Ecole Doctorale de l'université du Maine. Thèse de Doctorat

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1 Académie de NANTES Ecole Doctorale de l'université du Maine Le Mans, France Thèse de Doctorat Spécialité : Acoustique présentée par Sylvain BERGER pour obtenir le titre de Docteur d'université Contribution à la caractérisation des milieux poreux par des méthodes acoustiques : estimation des paramètres physiques Soutenue le 8 septembre 24 devant le jury composé de : B. CASTAGNEDE Professeur, LAUM Université du Maine C. DEPOLLIER Professeur, LAUM Université du Maine Z.E.A FELLAH Chargé de Recherche CNRS, LMA Marseille W. LAURIKS Professeur, Université Catholique de Louvain, Belgique J.P. LEFEBVRE Directeur de Recherche CNRS, LMA Marseille (rapporteur) F. LUPPE Professeur, LAUE Université du Havre (rapporteur) M. MELON Maître de Conférences, CNAM Paris F. PADILLA Chargé de Recherche, LIP Université Paris VI

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3 Remerciements Ce travail de thèse s'est eectué au Laboratoire d'acoustique du Mans (LAUM) et au Laboratoire d'acoustique et Thermique de Louvain en Belgique (ATF-KUL). Je remercie Claude Depollier, Bernard Castagnède et Walter Lauriks, ainsi que Sohbi Sahraoui et Jan Thoen, pour avoir rendu possible la collaboration entre le LAUM et l'atf durant ces quatre années de thèse. Je remercie chaleureusement Claude Depollier, mon directeur de thèse, de m'avoir proposé ce sujet et de m'avoir encadré tout au long de ce travail. J'associe à ces remerciements Zine El Abidine Fellah, pour m'avoir accompagné dans mon travail, au Mans et à Louvain. Je lui suis très reconnaissant de ses encouragements, de sa motivation et de son aide au quotidien. Je tiens à témoigner ma profonde gratitude à Walter Lauriks pour son accueil au Laboratoire d'acoustique de Louvain, pour sa disponibilité et ses conseils précieux. Je remercie tous les membres du LAUM et de l'atf pour leurs contributions riches et variées à ce travail. Merci en particulier à Bernard Castagnède et Christophe Ayrault au Mans, Christ Glorieux et Luc Kelders à Louvain. Merci enn à Francine Luppé et Jean-Pierre Lefebvre d'avoir accepté d'être rapporteurs de ce travail de thèse, ainsi qu'à Manuel Melon, Frédéric Padilla et Bernard Castagnède pour avoir accepté de participer au jury.

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5 Table des matières Table des matières i Introduction Généralités : Modélisation de la propagation dans les milieux poreux 3. Hypothèses Continuité des phases Homogénéité Grande longueur d'onde Isotropie Paramètres décrivant le milieu poreux Porosité [8, 24, 5] Tortuosité [86, 5, 52, 5] Résistivité spécique au passage d'un uide σ [9, 86] Perméabilité visqueuse k Longueur caractéristique visqueuse Λ [5] Perméabilité thermique k [56, 57] Longueur caractéristique thermique Λ [23] Modèles Théorie du uide équivalent Susceptibilités dynamiques α(ω) et β(ω) Théorie de Biot [, ] Approches fréquentielle et temporelle Equivalent temporel des susceptibilités dynamiques Conclusion I Milieu poreux saturé par l'air 29 2 Caractérisation des matériaux poreux dans le domaine asymptotique 3

6 ii Table des matières 2. Méthodes de mesure des paramètres d'un matériau poreux Mesure de la porosité [8, 69, 5, 82, 24, 47] Mesure de la tortuosité Mesure de la longueur caractéristique visqueuse [5, 67, 5, 72] Mesure de la longueur caractéristique thermique Conclusion Réexion et transmission d'une onde à travers une tranche de matériau poreux Domaine fréquentiel Domaine temporel Sensibilité des paramètres sur les signaux transmis et rééchis Sensibilité des paramètres sur les ondes transmises Etude de l'expression générale du coecient de réexion Etude de l'expression du coecient de réexion en très haute fréquence Résultats expérimentaux Dispositif expérimental Mousse polyuréthane M Mousse polyuréthane M Conclusion Réexions aux diérentes interfaces d'un matériau poreux. Multicouches Réexions multiples dans un matériau poreux Sensibilité des paramètres sur les ondes rééchies en x = et en x = L, en incidence normale Résultats expérimentaux. Incidence normale Résultats expérimentaux. Incidence oblique Conclusion Multicouche Théorie Matériau constitué de deux tranches de matériau homogène Matériau constitué de trois tranches de matériau homogène Conclusion Caractérisation des matériaux poreux en régime visqueux Théorie Théorie du uide équivalent en régime basse fréquence Théorie de Biot en basse fréquence Coecients de transmission et de réexion

7 Table des matières iii 4..4 Comparaison des deux modèles aux très basses fréquences Sensibilité des paramètres pour la théorie du uide équivalent aux très basses fréquences Sensibilité des paramètres pour la théorie de Biot aux très basses fréquences Conclusion Résultats expérimentaux Dispositif expérimental Détermination de la résistivité d'une mousse polyuréthane Conclusion II Milieu poreux saturé par un liquide 2 5 Théorie de Biot Equations de Biot. Formulation fréquentielle Equations du mouvement Solution de l'équation de propagation Formulation temporelle de la théorie de Biot en incidence normale Equations du mouvement de Biot dans le domaine temporel Opérateurs de transmission et de réexion Sensibilité des paramètres sur les ondes de Biot Etude du problème inverse. Principe de minimisation Méthode générale Inversion sur un cas théorique Détermination des paramètres mécaniques. Mesures en contact Onde de compression Onde de cisaillement Atténuation des ondes lente et rapide. Relation de Kramers-Krönig Théorie Exemple Conclusion Résultats expérimentaux 6 6. Dispositifs expérimentaux Mesures ultrasonores en transmission Mesures en contact Céramique d'alumina Mesure en transmission dans l'eau

