Modélisation cinématique d un robot manipulateur à chaine continue ouverte

Transcription

1 UNIVERSITE KASDI MERBAH OUARGLA Faculte des Scences et Technologe et des Scences de la Matere Département Géne Mécanque Mémore MASTER PROFESSIONNEL Domane Scences Technques Flère Géne Mécanque Spécalté Mantenance Industrelle Présenté par CHAAL Merouane Thème Modélsaton cnématque d un robot manpulateur à chane contnue ouverte Soutenu publquement Le 7/6/ Devant le jury Mr R. MAKHLOUFI MA(B) Présdent UKM Ouargla Mr A. BELLOUFI MA(A) Encadreur UKM Ouargla Mr M. BOUKHATEM MA(A) Examnateur UKM Ouargla Année Unverstares /

2 DEDICACE Je déde ce traval A ma mère qu a soufferte. A mon père lu je tant adoré. A ma sœur et mes frères. A toute la famlle CHAAL. A mes collègues de l unversté. A mes ensegnants et professeurs. A tous mes ames.

3 Remercements Mes remercements vont tout premèrement à Deu le tout pussant pour la volonté, la santé et la patence qu l m a donné pour termner mon traval. Je souhate tout d abord remercer mon encadreur Monseur BELLOUFI Abderrahm ensegnant à l unversté de Kasd Merbah Ouargla, pour avor accepté de drger ce mémore et de sa patente durant la pérode de l encadrement. Je tens à remercer MM R. MAKHLOUFI, M. BOUKHATEM, pour nous avor fat l honneur d être membres de jury. Ans que pour avor consacré une parte de leur temps préceux pour lre et corrger cette mémore. Et Enfn, je m excuse a tout les personne qu j oubler ses noms et qu ne sont pas été ctées.

4 Table des matères Table des matères Introducton générale... Chaptre I Généraltés I. Introducton... 5 I. Défntons... 5 I.. Robot Insttute of Amerca... 5 I.. Assocaton Japonase de Robotque Industrelle... 5 I.. L assocaton Françase de Robotque Industrelle (AFRI)... 5 I..4 Internatonal Standard Organzaton (ISO)... 5 I. Les éléments consttutfs d un robot... 5 I.. Unté nformatonnelle... 6 I.. Unté opératonnelle... 6 I.. La structure mécanque artculée... 6 I.4 Archtecture des robots... 8 I.4. Vocabulare... 8 I.5 Classfcaton des robots... I.5. Classfcaton géométrque... I.6 Caractérstques d'un robot... I.7 Concluson... Chaptre II Modélsaton géométrque et cnématque des robots manpulateurs sérels II. Introducton...4 II. Modélsaton géométrque...4 II.. Descrpton géométrque... 4

5 Table des matères II.. Méthode de Denavt-Hartenberg... 4 II.. Modèle géométrque drect... 6 II..4 Modèle géométrque nverse... 7 II..5 Prncpe de la méthode de Paul... 8 II. Modélsaton cnématque...9 II.. Etude cnématque des chanes cnématques smples ouvertes... 9 II.. Modèle cnématque drect... 9 II.4 Concluson... Chaptre III Applcaton et étude de cas III. Introducton...4 III. Descrpton du robot...4 III. Modélsaton du bras manpulateur...5 III.. Calcul du modèle géométrque drect... 6 III.. Le modèle géométrque nverse... 8 III.4 Etude cnématque du robot... III.4. Les matrces de changement de base... III.4. Les torseurs cnématque assocé à chaque lason... III.4. Torseur cnématque équvalent... 5 III.4.4 Calcul de la matrce Jacobenne III.4.5 Trajectore du robot à l ade de soldworks III.5 Concluson...5 IV Concluson Générale...5 IV Bblographe...5

6 Lste des fgures Lste des fgures Fgure I. Structure fonctonnelle d un robot... 6 Fgure I. Structure sérel... 7 Fgure I. Structure fermée... 7 Fgure I.4 Représentaton d une artculaton rotoïde Fgure I.5 Représentaton d une artculaton prsmatque Fgure I.6 Archtecture d un robot... Fgure I.7 Robot cartésen.... Fgure I.8 Robot cylndrque... Fgure I.9 Robot sphérque... Fgure I. Robot SCARA... Fgure I. Robot R.... Fgure II. Robot à structure ouverte smple... 4 Fgure II. Paramètres géométrques dans le cas d'une structure ouverte smple... 5 Fgure III. Les dmensons du robot VP Fgure III. Sens postves de rotatons... 5 Fgure III. Une des solutons pour les référentels DH Fgure III.4 Sngularté d épaule... Fgure III.5 Shéma cnématque du robot... 4 Fgure III.6 Graphe des lasons du robot... 4 Fgure III.7 Trajectore lnéare de l outl Fgure III.8 moteur et en rotaton Fgure III.9 Déplacement angulare du moteur suvant Z... Erreur! Sgnet non défn. Fgure III. vtesse angulare du moteur suvant Z... Erreur! Sgnet non défn. Fgure III. Déplacement angulare du moteur suvant Z. Erreur! Sgnet non défn. Fgure III. vtesse angulare du moteur suvant Z..5

7 Introducton générale Introducton générale Depus la révoluton ndustrelle, une dscplne à marqué l évoluton du monde technologque la Robotque. L avènement des robots dans l ndustre à perms de soulager l homme des travaux répéttfs et dffcles tels que le déplacement d objets lourds, les taches d assemblages, les mcrosoudures etc. Cec avec plus d effcacté et de précson. La compétton ncessante dans l'ndustre condut à une nécessare augmentaton de la productvté en préservant la qualté et en dmnuant le coût de revent des produts. Cependant, les robots manpulateurs exstants souffrent encore de fablesses qu les empêchent de mener à ben certanes tâches et lmtent leurs champs d acton []. Ces robots sont en effet rgdes, lourds et encombrants ce qu se tradut par une grande énerge consommé et une vtesse d exécuton lente. La consommaton peut consttuer un pont crucal quand l énerge est lmtée, comme c est le cas dans les applcatons spatales []. A cet effet, des recherches unverstares et laboratores de recherche tentent de développer de nouvelles méthodes et algorthmes de manère à lbérer les résultats pour des usages ndustrels après valdaton. Les recherches sont applqués à dfférents domanes tels que la planfcaton de mouvement, la manpulaton, et le contrôle de la poston, etc. mas, les robots réels sont naccessble à cause des prx élevés, donc des modèles smulés sont largement demandés par les laboratores de recherche []. Les smulatons et les modélsatons sont plus facles à nstaller, mons cher, plus rapde et plus pratque à utlser. La constructon de nouveaux modèles de robots et la mse en place d'expérences ne prend que quelques heures. Une smulaton de confguraton robotque est mons chère que de vras robots (confguratons du monde réel), permettant ans une melleure exploraton de la concepton []. La possblté d'effectuer des smulatons en temps réel devent partculèrement mportante dans les derners stades de la concepton processus. La concepton fnale peut être vérfée avant que l'on se lance dans le processus coûteux de la constructon d'un prototype. La modélsaton et la smulaton des systèmes robotques à l'ade de dvers logcels du programme seront faclter le processus de concepton, de constructon et nspectant les robots dans le monde réel. Une smulaton est mportante pour les programmeurs de robot dans leur permettant d évaluer et de prédre le comportement d'un robot, et en outre de vérfer et

8 Introducton générale d'optmser la planfcaton de trajectore de leur processus. En outre, cela permettra d'économser le temps et l argent, et jouer un rôle mportant dans l'évaluaton de la fabrcaton d automatsaton. Être capable de smuler ouvre une large gamme d'optons, en adant à résoudre de nombreux problèmes créatve. On peut étuder, concevor, vsualser et tester un objet avant de fare une réalté. Cette smulaton ne peut être attente qu avec la présence des modèles mathématque le modèle géométrque et le modèle cnématque qu présentent les prncpales notons de modélsaton et de commande lées aux robots. Le traval réalsé et présenté dans ce mémore s'artcule de la façon suvante L'objet du premer chaptre est d apportera quelques défntons de base et décrre les consttuants technologques d'un robot et défnr les prncpaux termes du domane. Dans le deuxème chaptre en présente quelques méthodes permettant d'établr les modèles géométrques et cnématques pour le cas des robots à structure ouverte smple, ces méthodes sont basées sur la détermnaton des paramètres de Denavt-Hartenberg. Dans le chaptre III, j utlse les modèles présentés dans le chaptre II pour l étude géométrque et cnématque d'un robot sérel à cnq artculatons rotoïde, et plus précsément du robot de la compagne japonase de portée nternatonale spécalsée prncpalement dans les équpements ndustrels et systèmes pour le marché automoble DENSO. 4

