ÉLÉMENTS DE THÉORIE DES ENSEMBLES. 1 Les ensembles. 1.1 Définition d un ensemble

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1 MPSI2 du lycée Condorcet 1/22 ÉLÉMENTS DE THÉORIE DES ENSEMBLES 1 Les ensembles 1.1 Définition d un ensemble Définition 1. Un ensemble est une collection d objets mathématiques. Les objets qui appartiennent à un ensemble sont appelés les éléments de cet ensemble. Notons E est l ensemble des nombres entiers pairs compris entre 0 et 10. Alors les éléments de E sont 0, 2, 4, 6, 8 et 10. On écrit E = {0,2,4,6,8,10}. Pour dire qu un objet mathématique x est un élément d un ensemble A, on écrit : x A. Lorsque x n est pas un élément de A, on écrit : x A. Avec E = {0,2,4,6,8,10}, on a : 4 E et 5 E. Définition 2. Si A et B sont deux ensembles, on dit que B est une partie de A lorsque tous les éléments de B sont des éléments de A. On écrit : B A. On dit aussi que B est inclus dans A. Avec E = {0,2,4,6,8,10} et F = {10,2,8}, on a : F E. En effet, 10 E, 2 E et 8 E. On peut dire aussi que B est un sous-ensemble de A pour dire que B est une partie de A. Définition 3. Deux ensembles A et B sont égaux lorsqu ils ont les mêmes éléments. On écrit : A = B. Ainsi, A = B lorsque A B et B A. Si E = {0,2,4,6,8,10} et F = {6,8,10,0,2,4,6,8}, on a : E = F. L ensemble qui ne contient pas d éléments est noté. Il s appelle «l ensemble vide». Pour tout ensemble A, on a : A ; l ensemble vide est une partie de A. Si A est un ensemble, l ensemble de ses parties est noté P (A).

2 MPSI2 du lycée Condorcet 2/22 Si E = {0,2}, on a : P (E) = {,{0},{2},{0,2}}. Si A et B sont deux ensembles et si B A, on écrit A \ B l ensemble des éléments x de A tels que x B. On lit : «A privé de B» ou «le complémentaire de B dans A». On note parfois cet ensemble B A. On remarque que A \B est une partie de A. Si E = {0,2,4,6,8,10} et F = {10,2,8}, on a : E \ F = {0,4,6}. 1.2 Opérations sur les ensembles Si A et B sont deux ensembles, on note A B l ensemble des objets mathématiques qui appartiennent à A et à B. A B se lit «A inter B» ou «l intersection de A et de B». On remarque que A B est une partie de A (et une partie de B). Si E = {0,2,4,6,8,10} et F = {3,10,2,8,8,5}, alors E F = {2,8,10}. Si A et B sont deux ensembles, on note A B l ensemble des objets mathématiques qui appartiennent à A ou à B. A B se lit «A union B» ou «la réunion de A et de B». On remarque que A et B sont des parties de A B. Si E = {0,2,4,6,8,10} et F = {3,10,2,8,8,5}, alors E F = {0,2,3,4,5,6,8,10}. Proposition 1 (lois de Morgan). Soit A un ensemble. Pour toutes parties E et F de A, on a : E F A = E A F A et E F A = E A F A. Proposition 2 (distributivité de par rapport à et distributivité de par rapport à ). Soit A un ensemble. Pour toutes parties E, F et G de A, on a : E (F G) = (E F ) (E G) et E (F G) = (E F ) (E G). Si A et B sont des ensembles, on note A B l ensemble dont les éléments sont les couples (x, y), où x A et y B. A B se lit «A croix B». Si E = {2,8,10} et F = {3,8}, alors E F = {(2,3),(2,8),(8,3),(8,8),(10,3),(10,8)}. 1.3 Familles d ensembles Soit I un ensemble. Pour tout élément i de I, on suppose qu on a un ensemble noté E i. On dit qu on a une famille d ensembles (E i ) i I. On note i I E i l ensemble des objets mathématiques qui appartiennent à tous les ensembles E i (pour tout i appartenant à I ). i I E i se lit «l intersection des E i pour i dans I». On note i I E i l ensemble des objets mathématiques qui appartiennent à au moins un ensemble E i (pour au moins un élément i de I ). i I E i se lit «la réunion des E i pour i dans I».

3 MPSI2 du lycée Condorcet 3/22 On dit que la famille d éléments (x i ) i I appartient à l ensemble i I E i si pour tout i I, x i appartient à E i. i I E i se lit «le produit cartésien des E i pour i dans I». Si I = {1,2,3}, E 1 = {8,3,5}, E 2 = {7,3} et E 3 = {3,5}, alors : E i = {3}, i I E i = {8,3,5,7}, E i = { (8,7,3),(8,7,5),(8,3,3),(8,3,5),(3,7,3),(3,7,5),(3,3,3),(3,3,5),(5,7,3),(5,7,5),(5,3,3),(5,3,5) }. i I i I Notations 1. Dans l exemple précédent, I est fini ; le produit cartésien s écrit alors plutôt E 1 E 2 E Lorsque tous les E i sont égaux à un même ensemble E, on note E I = i I E i. On dit que E I est l ensemble des familles d éléments de E indexées par I. 3. Lorsque tous les E i sont égaux à un même ensemble E et que I est un ensemble ayant un nombre fini d éléments n, on note E n = E I. Les éléments de E n sont appelés les n-uplets de E. E E E E est noté E 4. 2 La logique 2.1 Langage de la logique On appelle assertion une phrase mathématique qui peut être vraie ou fausse. «2 est rationnel» est une assertion. Définition 4. Si A est une assertion, on note A la négation de A. On lit «non A». Par exemple, si A est vraie, alors A est fausse, alors que si A est fausse, alors A est vraie. A A V F F V