8 iv Table des matières Mesures en contact. Estimation des paramètres mécaniques Résolution du problème inverse Tissus biologiques Introduction Mesures en contact. Estimation des paramètres mécaniques Mesures en transmission dans l'eau Conclusion Conclusion 97 A Théorie du uide équivalent. Coecients de réexion et de transmission en haute fréquence 2 A. Domaine fréquentiel A.. Champs de pression dans les diérents milieux A..2 Coecients de réexion et de transmission A.2 Domaine temporel A.2. Equation de propagation A.2.2 Opérateurs de réexion et de transmission en incidence oblique B Théorie de Biot. Coecients de transmission et de réexion 2 B. Coecient de transmission dans le domaine fréquentiel. Incidence oblique B.2 Opérateur de transmission dans le domaine temporel. Incidence normale B.2. Résolution de l'équation de propagation B.2.2 Opérateurs de transmission et de réexion C Résultats expérimentaux : comparaison des signaux temporels expérimentaux et théoriques pour quelques échantillons d'os humains 227 C. Echantillon O C.. Mesures à 5kHz C..2 Mesures à MHz C.2 Echantillon O C.2. Mesures à 5kHz C.2.2 Mesures à MHz C.3 Echantillon O C.3. Mesures à 5kHz C.3.2 Mesures à MHz Bibliographie 245

9 Introduction Réalisé au laboratoire d'acoustique de l'université du Maine et au laboratoire d'acoustique de l'université de Louvain, ce travail de thèse est une contribution à la caractérisation acoustique des milieux poreux. Dans sa dénition la plus générale, un matériau poreux est constitué d'une phase solide saturée par une phase uide. De nombreuses applications sont concernées par la compréhension du comportement des ondes acoustiques dans de tels milieux. Saturés par l'air, les matériaux poreux sont utilisés comme absorbant acoustique pour lutter contre les nuisances sonores. Les feutres, les laines de verre, ou les mousses polyuréthanes, sont trois exemples de matériaux employés fréquemment dans les industries aéronautique et automobile et dans le bâtiment. En géophysique, on s'intéresse à la propagation des ondes acoustiques dans les roches poreuses, pour obtenir des informations sur la composition des sols et sur leurs contenus en uide. Les compagnies pétrolières ont fortement contribué à l'étude des propriétés acoustiques des milieux poreux naturels. En médecine, la caractérisation des milieux poreux tels que l'os trabéculaire, est utile pour diagnostiquer l'ostéoporose, maladie du tissu osseux qui se manifeste par la détérioration de la microarchitecture de l'os. La modélisation de la propagation du son dans les matériaux poreux repose sur l'étude des mouvements relatifs du solide et du uide, et sur la prise en compte des interactions qui se produisent entre ces deux phases. De nombreux modèles ont été développés. Lorsque la partie solide reste immobile, l'onde acoustique ne se propage que dans le uide. La théorie de Kirchho [54] décrit alors les phénomènes visqueux et thermiques qui interviennent dans des matériaux constitués de pores cylindriques parallèles. Pour cette même géométrie et avec les mêmes hypothèses, Zwikker et Kosten [86] proposent en 949, un modèle simplié dans lequel eets thermiques et visqueux sont traités séparément. En 97, Delany et Bazley [26] mesurent les nombres d'ondes complexes et les impédances caractéristiques d'un nombre important de matériaux breux de porosité proche de. Ils en déduisent une loi prédisant avec une assez bonne approximation le comportement de ce type de matériaux. En 987, Johnson et coll [5] établissent un modèle plus complexe qui décrit les eets inertiels et visqueux en introduisant deux paramètres géométriques importants : la tortuosité et la longueur

10 2 Introduction caractéristique visqueuse. En procédant d'une manière analogue, Champoux et Allard [23] modélisent les échanges thermiques qui se produisent entre le uide et le solide à l'aide d'un paramètre appelé longueur caractéristique thermique. D'autres modèles existent parmi lesquels on peut citer celui d'attenborough [5]. Biot [, ], en 956, étudie la propagation acoustique dans des milieux saturés par un uide lourd. Développée dans le cadre de la recherche pétrolière, la théorie de Biot prend en compte le mouvement des phases solide et uide. Les diérents modèles évoqués précédemment ont été formulés dans le domaine fréquentiel. Récemment Fellah et Depollier [35, 28] ont proposé un traitement temporel de la propagation acoustique dans les milieux poreux. Approches temporelle et fréquentielle sont complémentaires. Elles orent deux éclairages diérents des phénomènes et elles ont chacune ses avantages et inconvénients. Leur utilisation respective dépend des problèmes à résoudre. Lorsqu'on étudie la propagation d'ondes monochromatiques dans un milieu poreux, l'approche fréquentielle est bien adaptée. Lorsqu'on travaille avec des signaux impulsionnels, l'analyse temporelle des données apporte des informations utiles que l'on peut dicilement mettre en évidence dans le domaine fréquentiel. Par exemple, dans le cas des matériaux inhomogènes, le traitement temporel des signaux transmis et rééchis donne des indications sur la nature et sur la position des inhomogénéités du milieu. Par ailleurs, la caractérisation ultrasonore des matériaux poreux dans le domaine fréquentiel nécessite d'eectuer le déroulement du spectre de phase des signaux incidents et transmis à travers un milieu poreux. Cette opération est délicate lorsque les signaux sont bruités. Dans notre étude, les approches temporelle et fréquentielle seront présentées et employées. Le premier chapitre de ce rapport présente les diérents modèles qui décrivent le comportement des ondes acoustiques dans un milieu poreux. On en rappelle les hypothèses, puis on dénit les diérents paramètres acoustiques, caractéristiques du milieu. La théorie du uide équivalent et la théorie de Biot sont exposées, puis on introduit les approches temporelle et fréquentielle. Les chapitres(2), (3) et (4) constituent la première partie de ce travail et traitent le cas des matériaux poreux saturés par l'air. Dans le chapitre(2) on détermine les paramètres porosité et tortuosité à l'aide des signaux rééchis à la première interface d'un matériau poreux, en incidence normale et en incidence oblique. Dans le chapitre(3), on étudie les réexions multiples qui se produisent au sein d'un matériaux poreux soumis à une onde acoustique incidente. Le chapitre(4) est consacré à la caractérisation en basse fréquence des milieux poreux. La deuxième partie, constituée des chapitres(5) et (6), concerne les matériaux poreux saturés par un liquide. Le chapitre(5), théorique, présente la théorie de Biot et propose quelques techniques pour évaluer quelques-uns des nombreux paramètres acoustiques et mécaniques nécessaires pour décrire la propagation acoustique dans les matériaux à structure élastique. Enn, le chapitre(6), expérimental, regroupe les résultats obtenus pour caractériser une céramique poreuse d'alumina, et des échantillons poreux de tissus biologiques humains.

