BAC BLANC DE MATHÉMATIQUES SÉRIE S ANNÉE 2011/2012

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1 Lycée Albert CAMUS 28 mars 2012 BAC BLANC DE MATHÉMATIQUES SÉRIE S ANNÉE 2011/2012 Durée de l épreuve : 4H - Coefficient : 9 (Spécialité) Les calculatrices sont AUTORISÉES Le candidat doit traiter les quatre exercices. La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l appréciation des copies. Le barème est donné à titre indicatif. La feuille d annexe est à compléter et à rendre avec la copie. L exercice de spécialité (Exercice 1) est à rédiger sur une feuille à part (avec votre nom). 1/ 5 Tournez la page

2 Exercice 1 Spécialité Maths. A rendre sur une feuille à part. 5 points Les questions 1 et 2 sont indépendantes. Soit n un entier naturel non nul. 1 ) On considère l équation notée (E) : 3x + 7y = 10 2n où x et y sont des entiers relatifs. a ) Déterminer un couple (u ; v) d entiers relatifs tels que 3u + 7v = 1. En déduire une solution particulière (x 0 ; y 0 ) de l équation (E). b ) Déterminer l ensemble des couples d entiers relatifs (x ; y) solutions de (E). 2 ) On considère l équation notée (G) 3x 2 + 7y 2 = 10 2n où x et y sont des entiers relatifs. a ) Montrer que (modulo 7). Démontrer que si (x ; y) est solution de (G) alors 3x 2 2 n (modulo 7). b ) Reproduire et compléter le tableau suivant : Reste de la division euclidienne de x par Reste de la division euclidienne de 3x 2 par 7. c ) Démontrer que 2 n est congru à 1, 2 ou 4 modulo 7. En déduire que l équation (G) n admet pas de solution. 2/ 5

3 Exercice 2 Équation différentielle 5 points Soit f la fonction définie sur Ê par : f(x) = 9 2 e 2x 3e 3x. Partie A : Soit l équation différentielle (E) : y + 2y = 3e 3x. 1 ) Vérifier que la fonction g définie sur Ê par g(x) = 3e 3x est une solution de l équation (E). 2 ) Résoudre l équation différentielle (E ) : y + 2y = 0. 3 ) En déduire que la fonction h définie sur Ê par h(x) = 9 2 e 2x est une solution de (E ). 4 ) En remarquant que f = g + h, montrer que f est une solution de (E). Partie B : On nomme C f la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O; ı, j ) d unité 1 cm. Å 3 1 ) Montrer que pour tout x de Ê on a : f(x) = 3e ã. 2x 2 e x 2 ) Déterminer la limite de f en + puis la limite de f en. 3 ) Étudier les variations de la fonction f et dresser le tableau de variations de f. 4 ) Calculer les coordonnées des points d intersection de la courbe C f avec les axes du repère. Exercice 3 Suites 5 points Soit f la fonction définie sur l intervalle [0 ; + [ par : f(x) = 3 4 x + 1. On considère la suite définie pour tout n Æ par : u 0 = 4 u n+1 = f (u n ) 1 ) On a tracé, ci-dessous, la courbe C représentative de la fonction f sur l intervalle [0 ; + [ et la droite D d équation y = x. a ) Sur le graphique ci-dessous, placer sur l axe des abscisses, u 0, u 1, u 2 et u 3. Faire apparaître les traits de construction. b ) Que peut-on conjecturer sur le sens de variation et la convergence de la suite (u n )? 2 ) Dans cette question, nous allons démontrer les conjectures formulées à la question 1 ) b ). a ) Étudier le sens de variation de f sur [0 ; + [. b ) Pour tout entier naturel n, démontrer par un raisonnement par récurrence que : u n 1 u n+1 u n c ) En déduire que la suite (u n ) est convergente vers un réel l. d ) Quelle est la valeur de l? Justifier clairement. 3/ 5 Tournez la page

4 Exercice 4 Probabilité 5 points Un jeu consiste à tirer une boule d un sac contenant une boule noire et 9 boules blanches puis à lancer un dé bien équilibré à six faces numérotées de 1 à 6. Si la boule noire est tirée, il faut obtenir un nombre pair avec le dé pour gagner. Si la boule noire n est pas tirée, il faut obtenir un six avec le dé pour gagner. On appelle N l événement «la boule noire a été tirée» et G l événement «le joueur gagne». 1 ) a ) Traduire l énoncé par un arbre pondéré. b ) Démontrer que la probabilité de l événement G est égale à 1/5. c ) Le joueur ne gagne pas. Quelle est la probabilité qu il ait tiré la boule noire? 2 ) Pour jouer à ce jeu, une mise de départ de m euros est demandée. ( m est un nombre réel strictement positif). Si le joueur gagne, il reçoit 4 euros. S il ne gagne pas mais qu il a tiré la noire, le joueur récupère sa mise. S il ne gagne pas et qu il n a pas tiré la noire, il perd sa mise. On considère la variable aléatoire X donnant le gain algébrique du joueur. a ) Déterminer la loi de probabilité de X. b ) Montrer que l espérance mathématique de X est E(X) = 0, 8 0, 95 m c ) Pour que le jeu soit rentable, l organisateur doit récupérer en moyenne 1, 10 euro par partie. Déterminer quelle est la mise qu il doit alors demander à chaque joueur. 3 ) Soit n un entier naturel non nul. On joue n fois à ce jeu sachant qu après chaque partie, la boule est remise dans le sac. Déterminer la valeur minimale de n pour laquelle la probabilité de gagner au moins une fois est strictement supérieure à 0, / 5

5 Nom : Classe : T S... Exercice 3 : 4 Annexe. A rendre avec la copie. D 3 2 C 1 j 1 O i / 5

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