4 MPSI2 du lycée Condorcet 4/22 ( A) = A. Définition Si A et B sont des assertions, on note A B l assertion qui est vraie seulement lorsque A et B sont vraies. On lit «A et B». 2. Si A et B sont des assertions, on note A B l assertion qui est vraie lorsque A est vraie ou B est vraie. On lit «A ou B». A B A B V V V F F V F F A B A B V V V F F V F F La négation de A B est ( A) ( B). La négation de A B est ( A) ( B). Définition 6. Si A et B sont des assertions, on note A = B l assertion ( A) B. On lit «A implique B». A B A ( A) B V V V F F V F F i.e. A B A = B V V V F F V F F La négation de A = B est A ( B). Définition 7. Si A et B sont des assertions, on note A B l assertion (A = B) (B = A). On lit «A est équivalente à B». On remarque que A est équivalente à B lorsque A et B sont vraies ou lorsque A et B sont fausses. 2.2 Quantificateurs Dans un énoncé mathématique, le symbole devant une variable se dit «pour tout» et signifie que ce qui suit est vérifié par tous les éléments. se dit aussi «quel que soit». Pour dire qu un réel strictement positif est positif, on écrit : x R, x > 0 = x 0. Cette phrase peut se lire : «Pour tout réel x, si x est strictement positif, alors x est positif». On peut aussi lire : «Quel que soit le réel x, x strictement positif implique x positif». Dans une énoncé mathématique, le symbole devant une variable se dit «il existe» et signifie que ce qui suit est vérifié par l un des éléments (par au moins un des éléments).

5 MPSI2 du lycée Condorcet 5/22 Pour dire qu il existe un réel x positif qui vérifie x 2 = 2, on écrit : x R +, x 2 = 2. Cette phrase se lit : «Il existe un réel x positif tel que x 2 est égal à 2». Pour nier un énoncé mathématique qui a des symboles et, on fait comme suit. 1. On change les symboles par. 2. On change les symboles par. 3. On change les assertions A par A. La négation de E : y R, x R, x 0 et f (x) = y est E : y R, x R, x < 0 ou f (x) y. Dans E, il y a : 1. un symbole, qu on a changé par le symbole 2. un symbole, qu on a changé par le symbole 3. une assertion A : (x 0) (f (x) = y) qu on a changée par l assertion A : (x < 0) (f (x) y). Le symbole! se lit «il existe un unique». L énoncé! x A(x) signifie qu il existe un élément x 0 tel que A(x 0 ) est vrai et que A(x) est faux pour tous les éléments x différents de x 0. On n utilisera quasiment jamais ce symbole. 2.3 Liens avec les notations des ensembles Soit I un ensemble et (E i ) i I une famille d ensembles. Alors x i I E i i I, x E i, x i I E i i I, x E i, et (x i ) i I i I E i i I, x i E i. 3 Les applications 3.1 Définition Définition 8. Soit A et B deux ensembles. Soit Γ une partie de A B. On dit que Γ est le graphe d une application si les énoncés U et E suivants sont satisfaits. U : x A (y 1, y 2 ) B 2 ( ((x, y1 ) Γ ) ( (x, y 2 ) Γ )) = ( y 1 = y 2 ), E : x A y B (x, y) Γ.

6 MPSI2 du lycée Condorcet 6/22 L énoncé U peut s écrire aussi : (x, y 1, y 2 ) A B 2 ( ((x, y1 ) Γ ) ( (x, y 2 ) Γ )) = ( y 1 = y 2 ). L énoncé U garantit, pour tout élément x de A fixé, l unicité de l élément y de B tel que (x, y) Γ. L énoncé E garantit, pour tout élément x de A fixé, l existence de l élément y de B tel que (x, y) Γ. Ainsi, pour tout x A, il existe un unique y B tel que (x, y) Γ ; si on décide de noter f (x) cet élément y, et si on procède de même pour tout x A, alors on définit une application f de A dans B de graphe Γ. Une application f de A dans B est donc un objet mathématique qui à tout élément x de A associe exactement un élément y de B, noté f (x) et appelé l image de x par f. On voit donc que f et f (x) ne peuvent pas être confondus : f est une application tandis que f (x) est pourvu que x soit bien défini un élément de B (notons que lorsque x n est pas introduit, parler de f (x) n a aucun sens). Prenons l exemple de A = {0, 1, 3}, B = {5, 7, 8}. On note Γ 1 = {(0,5),(1,8),(3,8),(0,7)}, Γ 2 = {(0,8),(1,8)} et Γ 3 = {(0,5),(1,8),(3,8)}. Alors Γ 1, Γ 2 et Γ 3 sont des parties de A B. Γ 1 ne satisfait pas l énoncé U et Γ 2 ne satisfait pas l énoncé E ; ce ne sont pas des graphes. En revanche, Γ 3 satisfait à la fois les énoncés U et E ; Γ 3 est le graphe de l application qui à 0 associe 5, à 1 associe 8 et à 3 associe 8. Notation Si A et B sont deux ensembles, on note F (A,B) l ensemble des applications de A dans B. On peut aussi appeler les éléments de F (A,B) les fonctions de A dans B. Lorsque Γ est le graphe d une application f F (A,B), on écrit rarement On écrit plutôt ou Γ = { (x, f (x)); x A }. f : x A f (x) B f : A B x f (x). On lit : «f est l application qui, à tout élément x de A, associe l élément f (x) de B». Si B = A, l application qui à tout élément x de A associe l élément x de A est notée Id A : Id A : A A x x.

7 MPSI2 du lycée Condorcet 7/22 Id A est appelée l identité de A. Définition 9. Soit A et B deux ensembles et f F (A,B). 1. Pour tout élément x de A, on appelle image de x par f l élément f (x) de B. On dit aussi : «f (x) est l image de x par f». 2. Pour tout élément y de B, on appelle antécédent de y par f tout élément x de A tel que y = f (x). Dans ce cas, on dit : «x est un antécédent de y par f». Un élément x de A a une seule image mais un élément y de B peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents. Si on considère l application de graphe Γ 3 donné à l exemple de la page 6, l image de 0 est 5 tandis 1 est un antécédent en 8. Définition 10. Soit A, B et C trois ensembles, f F (A,B) et g F (B,C ). L application qui à tout élément x de A associe l élément g ( f (x)) de C est notée g f et est appelée la composée de f par g : g f : A C x g (f (x)). Remarquons que g f F (A,C ). g f se lit : «g rond f». Définition 11. Soit A et B deux ensembles, E une partie de A et f F (A,B). L application qui à tout élément x de E associe l élément f (x) de B est notée f E et est appelée la restriction de f à E : Remarquons que f E F (E,B). f E : E B x f (x). Définition 12. Soit A un ensemble et B une partie de A. L application qui à tout élément de B associe 1 et qui à tout élément de A \ B associe 0 est notée 1 B et est appelée l indicatrice de B : Remarquons que 1 B F (A,{0,1}). 1 B : A {0,1} x 1 si x B x 0 sinon. Proposition 3. Soit E un ensemble et A, B et C des parties de E. Alors 1. 1 A B = 1 A 1 B, 2. 1 A B = 1 A +1 B 1 A 1 B, 3. Si C B, alors 1 B\C = 1 B 1 C.