11 Chapitre Généralités : Modélisation de la propagation dans les milieux poreux Lorsqu'une onde acoustique se propage dans un milieu poreux, les phases solides et uides sont mises en mouvement et des interactions entre structure et uide génèrent, dans le milieu poreux, de la dissipation. L'objectif de ce chapitre est de présenter les diérents modèles utilisés pour décrire ces phénomènes. Ces modèles ont été développés en supposant vériées un certain nombre d'hypothèses que l'on rappelle rapidement dans la première partie. On dénit ensuite les diérents paramètres acoustiques caractéristiques du milieu. La théorie de uide équivalent, exposée dans la section suivante, traite le cas de la structure rigide : on ne considère alors que les déplacements de la partie uide du poreux. La théorie de Biot, formulée pour prendre en compte les mouvements du uide et du solide, est résumée par la suite. Enn, on introduit l'approche temporelle permettant d'étudier la propagation acoustique dans les milieux poreux avec une vision diérente de l'approche fréquentielle.. Hypothèses A l'échelle microscopique, un milieu poreux est fortement hétérogène. Une description microscopique du milieu poreux est trop complexe, et le comportement d'un matériau poreux est étudié de manière macroscopique en raisonnant sur les valeurs moyennes des grandeurs microscopiques. On considère que les déplacements des phases solides et uides sont petits. Pour les phénomènes acoustiques, cette condition est toujours vériée. D'autres hypothèses doivent être adoptées pour utiliser les résultats de la mécanique des milieux continus.

12 4 Généralités : Modélisation de la propagation dans les milieux poreux.. Continuité des phases Les phases solides et uides sont supposées être continues. La structure est connexe. Ainsi, les pores du milieu poreux sont supposés être connectés entre eux et avec l'extérieur. La présence d'éventuelles inclusions fermées au sein du milieu poreux n'est pas prise en compte...2 Homogénéité Les paramètres qui caractérisent le milieu poreux sont dénis sur un volume d'homogénéisation V H. Pour un paramètre donné, il s'agit d'une sphère de rayon R H choisie telle que la valeur moyenne de ce paramètre reste constante si l'on augmente le rayon ou si l'on déplace le centre de la sphère. A notre échelle d'observation, le volume V H apparaît comme un point...3 Grande longueur d'onde An de négliger les eets de la diusion au sein du matériau, on travaille à des fréquences telles que la longueur d'onde λ est grande devant les dimensions du volume d'homogénéisation, donc grande devant la dimension caractéristique des pores (rayon moyen des pores)...4 Isotropie Les matériaux poreux considérés dans cette étude sont supposés isotropes. Cette hypothèse n'est pas nécessaire, mais elle simplie grandement les développements analytiques..2 Paramètres décrivant le milieu poreux Dans le uide libre, dans le cas où l'on néglige les pertes, il sut de donner la densité et le module d'incompressibilité du uide pour caractériser la propagation des ondes acoustiques. Dans le cas des milieux poreux, la présence de la phase solide modie le comportement des ondes acoustiques. Des interactions entre phase solide et phase uide créent d'importantes variations de vitesse et de température au sein du matériau, qui génèrent à leur tour une dissipation visqueuse et thermique. C'est la géométrie complexe du poreux qui est responsable de cette dissipation. An de quantier l'inuence de cette géométrie sur le comportement des ondes acoustiques dans le milieu poreux, un certain nombre de paramètres pertinents sont dénis.

13 .2 Paramètres décrivant le milieu poreux 5.2. Porosité [8, 24, 5] La porosité d'un milieu poreux est le rapport entre le volume occupé par le uide V f et le volume total V T du matériau : φ = V f V T. En notant V S le volume de la phase solide, on a V S = V T V f. Si les pores sont connectés entre eux et avec l'extérieur, on parle de porosité ouverte. S'il existe au sein du matériau des inclusions fermées, la porosité est dite occluse. Dans ce travail, on s'intéresse à la fraction poreuse connexe. On fait abstraction des éventuelles parties uides enfermées dans le solide qui contribuent alors aux caractéristiques de la structure. On ne considère donc que la porosité ouverte. La valeur de la porosité est comprise entre et. Les matériaux poreux utilisés pour l'absorption acoustique (mousses polyuréthanes, laine de verre...) ont généralement une porosité comprise entre.85 et.99. Les céramiques poreuses ou les roches peuvent prendre des valeurs très inférieures []. Les diérentes techniques [8, 69, 5, 82, 24, 47] permettant de mesurer la porosité φ d'un matériau poreux sont présentées au chapitre(2), section(2.. p.32)..2.2 Tortuosité [86, 5, 52, 5] La tortuosité α est un paramètre important pour décrire les eets inertiels qui se produisent entre les parties uide et solide d'un matériau poreux. Pour des pores cylindriques parallèles, la tortuosité correspond au facteur de forme k s introduit pas Zwikker et Kosten [86]. Pour des pores de forme quelconque, Johnson et coll [5] donnent, de la tortuosité, la dénition suivante : α = ( V f V f v 2 m dv V f V f v m dv ) 2. (.) Dans cette expression, v m est le champ des vitesses ( microscopiques ) d'un uide parfait incompressible s'écoulant à travers la structure et le terme V f V f v m dv s'interprète comme la vitesse macroscopique. Vitesse microscopique du uide et vitesse macroscopique sont de normes et de directions diérentes. La tortuosité rend compte de la plus ou moins grande sinuosité des pores et donne une indication sur la taille des pores par rapport à la taille de l'échantillon, ainsi que sur les changements de section des pores. La tortuosité est un scalaire supérieur à. Pour les mousses plastiques et les matériaux breux, la tortuosité est comprise entre et 2. C'est un paramètre géométrique connecté au comportement haute fréquence de l'écoulement uide dans le matériau. Plusieurs méthodes existent pour estimer la tortuosité. Elles sont exposées au chapitre(2), section(2..2 p.33).

