Jean-François BABADJIAN Maître de conférences

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1 Jean-François BABADJIAN Maître de conférences Université Pierre et Marie Curie Paris 6 UMR 7598, Laboratoire Jacques-Louis Lions Table des matières 1 Curriculum Vitæ 2 2 Activités d enseignement 3 3 Activités de recherche 4 4 Responsabilités diverses 7 5 Description des travaux de recherche 9 1

2 1 Curriculum Vitæ Etat civil Jean-François BABADJIAN Né le 26 novembre 1979 à Domont (Val d Oise) Nationalité française Situation de famille : marié, deux enfants Adresse postale Adresse professionnelle Laboratoire Jacques-Louis Lions 4, Place Jussieu Université Paris 6 Pierre et Marie Curie Tour Boîte courrier 187 Bureau 301 (3e étage) PARIS Cedex PARIS Contacts Téléphone : Fax : jean-francois.babadjian@upmc.fr Page web : Expérience professionnelle Depuis 2009 : Maître de Conférences à l Université Paris 6 Pierre et Marie Curie, Laboratoire Jacques-Louis Lions (section 26). Titulaire de la prime d investissement de recherche depuis Titulaire de la prime d investissement pédagogique depuis Délégation CNRS de 6 mois en : Professeur chargé de cours à temps complet (poste Hadamard) à l Ecole Polytechnique, Centre de Mathématiques Appliquées (CMAP) : Post-doctorant à l Université Grenoble 1 Joseph Fourier, Laboratoire Jean Kuntzmann (LJK), bourse du CNRS : Post-doctorant à la SISSA à Trieste (Italie), bourse Marie Curie : Allocataire-Moniteur à l Université Paris 13, Laboratoire des Propriétés Mécaniques et Thermodynamiques des Matériaux (LPMTM). Diplômes 2013 : Habilitation à diriger les recherches de l Université Paris 6 intitulée Méthodes variationnelles pour l étude de milieux dissipatifs : applications en rupture, endommagement et plasticité". Rapporteurs : A. Chambolle, G. Dal Maso, I. Fonseca. Composition du jury : G. Allaire, P. Cardaliaguet, A. Chambolle, G. Francfort, F. Murat, S. Serfaty : Thèse de doctorat en mathématiques de l Université Paris 13 intitulée Réduction dimensionnelle pour des milieux hétérogènes, troués ou fissurés", effectuée sous la direction de G. Francfort. Rapporteurs : A. Braides, A. Chambolle. Composition du jury : A. Braides, A. Chambolle, G. Francfort, O. Lafitte, H. Le Dret, J.-J. Marigo : Diplôme d Ingénieur en Mathématiques Appliquées et Calcul Scientifique de l Institut Galilée, Université Paris : DEA d Analyse Numérique de l Université Paris 6. 2

3 2 Activités d enseignement Services d enseignement Enseignements à l université Paris 6 ( ) Cours de pré-rentrée (L1 MIPI et PCGI) Cours de fonctions de plusieurs variables et intégrales multiples (L2 mathématiques) TD d introduction à l analyse numérique (L3 mathématiques) TD d intégration et théorie de la mesure (L3 mathématiques) TD d analyse fonctionnelle (M1 mathématiques et applications) Cours de calcul des variations et optimisation (M1 mathématiques et applications) Enseignements à l Ecole Polytechnique ( ) Petites classes d analyse numérique et optimisation (2e année) Petites classes de modélisation mathématique (2e année) Enseignement à la SISSA ( ) TD de théorie de la mesure (Laurea specialistica 1, niveau équivalent au M1) Enseignements à l Université Paris 13 ( ) TD de mécanique du solide rigide (DEUG MIAS 2 et STPI 2) TD d analyse : fonctions de plusieurs variables (DEUG STPI 2) TD et TP de langage C (DEUG MIAS 1) Encadrement d étudiants Stage de Master : Encadrement du TER de Clément Pagès. Sujet : Mesures et dimension de Hausdorff. Stages de Master : Encadrement du stage de M2 de Clément Mifsud, avec B. Després et N. Seguin (UPMC). Sujet : Méthodes variationnelles et hyperboliques appliquées aux systèmes mécaniques sous contrainte : Encadrement du stage de M2 de Dimitri Nicolas, avec G. Allaire (Ecole Polytechnique). Sujet : Conception optimale des structures. Thèse : Encadrement de la thèse de Clément Mifsud, avec B. Després et N. Seguin (UPMC). Sujet : Méthodes variationnelles et hyperboliques appliquées aux systèmes mécaniques sous contrainte. 3

4 3 Activités de recherche Thèmes de recherche Calcul des variations, équations aux dérivées partielles et théorie géométrique de la mesure. Réduction dimensionnelle, homogénéisation et problèmes aux discontinuités libres. Analyse spectrale, équations intégrales et potentiels de simple couche. Equations hyperboliques sous contraintes, systèmes de Friedrichs. Applications en mécanique des milieux continus (élasticité linéaire et non linéaire, endommagement, plasticité, mécanique de la rupture) et en électromagnétisme (équation de Helmholtz). Publications Les articles suivants sont téléchargeables à l adresse Articles publiés ou acceptés [P1] [P2] [P3] [P4] [P5] [P6] [P7] [P8] J.-F. Babadjian, G. A. Francfort : Spatial heterogeneity in 3D-2D dimensional reduction, ESAIM Control Optim. Calc. Var., 11, no. 1 (2005), J.-F. Babadjian : Quasistatic evolution of a brittle thin film, Calc. Var. Partial Differential Equations, 26, no. 1 (2006), J.-F. Babadjian, M. Baía : 3D-2D analysis of a thin film with periodic microstructure, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A, 136, no. 2 (2006), J.-F. Babadjian, M. Baía : Multiscale nonconvex relaxation and application to thin films, Asymptot. Anal., 48, no. 3 (2006), N. Ansini, J.-F. Babadjian, C. I. Zeppieri : The Neumann sieve problem and dimensional reduction : a multiscale approach, Math. Models Methods Appl. Sci., 17, no. 5 (2007), J.-F. Babadjian, M. Baía, P. M. Santos : Characterization of two-scale gradient Young measures and application to homogenization, Appl. Math. Optim., 57, no. 1 (2008), J.-F. Babadjian : Lower semicontinuity of quasiconvex bulk energies in SBV and integral representation in dimension reduction, SIAM J. Math. Anal., 39, no. 6 (2008), J.-F. Babadjian, E. Zappale, H. Zorgati : Dimensional reduction for energies with linear growth involving the bending moment, J. Math. Pures Appl., 90, no. 6 (2008), [P9] J.-F. Babadjian, M. Barchiesi : A variational approach to the local character of G-closure : the convex case, Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire, 26, no. 2 (2009) [P10] [P11] [P12] [P13] J.-F. Babadjian, V. Millot : Homogenization of variational problems in manifold valued BV -spaces, Calc. Var. Partial Differential Equations, 36, no. 1 (2009), J.-F. Babadjian, V. Millot : Homogenization of variational problems in manifold valued Sobolev spaces, ESAIM Control Optim. Calc. Var., 16, no. 4 (2010), J.-F. Babadjian : Stability of quasi-static crack evolution through dimensional reduction, Proceedings of the IUTAM Symposium on variational concepts and application to the mechanics of materials, IUTAM Bookseries 21, Springer, Netherlands (2010), J.-F. Babadjian, E. Bonnetier, F. Triki : Enhancement of electromagnetic fields caused by interacting subwavelength cavities, Multiscale Model. Simul., 8, no. 4 (2010),