8 MPSI2 du lycée Condorcet 8/ Images directes, images réciproques par une application Définition 13. Soit f une application de A dans B. 1. Pour toute partie E de A, on appelle l image directe de E par f la partie f (E) de B définie par : f (E) = {f (x); x E}. 2. Pour toute partie F de B, on appelle l image réciproque de F par f la partie f 1 (F ) de A définie par : f 1 (F ) = {x A ; f (x) F }. L image directe de E par f s écrit aussi : f (E) = {y B ; x E ; y = f (x)}. Pour tout y B, l ensemble des antécédents de y par f est f 1 ({y}). Ces notions sont très importantes. Insistons encore une fois. Pour tout y B, y f (E) x E ; y = f (x). (1) Pour tout x A, x f 1 (F ) f (x) F. (2) Si on considère à nouveau l application f de graphe Γ 3 donné à l exemple de la page 6, on voit que f ({0,1}) = {5,8} et que f 1 ({5,8}) = {0,1,3}. Notons qu on a donc : f 1 (f ({0,1})) = {0,1,3}, et donc f 1 (f ({0,1})) {0,1} ; il faut faire très attention avec ces notions. Seule la démarche consistant à revenir à la définition 13 ou aux relations (1) et (2) qui lui sont équivalentes est rigoureuse. 3.3 Injectivité, surjectivité, bijectivité Définition 14. Soit f une application de A dans B. 1. On dit que f est injective lorsque pour tout (x 1, x 2 ) A 2 tel que f (x 1 ) = f (x 2 ), on a : x 1 = x 2. On dit aussi que f est une injection. 2. On dit que f est surjective lorsque pour tout y B, il existe x A tel que y = f (x). On dit aussi que f est une surjection. Remarquons que dire que f est injective revient à dire que pour tout (x 1, x 2 ) A 2 tel que x 1 x 2, on a : f (x 1 ) f (x 2 ).

9 MPSI2 du lycée Condorcet 9/22 Remarquons que f est surjective si et seulement si f (A) = B. Reformulons ici aussi les notions : f est injective (x 1, x 2 ) A 2, f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 et f est surjective y B, x A, y = f (x). Considérons à nouveau l application f de graphe Γ 3 donné à l exemple de la page 6. Puisque f (1) = f (3) et que 1 3, f n est pas injective. Puisque 7 n a pas d antécédent par f, f n est pas surjective. Définition 15. Soit f une application de A dans B. On dit que f est bijective lorsque f est injective et surjective. On dit aussi : f est une bijection de A sur B. Proposition 4. Soit f une bijection de A sur B. Alors la partie de B A définie par {(y, x) B A ; y = f (x)} est le graphe d une application de B dans A, notée f 1 et appelée l application réciproque de f. Démonstration Notons Γ l ensemble {(y, x) B A ; y = f (x)}. C est bien une partie de B A. Reprenons les notations de la définition 8 (attentions, les rôles de A et de B sont interchangés ici). On peut voir que l énoncé U est équivalent à l injectivité de f et que l énoncé E est équivalent à la surjectivité de f. Ainsi, dire que Γ est le graphe d une application de B dans A revient à dire que f est bijective, ce qui est vrai par hypothèse. On peut montrer que lorsque f est bijective, alors pour toute partie F de B, l image réciproque de F par f est égale à l image directe de F par f 1 ; ainsi, la notation f 1 pour l application réciproque est compatible avec la notation de l image réciproque : f 1 (F ) = f 1 (F )! Remarquons que lorsque f est bijective, f 1 est l application qui à tout y B associe l unique élément x de A tel que y = f (x). Prenons l exemple de A = {0,1,3}, B = {3,8,9} et f l application qui à 0 associe 9, à 1 associe 3 et à 3 associe 8. Alors f est à la fois injective et surjection : c est une bijection de A sur B. Son application réciproque est l application de B dans A qui à 9 associe 0, à 3 associe 1 et à 8 associe 3.

10 MPSI2 du lycée Condorcet 10/22 4 Les démonstrations 4.1 Les différents types de questions en mathématiques On fait ici un catalogue des différents types de questions que l on peut poser en mathématiques. Pour chacun d entre eux, on donne la manière de rédiger proprement le raisonnement permettant de répondre à la question Comment prouver une assertion qui commence par «pour tout x»? Il faut alors faire comme suit. «Montrer que pour tout x E, l assertion P(x) est vraie». 1. On commence par fixer un élément x de E avec lequel on va travailler. On écrit donc toujours au début de la preuve : «Soit x un élément de E». 2. On démontre que P(x) est vraie par une suite de phrases qui commencent toutes par «Donc» ou «Or». (a) Une phrase qui commence par «Donc» signifie qu on fait une déduction. (b) Une phrase qui commence par «Or» signifie qu on rappelle : i. soit une hypothèse de l énoncé, ii. soit un résultat qu on a démontré auparavant dans la preuve. 3. On écrit toujours à la fin de la preuve : «Finalement, P(x) est vraie. On en déduit que pour tout x E, l assertion P(x) est vraie» Comment prouver une unicité? «Montrer que l assertion P(x) est vraie pour au plus un élément x de E». On fait comme suit : on fixe deux éléments x 1 et x 2 de E tels que P(x 1 ) et P(x 2 ) sont vraies et on démontre que x 1 = x 2 par une suite de phrases qui commencent toutes par «Donc» ou «Or» Comment prouver une assertion qui commence par «il existe x»? «Montrer qu il existe x E tel que l assertion P(x) est vraie». On peut faire comme suit : on trouve un élément x de E qui vérifie P(x). Il s agit souvent d une question très difficile! Tant et si bien que très souvent, c est grâce la connaissance parfaite du cours de mathématiques, qui fournit de nombreux résultats d existence difficiles à redémontrer si on ne connaît pas son cours, que l on peut répondre à ce genre de questions. On verra une autre méthode dans le paragraphe