9 Chaptre I Généraltés

10 Chaptre I Généraltés I. Introducton Dans ce premer chaptre nous commençons par quelques défntons de base pour faclter la lecture de mémore. Ensute nous présentons Les consttuants technologque d un robot ans que la classfcaton des robots et en termnera ce chaptre par la présentaton des dfférentes caractérstques qu on trouve dans la lttérature. I. Défntons La défnton que l on donne actuellement du robot ndustrel dffère quelque peu selon les pays I.. Robot Insttute of Amerca «Un robot est un manpulateur reprogrammable à fonctons multples. Il est conçu pour déplacer des matéraux, des pèces, des outls ou des nstruments spécalsés suvant des trajectores varables programmées, en vue d accomplr des tâches très dverses» []. I.. Assocaton Japonase de Robotque Industrelle «Tout mécansme permettant d effectuer, en tout ou en parte, une tâche normalement réalsée par l homme» []. I.. L assocaton Françase de Robotque Industrelle (AFRI) «Un robot ndustrel est une machne formée de dvers mécansmes comportant dvers degrés de lberté, ayant souvent l apparence d un ou de pluseurs bras se termnant par un pognet capable de mantenr un outl, une pèce ou un nstrument de contrôle. En partculer, son unté de contrôle dot contenr un système de mémorsaton, et l peut parfos utlser des accessores senstfs et adaptables qu tennent compte de l envronnement et des crconstances. Ces machnes, ayant un rôle plurdscplnare, sont généralement conçues pour effectuer des fonctons répéttves, mas sont adaptables à d autres fonctons» []. I..4 Internatonal Standard Organzaton (ISO) «Une machne formée par un mécansme ncluant pluseurs degrés de lbertés, ayant souvent l apparence d un ou pluseurs bras se termnant par un pognet capable de tenr des outls, des pèces ou un dspostf d nspecton» [4]. I. Les éléments consttutfs d un robot «De même qu un trou n est défn que par ce qu l entoure, un robot n a de sens que dans un envronnement qu l modfe». [5]. C est pourquo on peut dstnguer les ensembles nteractfs dans un robot en fonctonnement [6]. 5

11 Chaptre I Généraltés Fgure I. Structure fonctonnelle d un robot. [7] I.. Unté nformatonnelle Reçot les nstructons décrvant la tache à accomplr, les mesures relatves à l état nterne de la structure mécanque qu consttue le bras manpulateur et les observatons concernant son envronnement. Elle élabore en conséquence les commandes de ses dfférentes artculatons en vue de l exécuton de ses taches. Les systèmes actuels fonctonnent en nteracton permanentent selon le cycle nformaton-décson-acton [7]. I.. Unté opératonnelle Exerce les actons commandées en empruntant la pussance nécessare à la source d énerge. Cette parte, qu consttue le robot physque, ntègre la structure mécanque (segments, artculatons, archtecture, ), les modules d énerge (amplfcateurs, varateurs, servovalves...), les convertsseurs d énerge (moteurs, vérns.), les chanes cnématques de transmsson mécanque ( réducteurs, vs à blles, courroes crantées.), les capteurs de proproceptfs placés sur chaque axe pour mesurer en permanence leur poston et leur vtesse, et enfn l effecteur, ou organe termnal, qu est en nteracton avec l envronnement [7]. I.. La structure mécanque artculée Un robot manpulateur est consttué généralement par deux sous-ensembles dstncts un organe termnal qu est le dspostf destné à manpuler des objets, et une structure mécanque artculée (SMA), consttuée d un ensemble de soldes relés entre eux, généralement les uns à la sute des autres où chaque solde est moble par rapport au précédent. Cette moblté 6

12 Chaptre I Généraltés s exprme en termes de degrés de lberté (d.d.l) qu est par défnton le nombre de mouvements ndépendants possbles d un solde C par rapport au solde qu lu est drectement relé C. Une structure mécanque artculée peut être représentée par une archtecture composée de pluseurs chaînes de corps rgdes assemblés par des lasons appelées artculatons. Les chaînes peuvent être dtes sot ouvertes ou en sére dans les quelles tous les corps ont au plus deux lasons, ou ben arborescentes où au mons l un des corps a plus de deux lasons. Les chaînes peuvent auss être fermées dans les quelles l organe termnal est relé à la base du mécansme par l ntermédare de pluseurs chaînes [8]. Structure mécanque artculée à chaîne cnématque smple C est une chaîne cnématque dont chaque membre possède un degré de connexon (nombre de lasons mécanques) nféreur ou égal à deux. Un robot sérel est formé d une chaîne cnématque smple dont la base et l organe effecteur possèdent un degré de connexon de un (c est-à-dre qu l n est relé qu à un seul corps) et les autres éléments un degré de connexon de deux. Fgure I. Structure sérel. Structure mécanque artculée à chaîne cnématques fermée C est une chaîne cnématque dont l un des membres, dfférent de la base, possède un degré de connexon supéreur ou égal à tros. Fgure I. Structure fermée. 7

13 Chaptre I Généraltés I.4 Archtecture des robots I.4. Vocabulare La base La base du manpulateur est fxée sur le leu du traval. Cec est le cas de la quas-totalté des robots ndustrels. Le porteur Le porteur représente l essentel du système mécanque artculé, l à pour rôle d amener l organe termnal dans une stuaton donnée mposée par la tache (la stuaton d un corps peut être défne comme la poston et l orentaton d un repère attaché à ce corps par rapport à un repère de référence). Il est consttué de - Segment corps soldes rgdes susceptbles d être en mouvement par rapport à la base du porteur, et les uns par rapport aux autres, - Artculaton Une artculaton le deux corps successfs en lmtant le nombre de degré de lberté, de l'un par rapport à l'autre. Sot m le nombre de degré de lberté résultant, encore appelé moblté de l'artculaton. La moblté d une artculaton est telle que m 6 (I.) Lorsque m =, ce qu est fréquemment le cas en robotque, l'artculaton est dte smple sot rotoïde, sot prsmatque. - Artculaton rotoïde Il s'agt d'une artculaton de type pvot, notée R, rédusant le mouvement entre deux corps à une rotaton autour d'un axe commun. La stuaton relatve entre les deux corps est donnée par l'angle autour de cet axe (vor la fgure I.4). Fgure I.4 Représentaton d une artculaton rotoïde. - Artculaton prsmatque Il s'agt d'une artculaton de type glssère, notée P, rédusant le mouvement entre deux corps à une translaton le long d'un axe commun. La stuaton relatve entre les deux corps est mesurée par la dstance le long de cet axe (vor la fgure I.5). 8

14 Chaptre I Généraltés Fgure I.5 Représentaton d une artculaton prsmatque. L actonneur Pour être anmé, la structure mécanque artculée comporte des moteurs le plus souvent assocés à des transmssons (courroes crantées), l'ensemble consttue les actonneurs. Les actonneurs utlsent fréquemment des moteurs électrques à amant permanent, à courant contnu, à commande par l ndut. On trouve de plus en plus de moteurs à commutaton électronque (sans balas), ou, pour de petts robots, des moteurs pas à pas. Pour les robots devant manpuler de très lourdes charges (par exemple, une pelle mécanque), les actonneurs sont le plus souvent hydraulques, agssant en translaton (vérn hydraulque) ou en rotaton (moteur hydraulque). Les actonneurs pneumatques sont d'un usage général pour les manpulateurs à cycles (robots tout ou ren). Un manpulateur à cycles est une structure mécanque artculée avec un nombre lmté de degrés de lberté permettant une successon de mouvements contrôlés unquement par des capteurs de fn de course réglables manuellement à la course désrée (asservssement en poston dffcle dû à la compressblté de l'ar [9]. L organe termnal On regroupe tout dspostf destné à manpuler des objets (dspostfs de serrage, dspostfs magnétques, à dépresson, ), ou à les transformer (outls, torche de soudage, pstolet de penture, ). En d'autres termes, l s'agt d'une nterface permettant au robot d'nteragr avec son envronnement. Un organe termnal peut être multfonctonnel, au sens où l peut être équpé de pluseurs dspostfs ayant des fonctonnaltés dfférentes. Il peut auss être monofonctonnel, mas nterchangeable. Un robot, enfn, peut-être mult-bras, chacun des bras portant un organe termnal dfférent. On utlsera ndfféremment le terme organe termnal, préhenseur, outl ou effecteur pour nommer le dspostf d'nteracton fxé à l'extrémté moble de la structure mécanque [9]. 9

