Ensembles définis inductivement et Induction structurelle

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1 Chapitre 2 Ensembles définis inductivement et Induction structurelle 21 Introduction De très nombreuses structures de données informatiques sont définies inductivement C est le cas par exemple des listes chainées ou encore des arbres Une définition inductive d un ensemble consiste en la donnée explicite d un certain nombre d éléments ainsi que de moyens de construire de nouveaux éléments à partir d éléments déjà connus Les listes d entiers par exemple sont définies par les 2 clauses suivantes : 1 La liste vide [] est une liste 2 Si l est une liste et si a est un entier, alors a :: l est la liste résultant de l ajout de a en tête de l Les définitions syntaxiques en informatique sont souvent données en BNF (Backus Normal form) et correspondent aussi à des définitions inductives Les expressions booléènnes par exemple peuvent être définies par : ExpBool : := true false (ExpBool && Expbool) (ExpBool ExpBool) (! ExpBool) 22 Définition inductive d ensemble Une définition inductive d un ensemble X est caractérisée par la donnée d un ensemble de règles de construction des éléments de X Parmis ces règles on distingue Les règles de base : qui affirment que des éléments appartiennent à X Les règles inductives qui donne un moyen de construire d autres éléments de X à partir de ceux déjà construits Les règles inductives ont la forme suivante : Si a1 A1,, an An, x1 X,, xm X alors f(a1, an, x1, xm) X L ensemble X est l ensemble des objets constructibles en partant des règles de base et en appliquant un nombre fini des règles inductives 1

2 2CHAPITRE 2 ENSEMBLES DÉFINIS INDUCTIVEMENT ET INDUCTION STRUCTURELLE Plus précisemment, X est l ensemble des éléments qui admettent une construction suivant les règles de la définition inductive Une construction d un élément a suivant les règles d une définition inductive est un arbre fini dont les feuilles vérifient l une des règles de base les noeuds s obtiennent à partir des prédécesseurs immédiats en leur appliquant une des règles inductives 23 Exemples 231 Les mots sur un alphabet L ensemble des mots M constitué des lettres a,b ou c est défini inductivement par les règles : 1 a M 2 b M 3 c M 4 si x {a, b, c} et m M alors xm M xm est la notation infixe de (x, m) Grâce à ces règles on peut construire a, mais aussi b et c On peut donc aussi construire aa, ab, ac, ba, c est a dire tous les mots de deux caractères parmi a, b, c Maintenant que l on a tous les mots de deux lettres dans M, on peut construire tous les mots de trois caractères parmi a, b, c et ainsi de suite 232 Expression booléenne Reprenons l exemple de la définition BNF des expressions booléennes La définition inductive correspondante est la suivante : 1 true ExBool 2 false ExBool 3 si x1 ExBool, x 2 ExBool alors &&(x 1, x 2 ) ExBool 4 si x1 ExBool, x 2 ExBool alors (x 1, x 2 ) ExBool 5 si x1 ExBool alors!(x 1 ) ExBool Les mots &&(true, (!(false), &&(true, false))) et (!(false), &&(true, false)) ont des constructions suivant ces règles et sont donc des éléments de ExpBool

3 23 EXEMPLES 3 ExBool est bien l ensemble des mots représentant les expressions booléennes formés à partir des opérateurs &&,,! 233 Les Listes d entiers On construit inductivement les listes d entiers de la façon suivante 1 nil L 2 si a N et si l L, alors a :: l L 234 Les arbres d entiers On construit inductivement les arbres binaires d entiers de la façon suivante 1 vide AB 2 si a N et si A AB et si B AB alors node(a, A1, A2) AB 235 Les entiers On construit inductivement les entiers de la façon suivante 1 0 Nat 2 si a N alors succ(a) Nat où succ est la fonction de N vers N qui a x associe x + 1 Remarquons que nat c est à dire l ensemble des objets constructibles à partir de 0 par application de succ est N tout entier Autrement dit nat = N 236 Les entiers pairs On construit inductivement les entiers pairs de la façon suivante 1 0 Pair 2 si a Pair alors a + 2 Pair

