Divers raisonnements en mathématiques ( Spécialité Maths) Terminale S

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1 Généralités et raisonnement Classe de Terminale S (Option Maths) Divers raisonnements en mathématiques ( Spécialité Maths) Terminale S Dernière mise à jour : Jeudi 4 Septembre 008 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble (Année ) Lycée Stendhal, Grenoble ( Document de : Vincent Obaton ) -1-

2 Généralités et raisonnement Classe de Terminale S (Option Maths) J aimais et j aime encore les mathématiques pour elles-mêmes comme n admettant pas l hypocrisie et le vague, mes deux bêtes d aversion. Stendhal Lycée Stendhal, Grenoble ( Document de : Vincent Obaton ) --

3 Généralités et raisonnement Classe de Terminale S (Option Maths) Table des matières 1 Divers raisonnements en mathématiques raisonnement par Contraposée Raisonnement par l absurde Raisonnement par récurrence Raisonnement par disjonction des cas Lycée Stendhal, Grenoble ( Document de : Vincent Obaton ) -3-

4 Généralités et raisonnement Classe de Terminale S (Option Maths) 1 Divers raisonnements en mathématiques 1.1 raisonnement par Contraposée On note la proposition (P ) vraie : Si A est vraie alors B est vraie ou A B. Exemple : Si ABC est un triangle rectangle en A alors AB + AC = BC. Définition : La contraposée de (P ) est la proposition vraie : Si B n est pas vraie alors A n est pas vraie ou (Non B) (Non A) Exemple 1 : 1) Démontrer que n N, n impair n impair. ) Démontrer que n N, n impair n impair. 3) Comment traduire ces deux propriétés en une seule? Correction : 1. Commençons par essayer de démontrer la propriété directe : n impair n impair. Si n est impair alors k N / n = k + 1 Or k + 1 est strictement positif : k N / n = k + 1 Et là on doit montrer que la racine carré d un impair est impair, ce qui n est pas si simple. Nous allons voir qu il est plus simple de prouver la proposition contraposée : n pair n pair. Si n est pair alors k N / n = k n = (k) = 4k = (k ) Or k est un entier naturel si on pose k = m alors m N / n = m Donc n est pair. On a montré que la contraposée de n impair n impair était vraie la propriété n impair n impair est vraie.. Montrons la propriété directe : n impair n impair. Si n est impair alors k N / n = k + 1 n = (k + 1) = 4k + 4k + 1 = (k + k) + 1 Or k + k est un entier naturel si on pose k + k = m alors m N / n = m + 1 Donc n est impair. { n impair n impair 3. On a les deux propriétés : n impair n se traduit par n impair n impair. impair Lycée Stendhal, Grenoble ( Document de : Vincent Obaton ) -4-

5 Généralités et raisonnement Classe de Terminale S (Option Maths) Exemple : 1) Démontrer que n N, n pair n pair. ) Démontrer que n N, n pair n pair. 3) Comment traduire ces deux pripriétés en une seule? Correction : 1. Commençons par essayer de démontrer la propriété directe : n pair n pair. Si n est pair alors k N/n = k Or k est strictement positif : k N/n = k = k Et là on doit montrer que k est de la forme m avec m N. Nous allons voir qu il est plus simple de prouver la proposition contraposée : n impair n impair. Cette propriété est démontrée dans l exercice 1. On a montré que la contraposée de n pair n pair était vraie la propriété n pair n pair est vraie.. Montrons la propriété directe : n pair n pair. Si n est pair alors k N/n = k n = (k) = 4k = (k ) Or k est un entier naturel si on pose k = m alors m N/n = m Donc n est pair. { n pair n pair 3. On a les deux propriétés : n pair n se traduit par n pair n pair. pair 1. Raisonnement par l absurde Définition : Le raisonnement par l absurde est une forme de raisonnement logique, consistant soit à démontrer la vérité d une proposition en prouvant l absurdité de la proposition contraire, soit à montrer la fausseté d une proposition en en déduisant logiquement des conséquences absurdes. Exemple : On souhaite démontrer que est un nombre irrationnel. On va essayer de voir ce qu il se passe si on considère que est un nombre rationnel. Si est rationnel alors il peut se mettre sous la forme d une fraction est il existe deux entiers p et q (q 0) tels que = p avec P GCD(p, q) = 1 (p et q sont premiers entre eux). q Si = p q alors p = q p = q p est un nombre pair et p est pair.(voir contraposée) Puisque p est un nombre pair alors il existe un entier naturel k tel que p = k On a (k) = q 4k = q q = k, q est pair et enfin q est pair.(voir contraposée). Or p et q ne peuvent pas être pairs tous les deux car p et q sont premiers entre eux n est pas un rationnel mais un irrationnel. Lycée Stendhal, Grenoble ( Document de : Vincent Obaton ) -5-

