pointées D = {[ i, i ], x i )} ussi fines que l on veut, telles que S D (f) = F (b) F (). Comme on supposé que f étit intégrble, l vleur de son intégrle est F (b) F (). On en déduit fcilement le résultt suivnt, qui se démontre ussi u moyen du théorème des ccroissements finis. 2

14 Mths en Ligne Théorie élémentire de l intégrtion UJF Grenoble Corollire 2. Soit F une fonction dérivble sur un intervlle I de R, telle que F = (respectivement : F, F ). Alors F est constnte (respectivement : croissnte, décroissnte). Démonstrtion : En effet, pour tous points et b dns I tels que < b, F (b) F () = Donc pr le théorème de monotonie 2 : ( ) x, F (x) = ( ) x, F (x) ( ) x, F (x).5 Clcul à l ide de primitives F (x) dx. = F (b) F () = = F (b) F () = F (b) F (). Définition 5. Si f est une fonction de [, b] dns R, on ppelle primitive de f toute fonction F dérivble sur ], b[, telle que F = f. Proposition 6. Soit f une fonction de [, b] dns R, intégrble et dmettnt une primitive.. Si F et F 2 sont deux primitives de f, lors F F 2 est constnte. 2. Si F est une primitive quelconque de f, lors x [, b], F (x) = F () + x f(t) dt. Démonstrtion : Le premier point est une conséquence directe du corollire 2 : si F et F 2 sont deux primitives de f lors l fonction F F 2 une dérivée nulle, donc elle est constnte. Le second point est l ppliction du théorème 4 à l intervlle [, x]. Pour clculer une intégrle, on cherche l pluprt du temps à déterminer une primitive de l fonction à intégrer. On utilise pour cel un ctlogue de primitives connues, que l on trnsforme en utilisnt l linérité, l reltion de Chsles, insi que les deux théorèmes qui suivent. Théorème 5 (Intégrtion pr prties). Soient u et v : [, b] R deux fonctions dérivbles et dont les dérivées u et v sont continues. Alors uv et u v sont intégrbles et : [ ] b u(x)v (x) dx = u(x)v(x) u (x)v(x) dx. 3

15 Mths en Ligne Théorie élémentire de l intégrtion UJF Grenoble Démonstrtion : Les fonctions u v, uv et (uv) = u v + uv sont continues. D près le théorème 8, ces fonctions sont donc intégrbles, et : D où le résultt. [ ] b u(x)v(x) = (uv) (x) dx = u (x)v(x) dx + u(x)v (x) dx. Théorème 6 (Chngement de vrible). Soit f : [, b] R une fonction dmettnt une primitive. Soit ϕ une fonction de [α, β] dns [, b], dérivble sur ]α, β[, telle que ϕ(α) = et ϕ(β) = b. Alors, f(x) dx = β α f(ϕ(t))ϕ (t) dt. Démonstrtion : Pr hypothèse, f dmet une primitive F. D près l proposition 6, f(x) dx = F (b) F () = F (ϕ(β)) F (ϕ(α)). Pr illeurs, F et ϕ sont dérivbles donc F ϕ l est ussi et : F (ϕ(β)) F (ϕ(α)) = En prtique, on effectue les substitutions : [ ] β β β F ϕ(t) = (F ϕ) (t) dt = f(ϕ(t))ϕ (t) dt. α α α x = ϕ(t), dx = ϕ (t) dt, = ϕ(α), b = ϕ(β), en prennt soin de chnger les bornes comme indiqué..6 Encdrements pr des fonctions en esclier Dns cette section, nous étudions le cs des fonctions monotones et des fonctions continues. Soit f une fonction bornée de [, b] dns R. L idée est de considérer des encdrements de f pr des fonctions en esclier ϕ et ψ, comme sur l figure 6. x [, b], ϕ(x) f(x) ψ(x). On peut supposer que les fonctions en esclier ϕ et ψ sont exprimées u moyen de l même subdivision = u < u < < u p = b : sinon il est toujours possible de redécouper les subdivisions qui les définissent, pour rriver à une subdivision commune (comme les vleurs ϕ(u i ), ψ(u i ) ne jouent ps de rôle dns les intégrles, on choisir pr exemple ϕ(u i ) = ψ(u i ) = f(u i ) ). On ur donc : x ]u i, u i [, ϕ(x) = c i f(x) ψ(x) = d i. 4

16 Mths en Ligne Théorie élémentire de l intégrtion UJF Grenoble y d i c i ψ ϕ u u i u i b x Figure 6 Encdrement d une fonction f pr des fonctions en esclier. Dns cette sitution, l erreur due à l encdrement de l ire est précisément : ψ(x) dx C est l ire des rectngles grisés sur l figure 6. p ϕ(x) dx = (d i c i )(u i u i ). Nous commençons pr un critère d intégrbilité, qui ser ensuite ppliqué ux fonctions monotones, puis ux fonctions continues. Lemme. Toute fonction intégrble sur [, b] est bornée. Démonstrtion : Soit f une fonction intégrble sur [, b]. Il existe des réels A et δ tels que S D (f) A pour toute subdivision D δ-fine. En remplçnt éventuellement δ pr une vleur plus petite, on peut supposer que δ = (b )/n pour n N. Soit D = {([ i, i ], x i )} i n l subdivision pointée définie pr i = x i = + iδ. Donc D est δ-fine (et régulière). Soit x un point quelconque de [, b]. Il existe un indice i tel que x [ i, i ]. Soit D(x) l subdivision pointée obtenue à prtir de D en remplçnt x i pr x et en ne chngent rien d utre. Comme D(x) et D sont toutes deux δ-fines, i= S D(x) S D S D(x) A + S D A 2. Or, S D(x) S D = ( i i )(f(x) f(x i )). On en déduit : f(x) f(x i ) 2/( i i ) = 2/δ. 5