14 6 Généralités : Modélisation de la propagation dans les milieux poreux.2.3 Résistivité spécique au passage d'un uide σ [9, 86] La structure solide gêne l'écoulement du uide. La résistivité quantie la résistance du milieu poreux au passage du uide. Quand un échantillon de matériau poreux est traversé par un écoulement continu de uide, une diérence de pression apparaît entre ses deux extrémités. Il existe une relation de proportionnalité entre chute de pression p et débit Q v donnée par la loi de Darcy [6] : p = R Q v. Le coecient de proportionnalité R correspond à la résistance au passage du uide. Pour un matériau de section S et d'épaisseur d, la résistivité, caractéristique du matériau et du uide, est dénie par : σ = S d R ( kg m 3 s ). La résistivité des matériaux breux et des mousses plastiques varie généralement entre 5 et 5Nm 4 s []. La résistivité est un paramètre important pour décrire le comportement d'un matériau poreux aux basses fréquences. On étudie au chapitre((4) p.95) une méthode pour la déterminer..2.4 Perméabilité visqueuse k La perméabilité statique visqueuse, ou perméabilité de Darcy [6], est reliée à la résistivité par la relation : k = η σ. η est la viscosité dynamique du uide. Pour l'air, on a η =.84 5 poiseuille. La perméabilité est un paramètre géométrique, homogène à une surface (elle s'exprime en m 2 ). Elle est indépendante de la nature du uide saturant et ne dépend que de la géométrie interne du matériau poreux. Elle représente une section eective des pores pour l'écoulement du uide. Elle est connectée au comportement basse fréquence des pertes visqueuses dans le matériau..2.5 Longueur caractéristique visqueuse Λ [5] Introduite par Johnson et coll [5] pour décrire les eets visqueux en haute fréquence, la longueur caractéristique visqueuse est dénie par la relation suivante : 2 Λ = S i v 2 m ds i V f v 2 m dv.

15 .2 Paramètres décrivant le milieu poreux 7 v m est la vitesse microscopique d'un uide parfait incompressible, S i est la surface de l'interface des phases solide et uide. A l'intérieur des pores le uide peut être considéré comme parfait, sauf à proximité des parois où les eets visqueux apparaissent et induisent une décroissance des vitesses microscopiques qui s'annulent au niveau des surfaces de contact solide-uide. La longueur caractéristique visqueuse correspond à un rayon moyen des pores pondéré par la vitesse microscopique au carré. C'est un paramètre haute fréquence, indicateur des pores de petite taille. Elle s'exprime en mètre et est généralement comprise entre µm et 4µm pour les matériaux acoustiques les plus utilisés. L'estimation de la longueur caractéristique visqueuse peut être obtenue par des méthodes ultrasonores. Ces techniques sont rappelées au chapitre(2), section(2..3 p.35) [5, 67, 5, 72]..2.6 Perméabilité thermique k [56, 57] Introduite par Lafarge [56, 57], la perméabilité thermique représente, comme la perméabilité k pour les eets visqueux, une section eective pour les échanges thermiques. Elle est homogène à une surface. En soumettant un échantillon de matériau poreux à une pression uniforme très lentement p variable :, il apparaît dans le uide au niveau microscopique des températures t excédentaires. La moyenne T de la température dans le domaine uide est indépendante du temps, et vérie une loi de type Darcy [56] : T = k p χ t, où χ est le coecient de conduction thermique. On peut établir un parallèle entre eets thermiques et visqueux : le terme p représente la source, comme le terme p pour les eets t visqueux ; la température T se comporte comme la vitesse v, et le coecient de conduction thermique est comparable à la viscosité dynamique. La perméabilité thermique est encore égale à l'inverse de la constante de piégeage Γ : k = Γ. La constante de piégeage, caractéristique du réseau poreux, est liée à la mesure du temps moyen de survie τ m d'une particule qui diuse dans le milieu avec une constante de diusion D : τ m = ΓφD. Diusion Brownienne de particules et eets thermiques dans le milieu poreux sont comparables : aux particules uniformément et continuellement produites dans le milieu puis absorbées aux parois, correspond la température excédentaire "τ" qui s'annule au niveau des parois [56].