15 Chaptre I Généraltés Fgure I.6 Archtecture d un robot. I.5 Classfcaton des robots On peut classer les robots d un pont de vue fonctonnel ou d après leur structure géométrque. I.5. Classfcaton géométrque On peut auss classer les robots suvant leur confguraton géométrque, autrement dt l archtecture de leur porteur. Structure cartésenne (PPP) A tros lasons prsmatques, est la plus ancenne, hstorquement, elle découle logquement de la concepton tradtonnelle d une machne-outl à tros axes, type rectfeuse ou fraseuse par exemple. Cette structure et relatvement peu utlsée, sauf dans quelques applcatons partculères, robots pratques, robots de magasnage, par exemple [7]. Fgure I.7 Robot cartésen. []

16 Chaptre I Généraltés La structure cylndrque (RPP) ou (PRP) Assoce une rotaton et deux translatons. Elle présente l nconvénent d offrr un volume de traval fable devant un encombrement total mportant. Elle n est pratquement plus utlsée [7]. Fgure I.8 Robot cylndrque. [] La structure sphérque ou polare à axe de rotaton orthogonale Est une structure quasment abandonnée pour des rasons smlares à l abandon de la structure cylndrque [7]. Fgure I.9 Robot sphérque. [] La structure dte SCARA A axes de rotaton parallèles est l une des plus utlsées, en partculer pour des taches de manutenton ou d assemblages très fréquents dans l ndustre. Ce succès commercal est le au fat que le rato entre le volume de traval et l encombrement est très favorable et auss que la structure SCARA est très adaptée à ce type de taches [7]. Fgure I. Robot SCARA. []

17 Chaptre I Généraltés La structure R (anthropomorphe) Permet d amener un solde en un pont de l espace par tros rotatons, généralement une à axe vertcal et deux à axes horzontaux et parallèles c est le porteur «généralste par excellence, pouvant se programmer faclement pour dfférent types de taches et dsposant d un volume de traval conséquent [7]. Fgure I. Robot R. [] I.6 Caractérstques d'un robot Un robot dot être chos en foncton de l'applcaton qu'on lu réserve. Voc quelques paramètres à prendre, éventuellement, en compte - La charge maxmum transportable (de quelques klos à quelques tonnes), à détermner dans les condtons les plus défavorables (en élongaton maxmum). - L archtecture du structure mécanque artculée, le chox est gudé par la tâche à réalser. - Le volume de traval, défn comme l'ensemble des ponts attegnables par l'organe termnal. Tous les mouvements ne sont pas possbles en tout pont du volume de traval. L espace de traval (reachable workspace), également appelé espace de traval maxmal, est le volume de l espace que le robot peut attendre va au mons une orentaton de l organe termnal. L espace de traval est le volume de l espace que le robot peut attendre avec toutes les orentatons possbles de l organe termnal. Cet espace de traval est un sous-ensemble de l espace de traval maxmal. - Le postonnement absolu, correspondant à l erreur entre un pont souhaté (réel) défn par une poston et une orentaton dans l espace cartésen et le pont attent et calculé va le modèle géométrque nverse du robot. Cette erreur est due au modèle utlsé, à la quantfcaton de la mesure de poston, à la flexblté du système mécanque. En général, l erreur de postonnement absolu, également appelée précson, est de l ordre de mm. - La répétablté, ce paramètre caractérse la capacté que le robot à retourner vers un pont (poston, orentaton) donné. La répétablté correspond à l'erreur maxmum de

18 Chaptre I Généraltés postonnement sur un pont prédéfn dans le cas de trajectores répéttves. En général, la répétablté est de l ordre de, mm. - La vtesse de déplacement (vtesse maxmum en élongaton maxmum), accélératon. - La masse du robot. - Le coût du robot. - La mantenance. I.7 Concluson La structure mécanque d'un robot manpulateur est composée de pluseurs corps connectés les uns aux autres par des lasons appelées artculatons, à un seul degré de lberté de translaton ou de rotaton, cette structure mécanque peut consttuer une chaîne cnématque contnue ouverte smple, une chaîne arborescente ou une chaîne complexe.

19 II Chaptre II Modélsaton géométrque et cnématque des robots manpulateurs sérels

20 Chaptre II Modélsaton géométrque et cnématque des robots manpulateurs sérels II. Introducton La concepton et la commande des robots nécesstent le calcul de certans modèles mathématques, tels que les modèles de transformaton entre l'espace opératonnel (dans lequel est défne la stuaton de l'organe termnal) et l'espace artculare (dans lequel est défne la confguraton du robot). On dstngue - les modèles géométrques drect et nverse qu exprment la stuaton de l'organe termnal en foncton des varables artculares du mécansme et nversement. - les modèles cnématques drect et nverse qu exprment la vtesse de l'organe termnal en foncton des vtesses artculares et nversement. On présente dans ce chaptre quelques méthodes permettant d'établr ces modèles. On se lmtera au cas des robots à structure ouverte smple. II. Modélsaton géométrque II.. Descrpton géométrque La modélsaton des robots de façon systématque et automatque exge une méthode adéquate pour la descrpton de leur morphologe. Pluseurs méthodes et notatons ont été proposées. La plus répandue est celle de Denavt-Hardenberg []. Dans les années 95s, les messeurs Jacques Denavt and Rchard Hartenberg ont eu l'excellente dée de proposer une méthode smple et systématque pour placer des référentels sur chaque len d'un mécansme sérel qu faclte énormément le calcul des matrces de transformaton homogène []. II.. Méthode de Denavt-Hartenberg Une structure ouverte smple est composée de n corps notés artculatons. Le corps C désgne la base du robot et le corps C,..., C n et de n C n le corps qu porte l'organe termnal. L'artculaton I connecte le corps C au corps C Fgure II. Robot à structure ouverte smple. La méthode de descrpton est fondée sur les règles et conventons suvantes 4

21 Chaptre II Modélsaton géométrque et cnématque des robots manpulateurs sérels - les corps sont supposés parfatement rgdes. Ils sont connectés par des artculatons consdérées comme déales (pas de jeu mécanque, pas d'élastcté), sot rotoïdes, sot prsmatques ; - le repère F est lé au corps C ; - l'axe Z est porté par l'axe de l'artculaton ; - l'axe X est porté par la perpendculare commune aux axes Z sont parallèles ou colnéares, le chox de de symétre ou de smplcté permettent alors un chox ratonnel. Les paramètres de Denavt-Hartenberg Le passage du repère F au repère géométrques suvants (fgure II.) Z et Z. S les axes Z et X n'est pas unque des consdératons F s'exprme en foncton des quatre paramètres angle entre les axes Z et Z correspondant à une rotaton autour de d Dstance entre X et Angle entre les axes X et X le long de a Dstance entre Z et Z le long de Z ; X correspondant à une rotaton autour de X. X ; Z ; Fgure II. Paramètres géométrques dans le cas d'une structure ouverte smple. [] 5

22 Chaptre II Modélsaton géométrque et cnématque des robots manpulateurs sérels La varable artculare éme q j assocée à la artculaton est sot, sot r, selon que cette artculaton est de type rotoïde ou prsmatque, ce qu se tradut par la relaton [] q r(ii.) Avec = s l'artculaton j est rotoïde ; = s l'artculaton j est prsmatque ; = La matrce de transformaton défnssant le repère (fgure II.) F dans le repère F est donnée par T Rot( z, ) Trans(,, d ) Rot( x, ) Trans( a,,) (II.) cos -sn a sn cos cos - -sn - = d sn - cos - - T = cos -sn cos sn sn acos sn cos C - cos S asn sn cos d (II.) II.. Modèle géométrque drect Défnton Le modèle géométrque drect (MGD) est l'ensemble des relatons qu permettent d'exprmer la stuaton de l'organe termnal, c'est-à-dre les coordonnées opératonnelles du robot, en foncton de ses coordonnées artculares. Dans le cas d'une chaîne ouverte smple, l peut être représenté par la matrce de transformaton n n n n T n [] T T ( q ) T ( q )... T ( q ) (II.4) Le modèle géométrque drect du robot peut auss être représenté par la relaton X F( q) (II.5) q Étant le vecteur des varables artculares tel que q q q q n T (II.6) Les coordonnées opératonnelles sont défnes par 6

