Brevet Métropole 23 juin 2016
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- Adam Damours
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1 Brevet Métropole 23 juin 2016 L utilisation d une calculatrice est autorisée. Indication portant sur l ensemble du sujet : Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée. Pour chaque question, si le travail n est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche ; elle sera prise en compte dans la notation. Exercice 1 4 points Une société commercialise des composants électroniques qu elle fabrique dans deux usines. Lors d un contrôle de qualité, 500 composants sont prélevés dans chaque usine et sont examinés pour déterminer s ils sont «bons» ou «défectueux». Résultats obtenus pour l ensemble des 1000 composants prélevés : Usine Usine B Bons Défectueux ) Si on prélève un composant au hasard parmi ceux provenant de l usine, quelle est la probabilité qu il soit défectueux? 2) Si on prélève un composant au hasard parmi ceux qui sont défectueux, quelle est la probabilité qu il provienne de l usine? 3) Le contrôle est jugé satisfaisant si le pourcentage de composants défectueux est inférieur à 7 % dans chaque usine. Ce contrôle est-il satisfaisant? Exercice 2 On considère les deux programmes de calcul ci-dessous. 4, Programme 1) Choisir un nombre. 2) Multiplier par -2. 3) jouter 13. Programme B 1) Choisir un nombre. 2) Soustraire 7. 3) Multiplier par 3. 1) Vérifier qu en choisissant 2 au départ avec le programme, on obtient 9. 2) Quel nombre faut-il choisir au départ avec le programme B pour obtenir 9? 3) Peut-on trouver un nombre pour lequel les deux programmes de calcul donnent le même résultat? Exercice 3 Trois figures codées sont données ci-dessous. Elles ne sont pas dessinées en vraie grandeur. Pour chacune d elles, déterminer la longueur B au millimètre près. Dans cet exercice, on n attend pas de démonstration rédigée. Il suffit d expliquer brièvement le raisonnement suivi et de présenter clairement les calculs. Figure 1 B C J Figure 2 C cm B Figure 3 O B [B] est un diamètre du cercle de centre O. La longueur du cercle est 154 cm.
2 Exercice 4 Lors des soldes, un commerçant décide d appliquer une réduction de % sur l ensemble des articles de son magasin. 1) L un des articles coûte 54 avant la réduction. Calculer son prix après la réduction. 2) Le commerçant utilise la feuille de calcul ci-dessous pour calculer les prix des articles soldés. B C D E F 1 Prix avant réduction 12,00 14,80 33,00 44,20 85,50 2 Réduction de % 3,60 4,44 9,90 13,23 25,65 3 Prix soldé a) Pour calculer la réduction, quelle formule a-t-il pu saisir dans la cellule B2 avant de l étirer sur la ligne 2? b) Pour obtenir le prix soldé, quelle formule peut-il saisir dans la cellule B3 avant de l étirer sur la ligne 3? 3) Le prix soldé d un article est 42,00. Quel était son prix initial? Exercice 5 5, La figure PRC ci-contre représente un terrain appartenant P à une commune. Les points P, et R sont alignés. zone de jeux pour enfants Les points P, S et C sont alignés. Il est prévu d aménager sur ce terrain : skatepark S une «zone de jeux pour enfants» sur la partie PS ; un «skatepark» sur la partie RSC. C On connaît les dimensions suivantes : R P = m ; R = 10 m ; S = 18 m. 1) La commune souhaite semer du gazon sur la «zone de jeux pour enfants». Elle décide d acheter des sacs de 5 kg de mélange de graines pour gazon à 13,90 l unité. Chaque sac permet de couvrir une surface d environ 140 m². Quel budget doit prévoir cette commune pour pouvoir semer du gazon sur la totalité de la «zone de jeux pour enfants»? 2) Calculer l aire du «skatepark». Exercice 6 7 points vec des ficelles de 20 cm, on construit des polygones comme ci-dessous : Méthode de construction des polygones Étape 1 Étape 2 Étape 3 morceau n 1 morceau n 2 On coupe la ficelle de 20 cm en deux morceaux. On sépare les deux morceaux. vec le «morceau n 1», on construit un carré. vec le «morceau n 2», on construit un triangle équilatéral. Partie 1 : Dans cette partie, on découpe à l étape 1 une ficelle pour que le «morceau n 1» mesure 8 cm. 1) Dessiner en grandeur réelle les deux polygones obtenus. 2) Calculer l aire du carré obtenu. 3) Estimer l aire du triangle équilatéral obtenu en mesurant sur le dessin.
3 Partie 2 : Dans cette partie, on cherche maintenant à étudier l aire des deux polygones obtenus à l étape 3 en fonction de la longueur du «morceau nº 1». 1) Proposer une formule qui permet de calculer l aire du carré en fonction de la longueur du «morceau n 1». 2) Sur le graphique ci-dessous : la courbe représente la fonction qui donne l aire du carré en fonction de la longueur du «morceau n 1» ; la courbe B représente la fonction qui donne l aire du triangle équilatéral en fonction de la longueur du «morceau n 1». Graphique représentant les aires des polygones en fonction de la longueur du «morceau n 1» ire (en cm²) Coube B Coube Longueur du «morceau nº 1» (en cm) En utilisant ce graphique, répondre aux questions suivantes. ucune justification n est attendue. a) Quelle est la longueur du «morceau n 1» qui permet d obtenir un triangle équilatéral d aire 14 cm²? b) Quelle est la longueur du «morceau n 1» qui permet d obtenir deux polygones d aires égales?