5 [P14] [P15] [P16] [P17] [P18] [P19] [P20] J.-F. Babadjian : A quasistatic evolution model for the interaction between fracture and damage, Arch. Ration. Mech. Anal., 200, no. 3 (2011), J.-F. Babadjian, F. Prinari, E. Zappale : Dimensional reduction for supremal functionals, Discrete Contin. Dyn. Syst. A, 32, no. 5 (2012), J.-F. Babadjian, G. A. Francfort, M. G. Mora : Quasi-static evolution in non-associative plasticity the cap model, SIAM J. Math. Anal. 44, no. 1 (2012), J.-F. Babadjian, V. Millot : Unilateral gradient flow of the Ambrosio-Tortorelli functional by minimizing movements, Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 31, no. 4 (2014) A. A. León Baldelli, J.-F. Babadjian, B. Bourdin, D. Henao, C. Maurini : A variational model for fracture and debonding of thin films under in-plane loadings, J. Mech. Phys. Solids 70 (2014), J.-F. Babadjian, M. G. Mora : Approximation of dynamic and quasi-static evolution problems in elasto-plasticity by cap models, Quart. Applied Math. 73 (2015), J.-F. Babadjian, A. Giacomini : Existence of strong solutions for quasi-static evolution in brittle fracture, Ann. Sc. Norm. Super. Pisa Cl. Sci. (5) 13, no. 4, (2014), [P21] J.-F. Babadjian : Traces of functions of bounded deformation, Indiana Univ. Math. J. 64, no. 4 (2015), [P22] [P23] J.-F. Babadjian, A. Chambolle, A. Lemenant : Energy release rate for non smooth cracks in planar elasticity, J. Ecole Polytechnique Mathématiques 2 (2015) J.-F. Babadjian, C. Mifsud, N. Seguin : Relaxation approximation of Friedrichs systems under convex constraints, accepté dans Netw. Heterog. Media. Article soumis [P24] J.-F. Babadjian, D. Henao : A reduced model for linearly elastic thin films allowing for fracture and delamination. Communications orales Séminaires 2005 : Università di Roma La Sapienza Università degli Studi di Padova Ecole Polytechnique, CMAP, Palaiseau SISSA, Trieste 2006 : Instituto Superior Técnico, Lisbonne Séminaire EDP-MOISE, LMC, Université Grenoble : Groupe de travail d homogénéisation, LJLL, Université Paris 6 Ecole Polytechnique, CMAP, Palaiseau Séminaire de l équipe EDP, Laboratoire de Mathématiques, Université de Savoie, Chambéry Séminaire du CEREMADE Analyse-Probabilités, Université Paris Dauphine Séminaire d Analyse du LAGM, Université de Cergy-Pontoise 2008 : Séminaire de l équipe ACSIOM, I3M, Université Montpellier 2 Groupe de travail d analyse non linéaire, LJLL, Université Paris 6 Séminaire du Centre de Mathématiques et de Leurs Applications, ENS Cachan Séminaire EDP-MOISE, LJK, Université Grenoble 1 Séminaire de Physique Mathématique, Institut Fourier, Université Grenoble 1 Laboratoire IMATH, Université de Toulon et du Var Séminaire EDP, IRMAR, Université de Rennes 1 5

6 Séminaire CANSO, XLIM, Université de Limoges Séminaire du LJLL, Université Paris : Groupe de travail d homogénéisation, LJLL, Université Paris 6 Séminaire Méthodes Mathématiques en Imagerie, Institut Henri Poincaré Groupe de travail de problèmes inverses et optimisation de formes, CMAP, Ecole Polytechnique 2010 : Séminaire d analyse numérique EDP, Laboratoire Paul Painlevé, Université Lille 1 SISSA, Trieste Groupe de travail de calcul des variations, CMAP, Ecole Polytechnique Groupe de travail d homogénéisation, LJLL, Université Paris 6 Séminaire de mathématiques appliquées, LNAM, Université de Metz 2011 : Séminaire du LMAH, Université du Havre Università di Brescia Séminaire du laboratoire MIPA, Université de Nîmes 2012 : Università di Pavia Séminaire de l équipe ACSIOM, I3M, Université Montpellier 2 Groupe de travail de calcul des variations, CEREMADE, Université Paris-Dauphine 2013 : Université Paris-Nord 2014 : Université Paris-Sud Séminaire Parisien d Optimisation, IHP 2015 : SISSA, Trieste Séminaire d EDP, Université de Rennes 1, IRMAR Séminaire de modélisation et calcul scientifique, INRIA Rocquencourt Conférences 2004 : 36e Congrès National d Analyse Numérique, Obernai Kick-off meeting of the MULTIMAT network, Leipzig 2005 : INdAM Workshop "Recent Advances in Homogenization", Rome 2006 : Fourth meeting of the MULTIMAT network, Cambridge Summer School on Calculus of Variations and Applications, Ponta Delgada, Açores Midterm meeting of the MULTIMAT network, Anvers 2007 : Journées EDP Rhônes-Alpes-Auvergne 2007, Lyon 2008 : Symposium on Variational Concepts with Application to the Mechanics of Materials, Bochum Journée d inauguration de la chaire MMSN EADS/X/INRIA, Palaiseau Colloque de Mathématiques Appliquées et Calcul Scientifique, Université Paris : Journée thématique sur les problèmes inverses, Université de Cergy-Pontoise Journées pour les 40 ans du Laboratoire Jacques-Louis Lions 2010 : Second workshop on thin structures, Naples 2012 : Congrès d analyse numérique, Superbesse 2014 : Variational Modeling in Solid Mechanics, Udine 2015 : One-day conference on Calculus of Variations, Lille Invitations à l étranger SISSA, Trieste (Italie), avril 2015, 1 semaine. Courant Institute, New York University (Etats Unis), octobre 2014, 1 semaine. Università di Pavia (Italie), mai 2012, 1 semaine. Università di Brescia (Italie), mars 2011, 1 semaine. Università di Pisa (Italie), février 2010, 1 semaine. SISSA, Trieste (Italie), février 2010, 1 semaine. Instituto Superior Técnico, Lisbonne (Portugal), janvier 2006, 2 semaines. 6

7 Università di Roma Tor Vergata (Italie), mars-juin 2005, 3 mois. Carnegie Mellon University, Pittsburgh (Etats Unis), février 2005, 2 semaines. Carnegie Mellon University, Pittsburgh (Etats Unis), novembre 2003, 2 semaines. Participation à des projets : Membre du réseau européen MULTIMAT (Multi-scale modelling and characterisation for phase transformations in advanced materials) : Membre du projet MSTIC MADISON (Modèles Asymptotiques pour la DIffraction Sub-longueur d ONde de surfaces rugueuses) : Membre du projet "ANR Jeunes Chercheurs" AMAM (coordinateur : V. Millot, LJLL, Univ. Paris 7) : Membre du projet EMERGENCE UPMC avec C. Maurini (Institut d Alembert, UPMC) sur la multifissuration et la délamination de couches minces par l approche variationnelle de la mécanique de la rupture. 4 Responsabilités diverses Responsabilités en recherche Rapporteur pour : Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire, Ann. Inst. Fourier, Appl. Anal., Appl. Math. Res. Express. AMRX, Arch. Rational Mech. Anal., Asymptot. Anal., Calc. Var. Partial Differential Equations, Commun. Contemp. Math., CRAS, ESAIM Control Optim. Calc. Var., Discrete Contin. Dyn. Syst. A, Expo. Math., Interfaces Free Bound., J. Diff. Eq., J. Elasticity, J. Math. Pures Appl., J. Math. Anal. Appl., Methods and Applications of Analysis (MAA), M2AN Math. Model. Numer. Anal., Math. Models Methods Appl. Sci., Port. Math., Quart. Appl. Math., SIAM J. Math. Anal. Depuis mars 2011, reviewer pour Zentralblatt MATH. Organisation d un mini-symposium de calcul des variations" au congrès SMAI Co-organisation avec A. Chambolle d un mini-symposium sur les méthodes variationnelles en mécanique de la rupture" au congrès CANUM De septembre 2010 à septembre 2013, co-organisateur du groupe de travail d homogénéisation et échelles multiples. Depuis septembre 2013, co-organisateur du groupe de travail calcul des variations commun à Paris 6, Dauphine, Orsay et l Ecole Polytechnique. Responsabilités pédagogiques : responsable du tutorat de pré-rentrée pour les étudiants de L1 (UPMC) : coordinateur du site MATEXO avec C. Cancès. Responsabilités administratives Membre de comités de sélection : Paris Dauphine (2011 : section 26), UPMC (2012 : sections 25-26). Depuis 2011, membre du groupe d experts en section 26 à l UPMC. Depuis 2014, membre de la commission scientifique de la bibliothèque Math-Info-Recherche-Paris. 7

8 Membre du comité d organisation de la 5ième journée d accueil des maîtres de conférences et chargés de recherche en mathématiques à l IHP (le 25 janvier 2013). Membre du comité d organisation de la 6ième journée d accueil des maîtres de conférences et chargés de recherche en mathématiques à l IHP (le 19 janvier 2014). Membre du jury de thèse d Imen Chourabi (Directrice : Patrizia Donato). 8