23 Chaptre II Modélsaton géométrque et cnématque des robots manpulateurs sérels X m X X X T (II.7) Pluseurs possbltés exstent pour la défnton du vecteur X. Par exemple, avec les éléments de la matrce T n X x y z x y z x y z x y z T n n n o o o a a a p p p (II.8) Enfn, s nous avons un référentel outl, et un référentel ateler, la pose du premer par rapport au derner est défne par l'équaton suvante T T T T (II.9) ateler ateler n outl n outl II..4 Modèle géométrque nverse On a vu que le modèle géométrque drect d'un robot permettat de calculer les coordonnées opératonnelles donnant la stuaton de l'organe termnal en foncton des coordonnées artculares. Le problème nverse consste à calculer les coordonnées artculares correspondant à une stuaton donnée de l'organe termnal. Lorsqu'elle exste, la forme explcte qu donne toutes les solutons possbles (l y a rarement uncté de soluton) consttue ce que l'on appelle le modèle géométrque nverse. On peut dstnguer tros méthodes de calcul du MGI [] la méthode de Paul qu trate séparément chaque cas partculer et convent pour la plupart des robots ndustrels, la méthode de Peper qu permet de résoudre le problème pour les robots à sx degrés de lberté possédant tros artculatons rotoïdes d'axes concourants ou tros artculatons prsmatques, la méthode générale de Raghavan et Roth, donnant la soluton générale des robots à sx artculatons à partr d'un polynôme de degré au plus égal à 6. Lorsqu'l n'est pas possble de trouver une forme explcte du modèle géométrque nverse, on peut calculer une soluton partculère par des procédures numérques, Whtney, Ourner, Featherstone, Wolovch, Goldenberg, Scavcco. On ne présente dans ce paragraphe que la méthode de Paul []. Dans le calcul du MGI, tros cas se présentent a) ( n < 6) absence de soluton lorsque la stuaton désrée est en dehors de la zone accessble du robot. Celle-c est lmtée par le nombre de degrés de lberté, les débattements artculares et la dmenson des segments ; b) ( n > 6) nfnté de soluton lorsque - le robot est redondant vs-à-vs de la tâche ; 7

24 Chaptre II Modélsaton géométrque et cnématque des robots manpulateurs sérels - le robot se trouve dans certanes confguratons sngulères ; c) ( n = 6) solutons en nombre fn, exprmées par un ensemble de vecteurs { q,, r q }. On dt qu'un robot manpulateur est résoluble lorsqu'l est possble de calculer toutes les confguratons permettant d'attendre une stuaton donnée. Aujourd'hu, tous les manpulateurs sére ayant jusqu'à sx degrés de lberté et qu ne sont pas redondants peuvent être consdérés comme résolubles. Le nombre de solutons dépend de l'archtecture du robot manpulateur []. II..5 Prncpe de la méthode de Paul Consdérons un robot manpulateur dont la matrce de transformaton homogène a pour expresson T T ( q ) T ( q )... T ( q ) (II.) n n n n U Sot U la stuaton désrée telle que nx ox ax px ny oy ay p y nz oz az pz On cherche à résoudre le système d'équatons suvant n n (II.) U T ( q ) T ( q )... T ( q ) (II.) consste n Pour trouver les solutons de l'équaton (II.), Paul à proposé une méthode qu à pré multpler successvement les deux membres de l'équaton (II.) par les matrces T pour varant de à n, opératons qu permettent d'soler et d'dentfer l'une après l'autre les varables artculares que l'on recherche. T ( q ) U T ( q )... T ( q ) (II.) n n n Le terme de drote est foncton des varables q q n. Le terme de gauche n'est foncton que des éléments de U et de la varable q ; dentfcaton terme à terme des deux membres de l'équaton (II.). On se ramène à un système d'une ou de deux équatons foncton de q unquement, dont la structure appartent à un type partculer parm une dzane de types possbles ; La successon des équatons permettant le calcul de tous les q est la suvante U T T U (II.4) n - 8

25 Chaptre II Modélsaton géométrque et cnématque des robots manpulateurs sérels II. Modélsaton cnématque II.. Etude cnématque des chanes cnématques smples ouvertes L étude cnématque des chanes cnématques smples ouvertes consttue dans la recherche du torseur cnématque équvalant eq c ( n / ) exprmée dans le référentel F(, x, y, z ). Ce torseur défne le mouvement général de l organe termnal en eq foncton des mouvements élémentares c / autorser par les lasons ntermédares L (,, ), n []. Pour effectué l étude cnématque on applque la lo de la composton des mouvements ( / ) ( / ) + c(/) (/ ) eq c n n c n n c c ( n/ ) n (II.5) (II.6) eq c( / ) c ( n / ) Remaque Il est très mportant de notée que l écrture de l équaton (II.6) dot se fare dans le même eq pont et le méme repère, la résoluton de léquaton (II.6) perms de trouvez c ( n / ) et par la sute dédure la nature de la lason II.. Modèle cnématque drect Leq de ( n / ) []. Le modèle cnématque drect d'un robot manpulateur décrt les vtesses des coordonnées opératonnelles en foncton des vtesses artculares. Il est noté X J( q) q (II.7) où Jq ( ) désgne la matrce jacobéenne de dmenson ( m n) du mécansme, égale à X q et foncton de la confguraton artculare q. La matrce jacobenne ntervent dans le calcul du modèle dfférentelle drect qu donne les varatons élémentares dx des coordonnées opératonnelles en foncton des varatons élémentares des coordonnées artculares dq, sot dx J( q) dq (II.8) L'ntérêt de la matrce jacobenne est multple [] elle est à la base du modèle dfférentel nverse, permettant de calculer une soluton locale des varables artculares q connassant les coordonnées opératonnelles X ; 9

26 Chaptre II Modélsaton géométrque et cnématque des robots manpulateurs sérels en statque, on utlse le jacoben pour établr la relaton lant les efforts exercés par l'organe termnal sur l'envronnement aux forces et couples des actonneurs ; elle faclte le calcul des sngulartés et de la dmenson de l'espace opératonnel accessble du robot. Calcul de la matrce jacobenne par dérvaton du MGD Le calcul de la matrce jacobenne peut se fare en dérvant le MGD, X F( q) à partr de la relaton suvante F (q) q J j,..., ;,..., j m j n (II.9) Ou Jj l élément (, j ) de la matrce Jacobenne J. Matrce jacobenne cnématque On peut obtenr la matrce jacobenne par une méthode de calcul drect, fondée sur la relaton entre les vecteurs des vtesses de translaton et de rotaton les vtesses artculares q V n et n du repère F n, et Vn Jq n n Cette équaton peut être exprmée comme (II.) x y q z jl, jl, j l, n q w j j j x A, A, A, n w y qn w z (II.) Ou x, y et z sont les dérvés par rapport au temps des coordonnées x, y et z de l'orgne du référentel de l'outl par rapport au référentel de l'ateler, et w, w et w ne sont pas les dérvées d'une représentaton quelconque de l'orentaton. x y z Les vecteurs jl, et j A, ( =,,, n) sont. Le vecteur j L, multplé à la vtesse artculare q, représente la contrbuton de l'artculaton à la vtesse lnéare de l outl. De même, le vecteur j A,, multplée à la vtesse artculare q représente la contrbuton de l'artculaton à la vtesse angulare de l'outl. C'est grâce à ces deux observatons que nous pourrons trouver des formules pour ces vecteurs. Cependant, nous devons consdérer les artculatons rotoïde et prsmatques séparément.