4 4CHAPITRE 2 ENSEMBLES DÉFINIS INDUCTIVEMENT ET INDUCTION STRUCTURELLE 24 fonctions définies par induction structurelle Définir un ensemble inductivement, c est donner un moyen de construire tous ses éléments Autrement dit, si X est defini inductivement, alors tous ses éléments peuvent s obtenir à partir des règles de base en appliquant un nombre fini de fois les règles inductives Ceci signifie que la relation t est plus petit que u si u est dans la chaine de constructuion de t est une relation d ordre bien fondée On peut donc programmer récursivement sur ces ensembles ce seront des définitions récursives dont la structure va se calquer sur la définition de l ensemble Il y aura autant de cas qu il y a de règles dans la définition de l ensemble; Les cas correspondant aux règles de base seront des cas non récursifs et ceux correspondant aux règles inductives pourront avoir des appels recursifs sur l un des prédécesseurs dans la construction du terme En programmant récursivement selon ces règles, on est sur que l on définit des fonctions qui terminent Voici un exemple pour M : On va définir la longueur d un mot comme une fonction long : M N : long(a) = 1 long(b) = 1 long(c) = 1 long(xm) = 1 + long(m) un exemple sur Exbool : eval(true) = 1 eval(false) = 0 eval(&&(a, B)) = if(eval(a) == 1, eval(b), 0) eval( (A, B)) = if(eval(a) == 1, 1, eval(b)) eval(!(a)) = if(eval(a) == 1, 0, 1) un exemple sur L : nil@l2 = l2 (a :: l1)@l2 = a :: (l1@l2) Le cas général est le suivant : Soit X défini inductivement par les règles : b1 in X bk X si a1 A1, an An, x1 X, xm X alors f1(a1, an, x1, xm) X si c1 C1, cp Cp, x1 X, xq X alors f2(c1, cp, x1, xq) X Alors la définition suivante definit une fonction totale g : X E g(b1) = e1

5 25 PREUVE PAR INDUCTION STRUCTURELLE 5 g(bk) = ek g(f1(a1, an, x1, xm)) = h1(g(x1),, g(xm), a1,, an) g(f2(c1,, cp, x1, xq)) = h2(g(x1,, g(xq), c1,, cp) Il faut bien sur que : e1 ek soient des éléments de E et f1 f2 soient des fonctions du bon type et déja définies 25 Preuve par induction structurelle Nous nous interessons maintenant au fait de raisonner sur ces ensembles, de démontrer des propriétés sur les éléments de ces ensembles Pour démontrer qu une propriété P est vraie de tous les éléments d un ensemble défini inductivement, il suffit de calquer le raisonnement sur la structure de l ensemble c est à dire 1 pour chaque règle de base de type a X, il faut Montrer P(a) 2 pour les règles inductives de la forme : Si a1 A1, an An, x1 X, xm X alors f(a1, an, x1, xm) X il faut montrer que si a1 A1, an An, x1 X et P(x1), xm X et P(xm) alors P(f(a1, an, x1, xm)) Pourquoi ce raisonnement est il correct? Supposons que nous ayons démontré une propiété P suivant ce schéma Prenons maintenant un élément quelconque a de X Si cet élément est un de ceux donnés par les règles de base, Nous avons démontré par le schéma P(a) Sinon, a s obtient par un nombre fini d applications des règles inductives à partir d une règle de base P a été montré pour l élement de base sur lequel a est construit La deuxième partie du schéma nous permet de remonter d étape en étape la propriété P en suivant la chaine de construction de a Un exemple de raisonnement par induction structurelle sur les listes : Montrons que pour toute liste l, l@nil = l Selon le principe d induction structurelle, il suffit de montrer : 1 nil@nil = nil trivial par le premier cas de définition 2 Supposons que l1@nil = l1 et montrons que (a :: l1)@nil = a :: l1 (a :: l1)@nil = a :: (l1@nil) par le deuxième cas de définition et par notre hypothése d induction l1@nil = l1 Donc (a :: l1)@nil = a :: l1 26 Definition inductives d ensembles et langage de programmation En programmation, on rencontre très souvent des définitions inductives Comme nous l avons vu, la plupart des grammaires définissent l ensemble des mots du langage comme