11 MPSI2 du lycée Condorcet 11/ Comment prouver une implication? «Montrer que l assertion P implique l assertion Q, c est-à-dire montrer que P = Q». On fait comme suit. 1. On commence par écrire au début de la preuve : «Supposons que P est vraie». 2. On démontre que Q est vraie par une suite de phrases qui commencent toutes par «Donc» ou «Or». 3. On conclut en écrivant à la fin de la preuve : «Finalement, l assertion P implique l assertion Q». Souvent, on vous demandera : «Montrer que si on a P, alors on a Q». Cela signifie exactement qu on vous demande de montrer que l assertion P implique l assertion Q. Parfois, après vous avoir demandé de prouver P Q, on vous demandera : «La réciproque est-elle vraie?». Cela signifie que vous devez dire si l assertion Q P est vraie ou fausse. Deux cas se présentent : 1. Si vous pensez que l implication Q P est vraie, vous devez appliquer la méthode qu on vient de voir pour prouver une implication. 2. Si vous pensez que l implication Q P est fausse, c est-à-dire si vous pensez que (Q P) est vraie, vous devez prouver qu on a : Q ( P). On a vu trois sens au mot «réciproque» en mathématiques. Cela peut désigner : 1. un ensemble, lorsqu on parle de f 1 (F ), qui est l image réciproque de l ensemble F par l application f (ici, f 1 est simplement une notation, une écriture, et ne peut s employer seule : on doit toujours faire apparaître f 1 (F ), qui est un ensemble bien défini pour toute application f ), 2. une application, lorsqu on parle de f 1, qui est l application réciproque de l application bijective f (ici, f 1 a un sens : c est une application ; bien sûr, f doit être bijective pour pouvoir parler de l application f 1 ), 3. une assertion, lorsqu on parle de Q P, qui est l implication réciproque de l implication P Q Comment prouver une équivalence? «Montrer que l assertion P est équivalente à l assertion Q, c est-à-dire montrer que P Q». D après la définition 7, il suffit de prouver que l assertion P implique l assertion Q et que l assertion Q implique l assertion P, c est-à-dire on montre P Q et Q P. On appelle cette méthode la «double implication». Il faut donc appliquer deux fois la méthode vue dans le paragraphe L implication P Q s appelle le sens direct. L implication Q P s appelle le sens indirect ou le sens réciproque.

12 MPSI2 du lycée Condorcet 12/22 Souvent, on vous demandera : «Montrer qu on a P si et seulement si on a Q». Cela signifie exactement qu on vous demande de montrer que l assertion P est équivalente à l assertion Q Comment prouver l inclusion d un ensemble dans un autre? «Montrer que l ensemble B est inclus dans l ensemble A, c est-à-dire montrer que B A». Comme toujours, il suffit de revenir à la définition du cours : la définition 2 assure que : «B A si et seulement si pour tout x B, on a x A». Comme expliqué dans le paragraphe 4.1.1, il faudra commencer la preuve par : «Soit x B». Il faudra ensuite prouver, à l aide d un raisonnement, que x A Comment prouver l égalité entre deux ensembles? «Montrer que l ensemble A est égal à l ensemble B, c est-à-dire montrer que A = B». D après le cours (voir définition 3), «les ensembles A et B sont égaux si et seulement si A B et B A». Ainsi, si on nous demande de montrer que A = B, on prouve que A B et B A. On appelle cette méthode la «double inclusion». Il faut donc appliquer deux fois la méthode vue dans le paragraphe Comment prouver l égalité entre deux applications? «Montrer que l application f : A B est égale à l application g : A B». D après le cours, les applications f F (A,B) et g F (A,B) sont égales si et seulement si pour tout x A, f (x) = g (x). Ainsi, si on nous demande de montrer que f = g, on fixe un élément x de A (en commençant la preuve par : «Soit x A») et on prouve avec une suite de déductions que f (x) = g (x) Comment résoudre une équation? «Résoudre l équation (E) : E (x) d inconnue x A». Il s agit ici de donner l ensemble S de tous les éléments x de l ensemble A tels que l énoncé E (x) soit vrai. Remarquons que S est une partie de A. S est appelé «l ensemble des solutions de l équation (E)». Ainsi, on a : pour tout x A, x S si et seulement si E (x) est vérifié. s

13 MPSI2 du lycée Condorcet 13/22 1. L équation (E 1 ) : x 2 = 4 d inconnue x R a pour ensemble de solutions { 2,2}. 2. L équation (E 2 ) : x 2 = 4 d inconnue x R + a pour ensemble de solutions {2}. 3. L équation (E 3 ) : x = 0 d inconnue x R a pour ensemble de solutions. 4. L équation (E 4 ) : x = 0 d inconnue x C a pour ensemble de solutions { 2i,2i }. Pour résoudre l équation (E), on peut raisonner par analyse/synthèse (voir aussi le paragraphe 4.2.4), qui consiste ici à faire comme suit. 1. Première étape : analyse. On prend un élément x de S, c est-à-dire on prend un élément x de l ensemble A tel que E (x) soit vrai. On fait des calculs, un raisonnement, et on trouve que x appartient nécessairement à une partie B de A. Ceci prouve que S B. 2. Deuxième étape : synthèse. On vérifie que pour tout x B, E (x) est vrai (si ce n est pas le cas, il faut revenir à la première étape i.e. à l analyse et la poursuivre : à la première étape, on avait explicité un ensemble B trop gros). Ceci prouve que B S. 3. Troisième étape : conclusion. On en déduit que S = B : l ensemble S des solutions de l équation (E) est B Comment déterminer l ensemble des objets satisfaisant une propriété? «Déterminer l ensemble des éléments x de A vérifiant la propriété P (x)». On peut reformuler cela sous forme d une équation : la question posée revient à résoudre l équation (E) : P (x) d inconnue x A. On suffit alors de procéder comme indiqué dans le paragraphe 4.1.9, i.e. par analyse/synthèse. Bien entendu, réciproquement, toute équation peut se reformuler en une recherche d un ensemble d objets satisfaisant une propriété : résoudre l équation E (x) d inconnue x A revient à déterminer l ensemble des éléments x de A tels que la propriété E (x) est vraie (on note S cet ensemble) Comment montrer qu il existe un unique objet satisfaisant une propriété? «Montrer qu il existe un unique élément x de l ensemble A qui vérifie une propriété P (x)». C est un cas particulier du paragraphe En effet, il s agit ici de prouver que l ensemble des éléments x de A tels que la propriété P (x) est vraie est un singleton 1. On peut donc encore une fois raisonner par analyse/synthèse : 1. Analyse. On prend un élément x de A qui vérifie la propriété P (x). On fait des calculs, un raisonnement, et on trouve que x est nécessairement égal à un élément x 0 de A. 2. Synthèse. On vérifie que x 0 satisfait la propriété P (x 0 ). 3. Conclusion. On en déduit que la propriété P est vérifiée par un unique élément de A, à savoir x Un singleton est un ensemble possédant un seul élément. {3} est un singleton, {0,1} n en est pas un.

