La structuration des savoirs dans la démarche «résolution de problèmes»

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1 TOPO perso proportionnalité (==> résolution de pb, traces écrites, éléments de progression, activités dont certaines liées aux tices, gestion des données) La structuration des savoirs dans la démarche «résolution de problèmes» Enseigner les mathématiques c'est mettre en place : Des situations pour agir seul ou a plusieurs : Expérimenter, chercher Des débats organises pour : Raisonner, comprendre Des activités individualisées pour : Automatiser, s'entraîner Des moments de synthèse, bilan : Structurer, institutionnaliser le savoir 1/ Pb de recherche 2/ La mise en commun permet de prendre en compte et de rapprocher les procédures utilisées, d analyser les procédures erronées. Toutes les démarches sont acceptées si elles permettent de trouver le bon résultat. Toute solution doit être justifiée et prouvée. NB : Tous les groupes ne passent pas au tableau, toutes les solutions ne sont pas forcément expliquées collectivement. Le but est de repérer une ou plusieurs procédures efficaces, et/ou une ou deux erreurs typiques à ne pas commettre. La 1ère synthèse peut être une affiche qui rappelle : le type de problème la ou les procédures possibles éventuellement les erreurs typiques à ne pas commettre les connaissances nécessaires s il y en a (vocabulaire, formule ) 3/Ensuite, les stratégies sont réinvesties par les élèves dans des problèmes d application (même type mais plus simple que les problèmes de recherche). 4/ On refait un bilan collectif au tableau pour ré-expliciter les procédures. La structuration peut intervenir en début de séance 3 ou 4, comme une réactivation : leçon à trous à compléter individuellement, puis correction collective. L idée est que les élèves structurent peu à peu les démarches et les savoirs dans leur tête. traces écrites sous la forme de questions méthodologiques - Comment reconnaître une situation de proportionnalité? - Comment comparer des proportions? - Comment résoudre un problème de recette? - Comment résoudre un problème d échelle? - Comment résoudre un problème de vitesses? - Comment calculer un pourcentage? - Comment agrandir ou réduire une figure? Exemples de traces écrites :

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5 La proportionnalité... Situations proportionnelles... Deux suites de nombres sont proportionnelles quand on passe de l une à l autre en multipliant ou en divisant les nombres d une suite par un même nombre, et que l on obtient les nombres de la seconde suite. Exemple : Pour éviter de calculer à chaque fois le montant à encaisser quand elle vend des sucettes, une boulangère a dressé le tableau suivant : Nombre de sucettes (le prix d une sucette est de 0,75 ) Prix correspondant en 0,75 1,50 2,25 3,00 3,75 4,50 5,25 6,00 6,75 7,50 Pour obtenir les nombres de la deuxième ligne du tableau (les prix des sucettes), elle a multiplié les nombres de la première ligne par 0,75 On dit que la suite des nombres de la première ligne est proportionnelle à la suite des nombres de la deuxième ligne. 0,5 est le coefficient de proportionnalité ou l opérateur qui permet de passer de la première ligne à la seconde. Si la situation est proportionnelle et que l on trace un graphique associant les données, tous les points sont alignés :... Il existe 2 situations particulières pour lesquelles la proportionnalité intervient : les pourcentages et les échelles.... Les échelles... - L échelle indique la proportion entre les mesures réelles et les mesures représentées sur des cartes, des plans, des images, des maquettes... Ces objets sont des représentations de la réalité diminuée (ou agrandie) de façon proportionnelle. L échelle constitue le coefficient de proportionnalité. Une maquette à l échelle 1 : 20 (on lit un vingtième), signifie que la taille réelle de l objet a été réduite 20 fois. Exemple : - On souhaite représenter sur un plan un terrain de football en réduisant 500 fois les dimensions du terrain. L échelle est donc de 1 : 500 (un cinq centièmes) et signifie que sur mon plan 1 cm sera équivalent à 500 centimètres (soit 5 mètres) de la réalité. (Les dimensions réelles d un terrain de football sont de 110 m de long et 65 m de large.) - Les dimensions sur le plan seront donc : Longueur du terrain sur le plan : 110 : 500 = 0,22 m (soit 22 cm) Largeur du terrain sur le plan : 65 : 500 = 0,13 m (soit 13 cm)... Quand on opère des calculs avec des échelles, il faut faire très attention à exprimer les deux grandeurs (réelles et représentées) dans la même unité....

6 Les pourcentages... Un pourcentage indique une proportion par rapport à 100. Un pourcentage est un cas particulier de proportionnalité. Le coefficient de proportionnalité est une fraction dont le dénominateur est 100. Le numérateur est appelé le taux du pourcentage % = Pour calculer le pourcentage d un nombre différent de 100, on peut multiplier le nombre par le taux du pourcentage et diviser le résultat par % de 500 = 25 x 500 = 100 Exemple : = 125 Dans un école, il y a 45 % (45 pour cent) de garçons. Cela signifie que si l on prend un groupe représentatif de 100 élèves de cette école, il y aura 45 garçons. Il y a 260 élèves dans cette école. 45 x % de 260 = = Le nombre de garçons est donc de 117. Activités possibles = 117

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17 Se repérer dans les graduations et conversions 1. verse le lait pour ½ l de crème (Le lait // graduation de l'eau = liquide) 2. verse le sucre pour ½ de crème 3. verse la farine pour ½ l de crème 4. verse le lait pour 1 l de crème (même quantité de lait que de crème ou doubler les proportions ) 5. verse le sucre pour 1 l de crème (doubler les proportions) 6. verse la farine pour 1 l de crème Gâteau de riz pour 6 personnes, même principe verse ¾ l de lait : avoir mémorisé que ¾ égale à 0,75 plus conversion l ==>ml : 750 ml verse le riz pour 2 personnes sachant que pour 6 il faut 300g (application du coef:3) verse le lait pour 2 personnes sachant que pour 6 = ¾ (W les fractions intéressant+ mém ¼ =0,25) verse le riz pour 9 pers (propriétées mult ou addit en passant par pour 3 ) verse le lait pour 8 personnes sachant que pour 6 il faut ¾ l