27 Chaptre II Modélsaton géométrque et cnématque des robots manpulateurs sérels Artculaton prsmatque Nous cherchons d'abord la contrbuton de l'artculaton prsmatque la vtesse angulare de l'outl, sot ja, d afn de trouver l'expresson générque pour j A,. S toutes les artculatons restent mmobles, à l'excepton de l'artculaton prsmatque, l'orentaton de l'outl du robot restera la même. En autres mots, la contrbuton de l'artculaton prsmatque à la vtesse angulare de l'outl est nulle. j A, (II.) De même, s toutes les artculatons restent mmobles, sauf l'artculaton prsmatque, l'outl du robot se déplacera dans la drecton de l'artculaton prsmatque, sot le long de l'axe z du référentel F, et avec la même vtesse, sot j ateler L, e d. En autre mots, nous avons (II.) ateler Ou e est le vecteur untare le long de l axe z, exprmé dans le référentel F. ateler e T ateler ateler (II.) Artculaton rotoïde Nous cherchons mantenant la contrbuton de l'artculaton rotoïde à la vtesse angulare de l'outl, sot ja,, afn de trouver l'expresson pour j A,. S toutes les artculatons restent mmobles, sauf l'artculaton rotoïde, l'outl du robot tournera autour de l'axe de cette artculaton, sot l axe z. Ans, le vecteur de la vtesse angulare de l'outl sera e et nous aurons j ateler A, e (II.4) De même, s toutes les artculatons du robot restent mmobles, à l'excepton de l'artculaton rotoïde, l'orgne du référentel de l'outl suvra le même mouvement crculare qu'un pendule, dans un plan normal à l'axe z. Ans, le vecteur de la vtesse lnéare sera ateler ateler dans le même plan, tangent à la trajectore crculare et défn par l expresson e p, outl, p est le vecteur qu rele l'orgne du référentel F avec l'orgne du ateler ou, outl référentel F outl. Ans, nous avons

28 Chaptre II Modélsaton géométrque et cnématque des robots manpulateurs sérels j e p (II.5) ateler ateler L,, outl ateler p outl Il ne nous reste que de trouver une formule pour le vecteur,. Ce vecteur peut être obtenu en soustrayant le vecteur de poston de l'orgne du référentel F du vecteur de poston de l'orgne du référentel F outl. Le premer se trouve dans la quatrème colonne de la ateler matrcet, alors que le deuxème est dans la quatrème colonne de la matrcet ateler outl. Ans, nous avons l'équaton suvante ( ) ateler ateler ateler p, outl = Toutl T Dmenson de l'espace opératonnel d'un robot (II.6) Pour une confguraton artculare q donnée, le rang r de la matrce jacobenne J, notée J dans la sute pour smplfer les notatons, correspond au nombre de degrés de lberté du repère assocé à l'organe termnal. Il défnt la dmenson de l'espace opératonnel accessble dans cette confguraton. On appelle nombre de degrés de lberté M de l'espace opératonnel d'un robot, le rang maxmal rmax que prend la matrce jacobenne dans toutes confguratons possbles. Deux cas sont à examner [] s M est égal au nombre de degrés de lberté N du robot (égal à n dans le cas des robots en chaîne smple ou à structure arborescente), le robot est non redondant l possède juste le nombre d'artculatons lu permettant de donner le nombre M de degrés de lberté à son organe termnal ; s N>M, le robot est redondant d'ordre (N M). Il dspose de plus d'artculatons qu'l n'en faut pour donner le nombre M de degrés de lberté à son organe termnal. II.4 Concluson Pour modélsé un robot sérel à n artculatons, l faut représenter le comportement du ce robot sous la forme d'un modèle, une telle démarche s'appelle la modélsaton, d'une manère générale, on recherche toujours le modèle le plus smple qu permet d'explquer, de manère satsfasante, le comportement du processus dans son domane d'applcaton; les modèles de transformaton entre l'espace opératonnel et l'espace artculare. On dstngue Les modèles géométrques qu exprment la stuaton de l'organe termnal en foncton de la confguraton du mécansme. n les

29 Chaptre II Modélsaton géométrque et cnématque des robots manpulateurs sérels Les modèles cnématques permettent de contrôler la vtesse de déplacement du robot afn de connaître la durée d'exécuton d'une tâche. Pour développer ces deux modèles l faut suvre une méthode systématque. Il s'agt de la méthode Denavt-Hartenberg qu reste toujours la méthode de long temps la plus utlsée en robotque sérelle.

30 Chaptre III Applcaton et étude de cas III Applcaton

31 Chaptre III Applcaton et étude de cas III. Introducton Partant des fondements théorques abordés dans le deuxème chaptre, qu consste à la modélsaton en robotque, la modélsaton des robots qu comportent le modèle géométrque et cnématque pour décrre le comportement du robot dans une évoluton connue. Dans ce chaptre nous allons présenter la modélsaton géométrque et cnématque d un robot sérel à cnq artculatons rotoïde, et plus précsément du robot de la compagne DENSO Robotcs. III. Descrpton du robot Il s'agt d'un robot sérel à cnq artculatons rotoïdes, et plus précsément du robot de la compagne DENSO Robotcs, destnés au transfert de matérel (Fgure III.). Espace explotable défne par le pont P Fgure III. Les dmensons du robot. 4

32 Chaptre III Applcaton et étude de cas Tableau III. Caractérstque du robot Objet Longueur du bras L. Zone de mouvement maxmal R max Spécfcatons (bras ) + (bras ) = 4 mm R max 5 mm Gamme de mouvement Charge utle maxmal m. V Vtesse maxmal max 4 5 6,, 6, -8, 6,5 Kg 9 mm/s Fgure. Sens postves de rotatons. III. Modélsaton du bras manpulateur La réalsaton d un smulateur permettant de décrre l état et le comportement global d une structure mécanque artculée comme tous autres systèmes. Nécesste de combner pluseurs concepts mathématque. Le problème prncpale dans la modélsaton est de trouver une relaton entres les consgnes données dans l espace opératonnel de la tache et des postures des éléments du robot dans l espace artculare cette relaton permet de fournr une nterface masquant. Vu la complexté et la non lnéarté des problèmes, un modèle complet du comportement réel d un robot n est pas réalsable, l étude cnématque et dynamque des robots se fat 5

33 Chaptre III Applcaton et étude de cas généralement sur des modèles smplfés. Obtenus en ntrodusant des hypothèses smplfcatrces qu permettent de résoudre les équatons qu représentent ces modèles. Dans ce chaptre nous allons décrre la théore sous-jacente aux problèmes de modélsaton des robots tout en posant les hypothèses suvantes - chaque corps composant le robot est assmlé à un solde ndéformable. - chaque artculaton ne possède qu un seul degré de lberté. III.. Calcul du modèle géométrque drect Ayant les varables artculares d'un robot, nous pouvons détermner la poston et l'orentaton de chaque len du robot, grâce à un ensemble donné de caractérstques géométrques du robot. Nous attachons les coordonnées de chaque len et détermnons sa confguraton dans les lens vosns suvre la méthode de mouvement rgde. Une telle analyse s'appelle la géométrques drecte. Les paramètres de (D-H) du robot Fgure Une des solutons pour les référentels DH. Tell que F ( x, y, z ) est le repère lés à chaque len. 6

34 Chaptre III 4 5 d d mm -9 9 mm mm a Applcaton et étude de cas a a 4 9 mm mm -9 5 d mm 5 Tableau III. DH paramètres du robot. Calcul des matrces de transformaton homogène T T ( ) T (,, d ) T (,,) T ( 9 ) rot, z trans trans rot, x T c -s s c - d (III.) T T ( 9) T (,,) T ( a,,) T ( ) rot, z trans trans rot, x s c a s -c s a c (III.) T T ( ) T (,,) T ( a,,) T ( ) rot, z trans trans rot, x c -s ac s c as (III.) T T ( 9) T (,,) T (,,) T ( 9 ) 4 rot, z 4 trans trans rot, x s 4 c 4 -c 4 s 4 - (III.4) T T ( ) T (,, d ) T (,,) T ( ) 4 5 rot, z 5 trans 5 trans rot, x 7

35 Chaptre III c 5 -s 5 s 5 c 5 d5 Don le modèle géométrque drect est décrt par T T T T T T cc 4c5 ss5 c c4s5 sc 5 c s4 c( d5s4 as as) sc 4c5 cs 5 s c4s5 cc 5 s s4 s ( d5s4 as as) s4c5 -s4s 5 c 4 d +d5c 4+ac +a c Sachant que cos c Applcaton et étude de cas (III.5) (III.6) sn s cos c sn s 5 5 cos( ) c cos( ) c 4 4 sn( ) s sn( ) s 4 4 III.. Le modèle géométrque nverse Pour résoudre la géométre nverse d'un robot à n artculaton, l faut généralement résoudre sa géométre drecte et poser l'équaton suvante T T ( q ) T ( q )... T ( q ) T n n n n n Cette équaton peut être réécrte sous la forme suvante nx ox ax px ny oy ay p y nz oz az pz (III.7) Détermnaton des varables artculares du robot Pour résoudre la cnématque nverse du robot, l faut résoudre l'équaton matrcelle cdessous 8