14 MPSI2 du lycée Condorcet 14/ Les différents types de démonstrations en mathématiques Démonstration par l absurde «Montrer que l assertion P est vraie». Le raisonnement par l absurde consiste à faire comme suit. 1. On suppose au début de la preuve que P est fausse. On commence donc par écrire : «Supposons par l absurde que P est fausse». 2. On fait un raisonnement pour avoir, à la fin, une assertion Q à la fois vraie et fausse. 3. On conclut que P ne peut pas être fausse, donc que P est vraie. On écrit donc à la fin : «On aboutit à une absurdité, donc l assertion P est vraie» Démonstration par contraposition «Montrer que l assertion P implique l assertion Q». Le raisonnement par contraposition consiste à montrer ( Q) = ( P) (pour prouver une implication, voir le paragraphe 4.1.4). Ceci prouve P = Q Démonstration par récurrence On se donne une famille d énoncés mathématiques (H n ) n N. «Montrer que pour tout n N, H n est vrai». Le raisonnement par récurrence consiste à faire comme suit. 1. On prouve que H 0 est vrai. 2. On prouve l énoncé «n N, H n = H n+1». On commence donc toujours cette deuxième étape par : «Soit n N tel que H n est vrai», puis on fait un raisonnement pour établir H n On conclut que pour tout n N, H n est vrai. Vous ne devez pas, à chaque fois que vous voyez : «Montrer que pour tout n N, H n est vrai», faire une démonstration par récurrence. On choisit de faire une récurrence seulement lorsqu on voit un lien entre H n et H n+1, c est-à-dire lorsque H n = H n+1 semble naturel. Parfois, on pourra établir n N, H n est vrai de manière simple, sans faire de récurrence, directement en suivant le paragraphe : on commence par «Soit n N» et on prouve, via un raisonnement, que H n est vrai. La démonstration par récurrence s appuie sur le théorème suivant. Théorème 1. Toute partie non vide de N possède un plus petit élément.

15 MPSI2 du lycée Condorcet 15/22 Corollaire 1. Soit (H n ) n N une famille d énoncés mathématiques telle que : 1. H 0 est vrai, 2. pour tout n N tel que H n est vrai, on a : H n+1 est vrai. Alors pour tout n N, H n est vrai. Démonstration Considérons l ensemble A des indices n N tels que H n est vrai : A = {n N; H n est vrai}. Il nous faut prouver que A = N. Supposons par l absurde que A N. Notons B = N \ A. Alors B et B N. Le théorème 1 assure alors que B possède un plus petit élément, que l on note b. Comme H 0 est vrai, on sait que 0 A. Donc 0 B. Or, b B. Donc b 0. On en déduit que b 1 N. Deux cas se présentent : 1. Si b 1 A. Alors H b 1 est vrai, donc H (b 1)+1 est vrai, i.e. H b est vrai, donc b A, ce qui n est pas vrai. 2. Si b 1 B. Comme b 1 < b, on en déduit que b n est pas le plus petit élément de B, ce qui n est pas vrai. Finalement, l assertion «b 1 A» est à la fois fausse et vraie, ce qui est absurde. On en déduit que A = N, ce qui montre que pour tout n N, H n est vrai. Le corollaire 1 assure que la démonstration par récurrence est bien fondée. Notons qu il existe d autres versions de la démonstration par récurrence, qui sont en fait exactement équivalentes à la démonstration par récurrence classique (appelée aussi récurrence faible). Citons par exemple la récurrence forte (qui n est à vrai dire pas plus forte que la récurrence faible, la seule vraie récurrence!). On se donne encore une famille d énoncés mathématiques (H n ) n N. Il s agit encore de prouver que pour tout n N, H n est vrai. Le raisonnement par récurrence forte consiste à faire comme suit. 1. On prouve que H 0 est vrai. 2. On prouve l énoncé «n N, (H 0 H 1... H n 1 H n ) = H n+1». On commence donc toujours cette deuxième étape par : «Soit n N tel que H 0, H 1..., H n sont tous vrais», puis on fait un raisonnement pour établir H n On conclut que pour tout n N, H n est vrai. Pour prouver que la conclusion est correcte (i.e. que pour tout n N, H n est effectivement vrai), il suffit de faire un raisonnement par récurrence (faible) sur la famille (C n ) n N, où pour tout n N, C n est l énoncé H 0 H 1... H n 1 H n Démonstration par analyse/synthèse Définition 16. Soit C un énoncé mathématique. On appelle condition nécessaire de C tout énoncé mathématique N tel que C = N. Ainsi, si C est vérifié, alors nécessairement toute condition nécessaire de C l est aussi. Définition 17. Soit C un énoncé mathématique. On appelle condition suffisante de C tout énoncé mathématique S tel que S = C. Ainsi, il suffit qu une condition suffisante de C soit vérifiée pour que C le soit aussi. Définition 18. Soit C un énoncé mathématique. On appelle condition nécessaire et suffisante de C tout énoncé mathématique C 0 tel que C C 0. Parfois, on nous demande de déterminer une condition nécessaire et suffisante (en abrégé, CNS) simple d une condition C. On peut procéder par analyse/synthèse, qui consiste à faire comme suit. 1. Analyse. On suppose C et on trouve que nécessairement, une condition C 1 est alors vérifiée. Ceci prouve que C 1 est une condition nécessaire de C.

