Comment doubler une figure carrée?

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1 IRRTIONLITE DE I. INTRODUCTION Comment oubler une figure carrée? IV siècles avant notre ère, PLTON se fait l écho, ans un e ses ialogues intitulé Ménon 1, es ifficultés arithmétiques rencontrées par les pythagoriciens : Socrate, un jour, fait venir un esclave, trace sur le sol un carré e côté eux pies et lui emane e trouver le côté un carré aire ouble. Première réponse e l esclave : Il faut oubler le côté u carré! Guié par Socrate l esclave se ren compte qu en oublant le côté u carré il a quaruplé l aire u carré au lieu e la oubler. Justifier. Le carré e côté quatre pies est onc trop gran, il faut pourtant prenre plus e eux pies : il ne reste qu à essayer trois pies qui à son tour ne convient pas. Justifier. C est l impasse et l esclave s énerve un peu : «Mais par Zeus, Socrate, je ne le sais pas!» Pourtant Socrate lui avait suggéré abanonner la perspective numérique : «et si tu préfères ne pas onner un chiffre, montre en tout cas à partir e quelle ligne on l obtient». Socrate accole alors trois carrés au carré initial pour former un carré quatre fois plus gran. Le problème, géométrique cette fois-ci, revient à tracer un carré qui soit la moitié e ce nouveau carré. Pourquoi? Or, une iagonale partage un carré en eux parties égales : il suffit onc e partager chacun es quatre carrés par une iagonale juicieusement choisie. L esclave voit enfin une solution au problème posé. Laquelle? Justifier que le quarilatère ainsi obtenu est bien un carré ont l aire est ouble e celle u carré tracé initialement par Socrate. Graneurs incommensurables On ramène le carré tracé au sol par Socrate à un carré e côté c. 1. Montrer que le problème posé se résume alors à trouver un nombre tel que ² = c².. Quelle oit être la valeur u rapport /c? L impasse arithmétique es premières recherches e l esclave vient u fait qu il n existe pas entiers ou e fraction entiers tel que ² = c². Il s agit e l impossibilité e mesurer la iagonale u carré avec une portion u côté. On parle e graneurs incommensurables. c 1 Cf PLTON, Ménon, 8 b - 85 c, p 51-57

2 Historique XVII e siècle av J.-C. Un scribe babylonien a essiné un carré sur lequel figure, ans la numération sexagésimale le rapport e la iagonale et u côté u carré : 1,4 ; 51 ; 10. Quel est l orre e cette approximation e? VI e siècle av J.-C. PYTHGORE, ont le principe fonateur est «tout est nombre», onne une interprétation mystique aux nombres attribuant un nombre à chaque chose. L univers, la musique, les harmonies et les oppositions sont réglées par les nombres entiers et les rapports entiers. Construire un carré e côté 5 cm puis mesurer la iagonale e ce carré. Construire un carré e côté 10 cm puis mesurer la iagonale e ce carré. Construire un carré e côté 8 cm puis mesurer la iagonale e ce carré. Pythagore et ses isciples pensaient que le rapport c était égal à 5 7. Expliquer. Quel est l orre e cette approximation e? IV e siècle av J.-C. HIPPSE DE METPONTE, isciple e Pythagore, écouvre l incommensurabilité e la iagonale et u côté u carré ce qui crée une véritable crise au sein es pythagoriciens. La légene it qu il aurait été conamné à la noyae pour avoir révélé le secret e l existence es tels nombres. RISTOTE énonce les granes lignes une émonstration arithmétique par l absure e l irrationalité e. III e siècle av J.-C. II e siècle av J.-C. EUCLIDE publie ans le livre X e ses Eléments une version étaillée e cette émonstration. THEON DE SMYRNE tente e onner à ces nombres une réalité physique, naturelle, et en même temps, une réalité rationnelle WEIERSTRSS éfinit les nombres irrationnels comme agrégats une infinité e nombres rationnels.