9 5 Description des travaux de recherche Mes activités de recherche se situent dans les domaines des équations aux dérivées partielles non linéaires, du calcul des variations et de la théorie géométrique de la mesure. L ensemble de mes travaux portent sur l analyse mathématique de structures singulières intervenants dans divers domaines de la mécanique et de la physique comme la rupture, l endommagement, la plasticité, les cristaux liquides, où encore l électromagnétisme. 5.1 Méthodes asymptotiques en calcul des variations Mes premiers travaux portent sur des méthodes asymptotiques en calcul des variations. On considère la minimisation d une fonctionnelle intégrale de la forme u W (x, u) dx, où est un ouvert borné de R n, u : R m une fonction inconnue et W : M m n R est un Lagrangien dont les régularités restent à préciser. On suppose que W est à croissance polynômiale p 1 par rapport à la variable u ce qui fixe naturellement le cadre fonctionnel : quand p > 1, il convient de travailler dans un espace de Sobolev du type W 1,p (; R m ) ; en revanche, dans le cas limite p = 1, la non réfléxibilité de W 1,1 (; R m ) impose de considérer des champs u dans l espace BV (; R m ) des fonctions à variation bornée. L autre cas critique p = sera également considéré plus loin dans le cadre des fonctionnelles suprémales. La méthode directe du calcul des variations assure que l existence de minimiseurs (sous certaines conditions limites ou contraintes) est intimement lié à la semi-continuité inférieure de l énergie. Ceci se traduit par diverses propriétés de type convexité sur W en la variable u comme la quasiconvexité (voir Acerbi & Fusco [1]), la polyconvexité (voir Ball [8]), la rang-1-convexité (voir Tartar [60]) ou la convexité des ensembles de niveau (voir Barron & Liu [9]). Les motivations principales pour étudier ce type d énergies sont principalement de deux types : (i) en élasticité non linéaire où u désigne le champ des déformations 1 (identité + déplacement) du milieu hyperélastique ; (ii) en micromagnétisme où u désigne l aimantation (une application à valeur dans la sphère) du milieu magnétique. Je me suis intéressé à des modèles faisant intervenir un ou plusieurs petits paramètres naturels traduisant la complexité du problème. Il convient alors d essayer d approcher ce type de modèles par d autres, si possible plus simples, en faisant tendre le(s) paramètre(s) vers zéro, tout en essayant de conserver les propriétés qualitatives du modèle physique de départ. En particulier, il est nécessaire d utiliser un mode de convergence adapté à la minimisation d énergie. C est en particulier le cas de la Γ-convergence (voir Dal Maso [28]) car elle permet de définir une fonctionnelle d énergie limite en assurant la convergence des minimiseurs ainsi que de la valeur minimale Homogénéisation En homogénéisation, le paramètre naturel ε > 0 traduit une échelle de microstructure pouvant être distribuée de façon déterministe (e.g. périodique) ou aléatoire. Un résultat classique d homogénéisation périodique (voir Braides [15] et Müller [57]) assure que pour des intégrandes W à croissance surlinéaire (p > 1) en la variable u et sous des hypothèses raisonnables sur W, la fonctionnelle intégrale ( x ) u W ε, u dx (1) Γ-converge sur W 1,p (; R m ) vers une fonctionnelle intégrale du même type u W hom ( u) dx, (2) 1. A ne pas confondre avec le tenseur des déformations en élasticité linéaire qui correspond au gradient symétrisé du déplacement 9

10 où la densité d énergie homogénéisée W hom est définie à l aide d une formule de cellule. En collaboration avec M. Baía, je me suis intéressé à un problème d homogénéisation périodique avec plusieurs échelles de microstructure. Plus précisément, dans [P4], nous avons étudié le comportement asymptotique de fonctionnelles intégrales du type W (x, x ε, x ) ε 2, u dx. Nous avons démontré que la Γ-limite sur W 1,p (; R m ), qui est toujours du type (2) (avec en plus une dépendance explicite en x dans W hom ), est la même que si nous avions remplaçé ε 2 par un autre paramètre δ avec δ ε. Autrement dit, l énergie homogénéisée est obtenue en réitérant deux fois la formule de cellule. Quand W est convexe en la variable u, la formule de cellule définissant W hom est une formule unicellulaire donnée par la minimisation de l énergie sur la cellule unité avec une condition de Dirichlet affine sur le bord. En revanche, sans hypothèse supplémentaire sur W, cette formule est une formule asymptotique au sens où la densité d énergie homogénéisée est obtenue comme la limite de formules de cellule dont la taille envahit tout l espace (propriété d ergodicité). Son calcul en devient d autant plus complexe car il nécessite de minimiser une infinité (dénombrable, soit!) de problèmes de minimisation. En collaboration avec M. Barchiesi, nous avons établi un contre-exemple dans [P9], alternatif à celui de [57], assurant que même pour des intégrandes W quasi/poly/rang-1-convexes par rapport à u, il est peine perdu de s attendre à une formule de type uni-cellulaire. Dans le but de trouver une formule alternative à la densité d énergie homogénéisée, j ai étudié avec M. Baía et P. Santos dans [P6] ce même type de problèmes dans le cadre des mesures de Young. Dans l esprit des travaux de Kinderlehrer & Pedregal [49], nous avons complètement caractérisé les mesures de Young multi-échelle engendrées par des suites de gradients de fonctions W 1,p oscillant à une échelle donnée ε. Ceci nous a permis, d une part, d établir une nouvelle formule, (cette fois-ci unicellulaire!) pour calculer W hom en terme de ces mesures de Young, et d autre part de créer un pont entre différentes théories de l homogénéisation : la Γ-convergence, la convergence multi-échelle et les mesures de Young. Toujours dans cette optique d essayer de caractériser plus précisément les énergies homogénéisées, je me suis concentré dans [P9] avec M. Barchiesi sur une sous-classe de matériaux que sont les mélanges. Pour de tels matériaux, la densité d énergie élastique est donnée par un Lagrangien du type W ε (x, u) = χ Eε (x)w 1 ( u) + (1 χ Eε (x))w 2 ( u). Les fonctions W 1 et W 2 sont supposées convexes et représentent les densités d énergies élastiques des deux matériaux que l on mélange et les fonctions caractéristiques χ Eε représentent leur distribution spatiale dans. Ici les ensembles E ε peuvent dépendre de ε d une manière totalement arbitraire (mais déterministe!). On s intéresse alors à toutes les Γ-limites possibles, autrement dit, à tous les matériaux composites que l on peut obtenir en mélangeant deux milieux. Il s agit donc d identifier un ensemble appelé la Γ-fermeture de W 1 et W 2. Nous avons démontré que, localement, les composites obtenus par un mélange périodique à fraction volumique prescrite forment une classe dense de matériaux composites généralisant ainsi les travaux de Dal Maso & Kohn [31] au cas d énergies convexes générales. Les mélanges périodiques capturent ainsi tous les types de mélanges. Par ailleurs, nous avons démontré sur un exemple que notre résultat est optimal, en ce sens qu il existe un matériau composite pour lequel l énergie homogénéisée n est pas donnée exactement par une formule d homogénéisation périodique. Motivés par des problèmes d équilibre de cristaux liquides et de micromagnétisme, j ai étudié en collaboration avec V. Millot dans [P10, P11], un problème d homogénéisation périodique d une fonctionnelle intégrale du type (1), où l on impose en plus aux champs admissibles u de prendre leurs valeurs dans une variété M R m donnée. L exemple typique est celui où M = S m 1 est sphère unité. Nous avons d abord traité le cas d énergies à croissance surlinéaire p > 1 et démontrons que la Γ-limite est une fonctionnelle locale sur W 1,p (; M), où la densité W hom (u, u) est donnée par une formule d homogénéisation tangentielle (par analogie avec la quasiconvexification tangentielle introduite par Dacorogna, 10