16 MPSI2 du lycée Condorcet 16/22 2. Synthèse. On vérifie que réciproquement, si la condition C 1 est satisfaite, alors C l est aussi (si ce n est pas le cas, il faut revenir à la première étape i.e. à l analyse et la poursuivre : la première condition C 1 trouvée n était pas assez restrictive, c était une condition nécessaire mais non suffisante). Ceci prouve que C 1 est une condition suffisante de C. 3. Conclusion. On en déduit que C 1 est une condition nécessaire et suffisante de C. Ce type de raisonnement a de nombreuses variantes. Par exemple, pour déterminer l ensemble des éléments x d un l ensemble A qui vérifient une propriété P (x), on peut procéder par analyse/synthèse. La condition C est ici indexée par x A et s écrit C (x) : «P (x) est vraie». Une condition nécessaire correspond alors à une partie de A qui contient l ensemble {x A ; P (x) est vraie} cherché. Une condition suffisante correspond à une partie de l ensemble {x A ; P (x) est vraie} cherché. Et trouver une condition nécessaire et suffisante correspond à déterminer exactement l ensemble {x A ; P (x) est vraie} cherché. Pour répondre à la question «Déterminer l ensemble des éléments x de A tels que la propriété P (x) est vraie». on peut donc faire une analyse/synthèse : 1. Analyse. On prend un élément x de A qui vérifie la propriété P (x). On fait des calculs, un raisonnement, et on trouve que x appartient nécessairement à une partie B de A. Ceci prouve que {x A ; P (x) est vraie} B. 2. Synthèse. On vérifie que tous les éléments x de B satisfont la propriété P (x) (si ce n est pas le cas, il faut revenir à l analyse et la poursuivre). Ceci prouve que B {x A ; P (x) est vraie}. 3. Conclusion. On en déduit que B est l ensemble des éléments x de A qui vérifient P (x). Procéder par analyse/synthèse est agréable puisqu on sait comment partir : on commence par supposer la condition C. Mais elle est assez déroutante parce qu on a l impression de partir de la conclusion. Cependant, comme on fait ensuite une sorte de réciproque (lors de la synthèse), il n y a aucun problème de logique. 4.3 Retour sur les applications Nous allons présenter quelques résultats sur les applications, que nous allons démontrer. Ce sera l occasion d appliquer quelques unes des règles de rédactions que nous venons de présenter. Proposition 5. Soit A et B deux ensembles et f F (A,B) une application. Les deux assertions suivantes sont équivalentes. 1. f est bijective. 2. Il existe une application g F (B, A) telle que g f = Id A et f g = Id B. D autre part, lorsque f est bijective, f 1 est l unique application g F (B, A) telle que g f = Id A et f g = Id B. Démonstration On a deux résultats à établir : une équivalence entre deux assertions d une part, puis l unicité d une application vérifiant une propriété donnée. Commençons par prouver que la bijectivité de f est équivalente à l existence d une application g F (B, A) telle que g f = Id A et f g = Id B. On procède par double implication. 1. Sens direct. Supposons que f est bijective. Il s agit de prouver l existence d une application g F (B, A) telle que g f = Id A et f g = Id B. C est une question difficile! Heureusement, on a l idée de montrer que l application réciproque f 1 convient. (a) Tout d abord, on a bien : f 1 F (B, A). (b) Montrons que f 1 f = Id A. Il s agit de montrer l égalité entre deux applications dont l ensemble de départ est A. Soit donc x A. On sait que l image par f 1 de f (x) est l unique élément de A dont l image par f est f (x). C est donc bien sûr x : f 1 (f (x)) = x. Ainsi, pour tout x A, (f 1 f )(x) = Id A (x), ce qui montre que f 1 f = Id A.