16 8 Généralités : Modélisation de la propagation dans les milieux poreux La perméabilité thermique k est connectée au comportement basse fréquence des pertes thermiques dans le matériau. Une estimation de ce paramètre peut être obtenue par des mesures au tube de Kundt [86]..2.7 Longueur caractéristique thermique Λ [23] Par analogie avec la modélisation de Johnson pour les eets visqueux, Champoux et Allard [23] dénissent la longueur caractéristique thermique Λ par la relation suivante : 2 = S i ds i Λ V f dv, S i est la surface de l'interface uide solide. V f représente le domaine uide. Λ mesure le rapport du volume des pores sur la surface de contact entre uide et solide, lieu des échanges thermiques. C'est un paramètre associé aux échanges de chaleur entre uide et structure en haute fréquence. Il est représentatif de la taille des grands pores. Le rapport (Λ /Λ) des longueurs caractéristiques thermique et visqueuse est, par dénition, supérieur à. Pour des laines de verre à bres cylindriques parallèles espacées, il est égale à 2. Il est généralement compris entre 2 et 3 pour des mousses polyuréthanes []. Les diérentes méthodes pour évaluer la longueur caractéristique thermique sont détaillées au chapitre(2), section(2..4 p.35). On peut citer par exemple la méthode BET [6] et la méthode des deux pentes [67, 72]..3 Modèles Lorsque le milieu poreux est saturé par un uide léger, l'impédance caractéristique de la phase solide est très supérieure à celle de la phase uide et la structure solide du matériau n'est généralement pas mise en vibration par le passage de l'onde sonore, elle reste immobile. Dans ce cas, on utilise la théorie du uide équivalent. Plusieurs modèles existent pour décrire les échanges viscothermiques qui se produisent entre les parties solide et uide d'un matériau poreux. La théorie de Kirchho [54] étudie les eets visqueux et thermiques qui se produisent dans un matériau à pores cylindriques parallèles. Zwikker et Kosten [86] montrent par la suite que ces deux phénomènes peuvent être traités séparément. Pour les eets visqueux on présente dans la suite de cette section le modèle de Johnson et coll [5] puis celui de Pride [75]. De manière similaire, les eets thermiques sont pris en compte par le modèle de Champoux et Allard [23, ] et comme Pride pour les eets visqueux, Lafarge [56] propose, pour les eets thermiques, une extension au modèle de Champoux et Allard. On termine cette partie en introduisant la théorie de Biot [, ]. Elle généralise la théorie du uide équivalent au cas où parties solide et uide sont mises en mouvement par le passage de l'onde sonore.

17 .3 Modèles 9.3. Théorie du uide équivalent Dans le uide libre, la propagation des ondes acoustiques est décrite par les équations fondamentales suivantes : v ρ f t = p, p K a t = v, où ρ f est la masse volumique du uide, v est la vitesse acoustique du uide en un point donné, p est la pression acoustique et K a est le module d'incompressibilité adiabatique du uide. De ces deux équations, on déduit l'équation de propagation suivante : p c 2 2 p t 2 =, avec : c = Ka ρ f, célérité de l'onde. Pour caractériser la propagation dans le uide, il sut de connaître ρ f et le module d'incompressibilité adiabatique K a du uide. Constante de propagation k et impédance caractéristique Z c sont réelles et données par : k = ω ρf K a et Z c = ρ f K a, ω est la pulsation. Lorsqu'on s'intéresse à la propagation des ondes acoustiques dans le uide inclus dans un matériau poreux dont la structure reste immobile, on doit prendre en compte la dissipation. La présence de la phase solide modie de manière importante le comportement des ondes dans le matériau, et les pertes visqueuses et thermiques ne sont plus négligeables. Au niveau des surfaces de contact entre uide et solide dans le matériau poreux, la vitesse acoustique et la température acoustique s'annulent. Il se crée alors dans le uide, d'importants rotationnels de vitesse et gradients de température qui génèrent une dissipation visqueuse et thermique. Du fait de l'existence de phénomènes irréversibles de pertes, constante de propagation et impédance caractéristique deviennent des fonctions complexes dépendantes de la pulsation ω : k(ω) = ω ρ(ω) K(ω), Z c (ω) = ρ(ω)k a (ω). Elles décrivent le comportement eectif du uide au niveau macroscopique. En introduisant les deux susceptibilités α(ω) et β(ω) appelées respectivement tortuosité dynamique [5] et compressibilité dynamique [23], on peut écrire : ρ(ω) = ρ f α(ω),

18 Généralités : Modélisation de la propagation dans les milieux poreux K(ω) = β(ω). K a Dans le uide limité, le mouvement obéit aux deux équations : ρ(ω) t < v >= < p >, K(ω) t < p >= < v >, où < v > et < p > sont des moyennes macroscopiques qui intègrent les variations locales des vitesses microscopiques acoustiques et des pressions acoustiques. Ainsi, pour décrire le comportement des ondes acoustiques dans les matériaux à structure rigide, il faut déterminer les deux fonctions α(ω) et β(ω). Tortuosité dynamique et compressibilité dynamique dépendent des caractéristiques physiques du uide et des paramètres géométriques précédemment dénis. Caractériser le milieu poreux conduit donc à évaluer ces diérentes grandeurs. Les susceptibilités dynamiques dépendent de la fréquence. Elles décrivent la réponse du uide limité à une certaine action extérieure (par exemple un gradient de pression harmonique). En réponse à ces actions, il intervient une suite de temps de relaxation associés aux divers phénomènes de pertes visqueuses et thermiques. Le rapport entre la période du mouvement imposé par l'action extérieure et les diérents temps de relaxation, dénit le comportement fréquentiel des susceptibilités dynamiques α(ω) et β(ω)..3.2 Susceptibilités dynamiques α(ω) et β(ω).3.2. Aspects qualitatifs des phénomènes Lorsqu'une onde acoustique rencontre un matériau poreux à structure rigide, les mouvements acoustiques du uide extérieur se transmettent au uide saturant le milieu poreux. La vitesse du uide, du fait de sa viscosité, s'annule au niveau des parois. Il se crée d'importants gradients de vitesse, les particules de uide frottent les unes contre les autres, et de l'énergie acoustique est dissipée par friction visqueuse. La dissipation visqueuse dépend de la fréquence du mouvement. Pour spécier les régimes asymptotiques haute et basse fréquence, on compare, à une fréquence f = ω/2π donnée, la dimension caractéristique des pores "a" avec l'épaisseur de couche limite visqueuse dénie par : 2η δ =, ωρ f