6 Généralités et raisonnement Classe de Terminale S (Option Maths) 1.3 Raisonnement par récurrence Les démonstration par récurrence servent à démontrer q une propriété est vraie ou fausse pour tout les entiers à partir d un certain rang. Il faut avoir à démontrer quelque chose du genre : Démontrer que pour tout entier naturel n k, la propriété P n est vraie. Pour le démontrer, on va devoir prouver les deux étapes suivantes : 1. La propriété P k est vraie (Initialisation).. Pour tout q telq que k q n, si P n est vraie alors P n+1 est vraie. On dit dans ce cas que P n a un caractère héréditaire. On pourra alors conclure que P n est vraie pour tout n k. Exemples : 1. Démontrer que n N, 3 divise 4 n 1. On note (P n ) la propriété : 4 n 1 est un multiple de 3. Première étape (Initialisation) : = 1 1 = 0 est un multiple de 3. (P 0 ) est vraie. Deuxième étape (Caractère héréditaire) : (a) On suppose que (P n ) est vraie. C est à dire que 4 n 1 est un multiple de 3. (b) Sachant que (P n ) est vraie, démontrons que (P n+1 ) l est aussi. C est à dire que 4 n+1 1 st un multiple de 3. 4 n+1 1 = 4 4 n 1 = 4(4 n 1 + 1) 1 = 4(4 n 1) = 4(4 n 1) + 3 On sait que 4 n 1 est un mutiple de 3 il existe k N tel que 4 n 1 = 3k. 4 n+1 1 = 4(3k) + 3 = 1k + 3 = 3(4k + 1) avec 4k + 1 N 4 n+1 1 est un multiple de 3 (P n+1 ) est vraie. Conclusion : n N, 4 n 1 est un multiple de 3. n. Démontrer que n N, k = n On note (P n ) la propriété : k =. Première étape (Initialisation) : 1 k = 1 1(1 + 1) = 1 1 k = 1(1 + 1) (P 0 ) est vraie. Deuxième étape (Caractère héréditaire) : (a) On suppose que (P n ) est vraie. C est à dire que n k = Lycée Stendhal, Grenoble ( Document de : Vincent Obaton ) -6-

7 Généralités et raisonnement Classe de Terminale S (Option Maths) (b) Sachant que (P n ) est vraie, démontrons que (P n+1 ) l est aussi. n+1 (n + 1)(n + ) C est à dire que k = n+1 n k = k + (n + 1) = + n + 1 n+1 k = + (P n+1 ) est vraie. Conclusion : n n N, k = (n + 1) = (n + 1)(n + ) 3. On note (u n ) n N la suite définie par u 0 = 0 et u n+1 = U n + 6. Démontrer que n N, 0 u n 3. On note (P n ) la propriété : 0 u n 3. Première étape (Initialisation) : u 0 = 0 (P 0 ) est vraie. Deuxième étape (Caractère héréditaire) : (a) On suppose que (P n ) est vraie. C est à dire que 0 u n 3 (b) Sachant que (P n ) est vraie, démontrons que (P n+1 ) l est aussi. C est à dire que 0 u n u n 3 6 u n Or x x est une fonction strictement croissante sur R u n u n+1 3 (P n+1 ) est vraie. Conclusion : n N, 0 u n Raisonnement par disjonction des cas Définition : Lors d un raisonnement par disjonction des cas, on étudie tous les cas possibles en faisant au préalable un tri pour restreindre le nombre de cas à étudier. Exemple : 1. Démontrer que pour tout entier naturel n, le produit est divisible par.. Démontrer que pour tout entier naturel n, 3 n + 1 est pair. Lycée Stendhal, Grenoble ( Document de : Vincent Obaton ) -7-

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