17 Mths en Ligne Théorie élémentire de l intégrtion UJF Grenoble Finlement, on obtient l borne uniforme suivnte : pour tout x dns [, b], f(x) M + 2/δ, M = mx{ f( + iδ) ; i n}. Définition 6. Soit f : [, b] R une fonction. On note E + (f) l ensemble des fonctions en esclier ψ telles que f ψ, et E (f) l ensemble des fonctions en esclier ϕ telles que ϕ f. Proposition 7. Soit f : [, b] R une fonction. L fonction f est intégrble sur [, b] si et seulement si pour tout ε >, il existe deux fonctions ϕ E (f) et ψ E + (f) telles que : ψ(x) dx ϕ(x) dx ε. Dns ce cs, on : { } { } f(x) dx = sup ϕ(x) dx ; ϕ E (f) = inf ψ(x) dx ; ψ E + (f). Démonstrtion : Notons E (f) (respectivement : E + (f)) l ensemble des intégrles des fonctions ϕ E (f) (respectivement : ψ E + (f)). Si ϕ E (f) et ψ E + (f), lors ϕ ψ, donc : ϕ(x) dx ψ(x) dx. Pr conséquent, tout élément I de E (f) et tout élément I + de E + (f) sont tels que I I +. L condition de l proposition ssure que E (f) et E + (f) ne sont ps vides et que, pour tout ε >, il existe un élément de E (f) et un élément de E + (f) dont l différence est u plus ε. Ceci entrîne que l borne supérieure de E (f) et l borne inférieure de E + (f) sont égles : notons A leur vleur commune. Fixons ε >, et choisissons deux fonctions en esclier ϕ E (f) et ψ E + (f) telles que : ϕ(x) dx A ε et ψ(x) dx A + ε 2 2. Toutes les fonctions en esclier sont intégrbles donc il existe des réels δ et δ 2 qui sont (ε/2)-dptés pour ϕ et ψ respectivement. Posons δ = min{δ, δ 2 }. Soit D une subdivision δ-fine de [, b]. Comme D est à l fois δ -fine et δ 2 -fine, S D(ϕ) ϕ(x) dx ε et 2 S D(ψ) ψ(x) dx ε 2. Nous llons vérifier que : SD (f) A ε. 6

18 Mths en Ligne Théorie élémentire de l intégrtion UJF Grenoble Écrivons : S D (f) S D (ψ) S D(ψ) Dns l utre sens : S D (f) S D (ϕ) ψ(x) dx + ψ(x) dx ε 2 + A + ε 2 = A + ε. ϕ(x) dx S D(ϕ) ϕ(x) dx A ε 2 ε 2 = A ε. On montré que f est intégrble et que son intégrle vut A. Dns l utre sens, supposons que f est intégrble. Notons A son intégrle. Fixons deux réels ε > et η >. Il existe un réel δ tel que toute subdivision pointée D = {([ i, i ], x i )} i n δ-fine vérifie : Pour chque i n, notons : S D (f) A ε/4. m i = inf{f(x) ; i x i }, M i = sup{f(x) ; i x i }. Il existe x + i [ i, i ] et x i [ i, i ] tels que : f(x i ) m i + η, f(x + i ) M i η. Notons D + = {([ i, i ], x + i )} i n et D = {([ i, i ], x i )} i n. Les subdivisions pointées D et D + sont δ-fines donc S D +(f) S D (f) S D +(f) A + S D (f) A (ε/4) + (ε/4) = (ε/2). En prticulier, S D +(f) S D (f) + (ε/2). Notons ϕ une fonction en esclier telle que ϕ(x) = m i sur chque intervlle ] i, i [ et ϕ( i ) f( i ), et ψ une fonction en esclier telle que ψ(x) = M i sur chque intervlle ] i, i [ et ψ( i ) f( i ). Pr construction, ϕ f ψ donc ϕ E (f) et ψ E + (f). De plus, ϕ(x) dx = ( i i )m i ( i i )(f(x i ) η) = S D (f) (b )η, et ψ(x) dx = ( i i )M i ( i i )(f(x + i ) + η) = S D +(f) + (b )η. En reportnt dns ces inéglités notre estimtion de l écrt entre S D (f) et S D +(f), on voit que : ψ(x) dx (ε/2) + 2(b )η + ϕ(x) dx. Si on choisit η ε/(4(b )), on obtient l condition de l énoncé. 7

