RACINE CARREE EXERCICES CORRIGES
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- Raoul Grégoire
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1 THEME : RACINE CARREE EXERCICES CORRIGES Exercice 1: Simplifier les écritures suivantes : A = C = 96 0 A = Simplifions les différentes racines de cette expression. 4 0 = 4 = 4 = = 4 = 9 = 9 = = 1 = = = = 4 B = 7 D = Remplaçons, dans l expression A, ces racines carrées par leurs écritures simplifiées. A = A = 4 = ( 4 = 6 A = 6 Remarque : Une autre rédaction est souhaitée. Au lieu de simplifier séparément les différentes racines, nous pouvons, dans l expression A, les simplifier simultanément. B = Nous avons successivement : B = B = B = 7 1 B = B = Nous devons continuer et simplifier 1 B = = 17 6 = 17 1 = La simplification de 48 a été exécutée en deux étapes. La rédaction pouvait être plus rapide en constatant que 48 = 16. Nous obtenons alors : B = B = B = Les carrés parfaits : ( sauf 1 8 4, 9, 16,, 6, 49, 64, 81, 100, et la racine carrée de ces carrés parfaits : 4 =, 9 = 16 = 4, =, 6 = 6, 49 = 7,
2 B = = B = C = Essayons de déterminer dans chaque radicande ( nombre situé sous le radical le carré parfait le plus grand possible. C = C = C = C = = 7 6 C = 7 6 D = D = D = 4 6 D = = D = Exercice : Simplifier les expressions suivantes : A =( C =( E =( 6 A = ( 1 ( 1 ( ( 1 ( 1 ( B =( D =( 1 A = 1 1 = A = ( ² mais ( ² = A = A = 4 A = 4 B = ( ( B = B = ( ² ( ² Sachant que ( ² =, que ( ² = et que = = 10, nous avons : B = = = 1 10 B = 1 10 C = ( 6 ( C = 6 6 C = 6 6 C = 18 1 Simplifions maintenant 18 et 1. C = 9 4 C = 9 4 C = = C = Remarque : Il existait ici une autre façon de simplifier cette expression. ( (
3 C = ( 6 ( Le premier facteur 6 peut s écrire ( en factorisant : 6 = ( ² = = ( C = ( 6 ( = ( ( = [( ² ( ²] C = [ ] = 1 = D = ( ² ( ² D = [( ² ( ²] [( ² ( D = [ ] [ ] En écrivant sous la forme 1 et en supprimant les parenthèses, nous obtenons : D = 1 1 = 1 1 = 4 1 D = 4 1 ²] E = ( 1² ( 1 ( 1 E = [( E = [ ²( ² E = [ 9 6 E = [ 18 6 ² 6 1 1²] ( ( 1 ] ( 1] ( 4 1] ( 4 ² ou E = [19 6 ] ( E = ou E = 19 6 E = 16 E = 16 Exercice : On donne les nombres : a = et b = Calculer a b, a b, a² b², ab et ( a b ² Calcul de a b : Remplaçons a et b par les valeurs données cidessus. Attention, toute valeur doit être considérée comme une valeur entre parenthèses ( Il est vrai que si cette valeur est simple, les parenthèses sont omises Si a =, il faut lire a = ( ( ici les parenthèses sont inutiles Si a =, il faut lire a = ( Si a =, il faut lire a = ( Si a =, il faut lire a = ( Si a =, il faut lire a = ( a b = ( ( a b = = 4 a b = 4 Calcul de a b : a b = ( ( a b = = 6 a b = 6 Calcul de a² b²: a² b² = ( ² ( ² a² b² = [ ( ² 1 ²] [ ( ² 1 ² ]
4 a² b² = [ ²( ² 1 9 ] [ ²( ² 1 9 ] a² b² = [ ] [ ] a² b² = [ ] [ ] a² b² = [ 9 1 ] [ 9 1 ] = = 8 a² b² = = = 8 Calcul de ab : ab = a b = ( ( a² b² = 8 ab = ( ² ² = ²( ² ² = 4 9 = 0 9 = 11 ab = 11 Calcul de ( a b ² : ( a b ² = [( ( ]² ( a b ² = [ ]² ( a b ² = [ 4 ]² ( a b ² = 4²( ² = 16 = 80 ( a b ² = 80 Exercice 4: d'après Brevet des Collèges Poitiers 1990 Prouver que symbole de la multiplication est un nombre entier. ( le symbole "x" est le 8 = 16 = 4 (d après la propriété a b = a b qui doit également se lire a b = a b L expression à calculer est donc égale à ( nous appellerons A cette expression : A = A = 16 4 A = 4 4 A = 4 A = = 4 A = 4 donc A est un entier Remarque : Le premier terme pouvait également être simplifier comme suit : 8 = 4 = 4 = ( ² = = 4 Exercice : Les côtés d'un triangle IJK ont pour longueurs : IJ = IK = et JK = 1 Démontrer que le triangle IJK est rectangle. Recherche du plus grand côté : A l aide de la calculatrice, nous constatons que : IJ = 6,46 IK,19 et JK = 1 7,1 Par conséquent, si le triangle IJK est rectangle, il ne peut être rectangle qu en I.
5 Le triangle IJK estil rectangle en I? Nous avons ( calculs séparés : JK² = ( 1 ² = ² ( 1 ² = 4 1 = IJ² IK² = ( ² ( ² IJ² IK² = [( ² 1 ²] [( ² 1 ² ] IJ² IK² = [ ²( ² 1 9 ] [ ²( ² 1 4 ] IJ² IK² = [ ] [ ] IJ² IK² = [ ] [ ] Continuons le calcul dans chaque parenthèse ou supprimons les : IJ² IK² = = = Ces deux calculs permettent d écrire que : JK² = IJ² IK² Donc, d après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle IJK est rectangle en I acalculer C pour x = bcalculer C pour x = Si x =, nous avons : C = ( ² 6 7 Exercice 6: Brevet des Collèges Caen 1994 Soit l'expression C = x² 6x 7 C = 6 7 = 1 6 C = 1 6 Si x = ou (, nous avons : C = ( ² 6 ( 7 C = [ ² 6 ( ²] 6 ( 7 C = [ 9 6 ] 6 ( 7 et écrire le résultat sous la forme a b C = C = = 0 C = 0 où a et b sont des entiers relatifs. B = 8 8 Exercice 7: Brevet des Collèges Reims Septembre 9 Effectuer le calcul suivant en donnant le résultat sous la forme a, a étant un entier relatif. ( B = ( Si nous regardons l expression, nous pouvons constater que nous devons simplifier chacun des termes. 8 se simplifie sans problème, ainsi que 0. La difficulté provient du troisième terme 0 (. Aucune propriété liant les racines carrées et l élévation à la puissance n est connue. Revenons donc à la définition de l élévation au cube.
6 ( = = ( ² = Remplaçons donc ( par B = 4 8 B = 4 8 B = 8 B = B = B = Exercice 8:Brevet des Collèges Nice Montpellier Toulouse 1991 Développer et écrire le plus simplement possible : D = ( 4 ² ( ( 7 D = ( 4 ² ( ( 7 D = [ 4² 40 ( ²] ( 6 ( ² D = [ ² ( ²] ( D = [ ] ( D = [ ] ( D = D = = 99 6 D = 99 6
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