x 0 + f ' (x) f (x) ln 3 3 f (x) dx.

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1 T S Devoir surveillé 8 Vedredi avril 7 Exercice (5 poits) l (x + ) O cosidère la foctio f défiie sur [, + [ par f (x) = x +. O admet que le tableau de variatios de f est le suivat. O défiit la suite (U ) par so terme gééral U = + f (x) dx. x + f ' (x) f (x) l a) Justifier que, si x +, alors f ( + ) f (x) f (). b) Motrer, sas chercher à calculer U, que pour tout etier aturel, f ( + ) U f (). c) E déduire que la suite (U ) est covergete et détermier sa limite. Soit F la foctio défiie sur [, + [ par F (x) = [ l (x + ) ]. a) Justifier la dérivabilité de F sur [, + [ et détermier pour tout réel positif x le ombre F ' (x). b) O pose, pour tout etier aturel, I = f (x) dx. Calculer I. O pose, pour tout etier aturel, S = U + U + U. Calculer S. La suite (S ) est-elle covergete? Exercice (5 poits) Soit g la foctio défiie sur l itervalle ] ; + [ par : g(x) = x (x ) a) Démotrer que pour tout réel x de ], + [ o a : g(x) = (x + ) + (x ) x b) Trouver ue primitive G de g sur l itervalle ] ; + [. x Soit f la foctio défiie sur l itervalle ] ; + [ par : f (x) = (x ). Trouver ue primitive F de f sur l itervalle ] ; + [. E utilisat les résultats obteus précédemmet, calculer : I = x (x ) l x dx. O doera le résultat sous la forme p l + q l avec p et q ratioels. Exercice ( poits) Cet exercice est u questioaire à choix multiples costitué de six questios ; chacue comporte trois réposes, ue seule est exacte. O otera sur la copie uiquemet la lettre correspodat à la répose choisie. U lecteur d ue bibliothèque est passioé de romas policiers et de biographies. Cette bibliothèque lui propose 5 romas policiers et 5 biographies. 4% des écrivais de romas policiers sot fraçais et 7% des écrivais de biographies sot fraçais. Le lecteur choisit u livre au hasard parmi les ouvrages. La probabilité que le lecteur choisisse u roma policier est : a),4 b),75 c) 5. Le lecteur ayat choisi u roma policier, la probabilité que l auteur soit fraçais est : a), b),8 c),4 La probabilité que le lecteur choisisse u roma policier fraçais est : a),5 b),4 c), 4 La probabilité que le lecteur choisisse u livre d u écrivai fraçais est : a),9 b),7 c),475 5 La probabilité que le lecteur ait choisi u roma policier sachat que l écrivai est fraçais est : 4 a) b) c), Le lecteur est veu fois à la bibliothèque. La probabilité qu il ait choisi au mois u roma policier est : a) (,5) b),75 c),75 (,5)

2 Exercice 4 (7 poits) : A Clochemerle, la campage électorale fait rage. Deux listes A et B s'affrotet lors de joutes oratoires hebdomadaires. Chaque semaie de campage o «sode» au hasard u électeur. Les argumets des us et des autres fot qu'à l'issue de chaque semaie de campage, 8 % des électeurs favorables à la liste A et 7 % des électeurs favorables à la liste B chaget d avis. Au début de la campage 7 % des électeurs sot favorables à la liste A, les autres état favorables à la liste B. O défiit les évèemets suivats : A l'évéemet : " l'électeur est favorable à la liste A au début de la campage " B l'évéemet : " l'électeur est favorable à la liste B au début de la campage " et pour etier aturel o ul : A l'évéemet : " l électeur est favorable à la liste A à l issue de la ième semaie de campage " B l'évéemet : " l électeur est favorable à la liste B à l issue de la ième semaie de campage " O ote p la probabilité de A et o admet que chaque électeur vote et e se détermie que pour ue des deux listes. Détermier la probabilité qu'u électeur ait chagé d avis à l'issue de la première semaie. a) Détermier les probabilités des évéemets A et B. b) Exprimer p(a + A ) et p ( A + B ) e foctio de p. c) E déduire que pour tout etier, p + =,85 p +,7. a) Soit (U ) la suite de terme gééral U = p 7 5. Motrer que la suite (U ) est ue suite géométrique dot o détermiera le premier terme et la raiso. b) Exprimer p e foctio de 4 Combie de semaies doit durer la campage, au miimum, pour que la liste B remporte les électios? Justifier votre répose. hors barême NB : Toute ressemblace avec des persoes existat ou ayat existé e serait que pure coïcidece.

