1. En négligeant les frottements de l air, quels sont les paramètres qui influencent la dérivation de la balle et dans quel sens agissent-ils?

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1 EPFL, Physique Générale II SIE & SMX, Test facultatif semestre de printemps, 25/05/2011 Nom :... Prénom :... Section :... No :... Les seuls objets autorisés sont: - Le formulaire "résumé mécanique" disponible sur le moodle - une feuille A4 manuscrite recto-verso - un formulaire math physique du commerce - stylos, etc. - brouillon - calculatrice Les sacs sont à déposer au bas de l amphi avant le début de l épreuve Les exercices sont à rendre sur des feuilles séparées (les feuilles des énoncés) L examen comporte 4 exercices, numérotés de 1 à 4 Le nombre de points maximum pour cet examen est de 30 pts Exercice 1 (6 points) Lors d un entraînement au tir à une latitude de 49 N, un participant vise exactement le centre de la cible située à D = 100 m plein nord. La vitesse de la balle est v En négligeant les frottements de l air, quels sont les paramètres qui influencent la dérivation de la balle et dans quel sens agissent-ils? 2. Evaluez l importance de ces déviations. Application numérique: v 0 = 1000 m s Deux paramètres influencent la déviation de la balle: la pesanteur et Coriolis: Pesanteur: vecteur vers le bas, donc déviation vers le bas Coriolis: a c = 2Ω v R (P ). La force de Coriolis est dirigée dans le sens opposé de l accélération de Coriolis; v R (P ) v 0. On a donc une déviation vers l est (vers la droite sur la cible). 1

2 2. Pesanteur: Pendant le temps de trajet t 0 = D v 0, la balle "tombe" de 1 2 gt2, donc la déviation vers le bas est z D = 1 2 gt2 0 = 1 2 g ( D v 0 ) 2 A.N.: z D = = 4.9 cm. Coriolis: Pendant le trajet, Fc = m a c = m 2 Ω v 0 avec Ω v 0 = Ω v 0 sin λ e y. On tire donc et donc: a y = 2Ωv o sin λ v y = 2Ωv 0 sin λ t y = 2 2 Ωv 0 sin λ t 2 A.N.: y = y = Ωv 0 sin λ t 2 0 = Ωv 0 sin λ D2 v 2 0 2π 1000 sin = 0.54 mm. 2

3 Nom :... Prénom :... Section :... No :... Exercice 2 (6 points) Apero En cette chaude journée (30 C sous les platanes), on souhaite refroidir idéalement son verre de pastis (14 cl) à 7 C, température à laquelle l anéthol responsable du goût anisé du pastis se trouble (précipite). Comme les journées sont longues au boulodrome, on se propose de noyer le pastis, c est-à-dire que l on néglige la dose de pastis (solution hydro-alcoolique à 40-45% en volume) par rapport à la quantité d eau versée. Le pichet d eau se trouve à l ombre sous les platanes (à 30 C) et les glaçons provenant du congélateur du bistrot du coin sont initialement à -18 C. Quel volume d eau et quelle masse de glace faut-il utiliser pour obtenir son verre de pastis à la température idéale si l on considère aucun échange de chaleur avec l extérieur? Données: Enthalpie massique de fusion de l eau à 0 C: H fus = 333 J g 1. Capacité thermique massique de l eau liquide: c e = 4.18 J g 1 K 1. Capacité thermique massique de la glace: c g = 2.10 J g 1 K 1. Attention, cet exercice est à consommer avec modération. état initial: m 1 glace à -18 C; m 2 eau à 30 C. état final: 140 g d eau à 7 C. Donc, m 1 + m 2 = 140 g (14 cl). état intermédiaire: m 1 glace à 0 C m 1 eau à 0 C m 1 eau à T 4 = 7 C; m 2 eau à T 2 m 2 eau à T 3 m 2 eau à T 4 = 7 C. 3

4 L énergie pour faire passer m 1 de glace à -18 C à 7 C est égale à l énergie fournie par l eau m 2 qui passe de 30 C à 7 C. avec les valeurs suivantes: q 1 = m 1 c g T 1 + m 1 L f + m 1 c e T 2 q 2 = m 2 c e T 3 T 1 = 18 K T 2 = 7 K T 3 = 23 K Or, q 2 = q 1 et m 1 + m 2 = m = 140 g. On a donc quatre équations à quatre inconnues, on cherche m 1 et m 2. m 1 (c g T 1 + L f + c e T 2 ) = m 2 c e T 3 = (m m 1 )c e T 3 m 1 (c g T 1 + L f + c e T 2 + c e T 3 ) = mc e T 3 on en tire: c e T 3 m 1 = m c g T 1 + L f + c e T 2 + c e T 3 A.N.: m 1 = 27.1 g de glace donc m 2 = g, soit ml d eau. 4