19 .3 Modèles où η est la viscosité dynamique. Si l'épaisseur de couche limite visqueuse est petite devant la dimension "a" des pores, c'est à dire si (δ/a ), on est en régime haute fréquence. Les eets visqueux n'ont lieu que dans une faible épaisseur de uide, au niveau des parois. Dans le reste du volume uide, le uide se comporte comme un uide parfait. Si au contraire, δ est grande ou de l'ordre de grandeur du rayon des pores, on se situe dans le régime basse fréquence, et les eets visqueux ont lieu dans tout l'espace uide. Dans ce cas, le uide se déplace en bloc avec la structure. Une deuxième cause importante de dissipation est liée aux échanges thermiques entre uide et solide. Lorsqu'une onde acoustique se propage dans un milieu uide, il se crée une suite de compressions et de dilatations. A une compression est associée une augmentation de la température. Les capacité et conductivité thermiques du solide étant beaucoup plus grandes que celles du uide, la structure solide reste à température constante lors du passage de l'onde acoustique. Comme par ailleurs, il doit y avoir continuité des températures entre le uide et la phase solide, les températures excédentaires acoustiques doivent s'annuler au niveau des parois. Ainsi des gradients de température apparaissent dans le uide et une conduction de la chaleur entre uide et solide se produit. Cette conduction de la chaleur est responsable de la dissipation thermique au sein du matériau. Comme pour les eets visqueux, le comportement du matériau poreux relatif aux eets thermiques dépend du domaine fréquentiel dans lequel on se place. On peut dénir une épaisseur de couche limite thermique : δ = 2χ ρ f C p ω = δ Pr. χ est le coecient de conduction thermique, C p est la chaleur spécique à pression constante, ρ f est la densité du uide, δ est l'épaisseur de couche limite visqueuse et P r est le nombre de Prandtl. Aux basses fréquences, lorsque δ est grand devant le rayon "a" des pores, les mouvements sont lents et les échanges thermiques entre solide et uide peuvent se réaliser. La température du uide reste constante, la structure jouant le rôle d'un régulateur de température donnant de la chaleur au uide quand il est en phase de dilatation, et le refroidissant quand il est comprimé. Le mouvement peut alors être considéré comme isotherme. Lorsque la fréquence augmente, l'épaisseur de couche limite thermique diminue, et les eets thermiques ont lieu dans une faible épaisseur de uide au niveau des parois. Le cycle de compressiondétente du uide est beaucoup plus rapide qu'aux basses fréquences, et les échanges thermiques n'ont plus le temps de se réaliser. Le mouvement du uide est adiabatique.

20 2 Généralités : Modélisation de la propagation dans les milieux poreux Au cours de leurs travaux sur les pores cylindriques à section circulaire, Zwikker et Kosten [86] ont montré qu'en première approximation, les eets thermiques et visqueux étaient déconnectés. En utilisant les techniques de l'homogénéisation, qui consistent à considérer que la longueur d'onde de l'excitation est grande par rapport aux dimensions des pores, on peut montrer qu'il en est de même pour les matériaux poreux quelconques. Ainsi, les eets inertiels et visqueux n'interviennent que dans la tortuosité dynamique α(ω) alors que les eets thermiques sont pris en compte dans la compressibilité dynamique β(ω). Aux deux extrémités haute et basse fréquence, les équations qui décrivent le comportement du matériau poreux se simplient. A partir de la connaissance des limites asymptotiques basse et haute fréquence de la tortuosité dynamique et de la compressibilité dynamique, plusieurs théories ont été développées pour modéliser le comportement du matériau poreux aux fréquences intermédiaires. On présente celle de Johnson-Champoux-Allard [5, 23], et celle de Pride-Lafarge [75, 56, 57] Tortuosité dynamique α(ω) Modèle de Johnson et coll [5] Johnson, Koplik et Dashen [5] ont proposé un modèle qui généralise pour les milieux poreux quelconques, les résultats obtenus pour des matériaux à pores cylindriques. La limite basse fréquence de la tortuosité dynamique est donnée par la loi de Darcy : α(ω) ηφ ρ f k jω ω. (.2) En régime basse fréquence, la perméabilité visqueuse k et la porosité φ sont nécéssaires pour décrire les eets visqueux. En haute fréquence la tortuosité dynamique dépend de la tortuosité α et de la longueur caractéristique visqueuse Λ : ( α(ω) α + 2 ) η Λ jωρ f pour ω grand. (.3) A partir des ces deux expressions asymptotiques, on peut construire une fonction analytique valable aux fréquences intermédiaires : ( ) α(ω) = α + + M2 jx jx, (.4) où M est le facteur de forme. On a : x = ωα ρ f σφ et M = 8k α φλ 2.

21 .3 Modèles 3 Modèle de Pride et coll [75] L'expression asymptotique haute fréquence de Johnson (.3) pour la tortuosité dynamique s'arrête au terme ( jω ). Pride et coll [75] proposent dans le développement un terme supplémentaire en : jω α(ω) α ( + 2 Λ η jωρ f + ) σφ( p) jωρ f α pour ω grand. (.5) Ainsi, Pride introduit un nouveau paramètre géométrique sans dimension "p". Il est lié à la grandeur notée α qui apporte une correction de type inertielle aux basses fréquences : p = M ( ). (.6) α 4 α Les relations qui dénissent α et la tortuosité α sont semblables (cf. relation (.)) : α = < v2 > < v > 2, (.7) mais à la diérence de la tortuosité α, pour α, le champ des vitesses microscopiques v correspond à celui d'un uide visqueux en régime permanent [56]. α est toujours supérieur à la tortuosité α. La limite basse fréquence de la tortuosité dynamique est donnée par la relation : α(ω) ηφ ρ f k jω + α, (.8) et la nouvelle expression analytique valable à toutes les fréquences est : ( ( )) α(ω) = α + p + p + M2p2 jx jx. (.9) En prenant p = dans l'expression de la tortuosité dynamique de Pride, on retrouve l'expression de Johnson Compressibilité dynamique β(ω) Comme la tortuosité dynamique pour les eets visqueux, la compressibilité dynamique β(ω) vient renormaliser le module d'incompressibilité adiabatique K a du uide libre pour prendre en compte, dans le cas du uide saturant un milieu poreux, les échanges thermiques entre le uide et la structure. On a alors : K eff = K a β(ω). (.) Pour la compressibilité dynamique β(ω) plusieurs modèles existent. Ils sont construits à partir des limites asymptotiques basse et haute fréquence.