6 6CHAPITRE 2 ENSEMBLES DÉFINIS INDUCTIVEMENT ET INDUCTION STRUCTURELLE un ensemble inductif Par ailleurs, de nombreuses structures de données très utilisées sont des structures récursives Nous avons ici pris l exemple des listes et des arbres En général, les langages de pogrammation n offrent pas directement le moyen de d éfinir des types de données inductifs Il faut les implanter en utilisant les moyens offerts par le langage C est ce qu on fait par exemple pour les listes lorsu on les implante par un pointeur sur un couple (n,l) ou n est un entier (le premier élement de la liste) et l le reste de la liste La liste vide est en général le pointeur null Ainsi, chaque liste implantée est bien soit la liste vide, soit une liste construite a partir d un entier et d une liste déajà existante Le détour mathématique sur les ensembles inductifs de ce cours, vous permet : De repérer ce genre de structure, De savoir dès le moment ou vous les avez repéré comment les implanter dans le langage visé De savoir comment programmer sur ces structures De savoir comment raisonner sur ces structures Le gain visé est alors un gain en terme de rapidité de conception et d ecriture de code, ainsi qu un gain en terme de qualité de vos applications Ocaml a ceci de particulier qu il offre une construction-les types sommes récursifs - qui correspond exactement à des définitions inductives d ensemble Rappelons la définition du type int arbre en Ocaml : type int_arbre = Vide Noeud of int * int_arbre * int_arbre;; et quelques manipulations de ce type : let un =Noeud(1,Vide, Vide);; let rec somme_arbre arb= match arb with Vide -> 0 Noeud (n,a,b) -> somme_arbre a + n + somme_arbre b;; Ceci est une simple traduction en Ocaml de ce que nous faisons dans ce cours Parceque ces ensembles ont un comportement et une structure parfaitement connue et maitrisée, les concepteurs du langage ont pu prendre en charge l implantation de ces définitions de type de façon correcte et efficace Cela offre aux utilisateurs du langage un style de programmation plus abstrait, plus proche de la pratique mathématique, et par la même une plus grande facilité de maitrise de leur code 27 exercices Exercice 1 On travaille sur les listes et les arbres binaires 1 Par quel élément de L représenter la liste [1, 2, 3, 4]?

7 27 EXERCICES 7 2 Montrer que Noeud(1, noeud(2,vide,vide), noeud(3,noeud(4,vide,vide),vide))est un élément de AB 3 faire un dessin pour rerésenter ce terme 4 Donner une autre définition inductive des arbres binaires dans laquelle les feuilles sont aussi des entiers 5 Donner une definion inductive des entiers relatifs Exercice 2 Il s agit de définir inductivement des ensembles 1 Définir inductivement le sous ensemble de M des mots de longueur paire 2 Définir inductivement l ensemble des exp arithmétiques avec +,-, *,/ 3 Définir inductivement l ensemble des instructions d un langage avec := if while Exercice 3 On travaille sur la definition inductive des arbres binaires et sur les listes AB 1 définir la fonction rev qui renverse les éléments d une liste 2 définir les fonctions prefix et postfix respectivement de type AB L et qui engendre la liste correspondant au parcours respectivement prefixe et postfixe de l arbre exemple : prefix(noeud(1, noeud(2,vide,vide), noeud(3,noeud(4,vide,vide),vide)))= [1,2,3,4] et postfix (Noeud(1, noeud(2,vide,vide), noeud(3,noeud(4,vide,vide),vide)))= [4,3,2,1] 3 Prouver que (a@b)@c = (a@(b@c)) 4 Prouver que rev(a@b) = rev(b)@rev(a) 5 Prouver que pref ix(a) = rev(postf ix(a))