17 MPSI2 du lycée Condorcet 17/22 (c) Montrons enfin que f f 1 = Id B. Soit y B. f 1 (y) est l unique élément de A dont l image par f est y. En particulier, l image par f de f 1 (y) est y : f (f 1 (y)) = y. Ainsi, pour tout y B, (f f 1 )(y) = Id B (y), ce qui montre que f f 1 = Id B. Finalement, on a bien montré qu il existe une application g F (B, A) telle que g f = Id A et f g = Id B. 2. Sens indirect. Supposons qu il existe existe une application g F (B, A) telle que g f = Id A et f g = Id B. Montrons que f est bijective. (a) Montrons tout d abord que f est injective. Soit (x 1, x 2 ) A 2 tel que f (x 1 ) = f (x 2 ). Alors g (f (x 1 )) = g (f (x 2 )). Donc (g f )(x 1 ) = (g f )(x 2 ). Or, g f = Id A. Donc Id A (x 1 ) = Id A (x 2 ), i.e. x 1 = x 2. Ainsi, pour tout (x 1, x 2 ) A 2 tel que f (x 1 ) = f (x 2 ), on a : x 1 = x 2. Ceci prouve l injectivité de f. (b) Montrons enfin que f est surjective. Soit y B. Alors f (g (y)) = Id B (y), i.e. f (g (y)) = y. On en déduit que y admet un antécédent par f (qui est l élément g (y) de A). Finalement, tous les éléments de B admettent un antécédent par f, ce qui montre que f est surjective. On en déduit que f est bijective. Supposons que f est bijective. Montrons que f 1 est l unique application g F (B, A) telle que g f = Id A et f g = Id B. Remarquons tout d abord que nous avons déjà vu que f 1 vérifie effectivement les propriétés : f 1 F (B, A), f 1 f = Id A et f f 1 = Id B. Réciproquement, soit g F (B, A) telle que g f = Id A et f g = Id B. Montrons que g = f 1. Soit y B. Alors f (g (y)) = y. Or, on sait que f (f 1 (y)) = y. Donc f (g (y)) = f (f 1 (y)). Or, f est injective. Donc g (y) = f 1 (y). Finalement, pour tout y B, g (y) = f 1 (y), donc g = f 1. On conclut que f 1 est l unique application g F (B, A) telle que g f = Id A et f g = Id B. Corollaire 2. Soit A et B deux ensembles et f F (A,B). Si f est bijective, alors f 1 est bijective et ( f 1 ) 1 = f. Démonstration Supposons f bijective. D après la proposition 5, on sait que f 1 f = Id A et f f 1 = Id B. On en déduit qu il existe une application h F (A,B) telle que h f 1 = Id B et f 1 h = Id A. La proposition 5 assure alors que f 1 est bijective. D autre part, puisque (f 1 ) 1 est l unique application h F (A,B) telle que h f 1 = Id B et f 1 h = Id A et que f vérifie ces propriétés, on a : f = (f 1 ) 1. Corollaire 3. Soit A, B et C trois ensembles, f F (A,B) et g F (B,C ). Si f et g sont bijectives, alors g f est bijective et sa réciproque est f 1 g 1 : (g f ) 1 = f 1 g 1. Démonstration Supposons f et g bijectives. Alors pour tout x A, ( f 1 g 1) (g f )(x) = f 1 ( g 1 ( g ( f (x) ))) = f 1 (f (x)) = x et pour tout z C, (g f ) ( f 1 g 1) (z) = g ( f ( f 1 ( g 1 (z) ))) = g ( g 1 (z) ) = z. Ainsi (f 1 g 1 ) (g f ) = Id A et (g f ) (f 1 g 1 ) = Id C. La proposition 5 assure alors que g f est bijective et que (g f ) 1 = f 1 g 1. Proposition 6. Soit A, B et C trois ensembles, f F (A,B) et g F (B,C ). 1. Si f et g sont injectives, alors g f est injective. 2. Si f et g sont surjectives, alors g f est surjective. Démonstration 1. Supposons que f et g sont injectives. Montrons que g f est injective. Soit (x 1, x 2 ) A 2 tel que g f (x 1 ) = g f (x 2 ). Alors f (x 1 ) et f (x 2 ) ont même image par g. Comme g est injective, on en déduit que f (x 1 ) = f (x 2 ). Donc x 1 et x 2 ont même image par f. Comme f est injective, on en déduit que x 1 = x 2. Finalement, pour tout (x 1, x 2 ) A 2 tel que g f (x 1 ) = g f (x 2 ), on a x 1 = x 2. Ceci montre que g f est injective.

18 MPSI2 du lycée Condorcet 18/22 2. Supposons que f et g sont surjectives. Montrons que g f est surjective. Soit z C. Par surjectivité de g, il existe y B tel que z = g (y). Par surjectivité de f, il existe x A tel que y = f (x). Alors z = g (f (x)), i.e. z = g f (x), ce qui montre que z possède un antécédent par g f. Finalement, tout élément z de C possède un antécédent par g f, donc g f est surjective. Proposition 7. Soit A et B deux ensembles. Il existe une bijection de B A sur F (A,B). Démonstration Notons f l application qui à toute famille d éléments (b a ) a A de B indexée par A associe l application a A b a B. Remarquons que f F (B A,F (A,B)). Notons g l application qui à toute application u F (A,B) la famille d éléments (u(a)) a A de B indexée par A. Remarquons que g F (F (A,B),B A ). Il est aisé de montrer que g f = Id B A et que f g = Id F (A,B). On en déduit que f est une bijection. Ainsi, se donner une famille d éléments de B indexée par A revient à se donner une application de A dans B ; c est la raison pour laquelle on identifie souvent B A avec F (A,B). 5 Les relations 5.1 Premières définitions Définition 19. Soit A un ensemble. On appelle relation binaire sur A toute partie R de A 2. Pour tout (x, y) A 2, on dit que x est en relation avec y et on note x R y si (x, y) R. s 1. Si E = {0,2,4,6,8,10} et R = {(0,4),(0,0),(6,10),(4,0)}, alors R est une relation binaire sur E et 0 est en relation avec 4, 4 est en relation avec 0, 0 est en relation avec lui-même, 6 est en relation avec 10, mais 10 n est pas en relation avec Si E = R et si R = {(x, y) R 2 ; x y 0}, alors R est une relation binaire sur R et un réel a est en relation avec un réel b si et seulement si a et b ont même signe : R est la relation «avec le même signe». Définition 20. Soit R une relation binaire sur un ensemble A. On dit que : R est réflexive si pour tout x A, x R x, R est symétrique si pour tout (x, y) A 2 tel que x R y, on a : y R x, R est transitive si pour tout (x, y, z) A 3 tel que x R y et y R z, on a : x R z. La relation «avec le même signe» sur R vue dans l exemple précédent est réflexive, symétrique mais n est pas transitive puisque 1 est en relation avec 0, 0 est en relation avec 1 mais 1 n est pas en relation avec Relations d équivalence Définition 21. On appelle relation d équivalence sur un ensemble A toute relation binaire sur A réflexive, symétrique et transitive.

19 MPSI2 du lycée Condorcet 19/22 s 1. Soit n N. La relation binaire R sur Z définie par x R y n divise y x est une relation d équivalence et est appelée congruence modulo n. Par exemple, 9 est congru à 23 modulo La relation binaire R sur R définie par x R y k Z, y = x + 2kπ est une relation d équivalence et est appelée congruence modulo 2π. Plus généralement, pour tout α R, la relation binaire sur R égale à { (x, y) R 2 ; y x α Z } est une relation d équivalence et est appelée congruence modulo α. Définition 22. Soit A un ensemble et R une relation d équivalence sur A. Pour tout x A, on appelle classe d équivalence de x l ensemble [x] défini par : [x] = {y A ; x R y}. Soit n N. Pour la congruence modulo n, il y a n classes d équivalence. Proposition 8. Soit A un ensemble et R une relation d équivalence sur A. Alors : 1. pour tout x A, x [x], 2. pour tout (x, y) A 2, [x] [y] si et seulement si [x] = [y]. On peut montrer que réciproquement, si (B i ) i I est une partition d un ensemble A, i.e. une famille de parties non vides de A telle : 1. i I B i = A, 2. (j,k) I 2, j k B j B k =, alors la relation R sur A définie par : x R y i I, {x, y} B i est une relation d équivalence. Par ailleurs, les classes d équivalence sont les parties B i, i I.