22 4 Généralités : Modélisation de la propagation dans les milieux poreux Modèle de Champoux et Allard [3, 23] Aux très basses fréquences, dans le cas où la capacité calorique de la structure est grande, le uide reste à température quasi-constante, et le mouvement du uide dans le matériau poreux peut-être considéré comme isotherme. On a : K eff (ω) K a γ ω. (.) Aux basses fréquences le développement de la compressibilité dynamique est donné par Lafarge [56], en introduisant la perméabilité thermique k, semblable à la perméabilité visqueuse k pour les eets visqueux : β(ω) γ (γ )ρ fk P r ηφjω pour ω petit. (.2) En très hautes fréquences, le cycle de compressions-dilatations est trop rapide pour que des échanges de chaleur entre structure et uide aient le temps de se réaliser. Le mouvement devient adiabatique : K eff (ω) K a pour ω grand. (.3) Dans ce régime fréquentiel, les échanges thermiques ont lieu dans l'épaisseur de couche limite thermique δ. En introduisant le paramètre Λ, Allard et Champoux [3] ont déterminé, au premier ordre, la limite haute fréquence de β(ω) : β(ω) + 2(γ ) Λ η P r ρ f jω pour ω grand. (.4) Pour relier expressions asymptotiques haute et basse fréquence, la fonction analytique suivante est proposée : avec β(ω) = γ γ + jx + M 2 jx, (.5) x = ωρ fk P r ηφ et M = 8k φλ 2. Extension du modèle par Lafarge [56] Comme Pride pour les eets visqueux, Lafarge propose une extension au modèle de Champoux et Allard en ajoutant un nouveau paramètre : p. Ainsi en haute fréquence la nouvelle expression est donnée par : [ 2 η β(ω) + (γ ) Λ P r ρ f ( ) ηφ jω + k P r ρ f ( )] p jω pour ω grand. (.6)

23 .3 Modèles 5 p est un paramètre géométrique sans dimension relié à α, équivalent thermique du paramètre inertiel visqueux α : p = M 4(α ) L'expression générale de la compressibilité dynamique est : γ β(ω) = γ ( ) (.7) + p + p + M jx jx 2p 2 En prenant p =, on retrouve l'expression de la compressibilité dynamique donnée par Champoux et Allard..3.3 Théorie de Biot [, ] La théorie de Biot [, ] généralise la théorie du uide équivalent au cas où la structure n'est plus rigide. Développée initialement dans le cadre de la recherche pétrolière, la théorie de Biot est un modèle semi-phénoménologique qui fournit une description générale de la propagation dans les milieux poreux. Les hypothèses rappelées dans la première partie de ce document sont encore valables pour la théorie de Biot. Le milieu poreux est supposé isotrope et constitué de deux phases : une phase solide et une phase uide. Ces deux phases sont libres de se déplacer sous l'action d'une force extérieure. Les déplacements des deux phases sont supposés petits. La longueur d'onde est grande devant les dimensions des pores, et devant le volume d'homogénéisation, déni comme étant le volume de taille minimum tel que les paramètres caractéristiques du milieu poreux aient une valeur indépendante de ce volume. Ainsi, le milieu poreux est traité comme un milieu continu. En tout point du matériau, on peut dénir les déplacements de la phase solide et de la phase uide séparément, comme une moyenne sur un élément de volume dv des déplacements microscopiques. On dénit séparément les tenseurs déformation associés à chacune des deux phases, ainsi que les contraintes qui s'exercent sur le uide et sur la structure. Du fait de la nature uide d'une des deux phases, on supposera que le cisaillement du uide ne génère de force de rappel ni sur le uide, ni sur le solide. En écrivant les équations du mouvement, on obtient un système d'équations couplées. Il reste ensuite à introduire dans le modèle les phénomènes de pertes. Le uide saturant la structure solide n'est pas parfait, et des pertes viscothermiques interviennent. Comme dans le cas de la théorie du uide équivalent, eets thermiques et eets visqueux sont déconnectés. Pour prendre en compte les eets visqueux, les densités sont renormalisées. Pour les eets thermiques, on doit corriger le module d'incompressibilité du uide K f.

24 6 Généralités : Modélisation de la propagation dans les milieux poreux.3.3. Equations de Biot Cas sans pertes En chaque point macroscopique du milieu on dénit donc deux champs indépendants des déplacements : le déplacement moyen du solide u et le déplacement moyen du uide U. En utilisant le formalisme de Lagrange, on obtient les équations du mouvement de Biot : 2 u ρ t + ρ 2 U 2 2 = P ( t. u) + Q (. U) N ( u), (.8) 2 2 U ρ 22 t + ρ 2 u 2 2 = R ( t. U) + Q (. u). (.9) 2 Ces équations montrent que toute force agissant sur le solide, doit mettre en mouvement, non seulement le solide, mais également, partiellement le uide. De façon similaire, toute force agissant sur le uide met en mouvement le uide et le solide. Les termes ρ ij ont la dimension d'une densité. Ils sont liés à la densité du uide ρ f et à la densité du solide ρ s par les relations suivantes : ρ = ( φ)ρ s ρ 2, (.2) ρ 22 = φρ f ρ 2. (.2) Le terme ρ 2 traduit le couplage inertiel entre uide et structure. Il apparait comme une contribution aux densités du uide et du solide, due aux interactions entre uide et structure. P, Q, R sont les coecients d'élasticité de Biot. Les relations contraintes-déformations permettent de les interpréter. Les contraintes s'exerçant sur le solide σij s et sur le uide σ f ij sont données par : [ σij s = (P 2N) u + Q U ] δ ij + N (u i,j + u j,i ), (.22) ( σ f ij = R U + Q ) u δ ij. (.23) Le paramètre Q traduit le couplage élastique entre solide et uide. N est le module de cisaillement de la structure solide. Les coecients d'élasticité P, Q et R sont fonctions des modules d'incompressibilité des phases uide et solide, et de la porosité φ du milieu poreux : ( ) ( φ) φ K b K s K s + φ Ks K f K b P = Q = φ K b K s + φ Ks K f ( φ K b K s ) φk s N, (.24) φ K b K s + φ K s K f, (.25) R = φ 2 K s. (.26) φ K b K s + φ Ks K f