11 Fonseca, Maly & Trivisa dans [27]). Notons ici la dépendance explicite en u dans W hom (contrairement à (2)) qui intervient comme un multiplicateur de Lagrange associé à la contrainte u M. Le cas d énergies à croissance linéaire p = 1 requiert plus d attention car le domaine de la Γ-limite est l espace BV (; M) des fonctions à variation bornée à valeurs dans M dans lequel il convient de relaxer l énergie. Dans ce cas, la Γ-limite est la somme de trois termes portés par des mesures mutuellement étrangères : la partie volumique (portée par la mesure de Lebesgue) est identique au cas Sobolev ; la partie singulière (de type saut) est donnée par une formule de type géodésique sur la variété M reliants les traces u + et u de u sur l ensemble des saut J u ; la partie diffuse (de type Cantor) est capturée par la partie linéaire à l infini de W hom, i.e., sa fonction de récession. L analyse repose sur une adaptation non triviale du résultat de relaxation dans BV de Fonseca & Müller [37], du résultat de densité des fonctions régulières dans les espaces de Sobolev à valeurs dans une variété de Béthuel [10] ainsi que d une technique de projection sur une variété introduite par Hardt & Lin [47] Réduction dimensionnelle La réduction dimensionnelle (ici le passage 3D-2D) est un autre exemple classique de problème variationnel à paramètre. On s intéresse à des structure minces dont la configuration de référence est un cylindre ε = ω ( ε/2, ε/2) de base ω, un ouvert borné de R 2, et de hauteur ε. Ceci permet de modéliser des structures bidimensionnelles dans l espace à partir de l élasticité tridimensionnelle. Il s agit donc d étudier le comportement asymptotique par Γ-convergence d énergies du type : 1 ε ε W ε (x, u) dx, où W ε : ε M 3 3 R correspond à la densité d énergie élastique par unité de volume et u : ε R 3 est le champ des déformations. Le facteur 1/ε correspond au fait que l on s attend à un modèle effectif membranaire, i.e., qui ne tient compte que des effets d étirements. Après une remise à l échelle sur le cylindre unité = 1, on est amené à considérer des énergies de la forme W ε (x, u, 1 ) ε 3u dx, (3) où désigne le gradient par rapport à la variable planaire x = (x 1, x 2 ) (et x = (x, x 3 )). Un résultat général de représentation intégrale de la Γ-limite démontré par Braides, Fonseca & Francfort [17] établit que, pour des potentiels W ε à croissance p > 1 en la variable u, (3) Γ-converge sur W 1,p (; R 3 ) vers une fonctionnelle intégrale du type W (x, u) dx, ω où W une densité d énergie effective abstraite. Notons en particulier que les déformations limites u W 1,p (ω; R 3 ) sont indépendantes de x 3. Mes premiers travaux à ce sujet ont été consacrés à rendre compte d hétérogénéités macro et/ou microscopiques. Dans l article [P1] en collaboration avec G. Francfort nous avons considéré des potentiels de la forme W ε (x, u) = W (x, u) pour lesquels nous avons établi une formule de type cellulaire sur la densité d énergie limite W. Nous avons ainsi généralisé les travaux de Le Dret & Raoult [54] et Braides, Fonseca & Francfort [17] au cas de milieux hétérogènes. Dans [P3], avec M. Baía, nous avons continué dans la même perspective de décrire des films minces hétérogènes ayant une microstructure périodique. Nous avons plus précisément considéré le cas de potentiels élastiques du type W ε (x, u) = W (x, x/ε, x/ε 2, u). Cette étude contient, entre autre, le cas de l homogénéisation d un film mince dans la variable transverse x 3, où les deux phénomènes de réduction de dimension et d homogénéisation sont mis en compétition à la même échelle. Sous l effet de certain types de forces, il est naturel de tenir compte du moment fléchissant, noté b (bending moment en anglais) : étant donnée une suite minimisante (u ε ) dans W 1,p (, R 3 ), b n est 11

12 autre que la limite dans L p (ω; R 3 )-faible de la moyenne dans la section de ε 1 3 u ε. Selon l hypothèse cinématique de Cosserat, b modélise la déformation du film dans la direction orthogonale à la surface moyenne. Dans [P7], j ai obtenu un résultat de représentation de la Γ-limite, plus riche que celui de [17], du type Ŵ (x, u, b) dx, (4) ω où Ŵ est de nouveau une densité d énergie effective abstraite. Dans [P1], avec G. Francfort, nous avons identifié plus précisément cette densité dans le cas où W ε (x, u) = W (x, u), généralisant ainsi un résultat de Bouchitté, Fonseca & Mascarenhas [13] toujours au cas de matériaux présentant des hétérogénéités macroscopiques. Dans ce paragraphe, je fais une légère anticipation sur les modèles de fracture qui seront développés plus en détail dans la section Dans [P7], j ai également étudié des problèmes aux discontinuités libres, où entrent en compétition une énergie de volume classique (comme dans (3)) et une énergie de surface : [ ] 1 W ε (x, u) dx + H 2 (J u ε ) ε ε pour u SBV ( ε ; R 3 ) (les fonctions BV ( ε ; R 3 ) dont le gradient n a pas de partie Cantorienne). Dans l expression précédente, H 2 désigne la mesure de Hausdorff bi-dimensionnelle, J u est l ensemble des sauts de u et u est son gradient approché. Il s agit d énergies typiques en mécanique de la rupture où la fissure est assimilée à J u. Le terme d énergie de surface pénalise la présence de fissures dans le matériau. Par une remise à l échelle sur le cylindre unité = 1, l énergie précédente devient W ε (x, u, 1 ) ( ε 3u dx + (ν u ), 1 ) ε (ν u) 3 dh 2, u SBV (; R 3 ), J u où ν u = ((ν u ), (ν u ) 3 ) est la normale unitaire approchée à l ensemble rectifiable J u. A priori, ces énergies ne sont pas coercives dans BV (; R 3 ) car on ne contrôle pas les traces de u sur son ensemble de saut J u. En adaptant un argument de Fonseca & Francfort [36], j ai pu toutefois démontrer que la Γ-limite sur SBV (; R 3 ) de ce type d énergies 3D, qui tient compte du moment fléchissant b, est une énergie 2D similaire Ŵ (x, u, b) dx + H 1 (J u ), u SBV (ω; R 3 ), b L p (ω; R 3 ), ω et que l énergie de volume est identique à celle obtenue dans (4) en l absence de fissure. Notons en particulier que, de nouveau, les déformations limites u sont indépendantes de x 3 et, par conséquent, les fissures limites sont verticales et invariantes par rapport à x 3. Ce résultat étend ceux de Braides & Fonseca [16] et Bouchitté, Fonseca, Leoni & Mascarenhas [14] au cas d énergies de surfaces non coercives dans BV (; R 3 ). Ceci repose sur un résultat de décomposition des suites {( u ε, ε 1 3 u ε )}, pour une certaine classe de fonctions u ε SBV (; R 3 ). J ai montré que u ε se décompose en la somme d une suite convergeant en mesure vers zéro (qui porte donc les effets de concentration) et d une suite équi-intégrable (qui porte les effets d oscillation). En collaboration avec N. Ansini et C. Zeppieri, nous avons considéré dans [P5] des films minces défectueux constitués de zones d inclusions périodiquement distribuées et d épaisseur nulle, engendrant un problème de type passoire de Neumann. Ces modèles permettent de modéliser asymptotiquement le décollement entre deux films minces, par l apparition d une énergie interfaciale cohésive de type capacité non linéaire. Il s agit de l analogue du terme étrange venu d ailleurs de Cioranescu & Murat [26]. Cette approche par analyse asymptotique permet de justifier rigoureusement l approche phénoménologique du décollement de films minces adoptée par Bhattacharya, Fonseca & Francfort dans [11]. Une autre manière de modéliser le décollement de films minces a été étudiée dans l article de modélisation [P18] en collaboration avec A. A. Leon Baldelli, B. Bourdin, D. Henao et C. Maurini et dans [P24] avec D. Henao pour une analyse mathématique détaillée dans un cadre d élasticité linéaire (quand l énergie élastique est une forme quadratique du gradient symétrisé e(u) = ( u+ u T )/2). Il s agit d un modèle de 12