19 Mths en Ligne Théorie élémentire de l intégrtion UJF Grenoble Théorème 7. Toute fonction monotone de [, b] dns R est intégrble sur [, b]. Démonstrtion : Soit f une fonction monotone de [, b] dns R. Quitte à remplcer f pr f, nous pouvons supposer que f est croissnte. Si f est constnte, le résultt est déjà démontré. Sinon, f(b) f() >. Fixons ε > et posons δ = ε/(f(b) f()). Soit = u < < u p = b une subdivision δ-fine de [, b]. Définissons les fonctions en esclier ϕ et ψ, pour tout i =,..., p et pour tout x ]u i, u i [ pr : ϕ(x) = f(u i ) et ψ(x) = f(u i ), et ϕ(u i ) = ψ(u i ) = f(u i ) comme déjà convenu. Cel donne : ψ(x) dx ϕ(x) dx = p ( f(ui ) f(u i ) ) (u i u i ) p ( δ f(ui ) f(u i ) ) = δ ( f(b) f() ) = ε. L hypothèse de l proposition 7 est donc vérifiée. Théorème 8. Toute fonction continue de [, b] dns R est intégrble sur [, b]. Démonstrtion : Nous dmettrons que toute fonction continue sur [, b] est en fit uniformément continue. Ce résultt est démontré dns les compléments du chpitre Limites et continuité. (Le lecteur intéressé pourr tout d bord essyer de se convincre de l différence entre l définition de l continuité, suposée connue, et celle de l uniforme continuité, rppelée ci-dessous.) Fixons ε >. L uniforme continuité de f signifie qu il existe un réel δ > tel que pour tous x et y dns l intervlle [, b] : y x δ = f(y) f(x) ε b. Choisissons une subdivision pointée δ-fine D = {([ i, i ], x i )} i n. Pour tous x et y dns l intervlle [ i, i ], y x i i δ, donc : f(y) f(x) ε b. Comme f est continue sur [ i, i ], elle y tteint s borne supérieure et s borne inférieure. Notons : m i = inf{ f(x), x [ i, i ] } et M i = sup{ f(x), x [ i, i ] }. 8

20 Mths en Ligne Théorie élémentire de l intégrtion UJF Grenoble Ce qui précède montre que pour tout i =,..., n, M i m i ε b. Définissons mintennt, pour tout i =,..., n et pour tout x ] i, i [, ϕ(x) = m i et ψ(x) = M i, et comme d hbitude ϕ( i ) = ψ( i ) = f( i ). Les fonctions ϕ et ψ encdrent f et : ψ(x) dx ϕ(x) dx = L hypothèse de l proposition 7 est donc vérifiée. (M i m i )( i i ) ε ( i i ) = ε. b Théorème 9. Toute fonction continue f de [, b] dns R dmet une primitive F, définie pour tout x [, b] pr : F (x) = x f(t) dt. Les utres primitives sont les fonctions de l forme x F (x) + C, où C est une constnte. Démonstrtion : Nous svons que l intégrle définissnt F (x) existe pour tout x [, b], pr le théorème 8. Nous llons démontrer que l fonction F est dérivble sur ], b[, de dérivée f. Ceci entrîne le résultt, pr le théorème 4 et l proposition 6. Soient x un point de ], b[ et h un réel tel que x + h ], b[. L reltion de Chsles donne F (x + h) F (x) = x+h x f(t) dt. Fixons ε >. Puisque f est continue en x, il existe δ tel que pour t x δ, Pr le théorème 2, pour h δ, h(f(x) ε) f(x) ε f(t) f(x) + ε. x+h x f(t) dt h(f(x) + ε). En divisnt pr h, on obtient : ( ) x+h f(t) dt f(x) h x ε. 9

21 Mths en Ligne Théorie élémentire de l intégrtion UJF Grenoble D où le résultt. Nous vons déjà vu que l intégrle d une fonction positive ou nulle est positive ou nulle. Si de plus l fonction est continue et non identiquement nulle, son intégrle est strictement positive ; on utilise souvent ce résultt sous l forme suivnte. Proposition 8. Soit f une fonction continue sur [, b]. Si l intégrle de f sur [, b] est nulle, lors f est identiquement nulle. f(x) dx = = ( ) x [, b], f(x) =. Démonstrtion : Nous llons démontrer l contrposée : si f n est ps identiquement nulle, lors son intégrle est strictement positive. Soit x un point de [, b] tel que f(x) >. Puisque f est continue en x, f l est ussi, et il existe α > tel que pour tout t [x α, x + α], f(t) > f(x) /2. Donc : f(x) dx x+α x α f(t) dt 2α f(x) 2 >. Toujours en utilisnt l monotonie, l vleur de l intégrle peut être encdrée à l ide du minimum et du mximum de f sur l intervlle [, b]. Notons : Alors, m = inf{f(x), x [, b]} et M = sup{f(x), x [, b]}. (b )m f(x) dx (b )M. Si on divise ces inéglités pr l longueur de l intervlle, on obtient : m f(x) dx M. b Il fut comprendre f(x) dx comme l vleur moyenne de l fonction sur l intervlle. Le théorème de l moyenne dit que cette vleur moyenne est tteinte sur b l intervlle. Théorème. Si f est continue sur [, b], il existe c [, b] tel que : b f(x) dx = f(c). b 2

22 Mths en Ligne Théorie élémentire de l intégrtion UJF Grenoble f(x) f(c) b x Figure 7 Illustrtion du théorème de l moyenne. Géométriquement, f(c) est l huteur du rectngle u-dessus de [, b], dont l surfce est égle à l intégrle de f sur [, b] (figure 7). Démonstrtion : Soit F une primitive de f (théorème 9) : F est dérivble et pour dérivée f. De plus : b F (b) F () f(x) dx =. b b Le théorème des ccroissements finis dit que le tux d ccroissement de F sur [, b] est égl à l vleur de l dérivée en un point c de ], b[. D où le résultt. Les théorèmes 7 et 8 s étendent sns difficulté ux cs des fonctions monotones pr morceux et des fonctions continues pr morceux. Définition 7. On dit qu une fonction f de [, b] dns R est monotone (respectivement : continue) pr morceux s il existe une subdivision = < < < n = b telle que f soit monotone (respectivement : continue) sur chque intervlle ] i, i [, et si elle dmet une limite à guche finie ux points,..., n et une limite à droite finie ux points,..., n. Proposition 9. Toute fonction monotone pr morceux est intégrble sur [, b]. Toute fonction continue pr morceux est intégrble sur [, b]. Démonstrtion : L hypothèse ffirme que sur chque intervlle [ i, i ], l fonction considérée diffère d une fonction monotone (respectivement : continue) u plus ux extrémités de l intervlle. Elle est donc intégrble sur [ i, i ], d près le corollire. D où le résultt, pr l reltion de Chsles. 2