3 l (x + ) O cosidère la foctio f défiie sur [, + [ par f (x) = x +. O admet que le tableau de variatios de f est le suivat. Justificatio du tableau x l (x + ) est la composée de deux foctios dérivables elle est doc dérivable sur so esemble de défiitio doc sur [, + [ ], + [ f est doc le quotiet de deux foctios dérivables sur [, + [ et x x + e s'aule pas sur [, + [ doc f est dérivable sur [, + [ u(x) = l (x + ) et u '(x) = v(x)= x + et v '(x) = x + doc f ' (x) = (x + ) l (x +) x + l (x + ) (x + ) = (x + ) Pour tout réel x de [, + [ f ' (x) l (x + ) l (x + ) x + e x e e < doc pour tout réel x de [, + [ f ' (x) <. f est doc décroissate sur [, + [ O pose X = x + o a : lim x + l (x + ) x + = lim X + l X X =. O défiit la suite (U) par so terme gééral U = + f (x) dx. a) Justifier que, si x +, alors f ( + ) f (x) f (). f est décroissate sur [, + ] doc si x +, alors f ( + ) f (x) f (). b) Motrer, sas chercher à calculer U, que pour tout etier aturel, f ( + ) U f (). Pour tout réel x de [, + ], f ( + ) U f (). O peut itégrer les iégalités sur [, + ] : + f ( + ) dx : + f (x) dx : + f () dx doc [ f ( + ) x] + : + f (x) dx [ f () x] + doc f ( + ) ( + ) U f () ( + ) doc f ( + ) U f (). c) E déduire que la suite (U) est covergete et détermier sa limite. lim + x + f ' (x) f (x) l f ( + ) = lim + f () = doc d'après le théorème des gedarmes la suite (U ) est coverge vers. Soit F la foctio défiie sur [, + [ par F (x) = [ l (x + ) ]. a) Justifier la dérivabilité de F sur [, + [ et détermier pour tout réel positif x le ombre F ' (x). x l (x + ) est dérivable sur [, + [ et la foctio x x est dérivable sur IR doc la foctio F est la composée de deux foctio dérivable elle est doc dérivable sur so esemble de défiitio. F ' (x) = l (x + ) x + = f (x) b) O pose, pour tout etier aturel, I = f (x) dx. Calculer I. F est ue primitive f doc I = F (x) = [l ( + ) ] 4 O pose, pour tout etier aturel, S = U + U + U. Calculer S. La suite (S) est-elle covergete? [l ( + ) ] = [l ( + ) ] [ l ] S = f (x) dx + f (x) dx +. + f (x) dx = f (x) dx = I = [l ( + ) ] [ l ] [l ( + ) ] [ l ] lim = + doc la suite (S + ) diverge. Soit g la foctio défiie sur l itervalle ] ; + [ par : g(x) : g(x) = a) Démotrer que pour tout réel x de ], + [ o a : g(x) = (x + ) + (x ) x = x (x ) + x (x + ) (x ) x (x ) b) Trouver ue primitive G de g sur l itervalle ] ; + [. l (x + ) l (x ) G(x) = l x + + x (x ) (x + ) + (x ) x = x x + x + x x + x (x ) = x (x ) = g(x) x Soit f la foctio défiie sur l itervalle ]; + [ par : f (x) =. Trouver ue primitive F de f sur l itervalle ]; + [. (x ) u(x) = x et u '(x) = x doc f (x) = u '(x) (u(x) ) et ue primitive de f est doc F(x) = u(x) = x

