Sciences de l Ingénieur. DS de Sciences de l Ingénieur, MPSI1, octobre 15. Corrigé sur le site :

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1 DS de, MPSI, ocobre 5 Durée : h Corrigé sur le sie : h://erso.numericable.fr/sarnaud/ Exercice.. Tracer la foncion e ( ( ). u( ) ( ). u( ) u( 4) e donner sa ransformée de Lalace.. Soi le sysème défini ar la foncion de ransfer ( ) 3. 3 H, déerminer la réonse emorelle de ce sysème à un échelon uniaire. 3. Soi la foncion ( ) S, déerminer s(0), s( ) e s (0) en uilisan les héorèmes des valeurs iniiales e finales. Exercice. Soi le sysème don le comoremen es défini ar l équaion différenielle :. Déerminer sa foncion de ransfer d s( ds( s(. e(. d d H ( ) S( ) E( ). Déerminer la réonse de ce sysème à une imulsion. Exercice 3. On donne dans le documen réonse la réonse d un sysème asservi à un échelon uniaire. Quesion : Donner les erformances de ce asservissemen. Exercice 4 LE ROBOT HUMANOIDE LOLA Le robo humanoïde LOLA, déveloé ar l Universié de Munich, es un robo de forme humaine conçu our un mode de marche raide. LOLA ossède une srucure à 5 degrés de liberé lui ermean une flexibilié accrue. Chaque jambe ossède 7 degrés de liberé, le hau du cors 8 e la êe 3. /7

2 Le robo es équié d une caméra séréoscoique haue définiion afin de ercevoir son environnemen, d une cenrale inerielle équiée de 3 gyroscoes e de 3 accéléromères. Chaque ariculaion ossède un codeur angulaire absolu e chaque ied es muni d un caeur d effor 6 axes ermean d obenir l effor de conac avec le sol. Conrôle de la osure de LOLA Pour assurer une marche raide e sable de LOLA, la méhode choisie es le conrôle de la vericalié du ronc du robo. Le hau du cors (ronc, bras, êe) sera mainenu verical en réalisan un asservissemen de osiion angulaire au niveau de l'ariculaion de la hanche. L'acion mécanique de redressemen es déveloée ar l'ensemble de moorisaion de angage auour de l'axe (O T,x 0 ). La chaîne srucurelle ermean de modifier la osure du hau du cors auour de l'axe de angage es rerésenée sur la figure suivane. Elle es comosée d un moeur élecrique (,) synchrone à aimans ermanens iloé ar un variaeur élecronique, d un réduceur Harmonic-Drive (3) de raor de réducion /00, d un codeur incrémenal (5) ainsi que d un codeur angulaire absolu (6+7). Une cenrale inerielle équiée d'un accéléromère, d'un gyroscoe e d'une unié de raiemen erme d'obenir en ems réel la valeur de l'angle d'inclinaison du hau du cors ar raor à la vericale. /7

3 Le conrôle de l'angle s'effecue ar l'inermédiaire du moeur asservi en osiion, suivi du réduceur Harmonic-Drive de raor de réducion r = /00. Le coule moeur exercé sur l'arbre d'enrée du réduceur es noé Cm. La masse de l'arbre moeur es négligeable devan l'en semble des aures grandeurs inerielles. L'équaion différenielle du mouvemen es : J eq d (. - m.g.z d G. ( m.z G Cm(. ( r J eq es le momen d'inerie équivalen de l'ensemble du ronc ramené sur l'axe moeur. Modèle du conrôle acif de la osiion vericale. Le schéma-bloc du conrôle de la osiion angulaire du ronc de LOLA es rerésené sur la figure suivane : La consigne angulaire es nulle afin de garder le ronc du robo verical : c( 0. Le comoremen du moeur sera considéré comme celui d'un moeur à couran coninu don les équaions de comoremen son les suivanes : di( u c (=R.i(+L. e( e( ke. m( C (. ( ) d m k c i Quesions. Passer les équaions de comoremen du moeur dans le domaine de Lalace, en déduire les foncions de ransfer des blocs B5, B6, e H. Donner égalemen la foncion de ransfer du bloc B4.. Passer l'équaion différenielle du mouvemen dans le domaine de Lalace, la mere sous la forme ()..., en déduire les foncions de ransfer des blocs B, B, B3, e J. B7. eq Afin de résoudre un roblème d insabilié, il es décidé d'asservir la chaîne direce en osiion e en viesse. Pour cela, la cenrale inerielle erme de mesurer l'angle de angage. L'asservissemen ainsi réalisé es résené sous la forme du schéma-bloc de la figure suivane. 3/7

4 U c () es la ension de commande en sorie du correceur. La foncion de ransfer de la cenrale inerielle es : H ci ( ).( ). On donne : F( ) ( ).( ) Eude de la remière boucle. Quesions 3. Déerminer la foncion de ransfer H ( ) ( ) U ( ). Faire l alicaion numérique avec 0, 03 e 8, 9 c. On rend our la suie : 0,03 H ( ) 0,. 9, 4. Mere H ( ) sous la forme canonique coefficiens caracérisiques. 5. Tracer la réonse de H ( ) à un échelon uniaire. H ( ). z. n n e idenifier ses Eude des erformances de l asservissemen. Le cahier des charges imose : Un ems de réonse 5% < 00 ms Erreur saique due à la erurbaion : ε < Déassemen de la valeur finale : D < 0,5. Avec un correceur oimisé, une simulaion numérique a ermis de racer sur le documen réonse la réonse emorelle du sysème our une erurbaion Γ( =,4.u(. 4/7

5 6. Déerminer grahiquemen sur le documen réonse le ems de réonse à 5%, le déassemen maximal e l'erreur saique. Conclure sur la caacié du correceur à vérifier l'ensemble des crières du cahier des charges. Exercice 3. Exercice 4. Quesion 6 5/7

6 Transformées usuelles. Domaine emorel Domaine de Lalace Domaine emorel Domaine de Lalace sin 6/7

7 . a e n a n! n / e e a. n n n! a a. a.. e a. a cos sh ch e a.sin a e a e.cos a. b. a a b a e a. b e a a.. a a b a. a b.. e a b. e a b. a. b a. b 7/7