23 Mths en Ligne Théorie élémentire de l intégrtion UJF Grenoble 2 Entrînement 2. Vri ou fux Vri-Fux. On considère l fonction f : x x sur l intervlle I = [, 2]. Prmi les ffirmtions suivntes, lesquelles sont vries, lesquelles sont fusses et pourquoi? n i n 2 2 est une somme de Riemnn ssociée à f sur I. i est une somme de Riemnn ssociée à f sur I. n2 2i est une somme de Riemnn ssociée à f sur I. n2 4i est une somme de Riemnn ssociée à f sur I. n2 i n 2 tend vers 2 qund n tend vers l infini. i tend vers 2 qund n tend vers l infini. n2 Vri-Fux 2. Toutes les fonctions considérées sont supposées intégrbles sur l intervlle considéré. Prmi les ffirmtions suivntes, lesquelles sont vries, lesquelles sont fusses et pourquoi?. L intégrle sur [, ] d une fonction négtive ou nulle est négtive ou nulle. 2. L intégrle sur [, ] d une fonction pire est positive ou nulle. 3. L intégrle sur [, ] d une fonction impire est nulle. 4. L intégrle sur [, ] d une fonction minorée pr est inférieure ou égle à. 5. L intégrle sur [, ] d une fonction mjorée pr est inférieure ou égle à. 6. L intégrle sur [, ] d une fonction mjorée pr 2 est inférieure ou égle à Si une fonction f est telle que pour tout x [, ], f(x) < x 3, lors son intégrle sur [, ] est strictement négtive. 8. Si l intégrle sur [, ] d une fonction f continue vut y, lors il existe x [, ] tel que f(x) = y. 9. Si l intégrle sur [, ] d une fonction f vut y, lors il existe x [, ] tel que f(x) = 2y. Vri-Fux 3. Prmi les ffirmtions suivntes lesquelles sont vries, lesquelles sont fusses, et pourquoi?. Toute fonction intégrble sur [, b] est continue. 22

24 Mths en Ligne Théorie élémentire de l intégrtion UJF Grenoble 2. Si une fonction est continue sur [, b], suf en un point, lors f dmet une primitive. 3. Toute fonction continue sur [, b] dmet une primitive qui s nnule en b. 4. Toute primitive d une fonction continue sur [, b] s nnule en un point de [, b]. 5. Toute primitive d une fonction continue sur [, b] est dérivble sur ], b[. 6. Toute primitive d une fonction continue sur ], b[ est dérivble à droite en. Vri-Fux 4. Prmi les ffirmtions suivntes lesquelles sont vries, lesquelles sont fusses, et pourquoi?. Toute primitive d une fonction positive ou nulle est positive ou nulle. 2. Toute primitive d une fonction négtive ou nulle est décroissnte. 3. Toute fonction continue est l primitive d une fonction continue. 4. Si f est une fonction continue, lors cos(f(x)) est une primitive de sin(f(x)). 5. Si f est une fonction continûment dérivble et ne s nnulnt ps, ln(f(x)) est une primitive de f (x)/f(x). 6. Si f est une fonction continûment dérivble, rctn(f(x)) est une primitive de f (x)/( + f 2 (x)). 7. Il existe des primitives de ( x 2 ) /2 définies sur l intervlle [, 2]. 8. Il existe des primitives de ( x 2 /2) /2 définies sur l intervlle [, ]. 9. Il existe des primitives de x 2 /2 définies sur l intervlle [ 2, 2].. Il existe des primitives de x 2 /2 définies sur l intervlle [ 2, 2]. Vri-Fux 5. Prmi les églités suivntes lesquelles sont vries, lesquelles sont fusses, et pourquoi? x 2. x sin(x) dx = cos(x) dx x sin(x) dx = x sin(x) dx = π cos(x) dx. x sin(x) dx = π 2. x sin(x) dx = π. x cos(x) dx = 2. x sin(2x) dx = x cos(2x) dx =. [ sin(2x) cos(x) dx. ] π 2 cos(2x) dx. 23

25 Mths en Ligne Théorie élémentire de l intégrtion UJF Grenoble 9. x sin 2 (x) dx = x cos 2 (x) dx.. x sin 2 (x) dx = π2 2. Vri-Fux 6. Prmi les églités suivntes lesquelles sont vries, lesquelles sont fusses, et pourquoi? π 4 2 sin(2x) dx = sin(2x) dx = sin(2x) dx = sin(2x) dx = sin(2x) dx = sin(2x) dx = 2.2 Exercices π π e π sin(u) du 2. sin(u) du 2. sin(u) du. u 2 u du. 2 sin( ) u du. u 2 sin(ln(u)) du. 2u Exercice. Démontrer les résultts suivnts. n lim n i= n + i = dx = ln(2). + x n 2 lim n n (n + i) = 2 ( + x) dx = n lim n n i=n lim n 2 lim n i= lim n i = 2 n2 + 2in = ( + x) 2 dx = x dx = 3. i 2 i 2 + n = x 2 + x dx = 2 2 ln(5). n i x n 3 + n 2 i = + x dx = π 2. Exercice 2. On considère l fonction f : x x 2, sur l intervlle [, 2]. Soit n. Soit D l subdivision régulière de [, 2] en n intervlles égux, pointée en l borne de droite de chque intervlle.. Démontrer que S D (f) = n 24 (n + i) 2.