13 plaque fissurée qui permet de mettre en évidence des fissures à la fois verticales (les fissures traditionnelles dans les films minces) et horizontales (des zones de délamination). En effet, les travaux que j ai menés à ce sujet dans [P2, P7] sur la fissuration de films minces engendrent, après une mise à l échelle convenable, des fissures qui tendent à devenir verticales (les autres types de fissures étant asymptotiquement invisibles lorsque l épaisseur de la plaque tend vers zéro). Nous considérons donc un matériau constitué de deux couches minces superposées l une au dessus de l autre, l une ayant une rigidité et une ténacité très petite par rapport à l autre. On force ainsi, lorsque l épaisseur des plaques tend vers zéro, à ce que les deux films se décollent mettant en évidence par là même une fissure horizontale à l interface des deux films. On arrive ainsi à obtenir un modèle limite ayant deux types de fissures antagonistes. Nous démontrons la Γ-convergence vers une énergie limite qui contient un terme de décohésion tant que le déplacement reste inférieur à un certain seuil, et une énergie de délamination lorsque le déplacement dépasse ce seuil. Nous démontrons au passage un résultat de Γ-convergence pour des films minces linéairement élastiques et cassables, généralisant ainsi les travaux de Ciarlet [25] en élasticité pure. Le cadre fonctionnel est celui des déplacements SBD à déformation bornée (les champs de vecteurs intégrables dont le gradient symétrisé est une mesure sans partie Cantorienne) dont nous utilisons les propriétés fines établies par Ambrosio, Coscia & Dal Maso [2] pour montrer que les déplacements limites ont une structure de type Kirchhoff-Love, et les fissures associées sont transversales (i.e. invariantes dans l épaisseur de la plaque). Ce résultat permet à la fois de rendre compte d énergies de rupture brutale et cohésives. J ai également étudié des problèmes de passage 3D-2D pour des énergies à croissance critique. Dans [P8], en collaboration avec H. Zorgati et E. Zappale, nous avons étudié le cas d énergie à croissance linéaire p = 1. Il convient alors de travailler dans l espace des fonctions BV à variation bornée, et de relaxer l énergie sur cette plus large classe de fonctions. Nous avons étendu les résultats Braides & Fonseca [16] en identifiant une Γ-limite dépendant non seulement de la déformation limite u BV (ω; R 3 ), mais aussi du moment fléchissant b qui définit ici une mesure de Radon bornée sur ω. Nous montrons sur un contreexemple que les mesures variation Du et b peuvent être mutuellement singulières. Néanmoins, nous établissons un résultat de rigidité assurant que, localement, b est une mesure tangente à Du au sens de Preiss. Autrement dit, les mesures Du et b, bien qu étrangères, ne sont pas totalement découplées. La Γ-limite est une fonctionnelle locale qui peut être interprétée comme une mesure µ donnée par la somme de quatre termes relatifs à la décomposition de Lebesgue-Besicovich de µ par rapport rapport à (Du, b), la mesure variation du couple (Du, b). Les trois premiers termes (volume, saut et Cantor) sont dus à la décomposition de la mesure Du, et le quatrième terme singulier est dû à la présence de la mesure b. Le cas de la croissance infinie p = a fait l objet d un article [P15] avec F. Prinari et E. Zappale qui a donné lieu à l étude de fonctionnelles suprémales : au lieu de considérer une énergie donnée par une fonctionnelle intégrale tout comme dans (3), on considère des fonctionnelles dites suprémales qui, après remise à l échelle, sont du type ess sup W ε (x, u, 1 ) x ε 3u, u W 1, (). (5) Une application typique concerne la modélisation de la rigidité diélectrique d un conducteur, i.e. le seuil de conduction de courant électrique avant l apparition d un court-circuit. Nous démontrons un résultat de représentation suprémale des Γ-limites dans W 1, () de (5) vers une fonctionnelle suprémale bidimensionnelle de la forme : ess sup W (x, u), x ω u W 1, (ω), où W est une densité d énergie effective abstraite que nous identifions plus précisément dans les cas particuliers W ε (x, u) = W ( u) et W ε (x, u) = W (x/ε, u). Au moyen d un contre-exemple, nous démontrons également une propriété surprenante mais typique des fonctionnelles suprémales (voir Cardialaguet & Prinari [19]) : la dépendance par rapport à x de W doit nécessairement être continue, sinon la Γ-limite de (5) pourrait être non locale et donc ne pas admettre de représentation suprémale. 13

14 5.2 Evolution de milieux dissipatifs Les différents modèles dissipatifs présentés dans la suite de ce document (modèles de rupture, endommagement, plasticité) sont des modèles à variable interne en accord avec les principes fondamentaux de la thermomécanique des milieux continus. A cette variable interne, on associe une énergie de dissipation. En particulier la validité du deuxième principe de la thermomécanique (l inégalité de Clausius-Duhem qui correspond à la non-négativité de la dissipation) est équivalente à une identité d énergie assurant que la variation temporelle d énergie potentielle et d énergie dissipée est égale à la puissance des efforts extérieurs Mécanique de la rupture L idée originale de Griffith [46] pour décrire la propagation quasi-statique de fissures dans un milieu élastique est basée sur la notion de taux de restitution d énergie noté G, i.e., la variation d énergie élastique par rapport à un accroissement infinitésimal de longueur de fissure. Si G reste strictement majoré par une constante caractéristique du matériau (la ténacité), alors la fissure ne se propagera pas. En revanche la fissure se propagera si et seulement si G atteint cette valeur critique. L un des points faibles de ce modèle est qu il nécessite la connaissance a priori du chemin de fissuration. En vue de s affranchir de cette restriction, Francfort & Marigo [41] ont proposé un modèle variationnel qui engendre un problème de minimisation aux discontinuités libres à deux inconnues : le champ des déplacements u et la fissure Γ à travers laquelle le déplacement peut être discontinu. Formellement le critère de Griffith n est autre que la condition d optimalité au premier ordre du problème de minimisation. Il s agit donc de trouver un couple (u(t), Γ(t)), Γ(t) ( R n est un ouvert borné) est la fissure (un ensemble de codimension 1) et u(t) : \ Γ(t) R est le déplacement (scalaire anti-plan) satisfaisant la condition limite u(t) = w(t) sur \ Γ(t) et Irréversibilité : Γ(s) Γ(t) pour tout 0 s t T ; Minimalité : pour tout ˆΓ et û : \ ˆΓ R satisfaisant û = w(t) sur \ ˆΓ, E(t) := 1 u(t) 2 dx + H n 1 (Γ(t)) 1 û 2 dx + H n 1 (ˆΓ); 2 2 \Γ(t) Bilan d énergie : pour tout t [0, T ], E(t) = E(0) + t 0 \Γ(s) \ˆΓ u(s) ẇ(s) dx ds. Par analogie avec le problème de Mumford-Shah en segmentation d images, une formulation faible a été introduite par Francfort & Larsen [39] où u appartient au sous espace SBV des fonctions à variation bornée et Γ est interprété comme un ensemble rectifiable (qui correspond à la régularité minimale de l ensemble des sauts d une fonction SBV ). La variable interne thermodynamique est donc la fissure Γ(t) ; en accord avec la propriété d irréversibilité en temps, l énergie de dissipation est donnée par H n 1 (Γ(t)) si Γ(t) est croissante en temps, et + sinon, où H n 1 est la mesure de Hausdorff (n 1)-dimensionnelle. Traditionnellement (voir Chambolle [20] et Dal Maso, Francfort & Toader [30]), les solutions sont obtenues par discrétisation temporelle : à partir d une donnée initiale (u 0, Γ 0 ), on cherche pour tout i 1, un déplacement u i SBV () qui minimise v W ( v) dx + H n 1 (J v \ Γ i 1 ), dans SBV () avec une condition limite mise à jour au temps t i. Dans l expression précédente, W désigne le potentiel élastique, v est le gradient approché et J v est l ensemble des sauts de v. Notons que l existence de u i est assurée par l application du théorème d Ambrosio (voir Ambrosio, Fusco & Pallara [3]) et la fissure est alors définie par Γ i := Γ i 1 J ui. Dans [P20], en collaboration avec A. Giacomini, nous nous sommes intéressés à la régularité des solutions faibles et à l existence de solutions fortes en dimension n = 2 pour des potentiels élastiques W 14