20 MPSI2 du lycée Condorcet 20/ Relations d ordre Définition 23. Soit R une relation binaire sur un ensemble A. On dit que R est antisymétrique si pour tout (x, y) A 2 tel que x R y et y R x, on a : x = y. Définition 24. On appelle relation d ordre sur un ensemble A toute relation binaire sur A réflexive, antisymétrique et transitive. On appelle ensemble ordonné tout couple (A,R) où A est un ensemble et R est une relation d ordre sur A. s 1. Les ordres sur N, Z, Q et R sont des relations d ordre. 2. Soit E un ensemble. La relation R sur P (E) définie par : x R y x y est une relation d ordre. 3. La divisibilité sur N définie par : x R y x divise y est une relation d ordre. Notation Souvent, lorsque (A,R) est un ensemble ordonné, on note : x y pour dire que x R y (on dit alors que «x est plus petit que y»), x < y pour dire que x R y et x y (on dit alors que «x est strictement plus petit que y»). x y pour dire que y R x (on dit alors que «x est plus grand que y»), x > y pour dire que y R x et y x (on dit alors que «x est strictement plus grand que y»). Pour la divisibilité sur N, 1 est plus petit que tous les entiers naturels et 0 est plus grand que tous les entiers naturels. Lorsque A, la relation < n est pas une relation d ordre puisqu il existe x 0 A et alors l assertion «x 0 < x 0» est fausse : la relation < n est pas réflexive. Ce n est pas parce qu on n a pas x y qu on a nécessairement y < x : il est possible qu il existe (x, y) A 2 tel que les assertions «x y» et «y < x» soient toutes les deux fausses. Par exemple pour la relation de divisibilité, «2 3» et «3 < 2» sont des assertions fausses. Définition 25. Soit (A, ) un ensemble ordonné. On dit que l ordre est total si pour tout (x, y) A 2, on a : x y ou y x. Dans ce cas, on dit que (A, ) est un ensemble totalement ordonné. Dans le cas contraire, on dit que l ordre est partiel et que (A, ) est un ensemble partiellement ordonné. s 1. (Q, ) est totalement ordonné.

21 MPSI2 du lycée Condorcet 21/22 2. Lorsque E n est ni vide, ni un singleton, (P (E), ) est partiellement ordonné. 3. La divisibilité sur N est un ordre partiel. Définition 26. Soit (A, A ) et (B, B ) deux ensembles ordonnés et f F (A,B). 1. On dit que f est croissante si (x, y) A 2, x A y f (x) B f (y) 2. On dit que f est décroissante si (x, y) A 2, x A y f (x) B f (y) 3. On dit que f est monotone si f est croissante ou décroissante. 4. On dit que f est strictement croissante si f est croissante et injective. 5. On dit que f est strictement décroissante si f est décroissante et injective. 6. On dit que f est strictement monotone si f est monotone et injective. Pour tout ensemble E, l application est strictement décroissante. (P (E), ) (P (E), ) F F E. Proposition 9. Soit A, B et C trois ensembles ordonnés, f F (A,B) et g F (B,C ). 1. Si f et g sont monotones de même sens, alors g f est croissante. 2. Si f et g sont monotones de même contraire, alors g f est décroissante. 3. Si f est bijective monotone et si l ordre de E est total, alors f 1 est monotone de même sens que f. Définition 27. Soit (A, ) un ensemble ordonné. Il existe au plus un élément a A tel que pour tout x A, x a. Si un tel élément a existe, on l appelle le plus grand élément de A et on le note max A. Définition 28. Soit (A, ) un ensemble ordonné. Il existe au plus un élément a A tel que pour tout x A, x a. Si un tel élément a existe, on l appelle le plus petit élément de A et on le note min A. s 1. Pour la divisibilité sur N, maxn = 0 et minn = Pour tout ensemble E, si on munit P (E) de l ordre, on a : maxp (E) = E et minp (E) =. Définition 29. Soit (A, ) un ensemble ordonné, B une partie de A et a A. On dit que a est un majorant de B si pour tout y B, y a. Définition 30. Soit (A, ) un ensemble ordonné et B une partie de A et a A. On dit que B est majorée si B admet un majorant.

22 MPSI2 du lycée Condorcet 22/22 Définition 31. Soit (A, ) un ensemble ordonné, B une partie de A et a A. On dit que a est un minorant de B si pour tout y B, y a. Définition 32. Soit (A, ) un ensemble ordonné et B une partie de A et a A. On dit que B est minorée si B admet un minorant. Définition 33. Soit (A, ) un ensemble ordonné et B une partie de A et a A. On dit que B est bornée si B est majorée et minorée. Définition 34. Soit (A, ) un ensemble ordonné et B une partie de A. On note U l ensemble des majorants de B et V l ensemble des minorants de B. 1. Si U possède un plus petit élément, alors minu est appelé la borne supérieure de B et est noté supb. 2. Si V possède un plus grand élément, alors maxv est appelé la borne inférieure de B et est noté infb. s 1. Dans (R, ), considérons B = [0,1[. L ensemble des majorants U de B est [1,+ [. U a un plus petit élément, qui est 1. Ainsi, sup([0,1[) = 1. L ensemble des minorants V de B est R. V a un plus grand élément, qui est 0. Ainsi, inf([0,1[) = Dans (R, ), considérons B = {x R; x 2 2}. Alors B admet une borne supérieure : c est Dans (Q, ), considérons B = {x Q; x 2 2}. Alors B, bien que majorée, n admet pas de borne supérieure : l ensemble de ses majorants n admet pas de plus petit élément. Proposition 10. Soit (A, ) un ensemble totalement ordonné, B une partie de A et u A. Alors u est la borne supérieure de B si et seulement si ( y B, y u ) ( v < u, y B, v < y ). On peut parler de plus grand élément, de borne supérieure, etc. d une famille (x i ) i I d éléments d un ensemble ordonné A. Il s agira respectivement du plus grand élément, de la borne supérieure, etc. de la partie {x i ; i I }. Lorsque cela fait sens, on note sup i I x i pour sup{x i ; i I } (de même pour max, inf et min).

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