5 Nom :... Prénom :... Section :... No :... Exercice 3 (8 points) On considère le montage suivant: M m1 m2 k, l0 g On néglige les frottement. La poulie a une masse M et un rayon R. La masse accrochée à gauche a une masse m 1, celle à droite une masse m 2, le ressort une raideur k et une longueur au repos l 0. La corde ne glisse pas sur la poulie. On écarte légèrement la masse de sa position d équilibre et on la lâche sans vitesse initiale. 1. Déterminer l allongement du ressort lorsque le système est à l équilibre 2. Donner l équation différentielle du mouvement de la masse m Déterminer la pulsation des oscillations. 5

6 1. ex M m1 m2 0 k, l0 g Soit x 0 la position de la masse m 2. On définit x 0 = 0 lorsque le ressort est au repos. [Remarque: une autre définition du repère est évidemment OK, il faut alors être cohérent] La position d équilibre du système est donnée par F = 0. Utilisant la position d équilibre sur m 1, on a: d où l on tire la position d équilibre: m 1 g m 2 g kd 0 e x = 0 (m 1 m 2 )( g e x ) kd 0 e x = 0 d 0 = g(m 2 m 1 ) k Ainsi, la position d équilibre pour la masse m 2 devient: x 0 = d 0 x 0 = g(m 1 m 2 ) k Note on peut arriver au même résultat en raisonnant sur m 2, si le résultat est bon, c est OK! On contrôle: m 1 = 0 x 0 < 0 m 2 = 0 x 0 > 0 } OK 6

7 2. Raisonnement par l énergie Le plus simple est, comme souvent, de raisonner avec l énergie. Considérons le système "masses + poulie". Les forces étant conservatives, il n y a pas de dissipation d énergie, donc E tot = cte. Considérons m 2 à la position x, avec la vitesse ẋ. Prenons le 0 d énergie potentielle quand le ressort est au repos. Alors E tot = E p, m1 + E c, m1 + E c, rot poulie + E p, m2 + E c, m2 + E k = cte = m 1 gx m 1ẋ Iω2 + m 2 gx m 2ẋ kx2 = cte La corde ne glissant pas, ω = v R. Pour la poulie, on a I = 1 2 MR2, et donc Donc, Iω 2 = 1 v2 MR2 2 R = Mv2 = 1 2 Mẋ2 E tot = g(m 2 m 1 )x (m 1 + m 2 )ẋ Mẋ kx2 = cte = g(m 2 m 1 )x (m 1 + m 2 + M 2 )ẋ kx2 = cte En dérivant par rapport au temps, on obtient: 1 g(m 2 m 1 ) ẋ + 2 2(m 1 + m 2 + M 2 ) ẋẍ k 2 ẋx = 0 et on en tire l équation du mouvement: k ẍ + m 1 + m 2 + M 2 x = g(m 1 m 2 ) m 1 + m 2 + M 2 7

8 Traitement par les forces: ez ex ey T2 -T1 m1 -T2 M T1 m2 0 Fk k, l0 On définit de la même manière l origine du repère quand le système est au repos, et on prend un repère orienté vers le haut. sur m 2 : F = m2 a = m 2 ẍ e x T 1 + m 2 g = m 2 ẍ e x sur m 1 : On en tire: T 1 m 2 g = m 2 ẍ (1) T 2 + F k + m 1 g = m 1 ẍ 1 e x ẍ 1 = ẍ En projetant sur e x, on obtient donc Sur la poulie: M ext 0 = d L 0 dt T 2 + kx m 1 g = m 1 ẍ (2) = I ω. ( R e y ) ( T 1 e x ) + (R e y ) ( T 2 e x ) = d dt [I ω] Si ẋ > 0, la masse m 2 monte, la poulie tourne donc dans le sens opposé des aiguilles d une montre, donc ω = ω e z = ẋ e R z. De plus I = MR2 On 2 a donc: T 1 R e z + T 2 R e z = d [ 1 dt 2 M R 2 ẋ ] e z R 8