3 1869 MERY publie la première construction rigoureuse es nombres irrationnels appelés «quantités incommensurables». Il introuit la notation a pour ésigner «la racine carré u nombre a». 187 DEDEKIND établit une analogie entrer les nombres rationnels et les points une roite oronnée à partir un point origine. Il crée les nombres irrationnels en tant que «coupure» ans l ensemble es nombres rationnels. Il rassemble les nombres rationnels et irrationnels sous le vocable e nombres réels KND et TKHSHI étiennent le recor e l approximation e avec écimales (7,5 heures es calcul). II. PREUVE DE L IRRTIONLITE DE Principe un raisonnement par l absure? Démonstration par l absure Supposons que est un nombre rationnel. 1. Définir les nombres rationnels. Justifier qu il existe eux entiers naturels non nuls p et q, premiers entres eux, tels que p =. q. En éuire que p = q. Que peut-on alors ire u chiffre es unités e p² et e q²? 3. Compléter les tableaux suivants : Le nombre p se termine par Le nombre p² se termine par Le nombre q se termine par Le nombre q² se termine par Le nombre q² se termine par 4. Déuire es questions 3. et 4. quels sont les cas possibles pour p et q. Où est la contraiction? 5. Conclure.

4 III. PPROXIMTION DE Construction géométrique u point abscisse à la règle et au compas On consière une roite D munie un repère (O ; I) (unité 10 cm). Trouver une construction qui permette e placer précisément sur D le point M abscisse. pproximation e par la méthoe e Héron lexanrie Le but e cette partie est e calculer es approximations e en plus précises. L algorithme est écrit ci-contre. Choisir par es nombres rationnels e plus est un réel strictement positif. Calculer Calculer B = 1 + B est la moyenne arithmétique e et e Remplacer par B Prenons par exemple = a. Placer sur la roite D le point abscisse. b. Calculer et placer sur la roite D le point abscisse. En éuire un encarement e par eux nombres rationnels. 1 c. Calculer B = + et placer sur la roite D le point abscisse B. En éuire un encarement encore meilleur e par eux nombres rationnels.. Reprenre les questions 1.a., 1.b. et 1.c. en prenant à chaque fois pour la valeur trouvée à la question 1.c. partir e combien étapes retrouve-t-on la valeur approchée e onnée par la calculatrice? 3. Entrer le programme onné ci-contre ans votre calculatrice. Le faire fonctionner pour ifférentes valeurs e. 4. Que se passe-t-il si on pren =? MENU 6 F3 (New) Entrer un titre EXE 1 N? N For 0 M To N (+) Next utre méthoe approximation e Trouver une autre méthoe permettant e trouver es approximations e. Donner et expliquer l algorithme e calcul. Comparer avec la méthoe e Héron lexanrie.

5 Ce que croyaient les pythagoriciens 1. Construire un carré e côté 5 cm puis mesurer la iagonale e ce carré.?. Construire un carré e côté 10 cm puis mesurer la iagonale e ce carré. c? 3. Construire un carré e côté 8 cm puis mesurer la iagonale e ce carré.? 4. Pythagore et ses isciples pensaient que le rapport c était égal à 5 7. Expliquer. Pourquoi réfuter l iée? E B On suppose que c = 5 7 et on consière le carré BCD e côté 5 cm. 1. Que vaut alors la longueur C? On replie le côté [BC] sur la iagonale [C] ; Le point B vient alors en B. B. Déterminer les longueurs B C et B. 3. Préciser les mesures es angles B E, B E et B E. En éuire la nature u triangle B E, ainsi que les longueurs B E, BE et E. D C B est le point tel que B EB soit un carré. On replie le côté [EB ] sur [E], le point B vient en F. 4. Déterminer les longueurs EF et F. 5. Préciser les mesures en egré es angles GF, GF et GF. En éuire la nature u triangle GF, ainsi que les longueurs F, GF et G. G E B F B 6. Quelle est la contraiction obtenue? Quelle hypothèse oit-on rejeter? D C