26 Mths en Ligne Théorie élémentire de l intégrtion UJF Grenoble 2. Démontrer que n (n + i)(n + i + ) < S D(f) < n 3. En déduire que Indiction : remrquer que 4. En déduire que 2 < S D(f) < n(n 2) n(2n ). k(k + ) = k k +. lim S D(f) = n 2. (n + i )(n + i). Exercice 3. Soient et b deux réels tels que < b. On considère l fonction exponentielle f : x e x.. Soit n un entier. On considère l subdivision D de [, b] en n intervlles égux, pointée pr l borne de guche de chque intervlle. Démontrer que S D (f) = (b )e n e b e (b )/n. 2. Soit D 2 l subdivision de [, b] en n intervlles égux, pointée pr l borne de droite de chque intervlle. Démontrer que 3. Démontrer que S D2 (f) = e (b )/n S D (f). lim S D n (f) = lim S D2 (f) = e b e. n Exercice 4. Soit f l fonction indictrice de Q. { si x Q f(x) = si x / Q. On rppelle que tout intervlle ouvert non vide de R contient des rtionnels et des irrtionnels. Soit n un entier strictement positif. Pour i =,..., n, on pose i = i/n.. Montrer que pour tout i =,..., n, il existe x i et y i dns [ i, i ] tels que f(x i ) = et f(y i ) =. 2. On considère les deux subdivisions pointées D = {([ i, i ], x i )} i n et D 2 = {([ i, i ], y i )} i n. Montrer que S D (f) = et S D2 (f) =. 25

27 Mths en Ligne Théorie élémentire de l intégrtion UJF Grenoble 3. En déduire que f n est ps intégrble u sens de Riemnn sur [, ]. Exercice 5. Soit f une fonction de [, b] dns R et n un entier. On note A n l intégrle suivnte, si elle existe. A n = f(x) sin(nx) dx.. Soit f une fonction dérivble sur [, b], dont l dérivée est continue et bornée sur ], b[. Démontrer que pour tout n N, A n existe. En utilisnt une intégrtion pr prties, démontrer que A n tend vers qund n tend vers l infini. 2. Soit f une fonction en esclier sur [, b]. Démontrer que pour tout n N, A n existe. En utilisnt l reltion de Chsles, démontrer que A n tend vers qund n tend vers l infini. 3. Soit f une fonction continue sur [, b]. Démontrer que pour tout n N, A n existe. En utilisnt un encdrement pr des fonctions en esclier, démontrer que A n tend vers qund n tend vers l infini. 4. Soit f une fonction continue pr morceux sur [, b]. Démontrer que pour tout n N, A n existe. Démontrer que A n tend vers qund n tend vers l infini. Exercice 6. Soit f une fonction continue de [, b] dns R, telle que : Démontrer que f est constnte. f(x) dx = (b ) sup{ f(x), x [, b] }. Exercice 7. Soit f une fonction continue sur [, ] telle que : f(x) dx = /2. Montrer qu il existe [, ], tel que f() =. Exercice 8. Soit f une fonction continue sur [, ].. Soit g une fonction en esclier de [, ] dns R. Démontrer que l fonction fg est intégrble sur [, ]. 2. On suppose que pour toute fonction en esclier g de [, ] dns R, Montrer que l fonction f est nulle. f(x)g(x) dx =. Exercice 9. Soient, b et c trois réels tels que c < b. Pour n N, on définit l fonction g n sur [, b] pr : { n si x [c, c + /n] g n (x) = sinon. 26

28 Mths en Ligne Théorie élémentire de l intégrtion UJF Grenoble. Soit f une fonction continue sur [, b]. Démontrer que lim f(x)g n (x) dx = f(c). n 2. Soit f une fonction croissnte sur [, b]. Démontrer que lim f(x)g n (x) dx = lim f(x). n x c+ Exercice. Soient f et g deux fonctions continues de [, b] dns R.. Démontrer que les fonctions f 2, fg, g 2 sont intégrbles sur [, b]. 2. Soit λ un réel quelconque. Démontrer que l fonction (f + λg) 2 est intégrble sur [, b] et exprimer son intégrle en fonction des intégrles de f 2, fg et g En observnt que l intégrle de (f + λg) 2 est positive ou nulle pour tout λ R, démontrer l inéglité de Cuchy-Schwrz : ( 2 ( ) ( b ) b f(x)g(x) dx) f 2 (x) dx g 2 (x) dx. 4. Démontrer que l églité lieu si et seulement si f et g sont proportionnelles. 2.3 QCM Donnez-vous une heure pour répondre à ce questionnire. Les questions sont indépendntes. Pour chque question 5 ffirmtions sont proposées, prmi lesquelles 2 sont vries et 3 sont fusses. Pour chque question, cochez les 2 ffirmtions que vous pensez vries. Chque question pour lquelle les 2 ffirmtions vries sont cochées rpporte 2 points. Question. Soit f l ppliction de [, ] dns [, ] qui à x ssocie x 2. Soit γ [, ] un réel. Pour tout i =,...,, on pose i = i/. Pour i =,...,, on pose x i = i + γ/. On note D γ l subdivision pointée D γ = {([ i, i ], x i )} i et S γ l somme de Riemmn ssociée à f sur D γ. A S = 9 i 2. i= B S = i. 2 C S = 9 i 2 i=. D S /2 = 9 (2i + ) 2. i= 27