36 Chaptre III Applcaton et étude de cas cc 4c5 ss5 cc 4s5 sc 5 cs4 c ( d5s4 as as) nx ox ax px sc 4c5 cs 5 sc 4s5 cc 5 ss4 ( 5 4 ) ny oy ay p s d s a s a s y s4c5 - s4s5 c4 d d5c4 ac ac nz oz az pz (III.8) Calcule de On pré-multpler les deux cotées de l'équaton matrcelle (III.8) par ( T ). Cette opératon va nous débarrasser des expressons en dans la matrce à gauche. n c4c5 c4s5 s4 d5s4 as as s4c5 s4s5 -c 4 d5c4 ac ac s5 -c 5 nxc nys oxc oys axc ays pxc pys nz - oz - az d - pz - nxs nyc - oxs oyc - axs ayc -pxs pc y (III.9) On tre de l équaton matrcelle (III.9) les deux équatons suvantes a sn a cos. (III.) x y p sn cos. (III.) x p y On dot réalser que le vecteur ax a y T est la projecton du vecteur untare le long de l axe Z5 du référentel F 5 sur le plan xydu référentel F. De façon smlare, le vecteur T px p y est la projecton du vecteur qu rele l'orgne du référentel F avec l'orgne du référentel F 5 sur le plan xy du référentel F. Il est facle de vor que, en général, ces deux projectons sont colnéares (c'est à dre que le rato a a est égale au rato p p ). Cec veut dre que les deux équatons c-dessus sont dépendantes et que nous ne pouvons pas les consdérer smultanément. S l'axe Z 5 ponte vers le haut (c'est à dre que ax ay ), Notre équaton aura la forme x y x y =. De façon smlare, s l'orgne du référentel F 5 se trouve sur l'axe du robot, p p et l'équaton (III.) dégénéra (aura la forme = ). Voc pourquo, la x y soluton pour la varable artculare devra prendre en compte les deux équatons 9

37 Chaptre III Applcaton et étude de cas a tan ( ay, ax) et a tan ( ay, ax), S ax ay a tan ( py, px) et a tan ( py, px), S ax ay et px py (III.) D autre part, s a a p p, c'est à dre s l'axe 5 du robot coïncde avec l'axe, vore (la fgure III.4). x y x y Fgure 4 Sngularté d épaule. Ce type de confguraton s'appelle une sngularté d'épaule. Dans une telle confguraton, nous pouvons varer et 5 avec la même vtesse mas en sens nverse, sans que la pose de la brde (du référentel F 5 ) change par rapport à la base du robot (référentel F ). Ans, la soluton complète pour sera a tan ( ay, ax) et a tan ( ay, ax), S ax ay a p p et a p p S a a et p p arbtrare S a a et p p tan ( y, x) tan ( y, x), x y x y, x y x y (III.) Calcul de 5 Une fos les valeurs de obtenues, nous pouvons mantenant trouver 5 à partr des deux équatons suvantes trées de l'équaton matrcelle (III.9) sn n sn n cos (III.4) 5 x y cos o sn o cos (III.5) 5 x y Ans pour chaque soluton de, nous pouvons trouver une seule soluton pour 5

38 Chaptre III Applcaton et étude de cas a tan ( n sn n cos, o sn o cos ) (III.6) 5 x y x y Calcul de 4 De façon smlare, nous pouvons trouver 4 ( 4 4) à partr des deux équatons suvantes trées de l'équaton matrcelle (III.9) sn a cos a sn (III.7) 4 x y cos a (III.8) 4 z Ans pour chaque soluton de, nous pouvons trouver une seule soluton pour 4 a tan ( a cos a sn, a ) (III.9) 4 x y z Calcul de Pour trouver et Nous allons post-multpler les deux cotés de l équaton matrcelle 4 (III.9) par la matrce ( T5 ), pour nous débarrasser de du coté gauche 5 c4 s4 as as s4 -c 4 ac ac - ls5 lc 5 ls5 lc5 ays axc d5axc d5ays pxc pys ozs5 nzc5 - nzs5 ozc5 - az dd5az pz ls5 l4c5 l4s5 lc5 - axs ayc d5axs d5ayc pxs pyc (III.) Ou l nys nxc, l oys oxc, l oxs - oyc et l4 -nxs nyc Pour obtenr une équaton en seulement, nous allons mettre au carré les composantes en poston de l'équaton matrcelle (III.) et prendre leur somme ( a s a s ) ( a c a c ) ( d a c d a s p c p s ) ( d d a p ) ( d a s d a c p s p c ). (III.) 5 x 5 y x y 5 z z 5 x 5 y x y a s a s a a s s a c a c a a c c d a d a d a d p p p d a p d a p d d a d p d a p. 5 x 5 y 5 z x y z 5 x x 5 y y 5 z z 5 z z a a ( s s c c ) ( p d a ) ( p d a ) ( p d d a ). (III.) c Sachant que s x 5 x y 5 y z 5 z

39 Chaptre III Applcaton et étude de cas c s On utlse les relatons trgonométrques s sc cs c cc ss On remplace ces équaton dans (III.) on obtent a a a a cos ( p d a ) ( p d a ) ( p d d a ) x 5 x y 5 y z 5 z On peut trer ( px d5ax) ( py d5ay) ( pz d d5az ) a a ar cos a a (III.) Calcul de Pour trouver. On tre les deux équatons suvantes de l'équaton matrcelle (III.) a sn a sn d5ax cos d5ay sn px cos py sn (III.4) a cos a cos = d d 5 a z p z (III.5) alors ( a cos a )sn a sn cos d a cos d a sn p cos p sn 5 x 5 y x y Donc a sn sn ( a cos a) cos = d d 5 a z p z La soluton de ce système de deux équatons lnéares en sn et cos est a r sn a r cos a r sn ( a a ) ( a a )cos a r cos a r sn a r cos ( a a ) ( a a )cos Ou r d a cos d a sn p cos p sn et r d d a p. 5 x 5 y x y 5 z z (III.6) (III.7) La soluton pour est a tan ( a r sn a r cos a r, a r cos a r sn a r ). (III.8) Calcul de 4. (III.9) 4 4

40 Chaptre III Applcaton et étude de cas III.4 Etude cnématque du robot Le modèle cnématque drect d'un robot manpulateur décrt les vtesses des coordonnées opératonnelles en foncton des vtesses artculares. III.4. Les matrces de changement de base R c s s c -, R s c -c s, R c -s s c, R s 4 c4 -c s -,4 4 4 R c 5 -s 5 s c 4,5 5 5 (III.) (III.) (III.) (III.) (III.4) III.4. Les torseurs cnématque assocé à chaque lason c(/ ) wz (/ ) A c( /) wz ( /) B c(/ ) wz (/ ) C c(4 / ) wz (4 / ) C ( x, y, z ) ( x, y, z ) ( x, y, z ) ( x4, y 4, z 4 ) (III.5) (III.6) (III.7) (III.8)

41 Chaptre III Applcaton et étude de cas c(5/ 4) wz (5/ 4) D ( x5, y 5, z 5 ) (III.9) Fgure III.5 Schéma cnématque du robot. Fgure III.6 Graphe des lasons du robot. 4

42 Chaptre III Applcaton et étude de cas III.4. Torseur cnématque équvalent Etude de torseur cnématque c(/ ) c(/ ) wz (/ ) A ( x, y, z ) Changement de centre dans la base R ( x, y, z ) c(/ ) + (/ ) AO wz (/ ) O w z (/ ) (/ ) AO d Donc ( x, y, z ) ( x, y, z ) c(/ ) (III.4) wz (/ ) O Etude de torseur cnématque c(/) c( /) wz ( /) B ( x, y, z ) Changement de centre dans la base R ( x, y, z ) c( /) + ( /) BA wz ( /) A wz ( /) ( /) BA d w ( /) x d dw z ( /) c( /) wz ( /) A z ( x, y, z ) ( x, y, z ) Changement de base de R ( x, y, z ) à R ( x, y, z ) 5

43 Chaptre III Applcaton et étude de cas (/) R (/), c s s wz ( /) s c c wz ( /) - wz ( /) V (/) R V (/), c s dwz( /) dc wz( /) s c ds wz ( /) - s wz( /) dc wz( /) c( /) c wz ( /) ds wz ( /) A ( x, y, z ) Changement de centre dans la base R ( x, y, z ) s wz( /) dc w ( /) z c( /) c wz ( /) ds wz ( /) ( /) AO O ( /) AO s w ( /) c w ( /) z = -d c w ( /) x d s w ( /) y z z z -d ( x, y, z ) s wz ( /) ( d d) c wz ( /) c( /) c wz ( /) ( d - d) s wz ( /) O ( x, y, z ) (III.4) Etude de torseur cnématque c(/ ) c(/ ) wz (/ ) C ( x, y, z ) Changement de centre dans la base R ( x, y, z ) c(/ ) + (/ ) CB wz (/ ) B wz (/ ) (/ ) CB a w (/ ) y a z ( x, y, z ) 6