15 uniformément convexes, à croissance p > 1 et de classe C 1. Nous avons démontré que la fissure est en fait un ensemble compact en dehors duquel le champ des déplacements est une fonction continûment différentiable. Ce résultat repose sur des estimations de densité de l ensemble des sauts du déplacement, similaires à celle obtenues par De Giorgi, Carriero & Leaci dans [33] pour la fonctionnelle de Mumford-Shah. Nous démontrons en particulier que les solutions faibles dans SBV, obtenues par discrétisation en temps, satisfont une propriété de régularité de type Ahlfors qui est indépendante du pas de temps en 2D. Cette estimation assure que, uniformément par rapport au pas de temps, la mesure H 1 de fissure qui se trouve sur une boule centrée en un point de la fissure est comparable au rayon de la boule. Cette estimation est suffisamment robuste pour passer à la limite lorsque le pas de temps tend vers zéro, ce qui montre le caractère fermé de la fissure. Par la suite, en développant des résultats de régularité à la De Giorgi (voir Giaquinta & Giusti [43]) pour les EDP elliptiques non linéaires, nous montrons qu en dehors de la fissure le champ des déplacements est essentiellement régulier. Néanmoins, il n en reste pas moins important de donner un sens à la notion de taux de restitution d énergie, ne serait-ce que pour formuler des critères d initiation de la fissuration. En collaboration avec A. Chambolle et A. Lemenant, nous nous sommes intéressés dans [P22] à la définition rigoureuse du taux de restitution d énergie en petites déformations, i.e., quand l énergie élastique est une forme quadratique du gradient symétrisé e(u) = ( u+ u T )/2. Nous nous plaçons toujours en dimension n = 2 et supposons que la fissure Γ(t) est de plus connexe sur la base du résultat d existence de Chambolle [20]. En un temps t = t 0, nous supposons que la fissure Γ(t 0 ) se termine au point 0 et qu elle y admet une tangente. Une analyse par blow-up au voisinage de 0 montre que le déplacement u(t 0 ) converge vers une fonction positivement homogène de degré 1/2 qui est une combinaison linéaire de deux fonctions complètement explicites. L argument repose sur une reformulation du problème en terme de la fonction d Airy (une fonction biharmonique sur le domaine fissuré, nulle ainsi que son gradient sur la fissure) à l aide d arguments capacitaires, puis en l utilisation de la théorie des espaces de Sobolev à poids de Kondratiev [51] pour capturer précisément la singularité de la solution du problème biharmonique dans un domaine fissuré. On définit le taux de restitution d énergie au temps t 0 en calculant la Γ-limite de l énergie par rapport à tous les incréments de fissure en 0 de mesure H 1 infinitésimale. Le taux de restitution d énergie est alors obtenu en minimisant la Γ-limite parmi tous les incréments de fissures admissibles. Nous généralisons ainsi un certain nombre de résultats de Chambolle, Francfort & Marigo [23] et Chambolle & Lemenant [24]. Dans le même esprit que [P7], je me suis intéressé dans [P2] à l évolution de fissures dans les films minces non linéairement élastiques. Sur la base d un résultat d existence d une évolution quasi-statique obtenu par Dal Maso, Francfort & Toader [30] en élasticité non linéaire tridimensionnelle, j ai démontré la convergence de cette évolution vers celle associée au modèle Γ-limite 2D réduit, pour des solutions bornées. Le cas des solutions non bornées a été traité dans [P12] où il convient de travailler dans l espace plus large GSBV, les fonctions spéciales à variation bornée généralisées, i.e., les fonctions dont toutes les tronquées sont dans SBV Endommagement L endommagement décrit l affaiblissement des propriétés élastiques d un milieu au cours d une série d essais de charge-décharge. En d autres termes, un matériau élastique qui subit de l endommagement est un matériau dont la rigidité décroît dans le temps. Dans [P14], j ai étudié un modèle d évolution quasi-statique en endommagement introduit par Francfort & Marigo dans [40] en tenant compte du caractère irréversible du processus. Il s agit d un modèle d endommagement brutal où la variable interne modélisant l endommagement est la fonction caractéristique χ de la zone endommagée. Si W 1 et W 2 désignent les densités d énergie élastique des parties endommagées et saines du milieu (avec W 1 W 2 puisque l endommagement fait décroître les propriétés élastiques), la densité totale est donnée par χw 1 ( u) + (1 χ)w 2 ( u). Tout comme en rupture, où la présence de fissures est pénalisée par une énergie de dissipation proportionnelle à l aire de la fissure, 15

16 nous pénalisons ici l endommagement par une énergie de dissipation proportionnelle au volume de la zone endommagée χ(t) dx si χ(t) est croissante en temps, et + sinon. L énergie totale est donc donnée par une fonctionnelle de la forme (u, χ) [χw 1 ( u) + (1 χ)w 2 ( u)] dx + χ dx. Le modèle tel quel s avère être mal posé car les configurations tendent à former des microstructures par le biais d un processus d homogénéisation. En utilisant le résultat que j ai obtenu dans [P9] avec M. Barchiesi sur la caractérisation des matériaux composites, j ai démontré l existence de solutions homogénéisées à ce modèle, généralisant ainsi en grandes déformations un résultat établi en petites déformations par Francfort & Garroni dans [38]. La nouvelle variable interne pour ce modèle relaxé est un couple (θ(t), W (t)), où θ(t) est une fonction mesurable à valeurs dans tout l intervalle [0, 1] qui représente la fraction volumique de la partie endommagée du matériau composite, et W (t) est la densité d énergie élastique du composite qui appartient à la Γ-fermeture de W 1 et W 2 pour les fractions volumiques θ(t) et 1 θ(t). Ainsi, le triplet (u(t), θ(t), W (t)) satisfait (i) une propriété d irréversibilité ; (ii) un principe de moindre énergie et (iii) un principe de conservation d énergie. J ai également pris en compte la possibilité que le matériau en question se casse. Dans ce cas, l analyse couple les phénomènes d endommagement et de rupture et répond à une question posée par Fonseca & Francfort [36] et restée jusque là en suspens. En collaboration avec V. Millot, nous avons étudié dans [P17] un modèle d endommagement avec gradient. Il s agit d un modèle d évolution où la variable d endommagement n évolue que par une propriété de monotonie (le phénomène d endommagement est irréversible en temps) et le champ des déplacements évolue suivant une EDP parabolique de type équation de la chaleur. Plus précisément, nous nous intéressons à un modèle régularisé de rupture introduit par Ambrosio & Tortorelli [6], où la fissure est remplacée par une variable continue de champ de phase, notée ρ, égale à 1 dans un ε-voisinage de la fracture macroscopique. La fonctionnelle d Ambrosio-Tortorelli est connue pour approcher au sens de la Γ-convergence des énergies singulières de type Mumford-Shah que l on retrouve pour des problèmes de propagation de fissures. Plus précisément, nous considérons une énergie de la forme E ε (u, ρ) := 1 2 (η ε + ρ 2 ) u 2 dx + ( ε p 1 p ρ p + α ) p 1 ρ p dx, ε où p > n (de sorte que l injection compacte de W 1,p () dans l espace des fonctions continues ait lieu), α > 0 est une constante de normalisation et η ε ε. La première intégrale est l énergie élastique dont l intégrande décroît quand la variable d endommagement ρ décroît : l endommagement est donc correctement modélisé. La deuxième intégrale correspond à l énergie de dissipation : c est une approximation de type Allen-Cahn (version p-laplacien) de l ensemble des sauts de u. L évolution du déplacement u se fait selon un flot gradient et se démontre à l aide de la méthode des mouvements minimisants. Nous obtenons une solution (u ε (t), ρ ε (t)) où (i) ρ ε décroît en temps et satisfait en chaque instant une propriété de minimalité ; (ii) u ε est solution d une équation de type chaleur et (iii) une inégalité d énergie a lieu entre deux instants quelconques. Nous donnons également une interprétation de ce modèle dans l esprit des flots gradients dans les espaces métriques développés par Ambrosio, Gigli & Savaré [4]. La contrainte d irréversibilité en temps ne permettant pas de travailler avec une structure d espace vectoriel, nous définissons la notion de pente unilatérale maximale qui consiste essentiellement à calculer le gradient E ε par rapport à la variable u dans la direction des ρ décroissants. Après une étude détaillée de cet objet (caractérisation de son domaine et dérivation d une formule explicite), nous montrons que les solutions (u ε (t), ρ ε (t)) sont en fait des courbes de pente unilatérale maximale, i.e., t u ε (t) est une descente de gradient de E ε par rapport à la première variable dans la direction des ρ décroissants. Lorsque le paramètre de régularisation ε tend vers zéro, nous avons démontré que le flot gradient associé à la fonctionnelle d Ambrosio-Tortorelli converge vers un modèle étudié par Chambolle & Doveri [21] de flot gradient de la fonctionnelle de Mumford-Shah avec une contrainte de croissance sur la fissure. 16