25 .3 Modèles 7 K f, K s et K b sont respectivement les modules d'incompressibilité de la phase uide dans le matériau poreux, de la phase solide et de la structure dans le vide. Ils dépendent des paramètres mécaniques classiques : les modules d'young et les coecients de Poisson du solide E s, ν s et du squelette E b, ν b. Introduction des pertes Introduction de la fonction de dissipation de Biot Les phénomènes irréversibles de dissipation induisent un nouveau couplage, appelé couplage visqueux, entre les parties uide et solide. Biot prend en compte les pertes visqueuses en introduisant dans le modèle une fonction de dissipation faisant intervenir le mouvement diérentiel uide-solide : ( M = 2 b(ω) u t U t ) 2. (.27) Le facteur b(ω) dépend de la fréquence, et pour les matériaux à pores cylindriques parallèles il est donné par : b(ω) = φ 2 σ (µ j) T (µ j) ( ), (.28) 4 2 T (µ j) (µ j) où σ est la résistance spécique au passage de l'air, et µ et T sont dénis par : 8α µ = ωρ f et T (x) = J (x) σφ J (x). (.29) Si les pores cylindriques parallèles sont inclinés d'un angle θ par rapport à la normale à la surface, les paramètres géométriques porosité φ, tortuosité α et résistivité σ s'expriment de façon littérale par les relations [, 86] : φ = nπ r2 cos θ, α = cos 2 θ et σ = 8η r 2 φ cos 2 θ. (.3) r est le rayon hydraulique des pores. Il est déni comme le double de la section du pore sur son périmètre. n est le nombre de pores par unité de surface. Pour généraliser la fonction de dissipation aux matériaux poreux dont les pores ont des formes aléatoires, Biot introduit un paramètre "c" ajustable dans l'équation (.29) : µ = c ωρ f 8α σφ. (.3)

26 8 Généralités : Modélisation de la propagation dans les milieux poreux Avec les forces de dissipation, les équations du mouvement de Biot s'écrivent : 2 u ρ t + ρ 2 U 2 2 = P ( t. u) + Q (. U) N ( u) 2 ( U + b(ω) ) t u, (.32) t 2 U ρ 22 t + ρ 2 u 2 2 = R ( t. U) + Q (. u) 2 ( U b(ω) ) t u. (.33) t La fonction de dissipation introduite par Biot ne prend en compte que les eets visqueux dus au mouvement relatif uide solide dans les pores. Elle vient corriger les densités ρ ij. Introduction des susceptibilités dynamiques α(ω) et β(ω) Lorsque le uide saturant est un liquide, la dissipation est due essentiellement à la viscosité du uide. Quand le matériau poreux est saturé par un uide tel que l'air, aux eets visqueux s'ajoutent les eets thermiques qui ne sont plus négligeables. A la place de la fonction de dissipation de Biot et pour généraliser le modèle de Biot à des matériaux poreux de géométrie quelconque, l'ensemble des pertes viscothermiques peut-être pris en compte en introduisant dans les équations de Biot, les susceptibilités dynamiques de Johnson, présentées précédemment. La tortuosité dynamique α(ω) : ηφ α(ω) = α + jωα ρ f k + j 4α2 k 2 ρ f ω ηλ 2 φ 2, (.34) traduit les eets inertiels et visqueux et corrige la valeur des densités ρ ij. On a alors : ρ = ( φ)ρ s ρ 2, (.35) ρ 22 = φρ f ρ 2, (.36) ρ 2 = φρ f (α(ω) ). (.37) La compressibilité dynamique β(ω) : ηφ 2 β(ω) = γ (γ ) + + j 4k P r ρ f ω jωρ f k P r ηλ 2 φ 2, (.38) prend en compte les eets thermiques et modie le module d'incompressibilité du uide K f : à la place de (/K f ), il faut prendre (β(ω)/k f ).

27 .3 Modèles 9 Comparaison des fonctions de dissipation de Biot et de Johnson Dans la suite de ce travail, on utilisera les fonctions de dissipation de Johnson pour modéliser les phénomènes de perte dans le matériau poreux. Par rapport à la fonction de dissipation de Biot, le modèle de Johnson s'avère plus précis pour décrire la propagation des ondes acoustiques dans les milieux poreux. Il est par ailleurs plus général puisqu'il considère des pores de géométrie quelconque. On compare ici les deux fonctions dans le cas d'un matériau constitué de pores cylindriques. L'expression de la tortuosité dynamique de Johnson est rappelée ici : ηφ α J (ω) = α + jωα ρ f k + j 4α2 k 2 ρ f ω ηλ 2 φ 2 Le facteur de correction introduit par Biot, que l'on notera α B (ω), s'écrit : (.39) α B (ω) = α j b(ω) ωφρ f. (.4) La fonction b(ω) est donnée par les relations (.28), (.29) et (.3). En régime haute fréquence, les eets d'inertie dominent ceux de la viscosité. L'expression générale de la tortuosité dynamique de Johnson se simplie et devient : ( α J (ω) = α + 2 ) η ω. (.4) Λ jωρ f Pour la fonction de Biot, en haute fréquence, le terme b(ω)/ω tend vers et on a : α B (ω) = α ω. (.42) Dans ce domaine de fréquence, le uide visqueux se comporte comme un uide parfait. On a vu précédemment que le régime haute fréquence, variable suivant les caractéristiques du matériau, est atteint lorsque l'épaisseur de couche limite visqueuse δ est petite par rapport à la taille des pores r. Si on connait la taille moyenne des pores d'un matériau, on peut dénir une fréquence caractéristique délimitant les régimes haute et basse fréquence. Cette fréquence est telle que l'épaisseur de couche limite visqueuse est égale à la grandeur "r" : f c = η πρ f r 2. (.43) La gure(.) montre, à gauche, la fonction de dissipation de Biot α B (ω) pour : α =.25, φ =.85, σ = 5Nm 4 s. A droite, on compare la fonction de dissipation de Biot pour deux valeurs de la résistivité σ. Pour σ = 5Nm 4 s, la limite α =.25, est atteinte dès 5Hz. Plus la résistivité du matériau augmente, plus la fréquence limite augmente.