29 Mths en Ligne Théorie élémentire de l intégrtion UJF Grenoble E S γ est fonction croissnte de γ. Question 2. Soit f l ppliction de [, ] dns [, ] qui à x ssocie x 2. Soit n un entier. L somme S n est une somme de Riemnn ssociée à f sur [, ]. A S n = i 2 2n i= n n. 2 B S n = (2i ) 2. n i= n 2 C S n = i 2 n n. 2 D E S n = n S n = n i= n n i 2 i= n n. 2 (2i n) 2. n 2 Question 3. Soit f une fonction, définie sur un intervlle [, b] de R, intégrble sur [, b]. Soit S un ensemble fini de points de [, b]. A B C D E Si f(x) = pour tout x dns S, lors Si f(x) = pour tout x dns S, lors b Si f(x) = x pour tout x dns [, b] \ S, lors Si f(x) = pour tout x dns [, b] \ S, lors Si f(x) = x pour tout x dns [, b] \ S, lors f(x) dx =. f(x) dx = b. b b f(x) dx = b. f(x) dx =. f(x) dx = (b 2 2 )/2. Question 4. L proposition est vrie pour toute fonction f de [, ] dns [, ], intégrble sur [, ]. A B C D E f 2 (x) dx f 2 (x) dx 2. f(x) dx. f 2 (x) dx f(x) dx. f(x) dx f(x) dx. f 3 (x) dx f 2 (x) dx. Question 5. L proposition est vrie pour toute fonction f de [, ] dns [, ], intégrble sur [, ] et [, ]. A f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx. 28

30 Mths en Ligne Théorie élémentire de l intégrtion UJF Grenoble B C D E 2 f(x) dx = f(x) dx f(x) dx + f(x). ( f(x)) dx = f(x) dx 2. f(x) dx. f(x) dx. Question 6. Soit f une fonction de [, ] dns [, ], dmettnt une primitive. Pour tout c R, on note F c l primitive de f telle que F () = c. A x [, ], F (x). B c [, ], F c (x). C c [, ], c f(x) dx = F c (). D c [, ], x [, ], F c (x) F c (x) = 2c. E c [, ], x [, ], Question 7. A x sin(x) dx = B C D E π π/2 π/2 π x cos(x) dx = cos 2 (x) dx = π/2 c cos(x) dx. f(x) dx = F c (). sin(x) dx. x sin(2x) dx. sin 2 (x) dx = π /2 2 + x sin(2x) dx. x cos(x) dx = x 2 sin(x) dx. Question 8. L proposition est vrie pour toute fonction f de [, ] dns [, ], intégrble sur [, ]. A B C D E f(x) dx = f(x) dx = f(x) dx = f(x) dx = f(x) dx = 2 π π/2 f(x 2 ) dx. f(sin(x)) cos(x) dx. f( x) dx. /2 f(cos(x)) sin(x) dx. f(2x) dx. Question 9. L proposition est vrie pour toute fonction f continue sur [, ]. A c [, ], B c [, ], f(x) dx = 2f(c). f(x) dx = 2f(c). 29

31 Mths en Ligne Théorie élémentire de l intégrtion UJF Grenoble C c [, ], D E inf{f(x), x [, ]} inf{f(x), x [, ]} f(x) dx = 2f(c). f(x) dx sup{f(x), x [, ]} f(x) dx sup{f(x), x [, ]} Question. Soit f une fonction de [, ] dns R. A Si f n est ps continue sur [, ], lors f n est ps intégrble sur [, ]. B Si f est décroissnte sur [, ], lors f est intégrble sur [, ]. C Si f n est ps intégrble sur [, ], lors f n est monotone sur ucun intervlle inclus dns [, ]. D Si f est continue sur [, ], suf en un nombre fini de points, lors f est intégrble sur [, ]. E Si f diffère d une fonction croissnte sur [, ] en un nombre dénombrble de points, lors f est intégrble sur [, ]. Réponses : AE 2 DE 3 DE 4 AE 5 AE 6 AD 7 BC 8 CD 9 AD BD 2.4 Devoir Essyez de bien rédiger vos réponses, sns vous reporter ni u cours, ni u corrigé. Si vous souhitez vous évluer, donnez-vous deux heures ; puis comprez vos réponses vec le corrigé et comptez un point pour chque question à lquelle vous urez correctement répondu. Questions de cours : Soit f une fonction définie sur un intervlle [, b] de R et intégrble sur [, b]. Soit D = {([ i, i ], x i )} i n une subdivision pointée de [, b].. Qu ppelle-t-on ps de l subdivision D? 2. Qu ppelle-t-on somme de Riemnn ssociée à f sur D? 3. Si f est constnte sur [, b], que vut l somme de Riemnn ssociée à f sur D? 4. Soit δ un réel strictement positif. Qund dit-on de l subdivision pointée D qu elle est δ-fine? 5. Soit ε un réel strictement positif. Qund dit-on que δ est ε-dpté à f? Exercice : Soit n un entier strictement positif. On rppelle l expression suivnte pour l somme des crrés des n premiers entiers. i 2 = n(n + )(2n + ) 6. Soit f l fonction de R dns R qui à x ssocie x 2. On note D l subdivision pointée D = {([ i, i ], x i )} i n. 3