4 Exercice 7 ntoine crée des objets de décoration avec des vases, des billes et de l eau colorée. Pour sa nouvelle création, il décide d utiliser le vase et les billes ayant les caractéristiques suivantes : Caractéristiques du vase 0,2 cm 0,2 cm Caractéristiques des billes 1,8 cm 21,7 cm Matière : verre Forme : boule Dimensions : 1,8 cm de diamètre 1,7 cm Matière : verre Forme : pavé droit Dimensions extérieures : 9 cm 9 cm 21,7 cm Épaisseur des bords : 0,2 cm Épaisseur du fond : 1,7 cm 9 cm Il met 150 billes dans le vase. Peut-il ajouter un litre d eau colorée sans risquer le débordement? On rappelle que le volume de la boule est donné par la formule : 4 3 r3
5 Exercice 1 Brevet Métropole 23 juin 2016 Correction 4 points 1) Si on prélève un composant au hasard parmi ceux provenant de l usine, la probabilité qu il soit défectueux est ) Si on prélève un composant au hasard parmi ceux qui sont défectueux, la probabilité qu il provienne de l usine est ) Méthode 1 : 7 % de 500 = 0, = 35 7 % de 500 composants représentent 35 composants. 27 < 35 donc le contrôle est jugé satisfaisant dans l usine. 38 > 35 donc le contrôle n est pas jugé satisfaisant dans l usine B. Méthode 2 : Nbre de composants ,4 % < 7 % donc le contrôle est jugé satisfaisant % 100 5, : 500 dans l usine. Nbre de composants ,6 % > 7 % donc le contrôle n est pas jugé % 100 7, : 500 satisfaisant dans l usine B. Exercice 2 1) 2 2 (-2) = = 9 En prenant 2, on obtient 9 avec le programme. 2) Pour trouver le nombre qu il faut choisir au départ avec le programme B pour obtenir 9 : 9 : 3 = = 10 Il faut choisir 10. 4, 3) Soit x le nombre choisi. vec le programme, on obtient -2x vec le programme B, on obtient (x 7) 3. -2x + 13 = (x 7) 3-2x + 13 = 3x 21-2x = 3x x 3x = 3x 34 3x -5x = -34-5x -5 = x = 6,8 Exercice 3 Figure 1 : BC est un triangle rectangle en B. D après le théorème de Pythagore, on a donc : C 2 = B 2 + BC = B = B B 2 = B 2 = 108 B = ,4 cm Figure 2 : BC est un triangle rectangle en. sin( CB) = opp hyp = B c'est-à-dire sin(53 ) CB 1 donc B = 36 sin(53 ) 28,8 cm Figure 3 : Longueur du cercle = π B = 154 donc B = 154 : π 49 cm = B 36 Exercice 4 1) 70 % de 54 = 0,7 54 = 37,80 2) a) = B1*0,3 b) = B1*0,7 ou = B1 B2 3) Soit x le prix initial. 0,7 x = 42 x = 42 : 0,7 = 60 Le prix initial était 60.
6 Exercice 5 1) ire de la zone de jeux pour enfants = P S : 2 = 18 :2 = 540 : 2 = 270 m 2 Il faudra prévoir 2 sacs de graines pour gazon pour une surface de 280 m ,9 = 27,8 Le budget à prévoir pour la commune doit être de 27,80. 5, 2) Il faut calculer la longueur RC. (S) et (RC) sont perpendiculaires à la même droite (PR) donc elles sont parallèles entre-elles. (R) et (CS) sont sécantes en P. (S) // (RC) D après la propriété de Thalès, on a : P PR = PS PC = S RC 40 = 18 RC c est à dire donc RC = = PS PC = 18 RC = 720 = 24 m. Méthode 1 : ire du «skatepark» = ire (PRC) ire (PS) = PR RC : = : = = 210 m 2 Exercice 6 Partie 1 : 1) Le carré a pour côté 2 cm (8 : 4 = 2) PR = P + R = + 10 = 40 m Méthode 2 : ire du «skatepark» = (S + RC) R : 2 = ( ) 10 : 2 = : 2 = 420 : 2 = 210 m 2 7 points Le triangle équilatéral a pour côté 4cm (12 : 3 = 4) 2) ire du carré = 2 2 = 4 cm 2 3) ire du triangle équilatéral = 4 3,5 2 Partie 2 : = 14 2 = 7 cm2 1) Soit x la longueur du «morceau n 1». ire du carré = x 4 x 4 = x2 16 2) a) La longueur du «morceau n 1» qui permet d obtenir un triangle équilatéral d aire 14 cm 2 est environ 3 cm. b) La longueur du «morceau n 1» qui permet d obtenir 2 polygones d aires égales est environ 9,3 cm. Exercice 7 Volume du vase = 8,6 8,6 20 = 1 479,2 cm 3 Volume des 150 billes = π 0,93 = 729 π 458 cm3 5 Volume restant dans le vase = 1 479,2 458 = 1 021,2 cm 3 1 L = 1 dm 3 = cm 3 donc ntoine peut ajouter 1 L d eau coloré sans risquer le débordement.
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