9 et donc, au final: T 1 + T 2 = 1 Mẍ (3) 2 On a trois équations, il faut éliminer T 1 et T 2 : De (??), on tire T 1 = m 2 ẍ + m 2 g et de (??), on tire T 2 = m 1 ẍ + m 1 g kx. Finalement, T 1 + T 2 = m 2 ẍ m 2 g m 1 ẍ + m 1 g kx = 1 2 Mẍ soit [ ẍ m 1 + m 2 + M 2 ] + kx = g(m 1 m 2 ) et on retombe sur la même équation différentielle. k ẍ + m 1 + m 2 + M 2 x = g(m 1 m 2 ) m 1 + m 2 + M 2 3. On a donc un oscillateur harmonique avec la pulsation k Ω 0 = m 1 + m 2 + M 2 Note: contrairement à l exercice sur le seau accroché à la poulie, la considération sur la conservation du moment cinétique ne marche pas à cause du ressort 9

10 Nom :... Prénom :... Section :... No :... Exercice 4 (10 points) On considère une mole de gaz parfait, γ supposé connu, qui décrit un cycle composé de: une compression isotherme à T A avec un volume de départ de V A et un volume final ; un refroidissement isobar amenant à V C ; une détente adiabatique qui ramène à V A ; un réchauffement isochore pour fermer le cycle. 1. Tracer le cycle en coordonnées de Clapeyron. 2. Est-il moteur ou frigo/pompe à chaleur? 3. Calculer pour chaque point du cycle A, B, C, D les grandeurs p, V et T en fonction des données de l énoncé, à savoir V A,, V C, T A et γ. Résumer dans un tableau. 4. Calculer U, Q, W et S pour chacune des étapes du cycle en fonction des grandeurs p, V, T aux points A, B, C et D et de γ. 5. Que peut on dire de son efficacité. 10

11 1. P C 2 B isotherme 1 A adiabatique 3 4 D VC VB VA V 2. Le cycle est de type frigo/pompe à chaleur. 3. Point A: p A V A = nrt A p A = nrt A V A, T A, V A. Point B: T B = T A, p B = nrt B Point C: p C = p B = nrt A, T C = p CV C nr p B = nrt A, T A,. = nrta VC V nr = T C A VB. Point D: V D = V A, p D V γ D = p cv γ C p D = p C ( V C VA ) γ T D = p DV D nr ( ) γ V C VD VA = nrta Tableau récapitulatif: p nr = T A V C ( ) V γ 1. C VB VA A B C D nrt A V A nrt A nrt A ( ) γ nrt A V C VA V V A V C V A T T A T A T A V C VB ( ) γ 1 V T C V C A VB VA ( = nrt A V C VA ) γ, 11

12 4. Trajet 1: On a une isotherme, donc U ➀ = C V dt = 0, donc Q ➀ = W ➀, avec Donc, W ➀ = B A p dv = B A nrt A V dv = nrt A ln V A W ➀ = nrt A ln V A Q ➀ = W ➀ = nrt A ln V A S ➀ = Q➀ T A Trajet 2: On a une isobare, donc W ➁ = C B = nr ln V A p dv = p B (V C ) Il s agit d un gaz parfait, donc du = C V dt, soit U ➁ = nr γ 1 (T C T B ) et H ➁ = C p dt = C p (T C T B ) = γnr γ 1 (T C T B ) = Q ➁ (car isobare). Pour l entropie, on a ds = δq T = C pdt T S ➁ = C B C p dt T = γnr γ 1 ln T C T B Trajet 3: Sur une adiabatique, Q ➂ = 0 et S ➂ = 0. U ➂ = C v (T D T C ) = nr γ 1 (T D T C ) et pour le travail, on utilise pv γ = cte = p C V γ C p = p V γ C C, et donc V γ W ➂ = D C p dv = D C p C V γ C dv V γ = p CV γ (V C γ+1 D γ + 1 Trajet 4: Sur une isochore, W ➃ = 0 et U ➃ = C V dt = nr γ 1 (T A T D ). Q ➃ = C V dt = nr γ 1 (T A T D ) et pour l entropie, S ➃ = A D C V dt T = nr γ 1 ln T A T D ) V γ+1 C 12

13 5. Le cycle est de type frigo/pompe à chaleur. Mais on ne sait pas s il est frigo ou pompe à chaleur. L efficacité dépend du point de vue adopté! l efficacité est donnée par Energie obtenue sous la forme désirée Energie fournie pour l obtenir L énergie fournie est toujours W tot = W 1 + W ➁ + W 3 + W ➃ Q 1 > 0 Q ➁ < 0 Q 3 = 0 Q ➃ > 0 Donc dans le cas frigo, l énergie obtenue est Q 1 + Q ➃. Dans le cas pompe à chaleur, l énergie obtenue est Q ➁. 13