18 1. par essais successifs en mélangeant des portions de bleu l'élève trouve les bonnes proportions. Donne du sens à la notion de proportion, les élèves visualisent leur mélange ils peuvent réajuster les proportions en augmentant ou en diminuant les rapports 2. Puis les élèves doivent fabriquer la même couleur (conserver les mêmes proportions) en ayant une quantité de rouge différente. Dans cette première série d'exercices, il faut autant de rouge que de bleu. 3. Puis une dose de bleu pour deux doses de rouge. Pour 4 doses de rouge? 4. Puis 4 doses de bleu pour 2 doses de rouge (2 fois plus de bleu que de rouge) Pour 1 dose de rouge? 5. 3 doses de bleu pour 1 de rouge. Pour 2 doses de rouge? 6. 6 doses de rouge pour 2 doses de bleu. Pour 3 doses de rouge?

19 1. remplir le tableau sans oublier les unités ( les écrire comme ds le texte ml) à partir de la recette 2. pour 4? Deux fois moins donc diviser les quantités par deux 3. Pour 5? règle de trois ou retour à l'unité + ajouter pour 4. savoir arrondir un nombre à l'unité Validation par lecture de l'image. Possibilité de manipuler du matériel de classe en différenciation

20 Des nombres décimaux ET un rapport de 2 ou ½ entre les valeurs 1/ Un rapport de 1,5 entre les valeurs ou retour à l'unité. Rend possible le raisonnement il en faut autant plus la moitié 2/ 33 x (2/3) calcul le plus simple 3/ erreur possible compléter par 40 en reprenant le nombre de dents dans chaque roue 4/ faire 107,25x2 puis divisé le résultat par 3 Aide possible : usage de la calculatrice pour le dernier UTILISATION D'UN TABLEUR Sixième mais adaptable CM2 A télécharger sur : Objectif : Travail sur les situations de proportionnalité et non proportionnalité, sur les pourcentages (nuance de couleur dans des pots de peinture ), sur la lecture graphique ( quantités et/ou nuances ) Les histogrammes empilés permettent de visualiser les quantités de peinture et les comparer Les pourcentages empilés permettent de savoir si l'on a obtenu la même nuance dans les pots

21 Seulement les quantités du pot 1 sont données. Au dessus de chaque bulle qui énonce une condition, une phrase apparaît si la consigne n'est pas respecté Autre exercice Aborder la proportionnalité lors d'une séance avec un tableur CM2

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23 Mise en place d une séance de TICE en mathématiques sur la proportionnalité dans le cadre d une analyse de pratique. CM1 / CM2 Un problème de proportionnalité simple a été proposé aux élèves sous forme de diaporama (recette du gâteau yaourt pour 4 personnes). Il leur a été demandé de calculer des quantités d ingrédients pour huit personnes puis pour 20 et 40 personnes. Les élèves ont explicité leurs procédures respectives. Puis ils ont travaillé individuellement sur les exercices proposés sur un document excel. Les élèves ont pu avancer à leur rythme car le fichier était auto correctif. Attention : bien regarder les logiciels présents sur les ordinateurs de l école et prévoir un temps pour installer les exercices sur les postes. Connaissances et capacités : Résoudre, dans des cas simples, des problèmes relevant de la proportionnalité (pourcentages, échelles, conversions ), en utilisant les propriétés de linéarité, ou par l application d un coefficient donné dans l énoncé ou calculé. Objectif : Utiliser la linéarité multiplicative pour résoudre des problèmes relevant de la proportionnalité. Echange collectif. Présenter le problème suivant aux élèves, à haute voix, et projeter les illustrations correspondantes au tableau : Voici la recette illustrée du gâteau au yaourt, pour 4 personnes : - 1 yaourt ; 2 pots de sucre ; 2 œufs ; 3 pots de farine ; ½ pot d huile ; 1 sachet de levure chimique ; 1 sachet de sucre vanillé ;

24 Quelles quantités de ces ingrédients faudrait-il pour : - 8 personnes? - Réponse attendue : Certains vont penser qu il faut dessiner le double des ingrédients personnes? - 40 personnes? - 2 personnes? (s il reste du temps) Calculer les quantités de ces ingrédients pour 8 personnes, avec les élèves. Demander aux élèves : Comment peut-on faire pour résoudre ce problème sans avoir à refaire les dessins à chaque fois? Réponse attendue : Il faut faire des tableaux. Compléter oralement le tableaux

25 Comment va-t-on faire pour trouver le nombre d ingrédients qu il faut pour un nombre de personnes différent? Réponses attendues : - Pour 8 personnes, il faut multiplier par 2. - Pour 24 personnes, il faut multiplier par 6. - Pour 40 personnes, il faut multiplier par Pour 2 personnes, il faut diviser par 2. Par rapport aux données initiales Travail sur poste informatique par binôme (un CM1 et un CM2). Mettre les élèves par binôme. Projeter la page d exercices au tableau. Consigne : Vous avez tous sur votre poste des problèmes qu il faudra résoudre en complétant les tableaux. Lorsque la réponse est correcte : «c est bien», s affiche sur votre écran, sinon il faudra recommencer. Les élèves doivent écrire leurs prénoms et résoudre les problèmes. Le travail par binôme permet le tutorat entre élèves. Bilan collectif. Faire émerger les avis des élèves sur les différents problèmes présentés (difficultés, facilités )

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