44 Chaptre III Applcaton et étude de cas c(/ ) aw z(/ ) wz (/ ) B ( x, y, z ) Changement de base de R ( x, y, z ) à R ( x, y, z ) (/ ) R (/ ), s c -c s wz(/ ) wz(/ ) V (/ ) R V (/ ), s c acwz (/ ) -c s awz(/ ) as wz(/ ) acwz (/ ) c(/ ) as wz(/ ) wz (/ ) A ( x, y, z ) Changement de centre dans la base R ( x, y, z ) acw (/ ) z c(/ ) as wz(/ ) + (/ ) BA wz (/ ) A wz (/ ) (/ ) BA d w (/ ) x d z ( ac d) wz (/ ) c(/ ) as wz(/ ) wz (/ ) A ( x, y, z ) Changement de base de R ( x, y, z ) à R ( x, y, z ) (/ ) R (/ ), c s s wz (/ ) s c c wz (/ ) - wz (/ ) V (/ ) R V (/ ), 7 ( x, y, z )

45 Chaptre III Applcaton et étude de cas c s ( ac d) wz(/ ) ( ac d)c wz(/ ) s c a s w (/ ) ( a c d )s w (/ ) z z - - aswz (/ ) s wz(/ ) ( ac d)c wz(/ ) c(/ ) c wz (/ ) ( ac d) swz (/ ) -a s w (/ ) A z ( x, y, z ) Changement de centre dans la base R ( x, y, z ) s wz(/ ) ( ac d)c w (/ ) z c(/ ) c wz (/ ) ( ac d) swz (/ ) + (/ ) AO -as wz (/ ) O s w (/ ) c w (/ ) ( x, y, z ) z z (/ ) AO d c wz(/ ) x d s wz(/ ) y d s wz (/ ) [( ac d d)c ] wz (/ ) c(/ ) c wz (/ ) [( ac d d) s] wz (/ ) -a s w (/ ) O z ( x, y, z ) (III.4) Etude de torseur cnématque c(4/) c(4 / ) wz (4 / ) C ( x, y, z ) Changement de centre dans la base R ( x, y, z ) c(4 / ) + (4 / ) DC wz (4 / ) C wz (4 / ) (4 / ) DC a w (4 / ) y a c(4 / ) aw z(4 / ) wz (4 / ) C ( x, y, z ) z ( x, y, z ) Changement de base de R ( x, y, z ) à R ( x, y, z ) (4/ ) R (4/ ) B, 8

46 Chaptre III Applcaton et étude de cas c -s s c wz(4 / ) wz(4 / ) V (4/ ) R V(4/ ), c -s -a s wz (4 / ) s c awz(4 / ) a c wz(4 / ) -as wz (4 / ) c(4 / ) ac wz(4 / ) wz (4 / ) B ( x, y, z ) Changement de centre dans la base R ( x, y, z ) -as w (4 / ) z c(4 / ) ac wz(4 / ) + (4 / ) CB wz (4 / ) B wz (4 / ) (4 / ) CB a w (4 / ) y a as wz (4 / ) c(4 / ) ( a - a c ) wz(4 / ) w (4 / ) z B z ( x, y, z ) Changement de base de R ( x, y, z ) à R ( x, y, z ) (4/ ) R (4/ ), s c -c s wz(/ 4) wz(/ 4) V (4/ ) R V(4/ ), s c a s w (4 / ) z -c s ( a - a c ) wz (4 / ) [ a s s ( a - a c ) c] wz (4 / ) [ ac s ( a - a c )s ] wz (4 / ) ( x, y, z ) 9

47 Chaptre III Applcaton et étude de cas [ a s s ( a - a c )c ] wz (4 / ) c(4 / ) [ ac s ( a - a c )s ] wz(4 / ) wz (4 / ) A Changement de centre dans la base R ( x, y, z ) ( x, y, z ) [ a s s ( a - a c )c ] w (4 / ) z c(4 / ) [ ac s ( a - a c )s ] wz(4 / ) + (4 / ) BA wz (4 / ) A wz (4 / ) (4 / ) BA d w (4 / ) x d z [ a s s ( a - a c )c d] wz (4 / ) c(4 / ) [ ac s ( a - a c )s ] wz(4 / ) wz (4 / ) A Changement de base de R ( x, y, z ) à R ( x, y, z ) c s s wz(4 / ) s c c wz(4 / ) - wz (4 / ) V (4/ ) R V(4/ ), c s [ a s s ( a - a c )c d ] w (4 / ) z s c [ ac s ( a - a c )s ] wz (4 / ) - [ a s s c ( a - a c )c c dc ] wz (4 / ) = [ a s s s ( a - a c )c s ds ] wz (4 / ) [ ac s ( a - a c )s ] wz (4 / ) ( x, y, z ) s wz (4 / ) [ a s s c ( a - a c )c c dc ] wz (4 / ) c(4 / ) c wz (4 / ) [ a s s s ( a - a c )c s ds ] wz (4 / ) [ a c s ( a - a c )s ] w (4 / ) A Changement de centre dans la base R ( x, y, z ) ( x, y, z ) z ( x, y, z ) s wz(4 / ) [ a s s c ( a - a c )c c dc ] w (4 / ) z c(4 / ) c wz (4 / ) [ a s s s ( a - a c )c s ds ] wz (4 / ) + (4 / ) AO [ ac s ( a - a c )s ] wz (4 / ) O s w (4 / ) c w (4/) z z (4 / ) AO cd wz(4/) x s dwz(4/) y d ( x, y, z ) 4

48 Chaptre III Applcaton et étude de cas s wz (4 / ) [ a s s c ( a - a c )c c ( d d) c ] wz (4 / ) c(4 / ) c wz (4 / ) [ a s s s ( a - a c )c s ( d d) s] wz (4 / ) [ a c s ( a - a c )s ] w (4 / ) O z ( x, y, z ) (III.4) Etude de torseur cnématque c(5/ 4) c(5/ 4) wz (5/ 4) D ( x4, y 4, z 4 ) Changement de centre dans la base R4 ( x4, y4, z 4) c(5/ 4) (5/ 4) ED w (5/ 4) D z ( x4, y4, z4 ) w z (5/ 4) (5/ 4) ED d c(5/ 4) wz (4 / ) D 5 ( x4, y 4, z 4 ) Changement de base de R4 ( x4, y4, z 4) à R ( x, y, z ) (5/ 4) R (5/ 4) C,4 s 4 c4 c 4 wz (5/ 4) -c 4 s 4 s 4 wz (5/ 4) - wz (5/ 4) V (5/ 4) R V (5/ 4) C,4 s 4 c4 -c 4 s 4 - c 4 wz (5/ 4) c(5/ 4) s 4 wz(5/ 4) C ( x, y, z ) Changement de centre dans la base R ( x, y, z ) 4

49 Chaptre III Applcaton et étude de cas c 4 w (5/ 4) z c(5/ 4) s 4 wz(5/ 4) + (5/ 4) DC C c w (5/ 4) s w (5/ 4) ( x, y, z ) 4 z 4 z (5/ 4) DC a s 4 wz (5/ 4) z a c 4 wz (5/ 4) c(5/ 4) s 4 wz(5/ 4) a s w (5/ 4) C 4 z ( x, y, z ) Changement de base de R ( x, y, z ) à R ( x, y, z ) (5/ 4) R (5/ 4), c -s c 4 wz (5/ 4) c 4 wz (5/ 4) s c s 4 wz(5/ 4) s 4 wz(5/ 4) V (5/ 4) R V (5/ 4), c -s s c a s 4 wz(5/ 4) a s 4 wz(5/ 4) c 4 wz (5/ 4) c(5/ 4) s 4 wz(5/ 4) a s w (5/ 4) B 4 z ( x, y, z ) Changement de centre dans la base R ( x, y, z ) c 4 w (5/ 4) z c(5/ 4) s 4 wz(5/ 4) (5/ 4) CB a s w (5/ 4) B 4 z ( x, y, z ) c 4 wz(5/ 4) s 4 wz(5/ 4) (5/ 4) CB - a a s w (5/ 4) z 4 z c 4 wz (5/ 4) c(5/ 4) s 4 wz(5/ 4) ( a s a s ) w (5/ 4) B 4 4 z ( x, y, z ) Changement de base de R ( x, y, z ) à R ( x, y, z ) 4