32 Mths en Ligne Théorie élémentire de l intégrtion UJF Grenoble. Dns cette question, on pose i = i/n pour tout i =,..., n et x i = i pour i =,..., n. Montrer que : S D (f) = (n )(2n ) 6n Dns cette question, on pose i = i/n pour tout i =,..., n et x i = i pour i =,..., n. Montrer que : S D (f) = (n + )(2n + ) 6n Soit γ un réel tel que < γ <. Dns cette question, on pose i = i/n pour tout i =,..., n et x i = i + γ/n pour i =,..., n. Montrer que S D (f) converge vers /3 qund n tend vers l infini. 4. Soient et b deux réels tels que < b. On suppose désormis que = et n = b. On pose : S = 2 i ( i i ) et S = 2 i ( i i ). Montrer que S S D (f) S. 5. On pose : Montrer que : ( ) i + 2 i S /2 = (i i ), 2 S + 4S /2 + S 6 6. On note h le ps mximl de l subdivision : = b3 3 3 h = mx{ i i, i =,..., n }.. Montrer que : S S h (b 2 2 ). 7. Montrer que S (b 3 3 )/3 S. En déduire que : S D b3 3 3 h (b2 2 ). 8. En déduire que f est intégrble sur [, b] et que : f(x) dx = b

33 Mths en Ligne Théorie élémentire de l intégrtion UJF Grenoble 9. Soient et b deux réels quelconques. Montrer que : f(x) dx = b Exercice 2 : On dit qu une fonction de R dns R est pire (respectivement : impire) si pour tout réel x, f( x) = f(x) (respectivement : f( x) = f(x)).. Soit f une fonction impire, dmettnt une primitive. Montrer que toute primitive de f est une fonction pire. 2. Soit f une fonction, dmettnt une primitive pire. Montrer que pour tous réels positifs et b, b f(x) dx = f(x) dx. 3. Soit f une fonction, dmettnt une primitive pire. Déduire de l question précédente que f est impire. Exercice 3 : Pour tout n N, on pose :. Clculer I et I. I n = /2 cos n (x) dx. 2. En utilisnt une intégrtion pr prties, montrer que pour tout n 2, En déduire que pour tout n 2, 3. En déduire que pour tout k N, /2 I n = (n ) sin 2 (x) cos n 2 (x) dx. I n = n n I n 2. (2k)! I 2k = π et I 2 2k+ (k!) 2 2k+ = 22k (k!) 2 (2k + )!. 2.5 Corrigé du devoir Questions de cours :. Les ps de l subdivision D sont les mplitudes des intervlles [ i, i ] : i =,..., n, h i = i i. 32

34 Mths en Ligne Théorie élémentire de l intégrtion UJF Grenoble 2. L somme de Riemnn ssociée à f sur D est : S D (f) = f(x i )( i i ) = f(x i ) h i. 3. Si pour tout x [, b], f(x) = k, lors : S D (f) = k( i i ) = k h i = k(b ). 4. On dit que l subdivision D est δ-fine si : i =,..., n, h i = i i δ. 5. On dit que δ est ε-dpté à f si pour toute subdivision D qui est δ-fine, S D(f) f(x) dx ε. Exercice :. 2. S D (f) = = S D (f) = = ( ) i 2 n n = n 3 (n )n(2n ) 6n 3 = ( i n ) 2 n = n 3 n(n + )(2n + ) 6n 3 = i 2 (i ) 2 (n )(2n ) 6n 2. (n + )(2n + ) 6n Pr hypothèse, pour tout i =,..., n, i < x i < i, donc 2 i < x 2 i < 2 i. L somme de Riemnn S D (f) est encdrée pr celles des deux questions précédentes. (n )(2n ) 6n 2 < S D (f) < Or : (n )(2n ) lim n 6n 2 D où le résultt. (n + )(2n + ) 6n 2. = lim n (n + )(2n + ) 6n 2 = 3. 33

35 Mths en Ligne Théorie élémentire de l intégrtion UJF Grenoble 4. Pr définition d une subdivision pointée, pour tout i =,..., n, i x i i, donc 2 i x 2 i 2 i (puisque pr hypothèse [, b] R + ). Donc : 2 i ( i i ) x 2 i ( i i ) 2 i ( i i ), 5. soit S S D (f) S. S + 4S /2 + S 6 = (2 2 i + 2 i i + 2 i )( i i ) 6 = 3 i 3 i = b S S = ( 2 i 2 i )( i i ) h ( 2 i 2 i ) = h (b 2 2 ). 7. L somme de Riemnn S /2 est comprise entre S et S, donc : 6S 6 S + 4S /2 + S 6 6S 6 S b3 3 3 S. Les deux réels S D (f) et (b 3 3 )/3 pprtiennent tous deux à l intervlle [S, S ], donc leur distnce est mjorée pr l longueur de l intervlle. S D b3 3 3 S S h (b 2 2 ). 8. Soit ε un réel strictement positif. Notons δ l constnte ε/(b 2 2 ). Soit D une subdivision δ-fine de [, b]. Pr hypothèse, cette subdivision vérifie : h = mx{ i i, i =,..., n } δ = D près l question précédente, S D b3 3 3 h (b2 2 ) ε. ε b 2 2. Ceci montre que f est intégrble, et pour intégrle (b 3 3 )/3. 34