17 5.2.3 Plasticité Les milieux plastiques sont caractérisés par l existence dans l espace des forces d un convexe d élasticité (fermé, non vide), noté K dans lequel le tenseur des contraintes σ est astreint à demeurer. Si σ se trouve à l intérieur de K, le milieu se comporte de façon purement élastique, si en revanche σ atteint le bord de K, un flot plastique commence à se développer et des déformations permanentes apparaissent. Etant donnée R n un ouvert désignant la configuration de référence d un milieux élasto-plastique, le modèle standard d élasto-plasticité en petites déformations consiste à rechercher un triplet (u, e, p) : [0, T ] R n M n n sym M n n sym satisfaisant le système d équations : (M n n sym σ = Ce, σ K dans [0, T ], ü divσ = 0 dans [0, T ], désigne l ensemble des matrices réelles n n symétriques) Eu = e + p dans [0, T ], u = w sur [0, T ], ṗ N K (σ) dans [0, T ], (u(0), e(0), p(0), u(0)) = (u 0, e 0, p 0, v 0 ) dans. Dans le système précédent, on désigne par u : [0, T ] R n le champ des déplacements, Eu := (Du + Du T )/2 est le tenseur des déformations linéarisées, e et p : [0, T ] M n n sym désignent respectivement les tenseurs de déformations élastiques et plastiques. Le tenseur des contraintes σ : [0, T ] M n n sym est est astreint à demeurer dans un ensemble convexe et fermé K M n n sym (le convexe d élasticité), et le taux de déformation plastique ṗ est orienté suivant le cône normal à K en σ, noté N K (σ). Enfin, w désigne un déplacement imposé sur le bord du domaine, C est le tenseur d élasticité d ordre 4 et (u 0, e 0, p 0, v 0 ) est une donnée initiale. Dans les modèles de plasticité associée, le flot plastique est dirigé suivant le cône normal à K en σ. Par des résultats standards d analyse convexe, nous savons que N K (σ) = I K (σ), i.e., le sous-différentiel de la fonction indicatrice I K de K, définie par I K (σ) = 0 si σ K et + sinon. Par conséquent, la loi d écoulement ṗ N K (σ) peut être récrite de façon équivalente comme suit : (6) σ : ṗ = max τ K τ : ṗ =: H(ṗ), (7) où H : Msym n n R + désigne la fonction d appui de K. Cette dernière formulation n est autre que le principe de travail plastique maximal de Hill. Un bilan d énergie montre alors que pour tout t [0, T ], 1 u(t) 2 dx + 1 Ae(t) : e(t) dx t 0 = 1 2 H(ṗ) dx ds v 0 2 dx = 1 2 Ae 0 : e 0 dx + t 0 σν ẇ dx ds. La première intégrale dans le membre de gauche désigne l énergie cinétique, la deuxième est l énergie élastique et la troisième intégrale est l énergie de dissipation. Le cadre fonctionnel naturel consiste à prendre u L 2 (; R n ), e L 2 (; M n n sym ) (puisque les énergies cinétiques et élastique est sont des formes quadratiques) et ṗ L 1 (; M n n sym ) (car H est une fonction à croissance linéaire à l infini). Malheureusement, la non réflexibilité de L 1 force à élargir l espace des déformations plastiques admissibles à p M(; M n n sym ), les mesures de Radon bornées dans à valeurs M n n sym. La compatibilité cinématique Eu = e + p montre alors que le déplacement u BD() doit être à déformation bornée, i.e., un champ de vecteur intégrable dont le gradient symétrisé est une mesure. Cet espace a été introduit par Suquet [59] et a été étudié en détail par Strang & Temam [58] et Ambrosio, Coscia & Dal Maso [2] (voir également Temam [61]). En particulier, il est démontré dans [58, 59] un théorème de trace pour les fonctions BD sur un ouvert borné de classe C 1. Une lecture attentive de ces résultats fait apparaître quelques points obscurs dans les preuves, liés à la validité de 17

18 la formule d intégration par partie. En effet, tout comme dans BV, les fonctions régulières ne sont pas denses pour la topologie de la norme. Par conséquent, contrairement au cas Sobolev, la trace ne peut pas simplement être obtenue comme l unique extension continue de l application u u. En particulier, l unicité de la trace et la formule d intégration par partie sont des propriétés qu il convient de démontrer indépendamment l une de l autre. Les arguments employés dans [58, 59] semblent à cet effet se mordre la queue et c est pourquoi j ai entrepris dans [P21] de redémontrer ce résultat pour des domaines Lipschitz plus généraux où quelques subtilités apparaissent par rapport au cas C 1. J ai également montré l existence de limites de Lebesgue de part et d autre d un ensemble rectifiable ce qui permet d établir une formule de saut du gradient symétrisé Eu sur de tels ensembles. De nouveau, cette propriété était connue (voir [2]), mais sa preuve n était pas entièrement complète à cause de la mise en défaut des arguments menant au théorème de trace. En collaboration avec M. G. Mora, nous nous sommes intéressés dans [P19] à la modélisation de l évolution élasto-plastique en mécanique des sols. Ce problème ne rentre pas dans le cadre général développé par Dal Maso, De Simone & Mora [29] car le convexe d élasticité K des contraintes plastiquement admissibles est non borné et non invariant dans la direction des contraintes hydrostatiques. Il s agit typiquement d un cône semi-infini de Drucker-Prager ou Mohr-Coulomb de la forme K := { σ M n n sym : κ(σ D ) α trσ + k}, où α et k sont des constantes positives, σ D est la partie déviatorique de σ et κ est une norme sur l espace des matrices déviatoriques. Cet ensemble convexe autorise des contraintes plastiquement admissibles infinies, ce qui n est évidemment pas physique. Nous avons donc reformulé ce modèle en ajoutant un cap", couramment utilisé dans la littérature d ingénierie. Il s agit de couper le cône convexe K par un demi plan d équation {trσ z}, où z est une nouvelle variable au problème à laquelle nous devons rajouter une loi d évolution. Nous choisissons une loi d écrouissage qui consiste à faire bouger le cap vers la gauche lorsque les contraintes touchent le bord {trσ = z} du demi plan. En général, les modèles avec écrouissage sont plus faciles à traiter car ils régularisent le problème. La chose surprenante ici est qu il n en est rien. La difficulté principale consiste alors à montrer et surtout rendre rigoureuse la loi découlement (7). En utilisant la théorie des fonctions convexes d une mesure de Goffman & Serrin [44] et Demengel & Temam [34], il est possible de donner un sens à H(ṗ) pour ṗ M(; M n n sym ). En revanche, le produit σ : ṗ n est a priori pas bien défini puisque σ L 2 (; M n n sym ) et ṗ M(; M n n sym ) ne sont pas en dualité. Dans l esprit des travaux de Kohn & Temam [50], la formule d intégration par partie établie dans [P21] nous permet de montrer que le produit σ : ṗ peut être bien défini en 2D comme une distribution d ordre 1 et, par suite, que l égalité (7) a lieu au sens des mesures. En dimension n 3, nous démontrons une version plus faible de la loi d écoulement (7) en terme d une égalité d énergie. Ceci permet de démontrer l existence de solutions pour ce problème en régimes dynamiques et quasi-statiques. En faisant tendre le cap z, nous obtenons ainsi des solutions pour les modèles de Drucker-Prager et Mohr-Coulomb. Le modèle décrit précédemment est principalement utilisé pour décrire les déformations plastiques de milieux granulaires (le béton, les tas de sable, si tant est que ceux-ci peuvent être assimilés à des milieux continus). Il se trouve que l utilisation de la loi de normalité pour ce type de modèles a tendance à surestimer les déformations plastiques qui sont beaucoup plus conséquentes que celles réellement observées expérimentalement. Pour pallier ce problème, les ingénieurs préfèrent utiliser des modèles non associés, où la loi de normalité est abandonnée au profit d une loi d écoulement orientée suivant la normale à une surface de niveau d un potentiel plastique. Ces modèles sont connus pour ne pas avoir de formulation variationnelle. En collaboration avec G. Francfort et M. G. Mora, nous nous sommes intéressés à ce type de modèles dans [P16]. Grâce à un résultat de Laborde [53], nous avons pu trouver une structure variationnelle, mais le prix à payer consiste à considérer des convexes d élasticité K(σ) qui dépendent de l état de contrainte, et donc des potentiels de dissipation de la forme H(σ, ṗ). Malheureusement, ce modèle accumule les pathologies : tout d abord, il n est pas clair de pouvoir donner un sens à l expression H(σ, ṗ) pour σ L 2 (; M n n sym ) et ṗ M(; Msym n n ) dans l espace d énergie car H n a a priori aucune propriété de convexité par rapport à la première variable. Pour remédier à ce problème, nous introduisons 18