50 Chaptre III Applcaton et étude de cas (5/ 4) R (5/ 4), s c c w (5/ 4) 4 z -c s s 4 wz (5/ 4) [c 4 s s4 c ] wz (5/ 4) [ c4 c s4 s ] wz (5/ 4) V (5/ 4) R V (5/ 4), s c -c s ( as4 a s 4) wz (5/ 4) ( as4 a s 4) wz (5/ 4) [ c4 s s4 c ] wz (5/ 4) c(5/ 4) [ c4 c s4 s ] wz(5/ 4) ( a s a s ) w (5/ 4) A Changement de centre dans la base R ( x, y, z ) 4 4 z ( x, y, z ) [c 4 s s4 c ] w (5/ 4) z c(5/ 4) [ c4 c s4 s ] wz(5/ 4) + (5/ 4) BA ( a s a s ) w (5/ 4) A 4 4 z ( x, y, z ) [c4 s s4 c ] wz(5/ 4) [ c4 c s4 s ] wz(5/ 4) (5/ 4) BA d d [c s s c ] w (5/ 4) z 4 4 z [c 4 s s4 c ] wz (5/ 4) c(5/ 4) [ c4 c s4 s ] wz(5/ 4) d [c s s c ] w (5/ 4) A Changement de base de R ( x, y, z ) à R ( x, y, z ) (5/ 4) R (5/ 4), 4 4 z ( x, y, z ) 4

51 Chaptre III Applcaton et étude de cas c s [c s s c ] w (5/ 4) 4 4 z s c [ c4 c s4 s ] wz (5/ 4) - [ c4sc s4cc ] wz (5/ 4) [ c4ss s4cs ] wz (5/ 4) [c4 c s4 s ] wz (5/ 4) V (5/ 4) R V (5/ 4), c s s c - d[c4 s s4 c ] wz (5/ 4) d[c4 s ss4 c s ] w (5/ 4) z d[c4c s s4 c c ] wz (5/ 4) [ c4sc s4cc ] wz(5/ 4) d[c4 s s s4 c s ] wz(5/ 4) c(5/ 4) [ c4ss s4cs ] wz (5/ 4) d[c4 c s s4 c c ] wz (5/ 4) [c c s s ] w (5/ 4) A 4 4 z ( x, y, z ) Changement de centre dans la base R ( x, y, z ) [ c4sc s4cc ] wz(5/ 4) d[c4 s s s4 c s ] wz(5/ 4) c(5/ 4) [ c4ss s4cs ] wz (5/ 4) d[c4 c s s4 c c ] wz (5/ 4) [c4 c s4 s ] wz (5/ 4) O (5/ 4) AO [ c s c s c c ] w (5/ 4) [ c s s s c s ] w (5/ 4) (5/ 4) AO ( x, y, z ) 4 4 z 4 4 z 4 4 w z - d[ c4ss s4cs ] wz(5/ 4) x d[ c4sc s4cc ] wz(5/ 4) y [c c s s ] (5/ 4) -d [ c4sc s4cc ] wz(5/ 4) ( d d)[c4 s s s4 c s ] wz(5/ 4) c(5/ 4) [ c4ss s4cs ] wz (5/ 4) ( d d)[c4 c s s4 c c ] wz (5/ 4) [c c s s ] w (5/ 4) A 4 4 z ( x, y, z ) (III.44) Par addton d équatons matrcelles (III.4), (III.4), (III.4), (III.4), (III.44) (5/ ) (/ ) (/) (/ ) (4/ ) (5/ 4) c R c R c R c R c R c R 44

52 Chaptre III Applcaton et étude de cas wx (5/ ) wx ( /) wx (/ ) wx (4 / ) wx (5/ 4) wy (5/ ) wy (/ ) wy ( /) wy(/ ) wy(4 / ) wy(5/ 4) wz(5/ ) wz(/ ) Vx (5/ ) Vx ( /) Vx (/ ) Vx (4 / ) Vx (5/ 4) V y (5/ ) Vy ( /) Vy (/ ) Vy (4 / ) Vy (5/ 4) Vz (5/ ) Vz (/ ) Vz (4 / ) wx (5/ ) s wz ( /) s wz (/ ) s wz (4 / ) [ c4sc s4cc ] wz (5/ 4) wy (5/ ) c wz ( /) +c wz (/ ) c wz (4 / ) [ c4ss s4cs] wz (5/ 4) wz (5/ ) wz (/ ) [c4 c s4 s ] wz (5/ 4) Vx(5/ ) ( d d) c wz( /) [( ac d d )c ] wz (/ ) [ a s s c ( a - a c )c c ( d d) c ] wz(4 / ) ( d d)[c4 s s s4 c s ] wz(5/ 4) V y (5/ ) ( d - d) s wz ( /) [( ac d d) s] wz (/ ) [ a s s s ( a - a c )c s ( d d) s ] wz(4 / ) ( d d)[c4 c s s4 c c ] wz(5/ 4) Vz (5/ ) -as wz (/ ) [ ac s ( a - a c )s ] wz (4 / ) (III.45). III.4.4 Calcul de la matrce Jacobenne ateler Calcul de e ateler e Nous allons d'abord calculer les vecteurs (=,,, 4,5), en utlsant les expressons pour T ( = ; ; 4; 5). Sachant que ateler 5 T T outl e e e T ateler ateler ateler T T ateler ateler (III.46) (III.47) 45

53 Chaptre III Applcaton et étude de cas s ateler c e e e e e e e T T T ateler ateler s ateler c T T T T ateler ateler s ateler c T T T T T ateler ateler 4 4 cs 4 ateler 4 ss4 c 4 (III.48) (III.49) (III.5) (III.5) ateler ateler ateler e e e Pusque les axes z, z et z ont toujours la même drecton. Calcule de p ateler, outl Pusque toutes les cnq artculatons du robot VP-54 sont rotoïde, nous allons calculer mantenant les vecteurs p (=,,, 4,5) ateler, outl ateler Toutl T (III.5) 5 p (T T ) ateler ateler ateler, outl outl 46

54 Chaptre III Applcaton et étude de cas c ( d5s4 as as) ateler p, outl s ( d5s4 as as ) d d5c4 ac ac (III.5) ateler ateler ateler p, outl (T outl T T ) c ( d5s4 as as ) ateler p, outl s ( d5s4 as as ) d5c4 ac ac (III.54) ateler ateler ateler p, outl (T outl T T T ) c ( d5s4 as ) ateler p, outl s ( d5s4 as ) d5c4 ac (III.55) 5 4 ateler c d s ateler ateler p, outl (T outl T T T T ) sd 5s 4 dc 5 4 (III.56) 5 4 ateler c d s ateler ateler p4, outl (T outl T T T T T4 ) sd 5s 4 dc 5 4 (III.57) p p Pusque les orgnes des référentels F4 et F coïncdent toujours. ateler ateler 4, outl, outl Enfn, la réponse fnale pour la matrce jacobenne du robot est s ( d s a s a s ) c ( d c a c a c ) c ( d c a c ) d c c c ( d s a s a s ) s ( d c a c a c ) s ( d c a c ) d s c ( d s a s a s ) ( d s a s ) - d s J - s - s - s c c c (III.58) cs 4 ss c

55 Chaptre III Applcaton et étude de cas III.4.5 Trajectore du robot à l ade de soldworks Généralement, le trajet de l organe termnal dans un ateler est lnare pour le but de smplfer les taches à réalser. Dans ce traval une trajectore est obtenue lors d un déplacement lnéare quelconque dans l espace de l organe termnal d un pont A à un autre pont B. Fgure 5 Trajectore lnéare de l outl. Notre objectf est de savor comment on obtent un mouvement lnare de l organe termnal, sachant que ce mouvement dépend des mouvements ntermédares (mouvements rotatfs des Cnque moteurs). Etape Il faut fare une sélecton des moteurs qu fonctonnent durant le mouvement souhatés. Notons ben que lors de ce déplacement seuls le moteur et le moteur fonctonnent, les moteur, 4 et 5 ne fonctonnent plus à cause de la lnéarté de la trajectore. 48

56 Chaptre III Applcaton et étude de cas Fgure III.8 Moteur et en rotaton. Etape A cette étape on défne les caractérstques du mouvement de chaque un des deux moteurs (déplacement et vtesse) en foncton du temps Mouvement du Moteur Fgure III.9 Déplacement angulare du moteur autour de l axe Z. 49