36 Mths en Ligne Théorie élémentire de l intégrtion UJF Grenoble 9. Nous pouvons nous restreindre u cs < b. En effet : f(x) dx = f(x) dx. b Les questions précédentes montrent le résultt pour < b. On en déduit le cs < b pr le chngement de vrible t = x, et le fit que f( x) = f(x). b f(x) dx = f( t) dt = f(t) dt = ( )3 ( b) 3 b 3 = b3 3 3 Pour < < b, on pplique les deux cs précédents et l reltion de Chsles. Exercice 2 : f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx = b3 3. Soit un réel quelconque, et F une primitive de f. Écrivons : F () F () = Effectuons le chngement de vrible t = x. f(x) dx = f(x) dx. f( t) dt. Or f est impire, donc pour tout t, f( t) = f(t). Donc : F () F () = Donc F () = F ( ) : F est pire. f(x) dx = = b3 3 3 f(t) dt = F ( ) F (). 2. Soit F une primitive pire de f. f(x) dx = F (b) F () = F ( b) F ( ) = 3. Pour tout R et pour tout h R +, +h f(x) dx = h f(x) dx. h h Puisque f dmet une primitive F, +h lim f(x) dx = F () = f() h h De même, D où le résultt. b h lim f(x) dx = F () = f() h h 35 f(x) dx...

37 Mths en Ligne Théorie élémentire de l intégrtion UJF Grenoble Exercice 3 :. I = /2 dx = π 2 et I = /2 cos(x) dx = [ ] π/2 sin(x) =. 2. Pour l intégrtion pr prties, on pose u = cos n (x) et v = cos(x). I n = = /2 cos(x) cos n (x) dx [ ] π/2 /2 sin(x) cos n (x) sin(x) ( sin(x))(n ) cos n 2 (x) dx /2 = (n ) sin 2 (x) cos n 2 (x) dx. Remplçons sin 2 (x) pr cos 2 (x). Donc : /2 I n = (n ) ( cos 2 (x)) cos n 2 (x) dx = (n )I n 2 (n )I n. I n = n n I n Démonstrtion pr récurrence sur k pour I 2k : l formule est vrie pour k =. Supposons-l vrie pour k. Alors : I 2k+2 = 2k + 2k + 2 I 2k = (2k + 2)(2k + ) (2k)! π 2 2 (k + ) 2 2 2k+ (k!) = π (2k + 2)! 2 2 2k+3 ((k + )!). 2 L formule est vrie pour k +, donc pour tout k N. Démonstrtion nlogue pour I 2k+. L formule est vrie pour k =. Supposonsl vrie pour k. Alors : I 2k+3 = 2k + 2 2k + 3 I 2k+ = 2 2 (k + ) 2 2 2k (k!) 2 (2k + 3)(2k + 2) (2k + )! = 22k+2 ((k + )!) 2 (2k + 3)!. L formule est vrie pour k +, donc pour tout k N. 36

38 Mths en Ligne Théorie élémentire de l intégrtion UJF Grenoble 3 Compléments 3. Archimède et l qudrture de l prbole Voici l trduction, pr Chrles Mugler, de l préfce d un texte d Archimède ( v. JC), à propos de l ire d un rc de prbole. Archimède, à Dosithée, prospérité! Qund j i ppris que Conon, dont l mitié ne m vit jmis fit défut, étit mort, que tu vis été lié vec Conon et que tu es expert en géométrie, je fus ffligé de l mort d un homme qui étit à l fois un mi et un esprit remrquble en mthémtiques, et je pensi à t envoyer pr écrit, comme j vis eu l intention de le fire à Conon, un théorème de géométrie, qui n vit ps été étudié uprnt, mis que j i étudié mintennt, en le démontrnt pr l géométrie près l voir découvert pr l mécnique. Certins des géomètres nciens se sont efforcés de montrer pr écrit qu il est possible de trouver une ire rectiligne équivlente à l ire d un cercle donné, ou à celle d un segment de cercle donné, près quoi ils ont essyé de crrer l ire comprise entre une section de cône et une droite, en ssumnt des lemmes indmissibles, et c est là l rison pour lquelle l pluprt ont jugé que ces propositions n ont ps été inventées pr eux. En ce qui concerne le segment compris entre une droite et une prbole, nous svons qu ucun des géomètres nciens n en cherché l qudrture, que nous vons trouvée mintennt : nous démontrons, en effet, que tout segment compris entre une droite et une prbole est équivlent ux qutre tiers du tringle ynt même bse et même huteur que le segment, en dmettnt pour l démonstrtion le lemme que voici : l excès de l plus grnde de deux ires inégles sur l plus petite peut dépsser, s il est jouté un nombre suffisnt de fois à lui même, toute ire finie donnée. Or les géomètres ntérieurs ont fit ppel eux ussi à ce lemme ; cr c est en se servnt de ce lemme qu ils ont démontré que les cercles et les sphères ont entre eux le rpport des crrés sur leurs dimètres et que les sphères ont entre elles le rpport des cubes sur leurs dimètres, et ils ont démontré que toute pyrmide est équivlente u tiers du prisme ynt même bse et même huteur que l pyrmide, et que tout cône est équivlent u tiers du cylindre ynt même bse et même huteur que le cône, en prennt un lemme semblble à celui que nous venons d indiquer. Il se trouve cependnt que tous ces théorèmes cités sont considérés comme non moins vris que ceux qui ont été démontrés sns ce lemme : il me suffit d voir mené u même degré de certitude ceux que je publie mintennt. Je t envoie donc les démonstrtions que j i rédigées pour le théorème, en montrnt d bord comment je l i exminé pr l mécnique, ensuite ussi comment je l i prouvé pr l géométrie. Je feri précéder, de plus, mes démonstrtions de propositions élémentires 37