19 une approximation non locale, où l on impose à K de dépendre de l état de contrainte dans un petit voisinage du point. Pour ce faire, nous convolons σ avec un noyau régularisant ϱ de sorte que σ ϱ est maintenant régulier. Ensuite, les estimations d énergie semblent montrer que les solutions présentent des discontinuités temporelles. Dans l esprit des travaux de Mielke, Rossi & Savaré [56], nous reformulons alors le modèle dans une autre échelle de temps où les solutions (u, e, p) sont Lipschitziennes à valeurs dans l espace d énergie. Les temps originaux t en lesquels les solutions sont discontinues correspondent alors aux temps remis à l échelle s où t t(s) est constante. Dans ce nouveau temps, nous démontrons l existence de solutions en régime quasi-statique où la loi d écoulement est interprétée indifféremment comme une identité d énergie ou comme une égalité σ : ṗ = H(σ ϱ, ṗ) au sens des mesures. Avec Bruno Després et Nicolas Seguin nous co-dirigeons la thèse Clément Mifsud sur des modèles mécaniques sous contrainte dont la plasticité s avère un cas particulier. L idée de départ repose sur l obervation suivante : supposons pour simplifier que = R n. En l absence de plasticité, le système (6) de l élasto-dynamique est bien connu pour s écrire sous forme d un système hyperbolique linéaire symétrique en la variable U = ( u, σ) (voir Hugues & Marsden [48]) : { t U + n i=1 A i xi U = 0 dans R n (0, + ), U(t = 0) = U 0, où les matrices A 1,..., A n M n n sym peuvent être rendues explicites. Dans un travail récent, Després, Lagoutière & Seguin se sont intéressés dans [35] à l effet que peut avoir une contrainte convexe sur la solution U d un tel système de Friedrichs [42], qui engendre une non linéarité dans le système. Ils ont défini une formulation entropique, très proche de celle utilisée par Kruzhkov dans [51] pour les lois de conservation scalaires, pour laquelle ils démontrent l existence et l unicité dans un cadre L 2. Formellement, la solution du problème élasto-plastique coïncide avec la solution entropique. En collaboration avec C. Mifsud et N. Seguin, nous avons considéré dans [P23] un système de Friedrichs sous contrainte général et montré la stabilité du problème par rapport à une régularisation parabolique et une relaxation de la contrainte comme annoncé dans [35]. Plus précisément, nous avons établit la convergence de la solution de l équation { t U ε + n i=1 A i xi U ε ε U ε = Uε P K(U ε) ε dans R n (0, + ), U ε (t = 0) = U 0, où P K désigne la projection orthogonale sur le convexe K, vers l unique solution du système de Friedrichs sous contrainte. Ce résultat est intéressant du point de vue de la plasticité car si l on applique la régularisation/relaxation au système de l élasto-plasticité, on constate qu il s agit exactement du même type de régularisation visco-plastique que celles utilisées dans mes travaux [P16, P19] sur le sujet. En particulier, ceci permet de changer l angle d approche de l élasto-plasticité, jusque là plutôt considéré comme un modèle variationnel, comme un système hyperbolique sous contrainte. Le travail de thèse de Clément Mifsud consiste en autre à développer cette idée. 5.3 Méthodes spectrales en diffraction d ondes électromagnétiques Dans [P13] j ai étudié avec E. Bonnetier et F. Triki des problèmes de diffraction d ondes électromagnétiques (pour des fréquences dans le domaine du visible) sur une surface contenant un nombre fini de cavités de dimension sous-longueur d onde. Nous avons montré l existence de modes distincts. Dans le cas de deux cavités, nous mettons en évidence tout d abord un mode symétrique où les deux cavités résonnent en phase et réagissent comme un dipôle, ainsi qu un mode antisymétrique où les deux cavités résonnent en anti-phase et se comportent asymptotiquement comme un quadripôle. L analyse repose sur la formulation intégrale de l équation de Helmholtz comme un potentiel de simple couche, et en une analyse asymptotique spectrale de l opérateur intégrale lorsque la taille des cavités tend vers zéro. En se basant sur des résultats de Gohberg & Sigal [45], la détermination des résonnances est alors ramenée à la recherche des valeurs caractéristiques d une fonction méromorphe à valeurs dans les opérateurs dans le 19

20 même esprit que les travaux d Ammari, Kang & Lee [7]. Ce résultat généralise celui de Bonnetier & Triki [12] qui avaient traité auparavant le cas d une seule cavité. Contrairement à mes travaux précédents en calcul des variations, il ne s agit pas d un résultat d homogénéisation où l on cherche un modèle effectif limite simplifié, mais d un résultat d analyse asymptotique où l on s intéresse au comportement singulier du champ électromagnétique et des résonances lorsque la taille des cavités est très petite. Références [1] E. Acerbi, N. Fusco : Semicontinuity problems in the calculus of variations, Arch. Rational Mech. Anal. 86 (1984) [2] L. Ambrosio, A. Coscia, G. Dal Maso : Fine properties of functions with bounded deformation, Arch. Rational Mech. Anal. 139 (1997) [3] L. Ambrosio, N. Fusco, D. Pallara : Functions of bounded variation and free discontinuity problems, Oxford Mathematical Monographs, New York (2000). [4] L. Ambrosio, N. Gigli, G. Savaré : Gradient Flows in Metric Spaces and in the Space of Probability Measures, Lectures in Mathematics ETH Zürich, Birkhäuser Verlag, Basel (2008). [5] L. Ambrosio, Pallara : Partial regularity of free discontinuity problems I, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (4) 24 (1997) [6] L. Ambrosio, V. M. Tortorelli : On the approximation of free discontinuity problems, Bollettino U. M. I 7 (1992) [7] H. Ammari, H. Kang, H. Lee : Layer Potential Techniques in Spectral Analysis Mathematical Surveys and Monographs, Volume 153, American Mathematical Society, Providence (2009). [8] J. M. Ball : Convexity conditions and existence theorems in nonlinear elasticity, Arch. Rational Mech. Anal. 63 (1977) [9] E. N. Barron, W. Liu : Calculus of Variation in L, Appl. Math. Optim. 35 (1997) [10] F. Béthuel : The approximation problem for Sobolev maps between two manifolds, Acta Math. 167 (1991) [11] K. Bhattacharya, I. Fonseca, G. A. Francfort : An asymptotic study of the debonding of thin films, Arch. Rational Mech. Anal. 161 (2002) [12] E. Bonnetier, F. Triki : Asymptotic of the Green function for the diffraction by a perfectly conducting plane perturbed by a sub-wavelength rectangular cavity, Math. Methods Appl. Sci. 33 (2010) [13] G. Bouchitté, I. Fonseca, L. Mascarenhas : Bending moment in membrane theory, J. Elasticity 73 (2003) [14] G. Bouchitté, I. Fonseca, G. Leoni, L. Mascarenhas : A global method for relaxation in W 1,p and in SBV p, Arch. Rational Mech. Anal. 165 (2002) [15] A. Braides : Homogenization of some almost periodic coercive functionals, Rend. Accad. Naz. Sci. Mem. Mat. 9 (1985) [16] A. Braides, I. Fonseca : Brittle thin films, Appl. Math. Optim. 44 (2001) [17] A. Braides, I. Fonseca, G. A. Francfort : 3D-2D asymptotic analysis for inhomogeneous thin films, Indiana Univ. Math. J. 49 (2000) [18] D. Bucur, N. Varchon : Boundary variation for a Neumann problem, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (4) 29 (2000) [19] P. Cardaliaguet, F. Prinari : Supremal representation of L functionals, App. Math. Optim. 52 (2005) [20] A. Chambolle : A density result in two-dimensional linearized elasticity and applications, Arch. Rational Mech. Anal. 167 (2003)