4 E utilisat les résultats obteus précédemmet, calculer : I = x l x dx. (x ) O doera le résultat sous la forme p l + q l avec p et q ratioels. u(x) = l x et u '(x) = x x : x v '(x) = (x ) = f(x) et v(x) = F(x) = (x ) l x dx = l x x x x x dx = l 9 + l 4 + g(x) dx = l l 8 + l (x + ) l (x ) l x + + = l l l 4 l l l + l l = l + l l + 6 l + l + 6 l l + 8 l + 4 l = = l l 8 l + l l 8 l l Cet exercice est u questioaire à choix multiples costitué de six questios ; chacue comporte trois réposes, ue seule est exacte. O otera sur la copie uiquemet la lettre correspodat à la répose choisie. U lecteur d ue bibliothèque est passioé de romas policiers et de biographies. Cette bibliothèque lui propose 5 romas policiers et 5 biographies. 4% des écrivais de romas policiers sot fraçais et 7% des écrivais de biographies sot fraçais. Le lecteur choisit u livre au hasard parmi les ouvrages. Cette bibliothèque lui propose 5 romas policiers et,4 F 5 biographies doc P(P) = 5 =,75 P,75,6 F 4% des écrivais de romas policiers sot fraçais doc P P (F) =,4,5,7 F 7% des écrivais de biographies sot fraçais doc B P B (F) =,7, F La probabilité que le lecteur choisisse u roma policier est : P(P) = 5 =,75 a),4 b),75 c) 5. Le lecteur ayat choisi u roma policier, la probabilité que l auteur soit fraçais est : P P (F) =,4 a), b),8 c),4 La probabilité que Ie lecteur choisisse u roma policier fraçais est : P(F P) = P(P) P P (F) =,75,4 =, a),5 b),4 c), 4 La probabilité que le lecteur choisisse u livre d u écrivai fraçais est : P(F) = P(P F) + P(B F) =, +,5,7 =,475 a),9 b),7 c),475 5 La probabilité que le lecteur ait choisi u roma policier sachat que l écrivai est fraçais est : P(P F), P F (P) = = P(F),475 = 4 a) b) Le lecteur est veu fois à la bibliothèque. La probabilité qu il ait choisi au mois u roma policier est : a) (,5) b),75 c),75 (,5) Evéemet cotraire Il 'a choisi aucu roma policier c'est à dire qu'il a choisi biographies : (,5) P = (,5) c),

5 A Clochemerle, la campage électorale fait rage :deux listes A et B s'affrotet lors de joutes oratoires hebdomadaires. Chaque semaie de campage o «sode» au hasard u électeur. Les argumets des us et des autres fot qu'à l issue de chaque semaie de campage, 8 % des électeurs favorables à la liste A et 7 % des électeurs favorables à la liste B chaget d avis. Au début de la campage 7 % des électeurs sot favorables à la liste A, les autres état favorables à la liste B. O défiit les évèemets suivats A l'évéemet : "l'électeur est favorable à la liste A au début de la campage " B l'évéemet : "l'électeur est favorable à la liste B au début de la campage " et pour etier aturel o ul : A l'évéemet : "l électeur est favorable à la liste A à l issue de la ième semaie de campage" B l'évéemet : "l électeur est favorable à la liste B à l issue de la ième semaie de campage" O ote p la probabilité de A et o admet que chaque électeur vote et e se détermie que pour ue des deux listes. Détermier la probabilité qu'u électeur ait chagé d'avis à l'issue de la première semaie. A l issue de chaque semaie de campage, 8 % des électeurs favorables à la liste A et 7 % des électeurs favorables à la liste B chaget d avis doc p A (B ) =,8 et p B (A ) =,7 Au début de la campage 7 % des électeurs sot favorables à la liste A, les autres état favorables à la liste B doc p(a ) =,7 et p(b ) =, La probabilité qu'u électeur ait chagé d'avis est égale à : p(a B ) + p(b A ) = p A (B ) p(a ) + p B (A ) p(b ) =,8,7 +,7, =,77 a) Détermier les probabilités des évéemets A et B. p(a ) = p(a A ) + p(b A ) =,7,9 +,,7 =,665 p(b ) = p(a B ) + p(b B ) =,7,8 +,,9 =,5 b) Exprimer p(a + A ) et p ( A + B ) e foctio de p. p(a + A ) = p A (A + ) p(a ) =,9 p p ( A + B ) = p B (A + ) p(b ) =,7 ( p ) c) E déduire que pour tout etier, p+ =,85 p +,7 p + = p(a + A ) + p ( A + B ) =,7 ( p ) +,9 p =,7 + p (,9,7) =,85 p +,7. a) Soit (U) la suite de terme gééral U = p 7. Motrer que la suite (U) 5 est ue suite géométrique dot o détermiera le premier terme et la raiso. U + = p =,85 p =,85 p 9 =,85 p 7 5 La suite (U ) est doc géométrique de raiso,85 de premier terme p 7 5 = 7 b) Exprimer p e foctio de puis e déduire la limite de p. Peut-o proostiquer la liste gagate? U = 7 (,85) et doc p = 7 (,85) O sait que,85 < doc la suite (U ) est décroissate et la suite (p )aussi. lim p = 7,47. Au bout d'u certai temps le vote de B deviet majoritaire. + 5,9 A A,7,8 B,,7 A B,9 B,9 A + A p,8 B + p,7 A + B,9 B + 4 Combie de semaies doit durer la campage, au miimum, pour que la liste B remporte les électios? Justifier votre répose. Pour que la liste b gage il faut et il suffit que p <,5. p < 7 (,85) < 7 (,85) < 7 5 (,85) < 7 l (,85) < l 7 l 7 > l (,85) l 7 l (,85),97. La campage doit durer semaies, au miimum, pour que la liste B remporte les électios.